专题12分式的运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学分式的运算核心知识点，系统梳理分式乘除、乘方、同分母加减、异分母加减运算法则，通过类比分数运算构建知识联系，结合因式分解进行约分通分，为后续分式混合运算奠定基础，形成从法则到应用的学习支架。 该资料以分层题型设计为特色，涵盖14种题型并标注难度星级，结合重点辨析与常见错误解析，培养学生运算能力与推理意识。实例中分式化简求值等题型强化数学思维，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升用数学语言表达运算过程的能力。

专题12分式的运算精讲学案 核心立意： 类比分数四则运算，掌握分式乘除、分式加减运算法则；能够熟练完成分式乘除、乘方、同分母分式加减、异分母分式加减运算；运算中结合因式分解进行约分、通分，运算结果化为最简分式或整式，为后续分式混合运算打好基础。 分式的乘法 ①法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； ②公式：（b、d 均不为 0） ③运算要点：分子、分母为多项式，先因式分解，再约分，最后相乘。 分式的除法 ①法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ②公式：​（b、c、d 均不为 0） ③运算要点：先把除法转化为乘法；除式是整式，将整式看成分母为1的分式。 分式的乘方 ①法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方； ②公式：()n=(（b0，n 为正整数） ③运算要点：注意符号，负数偶次幂为正，奇次幂为负。 分式乘除混合运算 ①运算顺序：统一转化为乘法运算，从左到右依次计算； ②运算要点：多项式优先因式分解，提前约分，简化计算。 同分母分式的加减 ①法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； ②公式：±（C0） ③运算要点：分子是多项式，相加减时分子整体添加括号；计算完成后约分。 异分母分式的加减 ①法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减； ②公式：（b、d 均不为 0） ③运算要点：先找最简公分母进行通分；整式参与分式加减，把整式看成分母为1的分式；分子展开合并同类项；最后约分化简。 分式运算通用要求 ①分式运算过程中分母不能为0； ②遇到多项式优先因式分解，方便约分、通分； ③运算最终结果必须化为最简分式或者整式。 重点辨析 1. 分式除法一定要转化为乘法，颠倒除式分子分母，不能直接分子分母对应相除。 2. 同分母分式加减，只对分子做加减，分母保持不变；分子是多项式，必须添加括号，避免符号出错。 3. 异分母分式加减，不能直接分子分母分别相加减，必须先通分。 4. 分式乘方，分子分母整体同时乘方，不能只对部分项乘方。 5. 乘除混合运算，全部转化乘法，按从左往右顺序运算。 6. 无论乘除、加减，运算结果必须化简，保留最简分式或整式。 1. 分式除法运算，不颠倒除式分子分母，直接对应相除。 2. 同分母分式加减，多项式分子不加括号，出现符号错误。 3. 异分母分式加减，不通分，直接分子、分母各自相加减。 4. 分式乘方只乘分子，忽略分母乘方；负数分式乘方符号判断失误。 5. 整式参与分式运算，没有把整式看成分母为1的分式。 6. 计算结束不进行约分，结果保留非最简分式。 题型 考察方向 难度 题型一 分式乘法 ★ 题型二 分式除法 ★ 题型三 分式乘除混合运算 ★★ 题型四 分式乘方 ★★ 题型五 含乘方的分式乘除混合运算 ★★★ 题型六 同分母分式加减法 ★ 题型七 异分母分式加减法 ★★ 题型八 整式与分式相加减 ★★ 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 ★★★ 题型十 分式加减混合运算 ★★ 题型十一 分式加减的实际应用 ★★ 题型十二 分式加减乘除混合运算 ★★★ 题型十三 分式化简求值 ★★★ 题型十四 分式最值 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一： 分式乘法 解题思路：①运用分式乘法法则，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母；②分子、分母是多项式先因式分解；③优先交叉约分再相乘；④最终结果化为最简分式或者整式。 1．计算∶ =_________． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 3．化简的结果为________． 4．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 题型二：分式除法 解题思路：①除法变乘法，颠倒除式的分子、分母；②多项式先因式分解；③进行约分运算；④计算完成化为最简分式或整式。 5．化简：______． 6．化简的结果是（     ） A． B． C．2 D． 7．计算：_________． 8．若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 题型三：分式乘除混合运算 解题思路：①全部除法转化为乘法；②多项式先因式分解；③按照从左到右顺序运算，整体约分；④结果化为最简分式或整式。 9．化简：________． 10．计算：当时，______． 11．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 12．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：分式乘方 解题思路：①分子、分母分别整体乘方；②先判断分式整体的符号；③分别对分子分母做乘方运算；④做完乘方后再约分化简。 13．________． 14．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 15．计算______． 16．已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 题型五：含乘方的分式乘除混合运算 解题思路：①优先计算分式乘方；②把所有除法统一转化为乘法；③多项式因式分解后整体约分；④按顺序计算，输出最简结果。 17．计算：______． 18．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 19．化简：______． 20．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 题型六：同分母分式加减法 解题思路：①分母保持不变，只做分子相加减；②分子是多项式，整体添加括号；③去括号，合并同类项；④约分，化为最简分式。 21．计算：________． 22．计算的结果为（     ） A．3 B．3a C．a＋1 D． 23．对于正数，规定，例如，．则_______ 24．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 题型七：异分母分式加减法 解题思路：①先找出分母的最简公分母；②各个分式通分，化为同分母分式；③分母不变，分子相加减；④合并化简，约分成最简分式。 25．计算：_____________． 26．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 27．计算：_____． 28．已知a，b为实数，且，，设，，下列说法正确的是（     ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型八：整式与分式相加减 解题思路：①把整式看成分母为1的分式；②确定最简公分母，完成通分；③转化为同分母分式进行加减；④合并并约分化简。 29．计算的结果是________． 30．已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 31．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 32．阅读材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)填空：分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式______形式； (2)如果分式的值为整数，满足条件的整数x的值为______． 题型九：已知分式恒等式，确定分子或分母 解题思路：①找出等式两边分式的最简公分母；②等式两边同时乘最简公分母，化为整式等式；③对比等式两边对应项，求出未知分子或分母；④回代检验，保证原分式分母不为0。 33．若常数M，N满足，则_______． 34．若，则_____，______． 35．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 题型十：分式加减混合运算 解题思路：①分母能因式分解先因式分解；②找到最简公分母进行通分；③分子去括号合并同类项；④约分得到最简分式。 36．计算＝ _____． 37．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 38．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________． 39．对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型十一：分式加减的实际应用 解题思路：①读懂题意，用分式表示题目中的各个数量；②根据等量关系列出分式加减算式；③完成分式运算并化简；④结合实际意义检验结果，注意单位。 40．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？______．（只需列式表示，不必化简） 41．从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（      ） A． B． C． D． 42．甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱___________． 43．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 题型十二：分式加减乘除混合运算 解题思路：①遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②多项式优先因式分解；③能约分的提前约分简化计算；④通分计算，结果化为最简分式。 44．计算：___________． 45．化简：_____． 46．若，则的值为_______． 47．若（且），，，…，，则等于（     ） A．a B． C． D． 题型十三：分式化简求值 解题思路：①先对分式化简，因式分解、约分、通分；严禁直接代值硬算；②化简完成之后再代入数值；③代入数值要保证原式分母不等于0；④计算出最终结果。 48．已知，则的值为________． 49．已知，则的值等于（     ） A． B． C． D． 50．如果a，b，c，d是正数，且满足， ，那么的值为（     ） A．1 B． C．0 D．4 51．若，则下列说法一定正确的有___________个． ① ② ③ ④ 题型十四：分式最值 解题思路：①对分式做分离常数变形，拆成常数加简单分式；②分析分式部分的取值范围；③由此推导整个分式的最大或最小值；④排除使分母等于0的自变量取值。 52．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 53．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 54．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算： (1)； (2)． 4．化简求值： (1)先化简，再求当 =2时代数式的值． (2)若，求的值． 5．计算： (1)． (2)． 6．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议： ． 7．小明、小亮沿同一路线长跑，小明前路程的平均速度是，后路程的平均速度是（），小亮的全程速度是．设该路线全长为． (1)分别求小明、小亮从起点跑到终点的时间（用含的式子表示）； (2)若小明、小亮同时出发，谁先到达终点？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12分式的运算精讲学案 核心立意： 类比分数四则运算，掌握分式乘除、分式加减运算法则；能够熟练完成分式乘除、乘方、同分母分式加减、异分母分式加减运算；运算中结合因式分解进行约分、通分，运算结果化为最简分式或整式，为后续分式混合运算打好基础。 分式的乘法 ①法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母； ②公式：（b、d 均不为 0） ③运算要点：分子、分母为多项式，先因式分解，再约分，最后相乘。 分式的除法 ①法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘； ②公式：​（b、c、d 均不为 0） ③运算要点：先把除法转化为乘法；除式是整式，将整式看成分母为1的分式。 分式的乘方 ①法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方； ②公式：()n=(（b0，n 为正整数） ③运算要点：注意符号，负数偶次幂为正，奇次幂为负。 分式乘除混合运算 ①运算顺序：统一转化为乘法运算，从左到右依次计算； ②运算要点：多项式优先因式分解，提前约分，简化计算。 同分母分式的加减 ①法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； ②公式：±（C0） ③运算要点：分子是多项式，相加减时分子整体添加括号；计算完成后约分。 异分母分式的加减 ①法则：异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减； ②公式：（b、d 均不为 0） ③运算要点：先找最简公分母进行通分；整式参与分式加减，把整式看成分母为1的分式；分子展开合并同类项；最后约分化简。 分式运算通用要求 ①分式运算过程中分母不能为0； ②遇到多项式优先因式分解，方便约分、通分； ③运算最终结果必须化为最简分式或者整式。 重点辨析 1. 分式除法一定要转化为乘法，颠倒除式分子分母，不能直接分子分母对应相除。 2. 同分母分式加减，只对分子做加减，分母保持不变；分子是多项式，必须添加括号，避免符号出错。 3. 异分母分式加减，不能直接分子分母分别相加减，必须先通分。 4. 分式乘方，分子分母整体同时乘方，不能只对部分项乘方。 5. 乘除混合运算，全部转化乘法，按从左往右顺序运算。 6. 无论乘除、加减，运算结果必须化简，保留最简分式或整式。 1. 分式除法运算，不颠倒除式分子分母，直接对应相除。 2. 同分母分式加减，多项式分子不加括号，出现符号错误。 3. 异分母分式加减，不通分，直接分子、分母各自相加减。 4. 分式乘方只乘分子，忽略分母乘方；负数分式乘方符号判断失误。 5. 整式参与分式运算，没有把整式看成分母为1的分式。 6. 计算结束不进行约分，结果保留非最简分式。 题型 考察方向 难度 题型一 分式乘法 ★ 题型二 分式除法 ★ 题型三 分式乘除混合运算 ★★ 题型四 分式乘方 ★★ 题型五 含乘方的分式乘除混合运算 ★★★ 题型六 同分母分式加减法 ★ 题型七 异分母分式加减法 ★★ 题型八 整式与分式相加减 ★★ 题型九 已知分式恒等式，确定分子或分母 ★★★ 题型十 分式加减混合运算 ★★ 题型十一 分式加减的实际应用 ★★ 题型十二 分式加减乘除混合运算 ★★★ 题型十三 分式化简求值 ★★★ 题型十四 分式最值 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一： 分式乘法 解题思路：①运用分式乘法法则，分子相乘作为积的分子，分母相乘作为积的分母；②分子、分母是多项式先因式分解；③优先交叉约分再相乘；④最终结果化为最简分式或者整式。 1．计算∶ =_________． 【答案】 【详解】解：． 2．计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式乘法法则，分式相乘，分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，再约分即可得到结果． 【详解】解：． 3．化简的结果为________． 【答案】 【分析】先对二次多项式因式分解，再约去分子分母的公因式得到化简结果． 【详解】解：． 4．计算的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 题型二：分式除法 解题思路：①除法变乘法，颠倒除式的分子、分母；②多项式先因式分解；③进行约分运算；④计算完成化为最简分式或整式。 5．化简：______． 【答案】 【详解】解：原式 ． 6．化简的结果是（     ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：． 7．计算：_________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 8．若的运算结果为整式，则“□”中的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的化简，解题思路是先利用分式除法法则和平方差公式化简原式，再根据“结果为整式”的条件判断□内的式子． 【详解】解：设□中的式子为， ∵原式 ， ∵运算结果为整式，需要分子能约去分母， ∴需包含因式，将选项代入，只有当时，原式，是整式，符合要求． 题型三：分式乘除混合运算 解题思路：①全部除法转化为乘法；②多项式先因式分解；③按照从左到右顺序运算，整体约分；④结果化为最简分式或整式。 9．化简：________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除及化简．将除法运算转化为乘法运算，对分子和分母进行因式分解后约分． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 10．计算：当时，______． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的乘除运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘除运算法则，同时结合因式分解进行约分，对原式进行转化、因式分解和约分等操作，得到化简结果的结论，即可解决分式的乘除运算问题． 【详解】解：． 故答案为：1． 11．定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 12．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的乘除混合运算，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键，注意运算顺序：从左到右依次进行． 题型四：分式乘方 解题思路：①分子、分母分别整体乘方；②先判断分式整体的符号；③分别对分子分母做乘方运算；④做完乘方后再约分化简。 13．________． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘方运算，根据分式的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 14．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 15．计算______． 【答案】 【分析】先算分式的乘方，然后再按分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了分式的乘方和运算乘法运算，掌握分式的乘方运算法则是解答本题的关键． 16．已知，则的值为（    ） A．36 B．12 C．6 D．3 【答案】C 【分析】先根据分式的乘方法则和幂的运算法则化简已知等式左边的表达式，再通过指数运算得出结果，从而求出的值. 【详解】解：， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查分式的乘方和除法运算，在进行分式运算时，要牢记分式乘方、除法的运算法则，注意符号的处理. 题型五：含乘方的分式乘除混合运算 解题思路：①优先计算分式乘方；②把所有除法统一转化为乘法；③多项式因式分解后整体约分；④按顺序计算，输出最简结果。 17．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式乘方和分式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据分式乘方和分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 18．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算知识点，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、转化和约分计算，得到最终的化简结果，即可解决分式的乘方与乘除混合运算问题． 【详解】解：原式 故选：A． 19．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方、乘除运算，掌握分式的乘方运算法则以及分式的乘除运算法则是解题的关键． 本题根据分式的乘方运算法则和分式的乘除运算法则，对原式逐步进行乘方、化简和约分计算，得到最简分式的结论，即可解决分式的乘方与乘除混合运算化简问题． 【详解】解：原式， 故答案为：． 20．下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 题型六：同分母分式加减法 解题思路：①分母保持不变，只做分子相加减；②分子是多项式，整体添加括号；③去括号，合并同类项；④约分，化为最简分式。 21．计算：________． 【答案】 【分析】同分母分式相加，分母一样，只需把分子相加． 【详解】解：; 22．计算的结果为（     ） A．3 B．3a C．a＋1 D． 【答案】A 【详解】解： ． 23．对于正数，规定，例如，．则_______ 【答案】 【分析】首先确定，然后依次化简求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ． 24．下列运算中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式加减法法则分别计算各选项，即可得出答案． 【详解】解：A．，故该选项计算错误，不符合题意， B．，故该选项计算正确，符合题意， C．，故该选项计算错误，不符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 题型七：异分母分式加减法 解题思路：①先找出分母的最简公分母；②各个分式通分，化为同分母分式；③分母不变，分子相加减；④合并化简，约分成最简分式。 25．计算：_____________． 【答案】 【分析】先对第二个分式的分母因式分解，确定最简公分母后通分，再计算约分得到结果． 【详解】解： ． 26．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： ． 27．计算：_____． 【答案】 【分析】先进行分组，原式，再分别通分，然后计算，即可作答． 【详解】解： ． 28．已知a，b为实数，且，，设，，下列说法正确的是（     ）． A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】先作差比较判断A、B选项，再利用得，代入计算判断C、D选项． 【详解】解： 的符号不确定， 当时，的符号无法确定，A，B错误； 若，则， ，C正确，D错误． 题型八：整式与分式相加减 解题思路：①把整式看成分母为1的分式；②确定最简公分母，完成通分；③转化为同分母分式进行加减；④合并并约分化简。 29．计算的结果是________． 【答案】 【分析】将整式通分为分母为的分式，再根据同分母分式的减法法则计算，化简得到结果． 【详解】解：原式． 30．已知，则的取值范围为（　　） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的化简，根据题意表示出，，，，即可求得每个数为一个循环，进而根据分式有意义的条件得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴且，，即且 故选：D 31．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可． 【详解】解：， 当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意； 当时，，，故B选项错误，不符合题意； 当时，，，故C选项正确，符合题意； 当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算和比较大小，解题关键是熟练运用分式运算法则进行计算，根据结果进行准确判断． 32．阅读材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)填空：分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式______形式； (2)如果分式的值为整数，满足条件的整数x的值为______． 【答案】(1)真分式， (2) 【分析】（1）根据题干给出的真分式与假分式定义判断的类型，再对假分式拆分子变形，化为带分式形式； （2）先将假分式化为带分式，根据分式值为整数，得到为整数，结合为整数，找出的所有可能整数值，求解得到即可． 【详解】（1）解：根据题意，分式中，分子次数为，分母次数为，，因此是真分式；； （2）解：， 分式的值为整数，为整数， 为整数，即是的因数， ， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 因此满足条件的整数的值为． 题型九：已知分式恒等式，确定分子或分母 解题思路：①找出等式两边分式的最简公分母；②等式两边同时乘最简公分母，化为整式等式；③对比等式两边对应项，求出未知分子或分母；④回代检验，保证原分式分母不为0。 33．若常数M，N满足，则_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 将等式左边通分后与右边比较分子，得到关于和的方程组，再利用平方差公式求解的值． 【详解】解：由，左边通分得， 则， 展开得， 即， 比较系数得， 则， 故答案为：． 34．若，则_____，______． 【答案】 2 1 【分析】将等式右侧通分，再比较等式的两边，得出分子相等，利用多项式对应系数相等列方程组，解方程组即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得． 35．若常数，满足，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将等式右侧通分，根据左右两侧分子恒等得到与的值，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可. 【详解】解： 又， ∴， ∴. 题型十：分式加减混合运算 解题思路：①分母能因式分解先因式分解；②找到最简公分母进行通分；③分子去括号合并同类项；④约分得到最简分式。 36．计算＝ _____． 【答案】1 【解析】略 37．已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式加减混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质和等式的性质．由可得，故，从而． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 故选D． 38．对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 39．对于依次排列的一串式子，若把相邻的两个式子，用右边式子减去左边式子，所得差写在这两个式子之间，得到一串新式子，称为“一次操作”．例如对于个分式，，，那么“第一次操作”后得一串新分式为，，，，．已知一串式子是，，，张三通过实际操作，得出以下结论：①“第次操作”后得到的一串新式子为：，，，，，，，，；②“第3次操作”后共有个式子；③“第3次操作”后所有式子之和比“第2次操作”后所有式子之和小1；④“第次操作”后所有式子之和为．那么，张三结论正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的加减，依据题干要求正确操作并发现其中的规律是解题的关键．利用“一次操作”的规定进行操作，通过操作得到规律性的结论，依据发现的规律逐一判断即可． 【详解】解：“第2次操作”后得到的一串新式子为：，0，，，，，，，，共个， ①的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式有个，“第二次操作”后得到的一串新式子有，“第三次操作”后共个式子， ②的结论正确； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， ， ③的结论错误； “第一次操作”后得一串新分式的和为：， “第二次操作”后得一串新分式的和为：， “第三次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后得一串新分式的和为：， “第次操作”后所有式子之和为， ④的结论正确； 张三结论正确的个数是个， 故选：B． 题型十一：分式加减的实际应用 解题思路：①读懂题意，用分式表示题目中的各个数量；②根据等量关系列出分式加减算式；③完成分式运算并化简；④结合实际意义检验结果，注意单位。 40．一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？______．（只需列式表示，不必化简） 【答案】时 【分析】根据题意得：船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，可得到顺流航行和逆流航行的时间，即可求解． 【详解】解：根据题意得：船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时， 所以该船从A港出发到返回A港共用的时间为时． 故答案为： 时 【点睛】本题考查列分式表示实际问题，理解题意，掌握列分式的基本规则是解题关键． 41．从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系．分别求出小刚上坡路走的时间和下坡路走的时间，然后相加求解即可． 【详解】上坡路走的时间：， 下坡路走的时间：， 总时间为：． 故选：D． 42．甲厂决定包租一辆车送员工返乡过年，租金为3000元．出发时，乙厂有3名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到名，如果包车租金不变，那么甲厂为每位员工平均每人支付车费可比原来少多少钱___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法的应用，掌握异分母减法法则是解题关键．由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元．作差求解即可． 【详解】解：由题意可知，原来人均车费为元，实际人均车费为元． 则， 答：甲厂为员工支付的人均车费可比原来少元， 故答案为：． 43．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为米的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田的小麦都收获了200千克，那么“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比，（    ） A．“丰收1号”高 B．“丰收2号”高 C．一样高 D．无法确定哪个高 【答案】B 【分析】先求出两块试验田的面积，再根据“单位面积产量=总产量面积”得到两块试验田的单位面积产量，最后用“丰收2号”的单位面积产量除以“丰收1号”的单位面积产量，再比较结果与1的大小关系即可. 本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键. 【详解】由题意得：“丰收1号”的面积为；“丰收2号”的面积为 则“丰收1号”的单位面积产量为；“丰收2号”的单位面积产量为 则， ∵， ∴， ∴ 即， ∴“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的单位面积产量相比“丰收2号”高， 故选：B 题型十二：分式加减乘除混合运算 解题思路：①遵循运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；②多项式优先因式分解；③能约分的提前约分简化计算；④通分计算，结果化为最简分式。 44．计算：___________． 【答案】/ 【详解】解：． 45．化简：_____． 【答案】 【详解】解： ． 46．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先化简所求代数式，再代入的关系求值． 【详解】解： ，， ， 原式． 47．若（且），，，…，，则等于（     ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】计算数列前几项确定循环周期，结合余数求解对应项. 【详解】解：∵， ∴，，， … ∴数列每3项为一个循环周期， ∵，余数为0， ∴. 题型十三：分式化简求值 解题思路：①先对分式化简，因式分解、约分、通分；严禁直接代值硬算；②化简完成之后再代入数值；③代入数值要保证原式分母不等于0；④计算出最终结果。 48．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】将已知等式拆分变形，整理后即可计算得到的值． 【详解】解：， ， 即， 移项得， 等号两边都除以2得． 故答案为． 49．已知，则的值等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过已知条件求出的值，再计算目标式子的平方，进而得到结果． 【详解】， 两边同时平方得，即． ， ， ． 50．如果a，b，c，d是正数，且满足， ，那么的值为（     ） A．1 B． C．0 D．4 【答案】D 【分析】利用变形得到所求分式的分子，拆分后结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵，∴，，，， ∴ ， ∵， ∴原式． 51．若，则下列说法一定正确的有___________个． ① ② ③ ④ 【答案】 【分析】已知，可得，，通过代换计算化简，或者通过赋值计算验证等式是否成立即可． 【详解】解：∵ ，∴ ，，， ① ， ∴ ①正确． ② ， ∴ ②正确． ③取，，，满足， ， ∴ ③错误． ④：取，，，满足， ， ∴ ④错误． 综上，正确的说法有个． 题型十四：分式最值 解题思路：①对分式做分离常数变形，拆成常数加简单分式；②分析分式部分的取值范围；③由此推导整个分式的最大或最小值；④排除使分母等于0的自变量取值。 52．分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 53．若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 54．已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对各分母因式分解，统一分母符号后通分，再约分得到结果； （2）先因式分解化简第一个分式，再通分合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．化简求值： (1)先化简，再求当 =2时代数式的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) 化简结果为，值为 (2) 值为 【详解】（1）解：原式 ， 将代入得， 原式． （2）解：由得 ， 因此， 由得， ∴， ∴． 5．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6．下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一：以上化简步骤中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)任务二：请写出正确的化简过程，再从，，三个数中选一个恰当的数作为的值代入求值； (3)任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议： ． 【答案】(1)二，去括号时没有变号 (2)解：原式 ， ∵且， ∴且， ∴可以取0， 当时，原式； (3)分式化简求值时，选取的代入数值必须使原分式的所有分母都不为0，避免出现无意义的情况（答案不唯一） 【分析】（1）第二步去括号时符号出现错误； （2）先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可； （3）合理即可． 【详解】（1）解：小彬的化简步骤中，第二步开始出现错误，错误的原因是去括号时没有改变符号； （2）略 （3）略 7．小明、小亮沿同一路线长跑，小明前路程的平均速度是，后路程的平均速度是（），小亮的全程速度是．设该路线全长为． (1)分别求小明、小亮从起点跑到终点的时间（用含的式子表示）； (2)若小明、小亮同时出发，谁先到达终点？请说明理由． 【答案】(1)；． (2)小亮先到达终点，理由如下： ． ，， ， ，即， ， 小亮先到达终点． 【分析】（1）根据“时间路程速度”进行求解即可； （2）由（1）可进行作差，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：；． （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $