专题 26.14 二次函数复习专题（9）——二次函数动点与几何存在性压轴综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过框架图系统梳理二次函数动点与几何存在性问题的知识体系，将通用解题步骤（定解析式、设动点等六步）和核心模型（等腰、直角三角形等四类）按“步骤-模型”逻辑呈现，突出分类讨论、几何条件转化为坐标关系等重难点。 讲义亮点在于“题型精析+同步检测”的分层设计，如等腰三角形存在性问题通过例题（四川绵阳期末题）及3个变式题递进训练，培养推理能力与模型意识。基础学生可掌握解题步骤，优秀学生能深化分类讨论，教师可据此实施精准复习教学。

专题 26.14 二次函数复习专题（9）——二次函数动点与几何存在性压轴综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 （一）通用解题步骤 1 （二）核心几何存在性模型（必考） 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】等腰三角形存在性压轴问题 3 【题型2】直角三角形存在性压轴问题 10 【题型3】平行四边形存在性压轴问题 17 【题型4】特殊四边形（矩形、菱形、正方形）存在性综合 25 三.同步检测 33 解答题（本大题共10小题，共100分） 33 一.知识梳理 二次函数动点与几何存在性综合题是九年级上册数学中考压轴必考题型，融合二次函数图象性质、平面直角坐标系、动点轨迹、几何图形判定与性质，综合性极强。题型核心为：在抛物线上、对称轴上、直线上设定动点，探究是否存在动点使图形满足特定几何条件，主要包含特殊三角形、特殊四边形、直角、等腰、平行垂直、线段最值与定值等存在性问题。 （一）通用解题步骤 1.定解析式、定定点：先求抛物线、相关直线解析式，求出所有固定点坐标，夯实解题基础； 2.设动点坐标：根据动点所在轨迹设参数坐标，抛物线上动点设 ，对称轴或坐标轴上动点设单参数坐标； 3.几何条件：将“等腰、直角、平行、垂直、平行四边形、菱形、矩形”等几何条件，转化为边长关系、斜率关系、坐标等量关系； 4.列方程求解：根据等量关系列一元二次方程、一次方程，求解参数； 5.验根取舍：结合动点位置、图形存在性、重合情况舍去增根、无效根； 6.分类作答：根据不同几何情况分类讨论，杜绝漏解。 （二）核心几何存在性模型（必考） 1. 等腰三角形存在性（两定一动） 已知两定点，一动点，构成等腰三角形，三分类讨论： 1. ：动点A在以B为圆心、AB为半径的圆上； 2. ：动点C在以A为圆心、AB为半径的圆上； 3. ：动点C在AB的垂直平分线上。 坐标解法：利用两点间距离公式 ，平方去根号列方程。 2. 直角三角形存在性（两定一动） 三分类讨论，分别以三个顶点为直角顶点： 1. 顶点A为直角：，横纵向量乘积为0； 2. 顶点B为直角：； 3. 顶点C为直角：。 快速解法：斜率乘积为 （存在斜率时）或横纵坐标垂直等量关系。 3. 平行四边形存在性（定点+动点） 核心口诀：平行四边形对角线中点重合（中点坐标公式） 若四点 构成平行四边形，分三种对角线组合：AB为对角线、AC为对角线、AD为对角线，利用中点坐标相等列方程求解动点坐标。 4. 矩形、菱形、正方形特殊存在性 1. 矩形：平行四边形+邻边垂直/对角线相等； 2. 菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直； 3. 正方形：兼具矩形和菱形性质。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】等腰三角形存在性压轴问题 【例题1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． （1）请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． （2）观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ （3）设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）根据上述 5 个点描点连线绘制图形如下： （2）， （3）存在，或或或 【分析】（1）取点描点连线即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）当时，列出等式即可求解；当或时，同理可解． （1）解：由抛物线的表达式知，其顶点为：， 抛物线和轴的交点坐标为，， 当时，，当时，， （2）解：∵，则或 ， ∴当时，， 当时，， 故答案为：； （3）解：存在，理由： ， ， 由点的坐标得，， 当时， 则，则，则点； 当或时， 同理可得：或， 则或， 即点或或， 综上，或或或． 【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到两点之间的距离公式，等腰三角形的性质，函数作图，解不等式等，分类求解是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，或 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，两点间距离公式，注意分情况讨论是解题的关键． （1）将代入，求出c的值，可得的解析式；令求出y的值，可得点的坐标； （2）当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上，分两种情况：当点P在y轴上，点P在x轴上，根据，利用两点间距离公式列方程，分别求解． （1）解：将代入，得 解得， ∴二次函数的解析式为 ∵点是二次函数与轴的交点 ∴点的横坐标为0 将代入解析式中，求得， ∴点的坐标为； （2）解：存在．当使得是以为底边的等腰三角形，点P在线段AB的垂直平分线上，分两种情况： ①当点P在y轴上时，， 设 ∵，， ∴， 解得， 此时； ②当点P在x轴上时，， 设， ∵，， ∴， 解得， 此时， 综上所述：，，使得是以为底边的等腰三角形． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． （1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 【变式3】（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标； （3）若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）存在，或；（3）或； 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出的垂直平分线为，与二次函数联立即可求出答案； （3）分两种情况进行求解即可． （1）解：∵抛物线与x轴交于点， 抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 是以为底边的等腰三角形，则点P在的中垂线上， ∵， ∴，而， ∴为等腰直角三角形， ∵的中点为， ∴的垂直平分线为， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵点，， ∴，抛物线的对称轴为直线， 如图，由题意得，设翻折后点和点B对应， 则， ，， ∴， ∴， ∴， 当点M在x轴下方时，根据对称性，则点； 故点M的坐标为：或． 【题型2】直角三角形存在性压轴问题 【例题2】（上册第五章追梦基础训练卷（二））如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． （1）_______，______，点B的坐标为______． （2）是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1），，；（2）存在，P的坐标是或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，对称性求出点坐标即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. （1）解：把和代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为，即； （2）解：存在， 当时，设交轴于点， ∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 联立，解得或， ∴； 当时，则， ∴的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或. 【变式1】（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． （1）求点A、点B的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数综合—特殊三角形问题、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）将解析式化为顶点式可得，再结合抛物线开口向上，与y轴交于B点，即可得解； （2）求出抛物线的解析式为，设，则，，再由勾股定理分情况计算即可得解． （1）解：∵， ∴顶点为， ∴， ∵抛物线开口向上，与y轴交于B点，， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得：，，， ∴，， ∴抛物线的解析式为， 设，则，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 当时，，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时，即； 综上所述，点的坐标为或． 【变式2】（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， （1）求，，三点的坐标及直线的函数解析式． （2）是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，，直线解析式为；（2）；（3）存在，或或或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． （1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）∵点P的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【变式3】（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，待定系数法求二次函数解析式： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，设，则，，，再分点A为直角顶点，点B为直角顶点，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可． （1）解：把，，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 【题型3】平行四边形存在性压轴问题 【例题3】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标； （2）在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； （3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）存在，取最大值，点P的坐标为；（3）存在，点P坐标为或． 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、平行四边形的定义等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分2种情况讨论是解题关键，勿出现漏解． （1）根据待定系数法即可求出解析式，再化为顶点式即可求解； （2）求出直线的解析式，过点E作轴，交于点F，设点E为，则点F为，表示出，再根据表示出即可求解． （3）根据平行四边形的性质求解即可． （1）解：将，，三点代入 可得， 解得：， 故抛物线的解析式为； ∵． ∴抛物线的顶点M的坐标为． （2）解：设直线的解析式为，把点、代入得， 解得：， 得直线的解析式为． 如图，过点E作轴，交于点F， 设点E为，则点F为， ∴． ∴． ∴． ∴当时，取最大值． ∴点E的坐标为． （3）解：∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴或， ∴或， ∴点P坐标为或． 【变式1】（24-25九年级上·广东·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）在直线l上是否存在点M，使得以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出所有符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，取得最大值，最大值为；（3）存在，点坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，平行四边形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由直线：可求出点A的坐标，再将点A，点D的坐标代入抛物线的表达式，即可求解； （2），即可求解； （3）先求出，设点，则，由题意知：，即，解得（舍去），，，，即可得出答案． （1）解：∵直线：过点， ， 又， 将点、的坐标代入抛物线表达式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图： 设点， 轴，轴， 则，， ∵点在直线上方的抛物线上， ，， ， ∴当时，取得最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵是所求平行四边形的一边， ， 设点，则， 由题意知：，即， 化简得：或， 解得：（舍去），，，， 则符合条件的点有三个： ，， 【变式2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在．当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了二次函数与平行四边形的存在性问题，涉及待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，平行四边形的性质等知识点． （1）运用待定系数法即可求解； （2）设点，求出直线的函数表达式为，由平行四边形可得，用代数式表示，再由建立一元二次方程求解． （1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：存在．设点， ， ， 设直线， ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为， 轴，如答案图所示， ， ， ∴要使以为顶点的四边形是平行四边形，只需使即可， 当点M在第一、二，三象限时，， 解得：； 当时，； 当时，， ； 当点M在第四象限时，，此时m无实数解． 综上所述，当点M的坐标为或时，以为顶点的四边形是平行四边形． 【变式3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴； （2）在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的性质． （1）根据二次函数解析式写出对称轴方程即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，分别求解即可． （1）解：∵， ∴对称轴为直线； （2）解：存在， 令，则， 令，则， ， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， 设， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 当为对角线时，则， 解得：， ， 综上所述，P点坐标为或或． 【题型4】特殊四边形（矩形、菱形、正方形）存在性综合 【例题4】（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． （1）①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） （2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）或 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点坐标，对称轴，勾股定理，矩形的性质，解本题的关键是用角平分线得到直线解析式． （1）①令，求出抛物线与轴的交点坐标； ②根据抛物线解析式确定出对称轴，和轴交点坐标； （2）先设出点的坐标，分两种情况计算，利用矩形的对角线互相平分来确定出点的坐标，再用勾股定理计算即可． （1）解：①令，则， 或， ，， ， 故答案为：； ②二次函数， ，对称轴， ， 平分， 点关于轴的对称点，在直线上， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，， 点是抛物线和直线的交点， ． （2）解：设， ，． 以、、、为顶点的四边形是矩形， ①以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去，或， ， ②以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ， （舍去或 ， ③以，为对角线时， ，的中点重合， ， ， ， ， ，此方程无解， 即：存在，或． 【变式1】（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的表达式为：；（2）存在， 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数动点与菱形的存在性的问题． （1）把B、C点坐标代入二次函数解析式即可解出． （2）若四边形是菱形，和相互垂直，P点纵坐标是，代入二次函数表达式即可解得． （1）解：将点B、C的坐标代入中，得： ， 解得：； ∴抛物线：． （2）解：存在．理由如下： 作的垂直平分线交直线下方的抛物线于点P，垂足为点E，如图2，      则． ∵沿翻折，得到四边形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． ∵， ∴点E的坐标为， ∴点P的纵坐标为， 把代入得，解得． ∵点P在直线下方的抛物线上， ∴， ∴满足条件的点P的坐标为． 【变式2】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 【答案】（1）该抛物线的函数表达式为；（2）存在这样的点，此时点的坐标为；（3）当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32 【分析】本题主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质以及函数与坐标轴的交点问题， （1）根据题意可知点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）连接，作轴于点，轴于点，设点的坐标为．则，，，，结合，化解后利用二次函数的性质求得最大值即可． （1）解： 抛物线与轴的负半轴交于点，且， ． 把，，代入中， 得解得 该抛物线的函数表达式为． （2）解：假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点．如图， 四边形为菱形，， ，且， ，即点的纵坐标为． 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在这样的点，此时点的坐标为． （3）解：连接，作轴于点，轴于点，如图， 设点的坐标为． ，，， ，，，， ， 当时，， 此时点的坐标为， 即当点运动到时，四边形的面积最大，四边形的最大面积为32． 【变式3】（2026·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； （3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，矩形的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． （1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，，解得或（舍去）， 则． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， ∵直线的解析式为， ∴设直线的解析式为， 把点代入得， 直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 三.同步检测 解答题（本大题共10小题，共100分） 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）点坐标为 【分析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识． （1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）由题意可知点在线段的垂直平分线上，则可求得点纵坐标，代入抛物线解析式可求得点坐标； （3）过作轴，交轴于点，交直线于点，用点坐标可表示出的长，则可表示出的面积，利用二次函数的性质可求得面积的最大时点的坐标． （1）解：设抛物线解析式为，把，，三点坐标代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：存在，理由如下： 作的垂直平分线，交于点，交下方抛物线于点，如图1， ，此时点即为满足条件的点， ∵， ， 点纵坐标为， 代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或， ∴存在满足条件的点，其坐标为； （3）解：由题意可设， 过作轴于点，交直线于点，如图2， 设直线解析式为，则有： ，解得：， ∴直线解析式为， ， ， ， ∴当时，最大值为8，此时， ∴点坐标为． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． （1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 3．（24-25九年级上·云南普洱·期末）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）点D是抛物线在第一象限上的动点，作轴，交抛物线于另一点E，作点D关于y轴的对称点F，求线段的长； （3）若点D是抛物线的顶点，是否存在实数a，使得是直角三角形？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）当或时，是直角三角形． 【分析】（1）令得到，解方程即可； （2）由，得对称轴为直线，设，则，由点关于轴对称，则，故； （3）先求得和顶点，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． （1）解：当，则， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：由，得对称轴为直线， 设，则由题意得：， ∴， ∵点关于轴对称， ∴， ∴； （3）解：当时，，当时，， ∴，顶点， ∵， ∴，，， ①若，则有， ∴， 解得； ②若，则有， ∴，无解； ③若，则有， ∴， 解得； 综上，当或时，是直角三角形． 【点拨】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题，二次函数的对称性，勾股定理，正确化简计算是解题的关键． 4．（2024·四川自贡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，连接，，，若，求点的坐标； （3）在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，， 【分析】本题考查二次函数与几何综合，注意数形结合，以及分类讨论是解题关键． （1）利用二次函数交点式即可确定函数解析式； （2）连接，将的面积转化为即可； （3）分类讨论：①为直角边；②为直角边，分别构造一线三垂直相似模型，设出点坐标，利用相似性质列式求解即可． （1）解：∵抛物线的图象与轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为=； （2）如图，连接， 设点的坐标为， 当的时，得, 则， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（点在第四象限，故舍）， ∴． （3）设点的坐标为， 如图，当为直角边时， 过点作轴于点， 易得， ∴，即， 化简得， 解得，或（舍）， 故； ②如图，当为直角边时， 过点作轴于点， 易得， ∴，即， 化简得， 解答，或（舍）， 故， 综上，存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．点的坐标为，． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）存在，点的坐标为或或或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，一次函数的图像与性质，平行四边形的判定与性质，三角形的面积，解答本题的关键是分类讨论思想的运用． （1）分别将，代入抛物线解析式与直线的解析式，即可得解； （2）过点作轴，交直线于点，设点，则点，得到，，结合，当t＝2时，取最大值，求得； （3）分两种情况：当是平行四边形的一条边时，当是平行四边形的对角线时，分别解答即可得解． （1）解：将，代入直线得： ， 解得：， 故直线的解析式为：； 将，代入抛物线解析式得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）如图，过点作轴，交直线于点， 由题意设点，则点， ， ， ， 当时，取最大值， 此时； （3）在抛物线：中，令，则；在直线：中，令，则； ，， ， ①当是平行四边形的一条边时，设，则点， 由题意得：，即：， 解得：或或（舍去，此时和重合）， 则点坐标为或或； ②当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为， 设点，则点， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， 的中点即为中点， ，， 解得：或（舍去，此时和重合）， 故点， 综上，点的坐标为或或或． 6．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． （1）写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； （2）求； （3）在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】（1），，；（2）4；（3）存在，或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据函数的性质直接写出对称轴即可，分别令，求出点A，B的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）根据点，点在对称轴上，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进行求解即可． （1）解：∵， ∴对称轴为直线； 当时，，当时，，解得：， ∴，； （2）∵，， ∴， ∴； （3）存在，设， ∵，，， ∴， ∴当时，以为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴或． 7．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，，二次函数的图象过A，两点． （1）求点A，的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点且以为一边的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】（1）在中，令得，令得，即可求得A、的坐标； （2）由可求出，，代入二次函数即得二次函数解析式为； （3）由二次函数可得其对称轴为直线，设，，而与关于直线对称，可得，分情况：当、为对角线时，同理可得；当以、为对角线，同理可得． 解：（1）在中， 令得， 令得，解得， ，； （2）二次函数图象过A、两点， ， 解得， 二次函数解析式为； （3）存在，理由如下： 由二次函数可得其对称轴为直线， 设，，而， 与关于直线对称， ， 、为对角线时，如图：    同理、中点重合，可得， 解得， 当，时，四边形是平行四边形， 由，，可得， 四边形是菱形， 此时； 以、为对角线，如图：    、中点重合，可得， 解得， ，时，四边形是平行四边形， 由，，可得， 四边形是菱形， 此时； 综上所述，的坐标为：或． 【点拨】本题考查二次函数综合应用，掌握待定系数法、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判定及中点坐标、两点间距离公式等知识，分类画出图形，利用对角线互相平分列方程是解题的关键． 8．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； （3）连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点的坐标为，的面积最大；（3）存在，或 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可； （3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案． （1）解：将，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为． （2）设， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴ 当时，的面积最大， ， 此时，点的坐标为，的面积最大值为． （3）存在．如图，设点，交于点E， 若四边形是菱形，连接，则，， ∴， 解得， ∴或 9．（2022·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， （1）若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； （2）抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． （4）在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点的坐标为或或或；（4）存在，点的坐标为或或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； （3）设，运用两点之间距离公式得到，结合勾股定理列式求解即可； （4）设，运用两点之间距离公式得到，根据等腰三角形的定义，分类讨论，由数量关系列式求解即可． （1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴； （3）解：如图所示，设，已知， 当是以为直角的直角三角形时，， ∵，，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴，； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 当是以为直角的直角三角形时，， ∴， 整理得，， 解得：， ∴； 综上，点的坐标为或或或； （4）解：设，已知， ∴，，， 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 整理得，， 解得：， ∴或； 当是以为顶角的等腰三角形时，，则， ∴， 解得：， ∴或； 综上，点的坐标为或或或或． 10．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （4）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在；（3）13.5；（4）存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． （1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点拨】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.14 二次函数复习专题（9）——二次函数动点与几何存在性压轴综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 （一）通用解题步骤 1 （二）核心几何存在性模型（必考） 2 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】等腰三角形存在性压轴问题 3 【题型2】直角三角形存在性压轴问题 4 【题型3】平行四边形存在性压轴问题 6 【题型4】特殊四边形（矩形、菱形、正方形）存在性综合 8 三.同步检测 9 解答题（本大题共10小题，共100分） 9 一.知识梳理 二次函数动点与几何存在性综合题是九年级上册数学中考压轴必考题型，融合二次函数图象性质、平面直角坐标系、动点轨迹、几何图形判定与性质，综合性极强。题型核心为：在抛物线上、对称轴上、直线上设定动点，探究是否存在动点使图形满足特定几何条件，主要包含特殊三角形、特殊四边形、直角、等腰、平行垂直、线段最值与定值等存在性问题。 （一）通用解题步骤 1.定解析式、定定点：先求抛物线、相关直线解析式，求出所有固定点坐标，夯实解题基础； 2.设动点坐标：根据动点所在轨迹设参数坐标，抛物线上动点设 ，对称轴或坐标轴上动点设单参数坐标； 3.几何条件：将“等腰、直角、平行、垂直、平行四边形、菱形、矩形”等几何条件，转化为边长关系、斜率关系、坐标等量关系； 4.列方程求解：根据等量关系列一元二次方程、一次方程，求解参数； 5.验根取舍：结合动点位置、图形存在性、重合情况舍去增根、无效根； 6.分类作答：根据不同几何情况分类讨论，杜绝漏解。 （二）核心几何存在性模型（必考） 1. 等腰三角形存在性（两定一动） 已知两定点，一动点，构成等腰三角形，三分类讨论： 1. ：动点A在以B为圆心、AB为半径的圆上； 2. ：动点C在以A为圆心、AB为半径的圆上； 3. ：动点C在AB的垂直平分线上。 坐标解法：利用两点间距离公式 ，平方去根号列方程。 2. 直角三角形存在性（两定一动） 三分类讨论，分别以三个顶点为直角顶点： 1. 顶点A为直角：，横纵向量乘积为0； 2. 顶点B为直角：； 3. 顶点C为直角：。 快速解法：斜率乘积为 （存在斜率时）或横纵坐标垂直等量关系。 3. 平行四边形存在性（定点+动点） 核心口诀：平行四边形对角线中点重合（中点坐标公式） 若四点 构成平行四边形，分三种对角线组合：AB为对角线、AC为对角线、AD为对角线，利用中点坐标相等列方程求解动点坐标。 4. 矩形、菱形、正方形特殊存在性 1. 矩形：平行四边形+邻边垂直/对角线相等； 2. 菱形：平行四边形+邻边相等/对角线垂直； 3. 正方形：兼具矩形和菱形性质。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】等腰三角形存在性压轴问题 【例题1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）我们知道画函数图像的步骤为列表、描点、连线． （1）请在给定的坐标系中画出二次函数的图象． （2）观察图象，当时，y的范围是________，当时x的范围是________ （3）设二次函数的顶点为M，在x轴上是否存在点P，使三角形是等腰三角形，若存在，请求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·全国·期末）如图，已知二次函数的图像与轴的一个交点为，与轴的交点为，过的直线为． （1）求二次函数的解析式及点的坐标； （2）在两坐标轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 【变式3】（24-25九年级上·新疆昌吉·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线上是否存在一点，使是以为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标； （3）若为抛物线对称轴上的一点，连接，，将沿直线翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点的坐标． 【题型2】直角三角形存在性压轴问题 【例题2】（上册第五章追梦基础训练卷（二））如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标是，点C的坐标是，动点P在抛物线上． （1）_______，______，点B的坐标为______． （2）是否存在点P，使得是以边为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·上海崇明·阶段检测）已知：抛物线开口向上，顶点为A，与y轴交于B点，． （1）求点A、点B的坐标． （2）在抛物线上是否存在一点C，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点， （1）求，，三点的坐标及直线的函数解析式． （2）是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围； （3）设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（2024·宁夏吴忠·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型3】平行四边形存在性压轴问题 【例题3】（24-25九年级下·甘肃武威·阶段检测）如图，抛物线的图象经过，，三点． （1）求抛物线的解析式和顶点M的坐标； （2）在直线下方的抛物线上是否存在一点E，使的面积最大，若存在，求出点E的坐标和的最大面积； （3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点、以为边的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·广东·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； （3）在直线l上是否存在点M，使得以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出所有符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点． （1）求抛物线的表达式； （2）M是抛物线上一点，过点M作y轴的平行线交直线于点N，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式3】（23-24九年级上·江西南昌·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点A，与轴交于点． （1）求抛物线的对称轴； （2）在平面直角坐标系内是否存在一点，使以、A、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4】特殊四边形（矩形、菱形、正方形）存在性综合 【例题4】（2025·江苏无锡·二模）如图，已知二次函数是常数，的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接．点E为该函数图象上一点，平分． （1）①线段的长为_______． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） （2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【变式1】（24-25九年级下·全国·二轮复习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点，点P是直线下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级下·安徽池州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴的负半轴交于点，且，点是直线下方抛物线上的一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在点运动过程中，当四边形的面积最大时，求出此时点的坐标和四边形的最大面积． 【变式3】（2026·四川眉山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； （3）在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 三.同步检测 解答题（本大题共10小题，共100分） 1．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像交坐标轴于，，三点，点P是直线下方抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）是否存在点P，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段检测）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·云南普洱·期末）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C． （1）求A，B两点的坐标； （2）点D是抛物线在第一象限上的动点，作轴，交抛物线于另一点E，作点D关于y轴的对称点F，求线段的长； （3）若点D是抛物线的顶点，是否存在实数a，使得是直角三角形？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由． 4．（2024·四川自贡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的一个动点． （1）求二次函数的解析式； （2）如图1，连接，，，若，求点的坐标； （3）在二次函数的图象上是否存在点，使三角形是以为直角边的直角三角形．若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，，点为抛物线上一动点（不与、重合）． （1）求抛物线和直线的解析式； （2）当点在直线上方的抛物线上时，连接、，当的面积最大时，求点的坐标； （3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（24-25九年级上·河南信阳·阶段检测）如图，已知二次函数的图象与轴交于点A，与y轴交于点B． （1）写出该抛物线的对称轴并求点A，B的坐标； （2）求； （3）在对称轴上是否存在一点P，使以为顶点的四边形为平行四边形？ 7．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于A，，二次函数的图象过A，两点． （1）求点A，的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点且以为一边的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值； （3）连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由． 9．（2026·四川自贡·模拟预测）如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， （1）若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； （2）抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； （3）在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为直角三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． （4）在抛物线的对称轴上的是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出符合条件的点的坐标？若不存在，请说明理由． 10．（2025·山东枣庄·二模）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （4）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $