专题 2.7 探索勾股定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦勾股定理核心知识点，从定理推导、内容及变式公式切入，明确适用条件，衔接逆定理判定直角三角形，梳理勾股数及四大应用场景，汇总易错点，构建从概念到应用再到综合提升的学习支架。 资料特色在于知识梳理精准，题型分层设计，基础题夯实计算与判定能力，综合题结合折叠、最短路径等培养几何直观与创新意识。实际应用题如风筝高度计算体现数学建模，易错点汇总助力规范思维，课中辅助教学，课后检测查漏补缺。

专题 2.7 探索勾股定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理 2 【知识点二】勾股数 2 【知识点三】勾股定理四大应用场景 2 【知识点四】全章易错点汇总 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 3 【题型 2】利用逆定理判定直角三角形 5 【题型 3】勾股定理的证明 5 【题型 4】勾股定理的应用 6 四.题型精析（综合提升） 8 【题型 5】勾股数及其规律探究 8 【题型 6】勾股定理与折叠问题 8 【题型 7】勾股定理综合应用 9 五.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 14 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 16 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解勾股定理的推导过程，精准掌握勾股定理内容及变式公式，明确定理适用条件。 2. 熟练掌握勾股定理逆定理，能利用三角形三边关系判定直角三角形。 3. 熟记常见勾股数，区分勾股定理与逆定理的逻辑关系和适用场景。 4. 学会构造直角三角形，运用勾股定理解决几何计算、证明及生活实际应用题。 （二）重难点 重点：勾股定理的理解与边长计算；勾股定理逆定理判定直角三角形；常见勾股数的应用。 难点：勾股定理的灵活变式计算；复杂图形中构造直角三角形；勾股定理实际建模解题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理 1. 勾股定理（由形得数） 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边长为，斜边长为，则：。 变式公式：，， 适用条件：仅直角三角形，用于已知两边求第三边。 2. 勾股定理的逆定理（由数判形） 在△ABC中，三边长，若，则△ABC为直角三角形，且边所对的角为直角。 三角形形状拓展判定（选择填空秒杀） 1. → 直角三角形 2. → 锐角三角形（为最长边） 3. → 钝角三角形（为最长边） 【知识点二】勾股数 定义：满足勾股定理的三个正整数，小数、分数不属于勾股数。 常用基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41 核心性质：一组勾股数的所有正整数倍，仍然是勾股数。 【知识点三】勾股定理四大应用场景 1. 几何计算：直角三角形边长、高、周长、面积求解； 2. 图形判定：利用三边关系判定直角三角形、线段垂直； 3. 实际应用：梯子滑动、水池芦苇、建筑垂直检测等生活建模问题； 4. 最短路径：平面将军饮马模型、立体图形（圆柱、长方体）展开最短路径。 【知识点四】全章易错点汇总 1. 未区分直角边和斜边，乱用公式，计算前未找最长边； 2. 已知直角三角形两边，未分类讨论（两直角边/一直角边一斜边）； 3. 误将小数、分数组合判定为勾股数； 4. 折叠问题遗漏折叠前后线段相等、角相等的核心性质； 5. 长方体最短路径未分类讨论，直接默认一种展开方式； 6. 实际问题解方程后保留负数解，不符合实际意义。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 【例题1】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，，，．求的值． 【答案】 【分析】在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，， ， 在中，． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求的长． 【详解】解：由勾股定理得， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的底边长为_____． 【答案】16 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质求得底边的一半，从而求得底边长． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm， ∴底边的一半为， ∴底边长为． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 【题型 2】利用逆定理判定直角三角形 【例题2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，点O在的内部，且，，，，． （1）求的长． （2）求证：是直角三角形． 【变式1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，则的面积是___________． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是上的高，平分，已知，，． （1）求证：是直角三角形． （2）求的长． 【题型 3】勾股定理的证明 【例题3】（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）勾股定理是证明方法最多的数学定理之一． 如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有______（填“＞”或“＜”或“”） 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再作，交的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理． 【题型 4】勾股定理的应用 【例题4】（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【变式1】（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【变式3】（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． （1）求旗杆从距地面多高处折断； （2）工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】勾股数及其规律探究 【例题5】（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； （2）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（     ） A．4，5，6 B．，2， C．1，，2 D．7，24，25 【变式2】（2026·河南新乡·一模）杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． （1）任写一组勾股数满足第一类形式为________； （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 【题型 6】勾股定理与折叠问题 【例题6】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． （1）证明：； （2）求的长． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求线段的长． 【题型 7】勾股定理综合应用 【例题7】（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． （1）【数学知识】若，，，求证：； （2）【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【变式2】（25-26七年级下·北京·期中）阅读理解： （1）学习了实数这一章后，我们可以用折纸的方法研究纸的边长之间的关系，将纸按下图所示的方式折叠，可以得到纸的长与宽的比例关系，请你观察图片，写出纸长：宽=___________；已知纸的宽是1米，则纸的面积是___________平方米． （2）按照国际标准，B系列纸为长方形，将纸沿长边对折、裁开便成纸；将纸沿长边对折、裁开便成纸，将纸沿长边对折、裁开便成纸……按照这样的规律，纸的面积是___________平方米． 【变式3】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 （1）如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 （3）n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 3．（2026·广西柳州·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 4．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·北京·期末）方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 6．（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 8．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是边的中点，是边上一点，且，若，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 10．（25-26八年级下·河南新乡·阶段检测）如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且．得，…，依此方法继续作下去，得（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若是一组勾股数，则整数的值为___________． 12．（25-26八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 13．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点D作的平行线，交于点E．若，，则的长为_________． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 16．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在四边形中，，，，，在边上存在点E，使得是以为底边的等腰三角形．设，，（x，y都是自然数），请写出满足条件的数对________． 17．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，角平分线，相交于点，则点到的距离为_______________． 18．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，于点，是边的中点，若． （1）的度数为________； （2）的值为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）中，，若，，D为的中点，求的长． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·安徽六安·阶段检测）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． （1）小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； （2）为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， （1）要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； （2）请尝试验证勾股定理． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： （1）初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； （2）在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长； （3）求图中阴影部分的面积． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）在学习了三角形的知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形构造后的线段之间的关系进行了探究． （一）尝试探究 在中，，，点为的中点． （1）如图1，若点E，F分别为边，上的点，且，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若点在边上，点M，F分别在，的延长线上，且，求证：； （二）应用拓展 （3）如图3，在四边形中，，，，若，，请直接写出的长 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.7 探索勾股定理（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.学习目标与重难点 1 （一）学习目标 1 （二）重难点 2 二.知识梳理与解读 2 【知识点一】勾股定理 2 【知识点二】勾股数 2 【知识点三】勾股定理四大应用场景 2 【知识点四】全章易错点汇总 3 三.题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 3 【题型 2】利用逆定理判定直角三角形 5 【题型 3】勾股定理的证明 7 【题型 4】勾股定理的应用 11 四.题型精析（综合提升） 14 【题型 5】勾股数及其规律探究 14 【题型 6】勾股定理与折叠问题 17 【题型 7】勾股定理综合应用 21 五.同步检测 25 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 25 （二） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 31 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 37 一.学习目标与重难点 （一）学习目标 1. 理解勾股定理的推导过程，精准掌握勾股定理内容及变式公式，明确定理适用条件。 2. 熟练掌握勾股定理逆定理，能利用三角形三边关系判定直角三角形。 3. 熟记常见勾股数，区分勾股定理与逆定理的逻辑关系和适用场景。 4. 学会构造直角三角形，运用勾股定理解决几何计算、证明及生活实际应用题。 （二）重难点 重点：勾股定理的理解与边长计算；勾股定理逆定理判定直角三角形；常见勾股数的应用。 难点：勾股定理的灵活变式计算；复杂图形中构造直角三角形；勾股定理实际建模解题。 二.知识梳理与解读 【知识点一】勾股定理 1. 勾股定理（由形得数） 在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边长为，斜边长为，则：。 变式公式：，， 适用条件：仅直角三角形，用于已知两边求第三边。 2. 勾股定理的逆定理（由数判形） 在△ABC中，三边长，若，则△ABC为直角三角形，且边所对的角为直角。 三角形形状拓展判定（选择填空秒杀） 1. → 直角三角形 2. → 锐角三角形（为最长边） 3. → 钝角三角形（为最长边） 【知识点二】勾股数 定义：满足勾股定理的三个正整数，小数、分数不属于勾股数。 常用基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41 核心性质：一组勾股数的所有正整数倍，仍然是勾股数。 【知识点三】勾股定理四大应用场景 1. 几何计算：直角三角形边长、高、周长、面积求解； 2. 图形判定：利用三边关系判定直角三角形、线段垂直； 3. 实际应用：梯子滑动、水池芦苇、建筑垂直检测等生活建模问题； 4. 最短路径：平面将军饮马模型、立体图形（圆柱、长方体）展开最短路径。 【知识点四】全章易错点汇总 1. 未区分直角边和斜边，乱用公式，计算前未找最长边； 2. 已知直角三角形两边，未分类讨论（两直角边/一直角边一斜边）； 3. 误将小数、分数组合判定为勾股数； 4. 折叠问题遗漏折叠前后线段相等、角相等的核心性质； 5. 长方体最短路径未分类讨论，直接默认一种展开方式； 6. 实际问题解方程后保留负数解，不符合实际意义。 三.题型精析（基础夯实） 【题型 1】直接利用勾股定理求边长 【例题1】（25-26八年级下·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，，，．求的值． 【答案】 【分析】在中，利用勾股定理求出，再在中，利用勾股定理求解即可． 解：， ， 在中，，， ， 在中，． 【变式1】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图，在中，，，，则斜边上的中线的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求的长． 解：由勾股定理得， ∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·甘肃陇南·期末）已知等腰三角形的腰长为，底边上的中线长为，则它的底边长为_____． 【答案】16 【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质求得底边的一半，从而求得底边长． 解：∵等腰三角形的腰长为17cm，底边上的中线长为15cm， ∴底边的一半为， ∴底边长为． 【变式3】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求解，进一步可得答案． 解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 【题型 2】利用逆定理判定直角三角形 【例题2】（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）如图，点O在的内部，且，，，，． （1）求的长． （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明：，，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形． （1）解：在中，，， 由勾股定理得． （2）略 【变式1】（25-26八年级下·山东滨州·期末）若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题已知直角三角形的两边长，未明确是直角边还是斜边，因此需要分类讨论，利用勾股定理计算的值． 解：分两种情况讨论： 情况一：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 情况二：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 综上，的值为或． 【变式2】（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，再利用直角三角形面积公式求解即可． 解：，，， ，， ， 是直角三角形，且 ， ． 【变式3】（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）如图，在中，是上的高，平分，已知，，． （1）求证：是直角三角形． （2）求的长． 【答案】（1）证明：是上的高， ． 在中，， 在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2）． 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及角平分线的性质． （1）根据勾股定理可知，即可求出的值，当时，根据勾股定理逆定理即可求证是直角三角形； （2）利用角平分线的性质可知，根据三角形面积得出，即可求出的值． 解：（1）略； （2）如图，过点作于点． 平分，由（1）得， ， ， ， ， ． 【题型 3】勾股定理的证明 【例题3】（25-26八年级下·四川自贡·阶段检测）勾股定理是证明方法最多的数学定理之一． 如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证： 【答案】见解析 【分析】利用梯形的面积进行证明即可． 解：证明：根据梯形的面积可得，， 整理得， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形面积的不同表示方法建立等式，看能否推导出，若不能则符合题意． 解：A、大正方形的面积边长为的正方形面积边长为的正方形面积个长宽分别为、的长方形面积， ，该式属于完全平方公式， 图中不涉及斜边，不能用来证明勾股定理，符合题意； B、梯形面积3个三角形面积之和， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； C、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意； D、大正方形面积中间小正方形面积个直角三角形面积， ， 整理得， 能证明勾股定理，不符合题意． 故选A． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，直线l上有三个边长分别为a，b，c的正方形，则有______（填“＞”或“＜”或“”） 【答案】 【分析】证，推出，则，再证，代入求出即可． 解：如图， ∵正方形a，c的边长分别为a和c， ∴，， 由正方形的性质得：，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴正方形b的面积为， 即， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质，证明是解题的关键． 【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，以的斜边为直角边作等腰直角三角形，再作，交的延长线于点E．请利用面积相等证明勾股定理． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查勾股定理的证明，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理的证明解答即可． 解：证明：， 是直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ，， ， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是梯形， 梯形中，，， ， 等腰直角三角形中，， ， ，， ， ， ． 【题型 4】勾股定理的应用 【例题4】（25-26八年级下·安徽六安·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为16米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为34米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想要风筝沿方向下降18米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）风筝的高度为31.7米；（2）他应该往回收线14米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得出结论． （1）解：在中， 由勾股定理得，，    米（负值舍去）， （米）， 答：风筝的高度为31.7米． （2）解：由题意得，米， 米， （米），    （米）， 他应该往回收线米． 【变式1】（24-25八年级上·广东茂名·期中）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解此题的关键． 先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可得解， 解：根据题意得 在中，，， ， ∴， 在中，，， ， ∴， ∴底部边缘A处与C之间的距离的长为． 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行________米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，掌握根据题意画出对应的图形是解题的关键． 先画出几何图形，然后求出直角边，用勾股定理计算求解． 解：如图，设大树高为，小树高为，过C点作，连接， 根据题意，可知四边形是矩形， ，， ， 根据勾股定理可得， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·四川德阳·期中）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． （1）求旗杆从距地面多高处折断； （2）工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】（1）；（2）周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． （1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 四.题型精析（综合提升） 【题型 5】勾股数及其规律探究 【例题5】（25-26八年级下·广东中山·期中）阅读理解并解答问题 如果、、为正整数，且满足 那么，、、叫做一组勾股数． （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么是一组勾股数； （2）如果表示大于1的整数，且，，，请你根据勾股数的意思，说明、、为勾股数． 【答案】（1）∵都是正整数， 且，， ∴， ∴是一组勾股数； （2）∵表示大于1的整数， ∴，，都是正整数， ∵，， ∴， ∴、、是一组勾股数． 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）得到即可得到这是一组勾股数． （1）解：略； （2）解：略． 【变式1】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列各组数中，是“勾股数”的一组是（     ） A．4，5，6 B．，2， C．1，，2 D．7，24，25 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义，勾股数是满足两较小数平方和等于最大数平方的三个正整数，据此逐一判断即可． 解：首先，勾股数要求三个数均为正整数，选项B中含有小数，选项C中含有无理数，因此B，C不符合题意； 对选项A：∵ ，，，∴ A不是勾股数． 对选项D：∵ ，，∴ ，且7，24，25均为正整数，∴ D是勾股数． 【变式2】（2026·河南新乡·一模）杨老师在讲勾股数时，在黑板上写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】12， 35， 37 【分析】观察已知各组勾股数，总结各位置数字的变化规律，根据规律推导第⑤组勾股数，再验证是否满足勾股定理. 解：观察已知勾股数： 第①组：3，4，5 第②组：6，8，10 第③组：8，15，17 第④组：10，24，26 总结规律可得：从第②组开始，每组第一个数依次增加，因此第⑤组第一个数为 ， 对从第②组开始的勾股数，设第一个数为，可得第二个数为，第三个数为，验证规律： 当，对应第②组，， ， ，符合， 当，对应第③组，， ， ，符合， 当，对应第④组，，， ，符合， 因此第⑤组对应，计算得： ， ， ， 验证：，满足勾股数定义． 【变式3】（2026·安徽合肥·一模）能构成直角三角形三边长的三个正整数a，b，c称为勾股数，a，b，c满足，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》．观察下列勾股数： 第一类：，，，． 第二类：，，，． （1）任写一组勾股数满足第一类形式为________； （2）假设第二类每组勾股数第一个数记为m，用含有m式子表示这组勾股数________，并证明你的猜想． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）解：可猜想：第二类每组勾股数的第一个数为偶数，记为m，则． 证明：， ， ∴， m为偶数，且，故和为正整数， ∴是一组勾股数． 【分析】（1）根据第一类每组勾股数的三个数之间的规律可得答案； （2）根据第二类每组勾股数的变化规律，猜想并证明即可． （1）解：取第一个数为11，第二个数为60，第三个数为61， ∵，， ∴， 故一组勾股数满足第一类形式为（答案不唯一）； （2）略 【题型 6】勾股定理与折叠问题 【例题6】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． （1）证明：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 解：（1）证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； （2）解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在直角三角形中，，，，折叠的一角，使点B与点A重合，展开后得折痕，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据折叠的性质，设，则，再根据勾股定理，列出方程求解即可． 解：连接， 设，则， 由折叠知，， 在中，，， ，则， ， 则的长是． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【答案】10 【分析】根据折叠的性质可得，由长方形的性质可得，从而得到，结合已知比例关系用表示出，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可 ． 解：由折叠的性质得，， ∵四边形是长方形 ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（已舍去负值）． 【变式3】（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得，， ， ， 是等腰三角形； （2）3 【分析】（1）由折叠和平行线的性质得到，进而证明即可； （2）由折叠得，，，设，则，然后根据勾股定理求解． 解：（1）略 （2）解：由折叠得，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得， ． 【题型 7】勾股定理综合应用 【例题7】（25-26八年级下·广东肇庆·期末）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． （1）【数学知识】若，，，求证：； （2）【学以致用】如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵为边上的高， ∴， ∴，， ∵，， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 【分析】（1）先利用勾股定理求得，，然后求得，则；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·河北沧州·期末）某班数学小组到十四中平坦的操场上测量旗杆的高度，信息如下： ①如图：绳子一端系在旗杆顶端处，甲同学拉直绳子退至离旗杆3.5米（米）的点处，此时手上的绳子还剩0.5米； ②甲同学继续往后退1.5米（米）到达点，此时手上的绳子刚好用完； ③甲同学拉绳子的手到地的距离始终是1.6米； 则旗杆的高度为（     ） A．12米 B．12.6米 C．13米 D．13.6米 【答案】D 【分析】由题意可得米，米，米，则米，设绳子的长度为米，则米，米，再结合勾股定理计算即可得出结果． 解：由题意可得：米，米，米， ∴米， 设绳子的长度为米，则米，米， 由勾股定理得，， ∴， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为米． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期中）阅读理解： （1）学习了实数这一章后，我们可以用折纸的方法研究纸的边长之间的关系，将纸按下图所示的方式折叠，可以得到纸的长与宽的比例关系，请你观察图片，写出纸长：宽=___________；已知纸的宽是1米，则纸的面积是___________平方米． （2）按照国际标准，B系列纸为长方形，将纸沿长边对折、裁开便成纸；将纸沿长边对折、裁开便成纸，将纸沿长边对折、裁开便成纸……按照这样的规律，纸的面积是___________平方米． 【答案】（1）；；（2）/ 【分析】（1）① 设纸的长为a，宽为b，根据折叠形成的等腰直角三角形及由勾股定理求解即可； ② 已知纸的宽米，则长米，再根据长方形的面积公式求解即可． （2）观察图形，可知每次对折后，面积变为原来的，从到共对折5次，即可解答． （1）解：① 设纸的长为a，宽为b．根据折叠形成的等腰直角三角形，由勾股定理得： ， ， 因此长与宽的比为． ② 已知纸的宽米，则长米，纸面积为：（平方米）． （2）解：观察图形，可知每次对折后，面积变为原来的，从到共对折5次，因此： （平方米）． 【变式3】（2024·浙江嘉兴·模拟预测）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想． 【理解】 （1）如图1，两个边长分别为、、的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论； （2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：______． 【运用】 （3）n边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图，最多可以剪得个这样的三角形，所以． 当，时，如图，______；当，______时，； 对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得______用含、的代数式表示）． 【答案】（1），，结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方；（2）；（3）①，；② 【分析】（1）用两种方法表示出梯形的面积，从而得出，即可得出结论； （2）由图可得行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为，按斜线计数每线棋子分别为，，，，，，，，，，，，，由两种方法的棋子数相等得出答案； （3）根据画出图形探究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加部分，即可得出结论． （1）解：由图形可得，， ∴， ∴， ∴， 结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）解：行列的棋子排成一个正方形，棋子个数为， 按下图的斜线的棋子数相加得， ∴； （3）解：当，时，如图，； 当，时，； 个三角形，共条边，其中边形的每边都只使用一次，其他边各使用两次，故边形内部共有条线段； 边形内部有个点时，其内部共有条线段，共分成个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，故边形内部有个点时，其内部共有条线段； 由， 化简得． 五.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，、两地的距离为，、两地的距离为，，则、两地的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：由题意得， ∵ ∴ ∴、两地的距离为． 2．（25-26八年级下·云南普洱·期中）如图，在中，，分别以，为边作正方形．若，正方形的面积为，则正方形的面积为（   ） A．27 B．24 C．21 D．15 【答案】A 【分析】根据正方形的面积为可得，再在中利用勾股定理求出的值，即为正方形的面积． 解：∵四边形为正方形，且面积为， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴正方形的面积为． 3．（2026·广西柳州·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（     ） A．12 B．13 C．14 D．21 【答案】B 【分析】根据图形特征，小正方形的边长为直角三角形两直角边之差，即为，大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即，结合已知条件利用完全平方公式建立方程组求解即可． 解：由图可知，中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 ， 即①， ， ②， 得 ， ， 大正方形的边长为直角三角形的斜边， 大正方形的面积为直角三角形斜边的平方即， 4．（25-26八年级下·山西大同·期末）如图．点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是1，线段与数轴垂直，且．以A为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点D，则点D表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用勾股定理求出，然后得到，即可得到点D表示的数． 解：∵，，， ∴， 由作图得，， ∴， ∴点D表示的数是． 5．（25-26八年级下·北京·期末）方圆同学测量旗杆的高度时发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩2米（如图1），绳子末端在地面上离旗杆底部的距离为6米（如图2），则旗杆的高度为（     ） A．8米 B．10米 C．12米 D．13米 【答案】A 【分析】设旗杆高度为米，根据题意表示出绳子的长度，在中利用勾股定理列方程求解即可． 解：设旗杆的高度为米， ∵绳子垂直落地后还剩2米， ∴绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 即， 整理得：， 解得：， ∴旗杆的高度为8米． 6．（25-26八年级下·吉林松原·阶段检测）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理计算出另一条直角边，结合平移得出最小长度． 解：如图， 由勾股定理可得，， 由平移的性质可得，地毯的长度至少需要． 7．（24-25八年级上·广东梅州·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 8．（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，网格中的的顶点都在格点上，若小方格边长均为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理解答即可． 解：小方格边长均为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，是边的中点，是边上一点，且，若，则的长为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先根据，判断是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一得到，求出底边一半，最后在直角三角形内用勾股定理计算长度． 解：∵， ∴是等腰三角形． ∵D是中点， 根据等腰三角形三线合一，可得，即． ∵，为中点 ∴ 在中，， 由勾股定理得： ． 10．（25-26八年级下·河南新乡·阶段检测）如图，，过点作且，得；再过点，作，且，得；又过点作且．得，…，依此方法继续作下去，得（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得；；，…，依此方法继续作下去，得，解答即可； 解：根据题意，得；；，…，依此方法继续作下去，得， 故； （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）若是一组勾股数，则整数的值为___________． 【答案】13 【分析】分两种情况讨论：当a最大时，当最大时，即可求解． 解：当a最大时，， 当最大时， ，不是正整数， 所以a的值为13． 12．（25-26八年级下·宁夏吴忠·阶段检测）如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 【答案】直角三角形 【分析】根据正方形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 解：， ， ， ， 是直角三角形． 13．（25-26八年级下·云南昆明·期中）如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 14．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，是的角平分线，过点D作的平行线，交于点E．若，，则的长为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，由角平分线的性质可得，，由，可得，，则，可得，利用等面积法，可得． 解：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云纹石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点到点为的中点），石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为_____米. 【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈巨龙的长度，最后乘2即可得到结果． 解：如图， ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴米，（米）， ∴（米）， 则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米）． 故答案为：20． 16．（25-26九年级下·广东湛江·自主招生）如图，在四边形中，，，，，在边上存在点E，使得是以为底边的等腰三角形．设，，（x，y都是自然数），请写出满足条件的数对________． 【答案】或或 【分析】先由勾股定理可得，，然后根据等腰三角形得到，即可得到，再因式分解，枚举求解即可． 解：∵，，，， ∴， 由题意得，， ∴ ∴ 整理得， ∵x，y都是自然数， ∴ ∴，解得，符合题意； 或，解得，符合题意； 或，解得，符合题意； ∴满足条件的数对为或或． 17．（25-26七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，，，角平分线，相交于点，则点到的距离为_______________． 【答案】 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长，再根据角平分线的性质得出点到三边的距离相等，最后利用等面积法求解即可． 解：在中，，，， 由勾股定理得：， ，是的角平分线，且相交于点， 点到，，的距离相等， 设点到，，的距离为， 则， 即， ， 解得， 故点到的距离为． 18．（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，，于点，是边的中点，若． （1）的度数为________； （2）的值为________． 【答案】 45 【分析】（1）根据直角三角形斜边上中线的性质和三角形的内角和计算； （2）根据勾股定理计算． 解：（1）设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 设， 则， ∴，， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）中，，若，，D为的中点，求的长． 【答案】6.5 【分析】根据勾股定理求出，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可． 解：∵在中，，，， ∴， （负值舍去）， 又∵D为的中点， ． 20．（本小题满分8分）（24-25八年级下·安徽六安·阶段检测）学习勾股定理后知道：直角三角形的三边长是正整数时称之为“勾股数”．小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25，…，他发现这些勾股数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． （1）小明根据他的发现写出了这样一组数：9，40，41，这是一组勾股数吗？并说明理由； （2）为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明猜想这样的勾股数可以为，，（n为正整数），请帮小明证明他的猜想的正确性． 【答案】（1）是，理由见解析；（2）正确，见解析 【分析】此题考查了勾股数和整式的混合运算，熟练掌握勾股数的定义是关键． （1）根据勾股数定义进行解答即可； （2）根据勾股数定义进行证明即可． （1）解：9，40，41是一组勾股数，理由如下： ∵，， ∴， ∴9，40，41是一组勾股数； （2）证明：∵， 又， ∴， ∵是正整数，∴是奇数，且，，都是正整数， ∴，，（为正整数）是勾股数， ∴小明的猜想正确． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， （1）要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； （2）请尝试验证勾股定理． 【答案】（1）；；（2）证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 解：（1）用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， （2）直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·山西大同·期中） 项目主题 小区路灯维修梯子使用方案 项目背景 路灯维修工人使用一架长的绝缘梯，斜靠在路灯杆上．此时，工人怀疑灯杆可能倾斜，不再垂直于地面． 测量示意图 说明：点、、、在同一竖直平面内 问题解决： （1）初始时，工人测量梯子底端到灯杆底部的距离，梯子顶端离地高度．请你判断灯杆与地面是否垂直，并说明理由； （2）在任务1的条件下，由于工作需要，工人将梯子顶端下移到，底端则沿射线方向移动到点，量得，求的长． 【答案】（1）灯杆与地面垂直，理由见解析；（2） 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求出即可； （2）根据勾股定理求出的长，进而可知的长． （1）解：灯杆与地面垂直． 理由如下：，， ． 是直角三角形． ， 即灯杆与地面垂直； （2）解：由题意得（）． ∵， ∴在中，（）， （）． 答：的长为． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求的长； （3）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）是等腰三角形；理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∵沿折叠得， ∴， ∴， ∴．∴ 是等腰三角形． （2） （3） 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据折叠得出，从而证明，根据等角对等边，即可证明结论； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案； （3）根据三角形面积公式进行计算即可． （1）解：略． （2）解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， 设， 由（1）知，则， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·山东济南·阶段检测）在学习了三角形的知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形构造后的线段之间的关系进行了探究． （一）尝试探究 在中，，，点为的中点． （1）如图1，若点E，F分别为边，上的点，且，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若点在边上，点M，F分别在，的延长线上，且，求证：； （二）应用拓展 （3）如图3，在四边形中，，，，若，，请直接写出的长 【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，推导得，再结合全等三角形的性质，通过证明，即可完成求解； （2）根据等腰三角形和直角三角形的性质，推导得，根据勾股定理的性质计算得，结合全等三角形的性质，通过证明，得，通过计算即可完成证明； （3）根据四边形内角和、全等三角形的性质，推导得，；再根据等腰三角形和勾股定理的性质计算，即可得到答案． 解：（1）连接 ∵， ∴ ∵，点D为的中点 ∴， ∴，   ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴                ∴； （2）证明：过点M作交的延长线于点N ∵，点D为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，       ∴ ∴   ∵ ∴ ∴ ∴ 和中 ∴ ∴ ∴； （3）如图，延长到点，使，连接 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 如图，过点作，交于点 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点拨】本题考查了等腰三角形、全等三角形、勾股定理、四边形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、勾股定理的性质，从而完成求解． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $