专题 26.12 二次函数复习专题（7）基础知识专项突破讲与练 - 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理二次函数与一次函数综合的知识体系，涵盖基础解析式、图像特征、核心综合关系（交点与方程组、函数值比较与不等式）及计算模型（铅垂高面积公式等），清晰呈现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，夯实基础题型（如联立求交点、判别式判交点个数）与综合提升题型（含参问题、存在性压轴题）结合，解题技巧具体（如“看图定区间”“铅垂高模型”），培养推理意识和模型意识。同步检测分层设置，助力不同学生提升，为教师精准教学提供支持。

专题 26.12 二次函数复习专题（7）——二次函数与一次函数综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识要点梳理 1 【知识点1】一次函数与二次函数基础解析式与图像 1 【知识点2】两大函数核心综合关系（必考） 2 【知识点3】函数综合常见计算模型 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】联立方程求函数图像交点坐标 2 【题型2】判别式判断函数图像交点个数 3 【题型3】利用图像比较函数值大小（解不等式） 4 【题型4】简单竖直距离最值计算 5 三.题型精析（综合提升） 5 【题型5】函数与几何面积综合计算 6 【题型6】含参函数交点与参数范围问题 7 【题型7】定点、定值综合问题 7 【题型8】线段、面积存在性压轴问题 9 四.同步检测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 一.知识要点梳理 【知识点1】一次函数与二次函数基础解析式与图像 1. 一次函数基本形式：，图像为直线，决定增减性，决定与y轴交点。 2. 二次函数基本形式：一般式，顶点式，交点式；图像为抛物线，决定开口方向与开口大小。 【知识点2】两大函数核心综合关系（必考） 1. 图像交点与方程组的关系 联立一次函数与二次函数解析式：，消去得一元二次方程：。 （1）：方程有两个不相等实数根，两函数图像2个交点； （2）：方程有两个相等实数根，两函数图像1个交点； （3）：方程无实数根，两函数图像无交点。 2. 函数值大小比较与不等式解集 设抛物线，直线，两图像交点横坐标为。 （1）：抛物线图像在直线上方，对应x的取值范围即为不等式解集； （2）：抛物线图像在直线下方，对应x的取值范围即为不等式解集。 核心方法：看图定区间，交点为分界，无需复杂计算，图像直观判断。 【知识点3】函数综合常见计算模型 1. 两点间线段长度：若两交点为，可结合横坐标差、直线斜率求线段长。 2. 直线与抛物线围成图形面积：采用铅垂高、水平宽公式：，是函数面积必考模型。 3. 最值模型：固定区间内，二次函数与一次函数的差值（竖直距离）最值、线段最值、面积最值。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】联立方程求函数图像交点坐标 【例题1】（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【变式1】二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（    ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，，若点的横坐标是，则点的横坐标是_____________． 【变式3】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． （1）利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； （2）连接A、B、C三点，求的面积． 解题技巧：交点问题本质是方程组求解，步骤：联立→消元→解方程→回代求坐标，是所有综合题的基础。 【题型2】判别式判断函数图像交点个数 【例题2】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断该抛物线与轴的交点个数，并说明理由． 【变式1】（2025·辽宁·一模）一次函数与抛物线的交点个数为______个． 【变式2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 解题技巧：交点个数只看联立后一元二次方程的，无需解出具体根，快速判断。 【题型3】利用图像比较函数值大小（解不等式） 【例题3】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【变式2】（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 解题技巧：开口向上，外大里小；开口向下，外小里大，以交点横坐标为分界区间。 【题型4】简单竖直距离最值计算 【例题4】已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏苏州·三模）已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·陕西西安·二模）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【变式3】（2025·陕西西安·三模）已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 解题技巧：竖直线段长度=上方函数-下方函数，转化为二次函数最值问题求解。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】函数与几何面积综合计算 【例题5】（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线第一象限内，连接，， 求的面积的最大值． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【变式3】（24-25九年级下·云南曲靖·期中）如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 解题技巧：函数几何面积优先使用铅垂高模型，规避割补法的复杂运算，适用于所有斜三角形。 【题型6】含参函数交点与参数范围问题 【例题6】（25-26九年级上·山东青岛·期末）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）若二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（    ）. A．且 B．且 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 解题技巧：函数相切、唯一交点问题，转化为一元二次方程判别式为0，建立参数方程求解。 【题型7】定点、定值综合问题 【例题7】（2025·河南周口·一模）如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． 【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（   ） 当时，对称轴为直线． 函数图象与轴必有两个不同的交点． 函数图象必过某一定点． A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期末）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，，且在的左侧． （1）当时，求，的坐标； （2）求证：； （3）过点的直线与平行，与抛物线的对称轴相交于点．当变化时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【变式3】（2026·云南·模拟预测）二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴； （1）若，判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 解题技巧：定点问题核心：分离参数，令参数系数为0，剩余式子恒成立，求解固定坐标。 【题型8】线段、面积存在性压轴问题 【例题8】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·河北承德·期中）如图，抛物线经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图②，点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m． ①请用m的代数式表示的长； ②连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 解题技巧：存在性问题通用步骤：假设存在→列式求解→验证取舍→作答，是中考高频压轴考法。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 2．二次函数（为常数）与轴的交点情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 3．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y=ax2-2ax+3的图象上，当x=1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是（    ） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 5．（2025·山东淄博·一模）若抛物线与直线（为常数）都经过同一定点，则代数式的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 6．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知函数（为常数），不论为何值，该函数的图象都会经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 7．（2026·四川南充·一模）已知点、分别在抛物线、（且）上．若，是一个与无关的定值k时，则k的值为（   ） A． B．3 C． D． 8．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（2026·安徽阜阳·二模）已知和，对于的值取任意实数时均有，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 10．（2026·山东德州·一模）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）当时，直线与抛物线在自变量取值范围内的图象有两个交点，则的取值范围是__． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的对称轴为，若点，，，请比较，，的大小______．（用“<”连接） 13．（2024九年级上·湖南长沙·竞赛）若关于的函数（，且是常数）与直线：（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线l是否总经过某一个定点？若经过某一定点，则该定点的坐标为________． 14．（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数， （1）随着a的取值变化，图象除经过定点，请写出图象经过的另一个定点坐标_________； （2）若抛物线与x轴有交点，过抛物线的顶点与定点作直线，该直线与x轴交于点，且，则a的取值范围为_________． 15．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________． 16．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 17．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 18．（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·广东肇庆·三模）如图，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，连接、．点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标． （2）求证：． （3）如图，平面内有一点，一条不垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点G、H，且满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·安徽合肥·期中）已知抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在y轴上的截距为6． （1）求抛物线的函数解析式． （2）抛物线与抛物线另一个交点为B，P在抛物线上且在之间，Q在抛物线上且在之间．若轴，求的最大值． （3）点与点（，为定值）分别抛物线、上．若（为定值）为定值c，求定值a、b、c． 21．（本小题满分10分）（2026·山东济宁·模拟预测）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过点B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点D，作于点E．设点P的横坐标为m，连接，线段把分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为，求出m的值． 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·河南郑州·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． （1）求点的坐标和抛物线的解析式． （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． （3）点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 23．（本小题满分10分）（2026·北京·三模）已知二次函数（）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 24．（本小题满分12分）（2026·贵州毕节·二模）已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.12 二次函数复习专题（7）——二次函数与一次函数综合（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识要点梳理 1 【知识点1】一次函数与二次函数基础解析式与图像 1 【知识点2】两大函数核心综合关系（必考） 2 【知识点3】函数综合常见计算模型 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型1】联立方程求函数图像交点坐标 2 【题型2】判别式判断函数图像交点个数 5 【题型3】利用图像比较函数值大小（解不等式） 7 【题型4】简单竖直距离最值计算 10 三.题型精析（综合提升） 13 【题型5】函数与几何面积综合计算 13 【题型6】含参函数交点与参数范围问题 18 【题型7】定点、定值综合问题 21 【题型8】线段、面积存在性压轴问题 26 四.同步检测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 34 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 39 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 46 一.知识要点梳理 【知识点1】一次函数与二次函数基础解析式与图像 1. 一次函数基本形式：，图像为直线，决定增减性，决定与y轴交点。 2. 二次函数基本形式：一般式，顶点式，交点式；图像为抛物线，决定开口方向与开口大小。 【知识点2】两大函数核心综合关系（必考） 1. 图像交点与方程组的关系 联立一次函数与二次函数解析式：，消去得一元二次方程：。 （1）：方程有两个不相等实数根，两函数图像2个交点； （2）：方程有两个相等实数根，两函数图像1个交点（相切）； （3）：方程无实数根，两函数图像无交点。 2. 函数值大小比较与不等式解集 设抛物线，直线，两图像交点横坐标为。 （1）：抛物线图像在直线上方，对应x的取值范围即为不等式解集； （2）：抛物线图像在直线下方，对应x的取值范围即为不等式解集。 核心方法：看图定区间，交点为分界，无需复杂计算，图像直观判断。 【知识点3】函数综合常见计算模型 1. 两点间线段长度：若两交点为，可结合横坐标差、直线斜率求线段长。 2. 直线与抛物线围成图形面积：采用铅垂高、水平宽公式：，是函数面积必考模型。 3. 最值模型：固定区间内，二次函数与一次函数的差值（竖直距离）最值、线段最值、面积最值。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】联立方程求函数图像交点坐标 【例题1】（25-26九年级下·山东青岛·开学考试）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标． 【答案】 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组即可． 解：联立方程组， 解得， ∴二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标为． 【变式1】（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）二次函数的图象与一次函数的图象在第一象限的交点坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，联立解析式进行求解即可． 解：联立，得：或； ∴在第一象限的交点坐标为； 故选A． 【变式2】（25-26九年级下·浙江金华·开学考试）已知二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点，，若点的横坐标是，则点的横坐标是_____________． 【答案】4 【分析】将两个函数联立，利用根与系数的关系进行计算． 解：二次函数与一次函数（是常数）的图象交于两个不同的点， ， 整理得， 由根与系数的关系得， 已知点的横坐标是， 则点的横坐标是． 【变式3】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，抛物线的图象与一次函数的图象交于A、B两点，其中A点在x轴上，点C是抛物线和y轴的交点，D点是直线和y轴的交点． （1）利用图中条件，求抛物线的函数关系式和B点坐标； （2）连接A、B、C三点，求的面积． 【答案】（1）；；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，根据交点坐标求不等式的解集． （1）先求出点A的坐标，然后代入抛物线求出抛物线的解析式，最后联立一次函数和抛物线解析式求出点B的坐标即可； （2）先求出点D的坐标，然后根据求出三角形的面积即可； （1）解：把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 联立， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：把代入得， ∴点的坐标为， 把代入得， ∴点D的坐标为， ∴， ∴． 解题技巧：交点问题本质是方程组求解，步骤：联立→消元→解方程→回代求坐标，是所有综合题的基础。 【题型2】判别式判断函数图像交点个数 【例题2】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）已知抛物线经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断该抛物线与轴的交点个数，并说明理由． 【答案】（1）；（2）没有交点，理由见分析 【分析】（1）利用待定系数法确定抛物线解析式即可； （2）根据根的判别式符号来判断该抛物线与x轴的交点个数． （1）解：把代入二次函数， 得， 解得． ∴该抛物线的解析式为； （2）该抛物线与x轴没有交点，理由如下： ∵， ∴该抛物线与x轴没有交点． 【点拨】本题考查的是抛物线与x轴交点，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数解析式，二次函数的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与x轴的交点个数． 【变式1】（2025·辽宁·一模）一次函数与抛物线的交点个数为______个． 【答案】2（或“两”） 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，求出方程的的值，据此即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一次函数和二次函数的交点个数的关系是解题的关键． 解：联立方程组， 化简得， ∴， ∴方程有2个不等的实数根， ∴一次函数与抛物线的交点个数为2个， 故答案为：2． 【变式2】（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式等知识点，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 依据题意，由一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，从而可联立方程，即，再结合题意运用根的判别式列不等式求解即可． 解：∵一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点， ∴联立方程． ∴． ∴． ∴． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知二次函数． （1）求证：无论为何值时，该二次函数的图像与轴都有交点； （2）若该二次函数图像的对称轴为直线，求它与轴的交点坐标． 【答案】（1）证明：∵， ∴ ， ∵无论k为何值时，， ∴， 即无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点． （2） 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，二次函数与x轴的交点问题，二次函数与x轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理，结合无论k为何值时，，即可证明无论k为何值时，该二次函数的图像与x轴都有交点； （2）整理得的对称轴为直线，结合对称轴为直线，得出，再代入，得，然后令则，最后解得，即可作答． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵该二次函数图像的对称轴为直线， ∴， 即， 依题意，令则， ∴， 解得， ∴它与x轴的交点坐标分别为． 解题技巧：交点个数只看联立后一元二次方程的，无需解出具体根，快速判断。 【题型3】利用图像比较函数值大小（解不等式） 【例题3】（2026·江苏无锡·中考真题）如图，二次函数与一次函数的图象交于，两点，已知点，点在轴上，则不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 解：对于二次函数，令，则， ∴二次函数的图象与y轴的交点为， ∵对于一次函数，令，则， ∴一次函数的图象与y轴的交点为， ∵两个图象交于，两点，已知点，点在轴上， ． 则不等式可变形为， 即， ∴有图象可得，它的解集是． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 【变式2】（25-26八年级下·北京海淀·期末）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期末）如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． 解题技巧：开口向上，外大里小；开口向下，外小里大，以交点横坐标为分界区间。 【题型4】简单竖直距离最值计算 【例题4】已知二次函数的图象与x轴没有交点，且过点，，，，则 的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点B和点C的坐标可求出对称轴为直线，则可推出，根据二次函数的图象与x轴没有交点，可得，进而推出，则离对称轴越远，函数值越小，求出A，C，D三点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 解：∵二次函数的图象过点，， ∴对称轴为直线， ∴， ∴； ∵二次函数的图象与x轴没有交点， ∴关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵二次函数的图象过点，，， 且， ∴． 【变式1】（2026·江苏苏州·三模）已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 【变式2】（2026·陕西西安·二模）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先推导出抛物线的对称轴为，由，得到抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，再推导出，点到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，得到点A离对称轴更近，点B离对称轴更远，故，当时，，推导出，，则，即可解答． 解：抛物线的对称轴为， ∴，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴， ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∴， ∴点A离对称轴更近，点B离对称轴更远，故， ∵抛物线的对称轴为，，抛物线开口向上， ∴当时，y随着x的增大而减小，当时，y随着x的增大而增大， ∵当时，，点关于对称轴的对称点的横坐标为， ∴当时，；当时，， ∴当时，， 综上所述，． 【变式3】（2025·陕西西安·三模）已知抛物线的自变量，，对应的函数值分别为，，．当，，时，，，三者之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的抛物线，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，计算各点到对称轴的距离，即可比较函数值大小． 解：∵ 抛物线 中，对称轴为直线 ，且 ，抛物线开口向上， 分别计算三个点到对称轴的距离： ∵ ， ，即 ； ∵ ， ，即 ； ∵ ， ，即 ； ∴  ， 又∵ 开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应函数值越大， ． 解题技巧：竖直线段长度=上方函数-下方函数，转化为二次函数最值问题求解。 三.题型精析（综合提升） 【题型5】函数与几何面积综合计算 【例题5】（2026·辽宁本溪·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，，与轴交于点，若点在第二象限的抛物线上，则的面积为_____． 【答案】 【分析】先求出，对称轴为直线，从而可得点和点关于对称轴对称，轴，求出，即可得出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 解：在中，当时，，即， ∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， ∵点在第二象限的抛物线上，， ∴点和点关于对称轴对称，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【变式1】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线经过、两点，与轴另一交点为，顶点为． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线第一象限内，连接，， 求的面积的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据直线解析式求得点与点坐标，利用待定系数法求解抛物线解析式即可； （2）过作轴交于，设，则， 进而可表示出的长度，根据表示出的面积，然后根据二次函数的性质即可得解． （1）解：对于直线， 令，得， 令，即，解得， 点的坐标，点的坐标， 将点，代入抛物线中得， ，解得， 抛物线解析式为； （2）解：如图，过作轴交于， 设，则， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为． 【变式2】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 【变式3】如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． （1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 解题技巧：函数几何面积优先使用铅垂高模型，规避割补法的复杂运算，适用于所有斜三角形。 【题型6】含参函数交点与参数范围问题 【例题6】（25-26九年级上·山东青岛·期末）已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义及二次函数图象与轴的交点问题，熟练掌握二次函数的定义和利用判别式判断方程根的情况是解题的关键．先明确二次函数的定义，二次项系数不能为；再根据函数图象与轴有交点，可知对应的一元二次方程有实数根，即判别式，联立这两个条件求解的取值范围． 解：函数为二次函数， ，即， 图象与轴有交点， ， ， ， ， ， ， 且， 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·安徽滁州·期末）若二次函数的图象与坐标轴有三个交点，则的取值范围是（    ）. A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及与坐标轴的交点情况．二次函数图象与坐标轴有三个交点，说明其与轴有两个不同交点且不经过原点，需结合根的判别式及过原点的情况分析求解． 解：∵二次函数的图象与坐标轴有三个交点， ∴①该函数图象与轴有两个不同交点， 对于方程，判别式， ∵有两个不同实根， ∴，即， ②该函数图象不经过原点， 当时，，即， ∴要使图象不经过原点，需， 综上，的取值范围是且． 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是________． 【答案】且 【分析】先根据二次函数定义得到二次项系数不为0，再根据有两个交点得到判别式大于0，解不等式即可得到结果． 解：∵是二次函数， ∴，即， ∵二次函数与轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）函数的图像与坐标轴至少有两个交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图像及性质，分两种情况讨论：当时，当时，，即可求解． 解：当时，与x轴有一个交点，与y轴有一个交点； 当时，函数为二次函数，其图像与y轴恒有一个交点， 若要与坐标轴至少有两个交点，则必须与x轴有交点，故，解得， 因此，此种情况下m的取值为且， 综上所述，结合的情况，满足题意的m的取值范围为， 故选：A． 解题技巧：函数相切、唯一交点问题，转化为一元二次方程判别式为0，建立参数方程求解。 【题型7】定点、定值综合问题 【例题7】如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． 【答案】2 【分析】设p（x，x2-1），则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 解：设p（x，x2-1），则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+（x2-1）2=（x2+1）2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． 【点拨】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键． 【变式1】（2025·浙江宁波·模拟预测）关于二次函数（其中）有以下论述，正确的是（   ） 当时，对称轴为直线． 函数图象与轴必有两个不同的交点． 函数图象必过某一定点． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质逐一判断即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线故正确； 令得，， 则， ∵， ∴， ∴函数图象与轴必有两个不同的交点，故正确； ∵， 由得，，， 由得，， 所以当时，， 即函数图象过定点，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·福建三明·期末）已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，，且在的左侧． （1）当时，求，的坐标； （2）求证：； （3）过点的直线与平行，与抛物线的对称轴相交于点．当变化时，直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】（1）；（2）当时，， ， 设，则是方程的两根． 点在的左侧，所以． ． 则， 根据勾股定理，， ． ， ． 是直角三角形． （3）是， 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）当时，，当，得．解得．即可求出，的坐标； （2）求出．即可得到结论； （3）设与轴交于点．由（2）知．证明．得到，即可求出答案． （1）解：当时，， 当，得， 解得， 所以； （2）略 （3）解：直线恒过定点． 理由如下：设与轴交于点． 由（2）知． ， ． 抛物线的对称轴垂直平分，点在对称轴上， ， ． ． ， ． ， ． 即直线恒过定点． 【变式3】（2026·云南·模拟预测）二次函数图像交轴于两点，点为点A右侧图像上一动点，过点作轴于点．点为该函数轴上方图像上一动点（不与点重合），直线交轴于点，连接、．如图，当，轴； （1）若，判断与的数量关系，并说明理由； （2）若，在点、运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），理由如下： 当，时，则二次函数解析式为，， 当时， 解得：或， ∵， ∴，， ∴， ∵轴于点， ∴， ∴， 过点D作轴于F，如图， ∴，， 令，则，解得：，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）是定值， 【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数与x轴交点，待定系数法求一次函数解析式，锐角的正切三角函数，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． （1）过点D作轴于F，分别求出，，，从而求得，，，，则，，即可得出结论； （2）由题意得，，，则，，，又因为对称轴为，即，所以，代入计算即可． 解：（1）略 （2）解：，为定值，理由如下： ，为定值，理由如下： 由（1）得，，， ∴，，， ∵轴， ∴C、D关于对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 解题技巧：定点问题核心：分离参数，令参数系数为0，剩余式子恒成立，求解固定坐标。 【题型8】线段、面积存在性压轴问题 【例题8】（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于，两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使的面积最大？若存在，求出点的坐标和面积的最大值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在使得的周长最小；（3）存在使得面积最大，最大为 【分析】（1）根据题意可知，将点、代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值； （2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，再求与对称轴的交点； （3）设点的坐标，将的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点的坐标． （1）解：将，代入中得， ． 抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接， 由对称性可知， ∴的周长， ∵A、C为定点， ∴为定值， ∴当最小时，的周长最小， ∴当B、C、Q三点共线时，最小，即的周长最小， 在中，当时， 的坐标为， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 在中，当时， ， ∴存在使得的周长最小； （3）解：设，连接， ， ， ∵， 当时，最大， 当时，， 点坐标为， ∴存在使得面积最大，最大为． 【点拨】此题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合． 【变式1】（25-26九年级上·河北承德·期中）如图，抛物线经过三点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图②，点M是线段上的点（不与B，C重合），过M作轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m． ①请用m的代数式表示的长； ②连接，是否存在m，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为，理由见分析；（3）①；②存在m，使的面积最大，，理由见分析 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）在和中，分别利用勾股定理求得的长，根据线段垂直平分线的性质，可得对称轴上的点到线段两端点的距离相等，根据两点之间线段最短，可得答案； （3）①设的解析式为，利用待定系数法求解出的解析式，设M点的坐标为，N点的坐标为，根据轴，可得答案； ②根据三角形的面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案． （1）解：将的坐标分别代入中得： ， 解得， 则抛物线的解析式为； （2）存在点P，使得的周长最小，理由如下： 如图： 在中，， 在中，， 由关于对称得：， 由两点之间线段最短可知：当三点共线时，最小 ， 则在抛物线的对称轴上存在点P，使得的周长最小，周长的最小值为； （3）如图：连接， ①设的解析式为， 将分别代入可得：， 解得， 则的解析式为， 设M点的坐标为，N点的坐标为， 轴， ； ②存在m，使的面积最大，理由如下： ， 则存在m，使的面积最大，且当时，的面积最大． 【点拨】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，平行y轴直线上的两点间的距离，二次函数的最值，勾股定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 【变式2】（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图①，已知二次函数与轴相交于、两点，与轴相交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图②，连结、． ①在对称轴上是否存在一个点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标和此时的周长；若不存在，请说明理由； ②点为抛物线在第四象限内图象上一个动点，是否存在点，使得的面积最大？若存在，请求出点的坐标和此时面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①存在一个点，使的周长最小，，的周长最小值为；②存在，此时面积的最大值为． 【分析】（1）运用待定系数法计算即可． （2）①运用待定系数法计算即可直线为，判定、是对称点，计算当时的函数值即可确定坐标，进而确定最小周长． ②设，过点作交直线于点，则，根据面积法构造二次函数，根据二次函数的最值计算即可． （1）解：∵二次函数与轴相交于、两点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：①存在，点．理由如下： 中，当时，， ∴， 设直线为， 把，代入得， ， 解得，， ∴直线为； ∵抛物线与轴交于、两点，， ∴、关于二次函数对称轴对称， ∴，，， ∴的周长为， 根据两点之间线段最短得，当在直线上时，最短，即的周长最小， ∵直线的解析式为， ∴当时，， ∴点， ∴的周长最小值为； ③存在，设，过点作交直线于点，则， ∵，， ∴， 故当时，取得最大值，且为， 当时，， ∴． ∴存在，此时面积的最大值为． 【点拨】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一次函数的解析式，构造二次函数计算三角形的最值，熟练掌握待定系数法，灵活构造二次函数是解题的关键． 解题技巧：存在性问题通用步骤：假设存在→列式求解→验证取舍→作答，是中考高频压轴考法。 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）二次函数的图象与坐标轴交点的情况是（    ） A．没有交点 B．有一个交点 C．有两个交点 D．有三个交点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，分别求出抛物线与坐标轴的交点坐标即可得出结论． 解：当时，， 解得， 故图象与轴的交点为； 当时，， 故图象与轴的交点为， ∴图象与坐标轴的交点为和，共两个交点， 故选：C． 2．二次函数（为常数）与轴的交点情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，由题意得：，即可求解． 解：由题意得：， 故不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点， 故选：A． 3．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 4．（2024·浙江温州·模拟预测）已知点（-1，y1），（2，y2），（4，y3）都在二次函数y=ax2-2ax+3的图象上，当x=1时，y＜3，则y1，y2，y3的大小比较正确的是（    ） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y2＜y3＜y1 【答案】C 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的对称轴是直线x=1，根据当x=1时，y＜3，得出抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 解：∵y=ax2-2ax+3， ∴图象的对称轴是直线x=-=1， ∵当x=1时，y＜3， ∴抛物线开口向上，x＞1时，y随x的增大而增大， ∴点（-1，y1）关于直线x=1的对称点是（3，y1）， ∵2＜3＜4， ∴y2＜y1＜y3， 故选：C． 【点拨】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 5．（2025·山东淄博·一模）若抛物线与直线（为常数）都经过同一定点，则代数式的值为（   ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线过定点，代数式的值，准确找到定点是解题的关键．把变形得，确定函数过的定点是，从而得到，代入计算即可． 解：把变形得， 所以函数过的定点是， 因为一次函数都经过同一定点， 所以， 所以． 故选：D． 6．（25-26九年级上·云南曲靖·期中）已知函数（为常数），不论为何值，该函数的图象都会经过一个定点，则这个定点的坐标是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数恒过定点的问题，通过分离参数并令其系数为零，是解决此类问题的关键步骤． 由于函数图象恒过定点，即该点坐标使得函数值与参数无关，因此将函数整理为关于的表达式，令的系数为零，求解和． 解：， 欲使的取值与无关，则的系数必为零， ，即． 将 代入，， ∴ 定点坐标为． 故选：A． 7．（2026·四川南充·一模）已知点、分别在抛物线、（且）上．若，是一个与无关的定值k时，则k的值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，易得，，代入整理可得，从而，再根据定值k与无关，可得，即可求出和． 解：∵点在抛物线上，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴，则， ，则， ∴， ∴， ∵k与无关的定值， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，为坐标原点，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算的面积． 解：∵二次函数经过点，，两点纵坐标相等 ∴二次函数的对称轴为直线 ∵对称轴公式为， ∴，解得 又∵二次函数图象与轴只有一个交点 ∴ 解得 ∴二次函数解析式为 将代入解析式，得 ∴，， ∴，原点到直线的距离为 ∴． 9．（2026·安徽阜阳·二模）已知和，对于的值取任意实数时均有，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的函数表达式，根据对于任意实数,恒成立，即该二次函数开口向上、判别式,进而求出的取值范围． 解：， 对于的值取任意实数时均有， 当，即时，，符合题意； 当时，对于的值取任意实数时均有， 需，且， 即，解得， 综上，． 10．（2026·山东德州·一模）已知点，在抛物线上，若，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将A，B两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的表达式，再根据确定的范围并比较大小即可． 解：∵ 点，在抛物线上， ∴ 将代入解析式得， 将代入解析式得， ∵ ， ∴ 对，不等式同乘得，三边加得；对，三边加得， ∴，即． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25九年级上·吉林长春·阶段检测）当时，直线与抛物线在自变量取值范围内的图象有两个交点，则的取值范围是__． 【答案】/ 【分析】有抛物线的顶点式解析式可知抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为，再画出函数的图象，根据直线与抛物线的交点个数，确定的取值范围． 解：∵抛物线， ∴抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点坐标为， 令，则， 令，则，解得：，， ∴抛物线与轴的交点为和，与轴交点为， ∵当时，，当时，， ∴抛物线的图象如图所示： 由图象知：当时，直线与抛物线在内图象有两个交点． 故答案为：． 【点拨】本题考查二次函数的图象与一元二次方程、二次函数的图象与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线的对称轴为，若点，，，请比较，，的大小______．（用“<”连接） 【答案】 【分析】先求出C关于对称轴的对称点，再根据二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 解：设C关于对称轴的对称点为， 则， 解得：， ∴． ∵抛物线图象的开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴． 故答案为：． 【点拨】本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答此题的关键． 13．（2024九年级上·湖南长沙·竞赛）若关于的函数（，且是常数）与直线：（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线l是否总经过某一个定点？若经过某一定点，则该定点的坐标为________． 【答案】 【分析】联立，利用一元二次方程根与系数的关系结合已知求出，进而得到，即可确定经过的定点． 解：联立， ， ，， ， ∴， ∴， ， ，即， ， 当时，， 直线l是必过点． 14．（2025·安徽·模拟预测）已知二次函数， （1）随着a的取值变化，图象除经过定点，请写出图象经过的另一个定点坐标_________； （2）若抛物线与x轴有交点，过抛物线的顶点与定点作直线，该直线与x轴交于点，且，则a的取值范围为_________． 【答案】 或 【分析】（1）根据二次函数的对称性进行解答即可； （2）由抛物线与x轴有交点得出，解得或，求得过抛物线的顶点与定点的直线解析式，进一步求得与x轴的交点为，即可得出，当时，，即时，，即，即可得出结论． 解：（1）二次函数的对称轴为， 由二次函数图象过点，对称轴为，因此二次函数的图象过点， 故答案为：； （2）∵抛物线与x轴有交点， ∴， ∴或， ∵， ∴抛物线的顶点为， 设过抛物线的顶点与定点的直线为， 代入得，， ∴， ∴过顶点与定点的直线为， 令，则， ∴与x轴的交点为， ∵该直线与x轴交于点，且， ∴， ∴当时，，即； 当时，，即， ∴； 综上：或． 【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，求得过顶点与定点的直线x轴的交点为是解题的关键． 15．（24-25九年级上·河南周口·期末）如图，已知A，B，C是函数图象上的动点，且三点的横坐标依次为，，．小华用软件GeoGebra对△ABC的几何特征进行了探究，发现△ABC的面积是个定值，则这个定值为__________． 【答案】1 【分析】作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，求得A、B、C的坐标，即可求得AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1，然后根据S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC求得△ABC的面积是定值1． 解：如图，作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F， ∵A，B，C三点的横坐标依次为a+1，a，a-1， ∴AD=（a+1）2=a2+2a+1，BE=a2，CF=（a-1）2=a2-2a+1， ∴S△ABC=S梯形ADFC-S梯形ADEB-S梯形BEFC =（a2+2a+1+a2-2a+1）×2-（a2+2a+1+a2）×1-（a2+a2-2a+1）×1 =1； ∴△ABC的面积是个定值，这个定值为1． 故答案为：1． 【点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，梯形的性质以及梯形的面积．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用． 16．（2026·辽宁抚顺·一模）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点．现有下列说法：①；②；③的解集是；④（为任意实数）．其中正确的是___________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴，，再根据对称轴可得，由此可判断说法①；将对称轴进行化简得到，代入二次函数中，即，将点代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点，结合图象得到当，，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 解：∵由图可知，开口向下，即，对称轴在轴右侧，即，与轴交于正半轴，即， ∴，故①符合题意； ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴二次函数可化简为， ∵二次函数经过点， ∴将代入，得，即，故②符合题意； ∵二次函数对称轴为直线，且经过点， ∴与轴另一个交点为，即， ∴由图象可知的解集为，故③符合题意； ∵由图可知，开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值， ∵假设（为任意实数），即， ∴，即， ∵当，，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意； 综上，符合题意的有：①②③． 17．（24-25九年级下·吉林长春·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线：，若为抛物线上三点，且．则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】直接根据给定的函数值大小关系列不等式求解即可． 解：为抛物线上三点， ∴， ， ， 又∵， ∴， 解得： ． 18．（2026·重庆綦江·二模）如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是__________． 【答案】或 解：∵， ∴， ∴不等式的解集是或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2026·广东肇庆·三模）如图，已知抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，连接、．点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标． （2）求证：． （3）如图，平面内有一点，一条不垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点G、H，且满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】（1），；（2）证明：当时，得． 解得，， ， ，，， ，， ， 是直角三角形，， 即． （3）是， 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）由题意易得，则有，，，然后可得，进而问题可求证； （3）分别过点G，H作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，K，由题意可设直线的解析式为，，，则，，联立函数解析式可得，则根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，然后可得，则有，进而可得，最后问题可求解． （1）解：抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点． 将点A，点C的坐标分别代入得：， 解得 抛物线的解析式为． ∴对称轴为直线， 将代入中得：， 顶点D的坐标为． （2）略 （3）解：是．理由如下： 如图，分别过点G，H作抛物线对称轴的垂线，垂足为N，K， 设直线的解析式为，，，则，， 联立， 消去，整理得， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：，． ，，， ， ， ， ． ，， ， 即． ， 即． 直线l不垂直于y轴， ， ， ， 将代入直线得： ， 当时，， 直线l过定点． 20．（本小题满分8分）（25-26九年级下·安徽合肥·期中）已知抛物线，抛物线的顶点在抛物线上，且在y轴上的截距为6． （1）求抛物线的函数解析式． （2）抛物线与抛物线另一个交点为B，P在抛物线上且在之间，Q在抛物线上且在之间．若轴，求的最大值． （3）点与点（，为定值）分别抛物线、上．若（为定值）为定值c，求定值a、b、c． 【答案】（1）；（2）8；（3），， 【分析】（1）先求得点，设抛物线的解析式为，根据在y轴上的截距为6即可求解； （2）联立与的解析式求得交点坐标，设，则，表示出，利用二次函数的最值即可求解； （3）将点的坐标代入解析式可得，，结合，可得，根据对任意恒成立即可求解． （1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线在y轴上的截距为6，即抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为，即． （2）解：联立与的解析式得， 解得，， ∴， 设， ∵轴，Q在抛物线上， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，取得最大值，最大值为8． （3）解：点与点（，为定值）分别抛物线、上， ∴，， ∴，即， ∵， ∴，代入上式得， ∴， ∵该式对任意恒成立， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴， ∴，，． 21．（本小题满分10分）（2026·山东济宁·模拟预测）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过点B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线于点D，作于点E．设点P的横坐标为m，连接，线段把分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为，求出m的值． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）或 【分析】（1）首先根据直线确定，再利用待定系数法求解析式即可； （2）首先确定，根据点P的横坐标为m，得到，，继而得到，，求解即可； （1）解：令，解得， 令，解得， ∴， 把点代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， ∵点P的横坐标为m， ， ， ， ， ， ， 根据题意，得线段把分成的两个三角形的面积比为， 故 或， 解得或； 22．（本小题满分10分）（24-25九年级下·河南郑州·开学考试）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点、． （1）求点的坐标和抛物线的解析式． （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差是一个定值，请求出的取值范围． （3）点为直线上一动点，将点向上平移两个单位长度得到点．若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）先利用点求出直线的解析式，再求出点，最后使用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）分为，和三类讨论，结合抛物线的增减性求出每种情况的最大值和最小值，判断两数之差是否为定值即可； （3）根据题意，点，，结合线段与抛物线有一个公共点可得不等式组，求解即可． （1）解：将点代入，得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越近，函数值越大， ①当时， ∴在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值； 不是定值，不符合题意； ②当时， ∴抛物线在顶点处取得最大值，即当时，取得最大值， ∵， ∴当时，取得最小值， 为定值，符合题意； ③当时， 同理，当时，取得最大值；当时，取得最小值； 不是定值，不符合题意； 综上所述，的取值范围为； （3）解：根据题意，点的坐标为， ∵点向上平移两个单位长度得到点， ∴点的坐标为， ∵线段与抛物线只有一个公共点， ∴， 由①得， 由②得或， ∴点的横坐标的取值范围为或． 23．（本小题满分10分）（2026·北京·三模）已知二次函数（）． （1）求该函数图象的顶点坐标； （2）①若函数的图象与x轴有公共点，直接写出a的取值范围； ②若该函数的图象与x轴有两个公共点，，点A在点B的左侧且，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）①或；②或 【分析】（1）将函数表达式化为顶点式，即可求解； （2）①由函数的图象与x轴有公共点，可得，即可求解； ②由函数的图象与x轴有两个公共点，可得 或 ，再分别计算即可求解． （1）解：∵， ∴该函数图象的顶点坐标为． （2）解：①∵函数的图象与x轴有公共点， ∴， 令， 当 时，， 解得，， ∴的解集是或， ∵ ， ∴a的取值范围为或． ②∵函数的图象与x轴有两个公共点， ∴， 则由①可知，或， 当 时，图象开口向上，对称轴为， ∵函数的图象与x轴有两个公共点，，，对称轴在之间， ∴当 时，， 解得， 当时，， 解得， ∴； 当时，图象开口向下， 同理可得， 解得， ∴； 综上所述，a的取值范围为或． 24．（本小题满分12分）（2026·贵州毕节·二模）已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可； （2）过点D作轴交直线于点Q，设，则， ，根据题意，得，得到 ，解答即可． （3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合解方程求解即可； （1）解：∵抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为，， ∴， ∴， ∴抛物线的图象经过点， ∴, 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，整理，得， 解得， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 过点D作轴交直线于点Q， 设，则， 则， ，，， ， 根据题意，得 ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，四边形的面积最大，且最大值为． （3）解：过点C作，交抛物线于点， 在点A的左边截取，连接，则四边形是以AC为一边的平行四边形， ， ， ， ， 解得， 当时，此时为点，不符合要求； 当时，此时为点，符合要求； 作点C关于x轴的对称点Q，则，， 过点Q作，交抛物线于点，，如图所示，连接交x轴于点H， ∴， ∴， ∴， 在点A的右边截取，连接，则四边形是以AC为一边的平行四边形； ， ， ， ， 解得， 解得，； 当时，不符合要求，舍去； 当时，此时为点，符合要求； 如图所示，过点作轴于点G，在上截取， 根据题意，得， 在和中 ∵， ∴， ∴， ， ， ， 则四边形是以AC为一边的平行四边形； ， ， ， ， 解得， 解得，； 当时，不符合要求，舍去； 当时，此时为点，符合要求； 综上所述，符合要求的点为或或； 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $