2.2.1 有理数的乘法-课件- 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦有理数乘法法则、倒数及运算律，通过回顾有理数加减法引入负数乘法新问题，对比小学正×正和0相乘的旧知，搭建从已有知识到新知探究的学习支架。 其亮点在于分类探究正×负等情况，结合算式规律观察培养数学眼光（抽象能力）和思维（推理意识），用登山气温变化实例体现数学语言表达现实（模型意识）。小结系统梳理知识，助学生构建体系提升运算能力，教师可直接使用丰富实例与方法指导。

第二章 有理数的运算 2.2.1 有理数的乘法 人教版 七年级上册 1 新课导入 我们已经学习了有理数的加法和减法. 接下来学习有理数的乘法. 思考：引入负数后，乘法有哪些新情况？ 小学只学过正数和 0 的乘法， 现在有了负数，乘法怎么算？ 乘法运算律对有理数还成立吗？ 2.2.1 有理数的乘法 2 / 24 从已有知识引入。提出两个核心问题：有理数乘法怎么算？运算律还成立吗？ 2 新知探究 两个有理数相乘，有哪些情况？ （按乘数的正负分类） 正数 × 正数 （小学已学） 正数 × 负数 （需要研究） 负数 × 正数 （需要研究） 负数 × 负数 （需要研究） 与 0 相乘 （小学已学） 2.2.1 有理数的乘法 3 / 24 梳理乘法的各种情况，区分已学和待研究。为后续分类探究做准备。 3 新知探究 正数乘负数 观察：后一个乘数逐次递减 1，积怎么变化？ 3 × 3 = 9 3 × 2 = 6 3 × 1 = 3 3 × 0 = 0 3 × (−1) = ? 3 × (−2) = ? 3 × (−3) = ? 逐次递减 3 −3 −6 −9 正数乘负数，积是负数，积的绝对值 = 乘数绝对值的积 2.2.1 有理数的乘法 4 / 24 用归纳法探究正数乘负数。保持一个乘数不变，另一个逐次减1，观察积的变化规律。 4 新知探究 负数乘正数 类比上面的方法：前一个乘数逐次递减 1，积怎么变化？ 3 × 3 = 9 2 × 3 = 6 1 × 3 = 3 0 × 3 = 0 逐次递减 3 (−1) × 3 = −3 (−2) × 3 = −6 (−3) × 3 = −9 负数乘正数，积是负数，积的绝对值 = 乘数绝对值的积 2.2.1 有理数的乘法 5 / 24 类比探究负数乘正数。方法与上一页相同，结论类似：异号得负，绝对值相乘。 5 新知探究 负数乘负数 (−3) 乘一个数，后一个乘数逐次递减 1，积怎么变化？ (−3) × 3 = −9 (−3) × 2 = −6 (−3) × 1 = −3 (−3) × 0 = 0 逐次增加 3 (−3) × (−1) = 3 (−3) × (−2) = 6 (−3) × (−3) = 9 负数乘负数，积是正数，积的绝对值 = 乘数绝对值的积 2.2.1 有理数的乘法 6 / 24 探究负数乘负数。这是最难理解的一个。用归纳法：后一个乘数从0逐次减1，积反而逐次加3，得出负负得正。 6 有理数乘法法则 类型 符号 绝对值 正 × 正 积是正数 积的绝对值等于乘数 正 × 负 积是负数 绝对值的积 负 × 正 积是负数 负 × 负 积是正数 两数相乘，同号得正，异号得负， 且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与 0 相乘，都得 0. 2.2.1 有理数的乘法 7 / 24 汇总乘法法则。表格清晰展示四种情况的符号和绝对值规律。最后给出完整法则文字表述。 7 学以致用 例 计算： （1）(−6) × 5 = −(6 × 5) = −30 异号：得负，绝对值相乘 （2）(− ) × (− ) = +( × ) = 1 同号：得正，绝对值相乘 （3）(−5) × 0 = 0 任何数与0相乘得0 （4）8 × (−1) = −8 一个数乘−1等于它的相反数 计算步骤：(1) 分类型 (2) 定符号 (3) 算绝对值 2.2.1 有理数的乘法 8 / 24 四道例题涵盖异号、同号分数、与0相乘、乘-1。总结三步计算法：分类型、定符号、算绝对值。 8 倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数. (− ) × (−2) = 1 例 写出下列各数的倒数：1，−1，，− 原数：1 倒数：1 1 × 1 = 1 原数：−1 倒数：−1 (−1) × (−1) = 1 原数： 倒数： × = 1 原数：− 倒数：− ×(- = 1 ◆ 正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（同号得正） ◆ 0 没有倒数. 数 a (a ≠ 0) 的倒数是 2.2.1 有理数的乘法 9 / 24 倒数概念。通过例子发现：正数的倒数是正，负数的倒数是负（因为乘积=1是正，同号得正）。0没有倒数。 9 学以致用 例 用正负数表示气温变化量，上升为正，下降为负. 登山队攀登一座山峰，每登高 1 km 气温变化量为 −6 °C， 登高 3 km 后，气温有什么变化？ 解：每登高 1 km，气温变化 −6 °C 登高 3 km，变化量为： (−6) × 3 = −18 (°C) 答：登高 3 km 后，气温下降 18 °C. 负数乘正数，积为负. 负号表示气温下降. 2.2.1 有理数的乘法 10 / 24 实际应用：登山气温变化。让学生理解负数乘法的实际意义，负号表示下降。 10 课堂练习 计算： (1) 6 × (−9) = −54 (2) (−4) × 6 = −24 (3) (−6) × (−1) = 6 (4) (−6) × 0 = 0 (5) (−4) × ( ) = −1 (6) (− ) × (−) = 商店降价销售，每件降 5 元，售出 60 件. 销售额变化：(−5) × 60 = −300（元），即减少 300 元. 2.2.1 有理数的乘法 11 / 24 6道计算题覆盖各种情况，再加一道实际应用题。巩固乘法法则。 11 新知探究 乘法交换律在有理数范围内成立吗？ (−6) × 5 = −30 = 5 × (−6) = −30 (−) × (−) = 1 = (−) ×(−) = 1 −0.19 × 0 = 0 = 0 × (−0.19) = 0 乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变. ab = ba 2.2.1 有理数的乘法 12 / 24 通过三组例子验证乘法交换律对有理数成立。给出文字表述和符号表示。 12 新知探究 乘法结合律在有理数范围内成立吗？ [3 × (−5)] × (−6) = (−15) × (−6) = 90 3 × [(−5) × (−6)] = 3 × 30 = 90 [−7 × (−25)] × (−4) = 175 × (−4) = −700 −7 × [(−25) × (−4)] = −7 × 100 = −700 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘， 或者先把后两个数相乘，积不变. (ab)c = a(bc) 2.2.1 有理数的乘法 13 / 24 通过两组例子验证乘法结合律。第2组例子展示了结合律的实用价值：凑整(−25)×(−4)=100。 13 新知探究 乘法对加法的分配律成立吗？ 5 × [3 ＋ (−7)] = 5 × (−4) = −20 5 × 3 ＋ 5 × (−7) = 15 − 35 = −20 −5 × [3 ＋ (−7)] = −5 × (−4) = 20 −5 × 3 ＋ (−5) × (−7) = −15 ＋ 35 = 20 分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数 分别与这两个数相乘，再把积相加. a(b ＋ c) = ab ＋ ac 2.2.1 有理数的乘法 14 / 24 通过两组例子验证分配律。注意符号的处理。给出文字表述和符号表示。 14 学以致用 例 1 (1) 计算 2 × 3 × 0.5 × (−7) 解：2 × 3 × 0.5 × (−7) = 2 × 0.5 × 3 × (−7) （交换律：凑整） = (2 × 0.5) × [3 × (−7)] （结合律） = 1 × (−21) = −21 (2) 用两种方法计算： (− ＋ − ) × 12 解法 1（先通分）： = (− ＋ − ) × 12 = (−) × 12 = −7 解法 2（分配律）： = −×12 ＋ ×12 − ×12 = −3 ＋ 2 − 6 = −7 2.2.1 有理数的乘法 15 / 24 例1展示运算律的应用。(1)交换律+结合律凑整。(2)两种方法对比，分配律更简便。 15 新知探究 观察：改变一些乘数的符号，积的符号怎么变？ 2 × 3 × 0.5 × (−7) = −21 1个负数 → 负 2 × 3 × (−0.5) × (−7) = 21 2个负数 → 正 2 × (−3) × (−0.5) × (−7) = −21 3个负数 → 负 (−2) × (−3) × (−0.5) × (−7) = 21 4个负数 → 正 几个不为 0 的数相乘： ◆ 负的乘数个数是偶数时，积为正数； ◆ 负的乘数个数是奇数时，积为负数. （先确定符号，再计算绝对值） 2.2.1 有理数的乘法 16 / 24 多个数相乘的符号规律。通过改变一个乘数的符号，观察积的符号变化。得出奇负偶正的规律。 16 学以致用 例 2 计算： （1）(−3) × () × (− ) × (− ) = −(3 × × × ) （三个负数，确定符号为负） = −(3 × 9 × 5) / (6 × 5 × 4) = − （2）(−5) × 6 × (− ) × = +(5 × 6 × × ) （两个负数，确定符号为正） = 5 × × 6 × （交换律，约分） = 4 × 6 × = 6 2.2.1 有理数的乘法 17 / 24 例2：多个数相乘。步骤：先数负数个数定符号，再算绝对值。可结合交换律约分简化计算。 17 拓展提升 分配律的逆用（合并同类项） 分配律：a(b ＋ c) = ab ＋ ac 反过来：ab ＋ ac = a(b ＋ c) 例如：−2a ＋ 3a = (−2 ＋ 3)a = 1 × a = a 例 计算：(−) × 7 ＋ (−) × 13 ＋ (−) × 6 解：= (−) × (7 ＋ 13 ＋ 6) （逆用分配律） = (−) × 19 = −4 2.2.1 有理数的乘法 18 / 24 分配律的逆用。提取公因数可以大大简化计算。这也是后续合并同类项的基础。 18 课堂练习 (1) (−8) × 1.25 × (−) = (−8) × 5/4 × (−) = 两个负数，得正；小数化分数 (2) (−10) × (−8.24) × (−0.1) = [(−10) × (−0.1)] × (−8.24) = −8.24 三个负数得负；凑 1 简化 (3) (−17) × (−49) × 0 × 13 = 0 有一个乘数为 0，积为 0 2.2.1 有理数的乘法 19 / 24 三道练习题。(1)小数化分数约分，(2)凑1简化，(3)有0直接得0。巩固运算律的使用技巧。 19 方法归纳 简化乘法运算的常用技巧： (1) 运用交换律、结合律 凑整、凑 1、凑 0 (2) 运用分配律 和的形式可约分、可凑整时用 (3) 分数与小数互化 根据算式特征选择更简便的形式 (4) 带分数与假分数互化 乘法一般化为假分数 (5) 多个数相乘 先定符号（奇负偶正），再算绝对值 2.2.1 有理数的乘法 20 / 24 归纳五个简化计算的技巧。帮助学生形成计算策略，提高计算效率和准确性。 20 探究过程回顾 我们是怎样得出有理数乘法法则的？ 1 分类 对两个有理数相乘进行分类（正×正、正×负、负×正、负×负、与0相乘） ↓ 2 探究 逐类研究，通过归纳法发现规律（保持一个乘数不变，另一个逐次减1） ↓ 3 归纳 从符号、绝对值两个角度观察各类结果 ↓ 4 总结 整合归纳，得出乘法法则：同号得正，异号得负，绝对值相乘 2.2.1 有理数的乘法 21 / 24 回顾整个探究过程，渗透数学思想方法：分类思想、归纳思想、从特殊到一般。 21 课堂小结 1. 乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘. 任何数与0相乘得0. 2. 倒数 乘积是1的两个数互为倒数. 正数的倒数是正，负数的倒数是负，0没有倒数. 3. 乘法运算律 交换律 ab=ba；结合律 (ab)c=a(bc)；分配律 a(b+c)=ab+ac. 4. 计算技巧 先定符号再算绝对值；多个数相乘奇负偶正；凑整、凑1、分配律简化计算. 2.2.1 有理数的乘法 22 / 24 四要点总结：法则、倒数、运算律、技巧。全面回顾本节课内容。 22 课后任务 1. 教科书第 39 页，练习第 1，2，3 题（乘法计算）. 2. 教科书第 43 页，练习第 1，2 题（运算律应用）. 预习思考 有理数的除法怎样计算？ （提示：减法可以转化为加法，除法能转化为乘法吗？） （预习下一节：有理数的除法） 2.2.1 有理数的乘法 23 / 24 布置两部分作业：乘法计算和运算律应用。预习思考引出下一节除法，提示转化思想。 23 2.2.1 有理数的乘法 人教版 七年级上册 24 $