4.2.2 指数函数的图象和性质（教学设计）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“指数函数的图象和性质”，通过复习指数函数概念，类比幂函数研究路径，明确“定义→图象→性质→应用”的学习支架，衔接前后知识脉络。 此资料特色在于结合描点法与指数运算性质画图象，如利用y=2^x与y=(1/2)^x的对称关系，小组合作归纳不同底数函数性质，通过比较大小、人口增长实例应用，培养学生直观想象、逻辑推理和模型观念，帮助学生建立研究函数的思维习惯，为教师提供可操作的探究式教学方案。

教案设计 科 目 数学 年 级 高一 主备教师 课 型 新授课 课时数 1 授课教师 设计主题 4.2.2 指数函数的图象和性质 设计时间 授课时间 课标要求 1.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 教材分析 指数函数是刻画现实世界中单位时间内增长率（衰减率）保持不变的变化现象的数学模型. 现实世界中存在着大量“指数增长（衰减）”的问题.例如，自然条件下，细胞的分裂、人口的增长、放射性物质的衰减等，复利方式计算利率也符合指数增长的规律.这类问题都可以通过建立指数函数模型来刻画它们的变化规律. 假设 满足指数增长（或衰减）规律，根据“单位时间内增长率（衰减率）保持不变”就有： 当，△x=1时，上式即： 这就是建立指数函数概念的数学方法——借助数学运算（除法）发现规律.对指数函数的研究，遵循研究函数的基本路径：实例→指数函数定义→图象→性质→应用.其特殊之处在于，研究过程中，要利用指数的定义、运算性质，而这些恰是指数函数变化规律的体现。例如，(>0)；对任意x，y(>0),.教科书在研究指数函数图象时，根据，建立函数与函数的联系，通过作函数的图象关于y轴的对称图象，得出函数y=的图象，就是利用了负数指数幂的定义. 从上述分析可以发现，指数函数的学习可以促进学生的数学抽象、数学运算、直观想象、逻辑推理和数学建模等素养的发展，对学生建立“通过运算发现规律、研究规律”的一般观念也有重要作用. 学情分析 学生已经学习了函数的概念和性质，并研究了幂函数，了解了研究一个函数的基本路径，具有了用高中所要求的函数“话语方式”进行表达的经验，这是学习本单元的基础.在幂函数及之前其他函数的学习过程中，变量之间关系的建立比较直接，指数函数部分加强了概念的形成过程，A,B两地景区游客人次变化的规律需要学生运用代数学习中培养起来的一般观念来解决，即通过运算发现规律的意识和能力，而这一点无论在思想层面还是操作层面都比较薄弱，不仅学生，甚至教师也是如此，因此造成了学习难点.碳14衰减变化的规律似乎明显，但是要正确表达也不是能一步到位的，对学生而言有一定难度． 突破上述难点的办法是，教师首先要具备研究代数问题的一般观念，知道减法和除法是发现变化规律的重要方法，并类比不等式性质的学习，帮助学生回忆研究方法，培养学生探索发现的眼光和能力，然后再进入具体操作环节．对于碳14含量衰减变化的规律，要引导学生分析解决问题，需要先找到每年的衰减率这一基本量，从而建立方程，利用半衰期求解，之后进入常规问题的求解环节. 在以往的学习中，学生已经历过画图象、观察图象获得性质的过程.在指数函数的图象与性质的研究中，除了用“列表→描点→连线”的“传统”做法，还强调利用指数的定义和性质，通过两个对应关系（如与之间的变换得出图象之间的关系，通过代数运算的方法研究函数性质，这是学生以往经验中不具备的. 为破解此难点，教师要在研究一类函数的基本路径指引下，通过设计恰当的问题，引导学生关注指数函数的特点，明确指出通过指数定义、性质及指数幂的运算性质研究函数性质的思路，使学生逐步建立通过函数图象和代数运算的方法研究函数的思维习惯. 单元教学目标 1.经历通过代数运算发现指数增长（衰减）变化规律进而抽象出指数函数概念的过程，知道指数函数是刻画现实世界中增长率（衰减率）不变的规律的数学模型. 2.能利用指数的定义和运算性质，借助计算工具画出具体指数函数的图象，通过指数函数图象和指数运算的方法得出指数函数的性质. 单元教学重点 难点 1.教学重点：指数函数的概念、图象和性质，用函数图象和代数运算的方法研究函数 2.教学难点：指数增长（衰减）规律的发现，用函数图象和指数运算的方法研究指数函数. 单元课时分配 本单元分2课时： 第1课时，指数函数的概念； 第2课时，指数函数的图象和性质． 第二课时 课时学习目标 基础性目标：★ 通过任务一，能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象. 拓展性目标：★★ 通过任务二，观察具体函数的图象，归纳总结指数函数的性质. 挑战性目标: ★★★ 通过任务三，初步应用指数函数的性质解决简单的问题. 课时学习重难点 教学重点：指数函数的图象与性质． 教学难点：用函数图象和指数运算的方法研究指数函数． 课时学习评价 教学过程 教师活动 学生活动 教学效果 1、 创设情境，提出问题： 上一节课，我们经历了数学建模，获得了指数函数的概念，依据基本初等函数的研究路径，接下来应该研究函数的图象与性质，并进行初步的应用. 2、 复习回顾： 问题：类比幂函数性质的研究过程和方法，依据函数性质的相关理论，我们要研究指数函数的哪些性质？如何研究？ 答： ①根据函数性质的相关理论，应该研究指数函数的单调性、奇偶性等. ②类比幂函数的研究过程，还应该研究特殊点、函数图象的位置、变化趋势等. ③研究方法是先画图象，然后观察图象，归纳性质. 教师指出：在画函数图象、研究函数性质的过程中，要注意利用指数的定义和性质、指数幂的运算性质. 三、目标一：学生能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象. 任务一：学生能用描点法或借助计算工具画出的图象. 问题1 ：（1）我们从简单的函数 开始研究.如何绘制该函数的图象？根据指数幂的性质，你认为必须取的自变量有哪些？ （2）填写表格4.2-2完成取值，并作出函数 的图象. 表4.2-2 -2 -1.5 0.35 -1 -0.5 0.71 0 0.5 1.41 1 1.5 2.83 2 答：（1）用“列表→描点→连线”的方法画出该函数的图象（图4.2-1），必须取的自变量有x=0,1. （2）表4.2-2 -2 0.25 -1.5 0.35 -1 0.5 -0.5 0.71 0 1 0.5 1.41 1 2 1.5 2.83 2 4 图4.2-1 评估一：学生能用描点法或借助计算工具画出的图象. 问题2 ：为了得到指数函数，且≠1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.用同样的方法，在同一直角坐标系内画出函数的图象，并与函数的图象进行比较，它们有什么关系？能否利用函数的图象，画出函数的图象？ 答： 表4.2-3 -2 0.25 4 -1.5 0.35 2.83 -1 0.5 2 -0.5 0.71 1.41 0 1 1 0.5 1.41 0.71 1 2 0.5 1.5 2.83 0.35 2 4 0.25 图4.2-2 两者关系：由图象可知，函数与的图象关于y轴对称，因此可以作函数关于y轴对称的图象，得到函数的图象，得到图4.2-2. 四、目标二：学生能观察具体函数的图象，归纳总结指数函数的性质. 任务二：学生能观察具体函数的图象，归纳总结指数函数的性质. (小组合作)问题3：选取底数(>0，且≠1)的若干个不同的值，例如=3,=4,，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？根据你所概括出的结论，自己设计一个表格，写出指数函数，且≠1)的定义域、值域、单调性、奇偶性，等等. 答：在同一直角坐标系内，作出图象，如图4.2-3 图4.2-3 1.指数函数的性质： 表格4.2-4 图象 定义域 R 值域 性质 （1）过定点（0,1)，即时， （2）减函数 （2）增函数 （3）非奇非偶函数 评估二：学生能观察当底数变化时指数函数图象的性质. （小组讨论）问题4： 用软件展示当底数变化时指数函数图象的变化情况，如图4.2-4．观察图4.2-4你还能发现指数函数图象之间的哪些关系？并说出你观察的方法. 图4.2-4 答： （1）函数取值的特点：当0<<1时，自变量x取同一个负数时，对应的函数的值的大小关系是：底数越大，函数值越小；自变量x取同一个正数时，变化规律相反.当x<0时，函数图象位于直线y=1的上方；当x>0时，函数图象位于直线y=1的下方.当>1时，可以做类似分析. （2）通过观察还可以发现函数图象与坐标轴的位置关系：当0<<1时，底数越小，函数图象越靠近坐标轴，向上靠近y轴，向右靠近x轴；当>1时，可以做类似分析. 五、目标三：学生初步应用指数函数的性质解决简单的问题. 任务三：学生初步应用指数函数的性质解决简单的问题. 例3.比较下列各题中两个值的大小： (1)1.,1. ；(2)； (3)1.,0.. 解: （1)1．和1.73可看作函数当分别取2.5和3时所对应的两个函数值． 因为底数1.7>1，所以指数函数是增函数. 因为2.5<3,，所以1． （2）同（1）理，因为0<0.8<1，所以指数函数是减函数. 因为，所以0． （3） 由指数函数的性质知， ， 所以. 评估三：进一步熟悉指数函数的性质. 例4.如图4.2-5．某城市人口呈指数增长． （1）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）： （2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？ 图4.2-5 解:（1）观察图4.2-5，发现该城市人口经过 20年约为 10万人，经过 40年约为 20万人，即由 10万人口增加到 20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为 20年． （2）因为倍增期为 20年，所以每经过 20年，人口将翻一番．因此，从 80万人开始，经过 20年，该城市人口大约会增长到 160万人． 学生思考之后回答. 学生思考、回答.可以使用计算工具进行计算点的坐标. 学生按照“列表（可以延伸表格4.2-2得到表格4.2-3）→描点→连线”的方法画出函数的图象，并观察得出猜想. 学生小组合作，分配任务，利用描点法、底数互为倒数的指数函数图象之间的关系，合作在一个平面直角坐标系中，画出这些函数的草图. 首先发现指数函数的图象按底数a的取值可以分两种类型．因此接下来的研究可以分两种情况进行，并注意它们之间的联系． 学生先独立思考，然后小组交流，梳理观察方法，并将观察得到的结论按照一定的顺序整理. 引导学生回忆：在幂函数的学习中也遇到过这样的题目，回忆比较大小的依据与方法. 梳理清楚求解依据是函数单调性的定义.具体方法是构造函数，根据函数的单调性及自变量的大小确定函数值的大小；或者与特定的值比较，即根据函数取值的特点进行判断. 学生思考，教师提示 教师追问：指数函数刻画的是增长率（衰减率）不变的现象．碳14含量的半衰期是一个确定值，类比本题中的倍增期是否也是固定值呢？观察图象你得到了什么结论？ 规划本节课的研究内容，明确研究方法.在一般观念的指导下自觉地开展研究. 从一个简单的指数函数开始研究，初步了解指数函数图象，为后续的画图做好准备. 从描点画图过渡到利用函数图象之间的对称关系画图，学会用代数方法分析函数图象之间的关系，数形结合研究函数的图象与性质，并培养学生从具体、直观到一般、抽象地进行研究的能力. 用计算工具画出更多的指数函数图象，引导学生观察比较，从基本的函数图象性质，到函数图象之间的关系，由易至难，多角度观察研究，拓宽学生的思维，培养学生直观想象素养.引导学生分类研究、有序观察图象性质和关系，并整理观察方法和结论，提高学生理性思维能力. 利用指数函数的图象分析和解决问题，建立函数图象与概念、性质的联系，进一步促进学生形成用函数观点解决问题的意识. 课堂小结 1.指数函数的图象； 2.指数函数的性质； 3.初步应用指数函数的性质分析和解决实际问题. 学生作业 1.基础性作业：教科书第118页练习第1、2、3题； 答案：1.关系：它们的图象关于ｙ轴对称. 2.(１)由函数,的图象可知<; 图（1） 图（2） 图（3） (２) 由函数的图象可知,> (3) 由函数，的图象可知>１> ，即> 2.提升性作业：教科书第119~120页习题4.2第3、6、7题； 答案： 3.(１)ｍ<ｎ.(２)ｍ>ｎ.(３)ｍ>ｎ.(４)ｍ>ｎ. 6.(１)∵是增函数，且 ０.８>０.７， ∴ > (２)∵是减函数，且-０.１<０.１∴> (３)∵是增函数,且2.7<3.5,∴ <. (４)∵是减函数,且3.3<4.5,∴ > 7.能.设原来碳14的含量为1,则经过9个“半衰期”后,碳14的含量为＝ >,所以能探测到.. 3.拓展性作业:教科书第119~120页习题4.2第8、9题. 8.(１)本利和y关于存期数x的函数解 析式为y＝(１＋ｒ)ｘ (２)当＝1000,ｒ=２.２５％, x=5时, ｙ=1000×( 1＋２.２５％)５=1000×1.02255≈1118(元). ∴5期后的本利和约为1118元. 9.(１)由题意得,,∴ ∴ 图象如图所示: (2)函数是偶函数.在(－∞,０]上单调递减,在[０,＋∞ )上单调递增. 板书设计 教学反思 成功之处 不足之处及原因 分析 改进措施 学科网（北京）股份有限公司 $