第四章 指数函数与对数函数 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 指数函数与对数函数章末测试卷，以文化传承（如《劝学》引用）与现实应用（鲑鱼游速、投资利润）为情境，覆盖函数运算、性质、图象及实际建模，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8题|指数对数运算（1题）、函数性质（2题）、零点判定（6题）|第4题结合《劝学》文化情境，考查指对转化应用| |多选题|3题|公式辨析（9-11题）|通过正误判断强化运算规则理解| |填空题|3题|实际问题（12题鲑鱼耗氧量）、零点个数（13题）|联系生物情境，体现数学眼光观察现实| |解答题|5题|图象绘制（16题）、投资建模（18题）|18题通过数据分析建立函数模型，培养模型意识与应用能力|

指数函数与对数函数章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．设，，则的值为（    ） A． B． C．27 D．26 2．已知函数且在上的最大值与最小值之和为，则a的值为（   ） A．4 B． C．3 D． 3．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海，”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过（    ）（参考数据：） A．70天 B．80天 C．90天 D．100天 5．已知函数过定点P，幂函数的图象经过点P，则该幂函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象是连续的曲线，且部分对应值如下表所示： 在下列区间中，函数必有零点的区间为（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．函数（，且）的图象不经过第二象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列各式不正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中一定成立的有（    ） A． B． C． D． 11．下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数，当一条大西洋鲑鱼静止时，它的耗氧量的单位数______. 13．函数至多有______个零点． 14．已知函数，，则函数的值域为______． 四、解答题 15．计算下列各式的值： (1)； (2)． 16．用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数与的图象. x 0 1 2 3 17．（1）已知，，求证：； （2）已知，，利用（1）求证：． 18．某个体经营者把前六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6 获纯利润（万元） 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B商品金额（万元） 1 2 3 4 5 6 获纯利润（万元） 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才最合算．请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并求出最大纯利润．（精确到0.1万元） 19．比较下列各组值的大小． (1)与 ； (2)与； (3)与且． 试卷第1页，共3页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B C A B B ABC BD 题号 11 答案 CD 1．B 【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可. 【详解】因为，， 所以， 故选：B 2．D 【详解】易知在上是单调函数，所以，即，解得． 3．D 【分析】根据题意结合指数幂运算求解. 【详解】因为. 故选：D. 4．B 【分析】先根据天后的“进步值”是“退步值”的5倍列方程，应用指对转化求值. 【详解】设天后的“进步值”是“退步值”的5倍，则，即，两边同时取对数得， 化简得， 所以． 故当“进步值”是“退步值”的5倍时，大约经过80天． 故选:B． 5．C 【分析】根据对数型函数恒过定点求出，代入幂函数解析式得，进而可得图象. 【详解】因为，当时，，所以过定点， 设幂函数，幂函数的图象经过点P，代入，即，解得， 所以幂函数为，定义域，结合定义域和图象，可知C正确， 故选：C. 6．A 【分析】根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为函数的图象是连续的曲线， 且，， 所以，则函数在区间上必有零点. 故选：A 7．B 【分析】取特殊值可排除C，D，根据奇偶性可排除A. 【详解】，排除C，D； 易知的定义域为，且， 所以是奇函数，排除A， 故选：B． 8．B 【分析】根据指数函数的性质分别说明，时函数图象的特点确定的范围，即可得结论. 【详解】当时，的图象必定经过第二象限，不符合题意； 当时，在中，令，得，因为函数是增函数， 所以只需要即可使的图象不经过第二象限，此时，即的取值范围为． 故选：B. 9．ABC 【分析】利用指数幂的运算性质，以及分数指数幂与根式的互化即可判断. 【详解】由；；； ，显然ABC不正确. 故选：ABC 10．BD 【分析】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 11．CD 【分析】由已知结合对数运算性质检验各选项即可判断． 【详解】根据对数运算性质可得： ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：CD 12． 【分析】根据题意，令，解简单的对数方程即可得解. 【详解】依题意，可知， 当时，，即，则，即. 故答案为：. 13．1 【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可. 【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且. 当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点. 综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点 故答案为：1． 14． 【分析】由原函数和所求函数求得其定义域，化简所求函数解析式，利用换元，得到一元二次函数，结合其图象性质即可求得函数值域. 【详解】因，，， 则由，解得：， 即函数的定义域为， 设，则，且在上单调递增， 故当时，即时，；当，即时，， 因，故函数的值域为. 故答案为：. 15．(1)2 (2)1 【分析】（1）（2）根据对数运算律计算即可； 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． 16．答案见解析 【分析】利用瞄点法列表，描点，连线即可画出图像. 【详解】（1）列表 x 0 1 2 3 1 2 4 8    8 4 2 1 （2）描点并连线得到和的图象如图所示． 17．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）（2）利用指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，即， 所以． （2）因为，所以； 因为，所以， 所以由结论（1），， 即． 18．下个月投入两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元 【分析】画出散点图，依据图形用二次函数模型和直线模型构造函数求解. 【详解】以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，画出散点图，如图所示． 据此，可考虑用函数（1）表示投资种商品的金额与其纯利润的关系， 用（2）表示投资种商品的金额与其纯利润的关系． 把代入①式，得， 解得，经检验，解析式满足题意， 故所获纯利润关于月投资种商品的金额的函数解析式可近似地用来表示． 把代入②式，解得，经检验，解析式满足题意， 故所获纯利润关于月投资种商品的金额的函数解析式可近似地用来表示． 设下个月投入两种商品的资金分别是万元，万元，纯利润为万元，得 ． 故当时，取得最大值，约为4.1，此时，． 即下个月投入两种商品的资金分别约为3.2万元，8.8万元时，可获得最大纯利润，约为4.1万元． 19．(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）解法一，利用对数函数的单调性，即可比较大小；解法二，利用对数的正负，即可比较大小；（2）利用换底公式转化为同底的对数，再比较大小；（3）讨论的取值，根据不同的单调性比较大小. 【详解】（1）解法一，和可看作是函数的两个函数值． 因为对数函数是增函数，且，所以， 解法二，因为，，所以； （2），， 又对数函数是增函数，且， 所以， 所以，所以； （3）与且可看作是函数且的两个函数值． 当时，函数是增函数，因为，所以； 当时，函数是减函数，因为，所以， 综上，当时，loga3.1＜loga5.2； 当时， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $