奥数培优第16讲 抽屉原理的综合应用（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

小学五年级下册奥数培优讲义★ ★ ★ ★ ★ 16讲 抽屉原理的综合应用 🎯【学习目标】 维度 具体目标 知识与技能 理解抽屉原理的核心思想以及三种表达形式；能准确区分物品与抽屉；掌握余数分类法、配对分组法、组合分类法、极端值法四大抽屉构造手段。 过程与方法 经历 “识别条件→构造抽屉→应用原理→检验结论” 完整解题流程；能够针对不同题型自主构造抽屉，学会用最不利原则分析 “保证…… 至少……” 类问题。 思维品质 锻炼分类、枚举、逻辑推理能力；克服直接凭感觉猜答案的习惯，养成有理有据推导、做完回代检验的做题习惯。 情感与应用 感受抽屉原理在数字、涂色、方格、多位数等场景的应用价值，体会数学模型解决一类问题的强大作用。 一、知识导航 📖抽屉原理核心思想 抽屉原理，也叫鸽巢原理，专门解决 “保证至少存在……” 类型的数学问题。 🔹基本形式 把多于个物品，任意放进个抽屉，那么至少有一个抽屉里面，会放有 2 个或 2 个以上物品。 🔹推广形式 把多于个物品，任意放进个抽屉，那么至少有一个抽屉里面，会放有个及以上物品。 🔹核心计算公式 如果物品能够被抽屉整除，则至少数 = 商。 🔧【抽屉原理解题四步法】 找对象：分清谁是「物品」（被分配的东西），谁是「抽屉」（分类的标准）； 造抽屉：结合题目条件合理分类、分组，构造抽屉； 用原理：结合最不利原则，套用抽屉原理进行推理； 做检验：把结果代回原题，验证是否满足 “保证” 的条件。 抽屉原理三种形式汇总表 形式 文字描述 核心条件 典型应用场景 基础形式 物品数量大于抽屉数量 物品数，个抽屉 简单分配，证明必有重复 推广形式一 物品数量大于 物品数 求至少有多少个的最值问题 推广形式二 物品恰好等于 物品数 精确计算 “至少数” ✨四种常用抽屉构造方法 1. 余数分类法 适用：差是某个数的倍数； 思路：按照 “除以除数得到的余数” 进行分组。 2. 配对分组法 适用：两数之和为固定值； 思路：把可以凑出目标和的两个数字结成一组，落单数字单独作为抽屉。 3. 组合分类法 适用：方格涂色、排列； 思路：把所有不同的涂色 / 排列方式，每一类作为一个抽屉。 4. 极端值法（最不利思想） 适用：行列和、取值范围类； 思路：先求出取值的最小值、最大值，统计一共有多少种不同取值，每一种取值就是一个抽屉。 二、典例精讲 【例 1】涂色问题（基础应用） 题目：一个 5 行 7 列的长方形表格，每个小方格任意涂上红色或者蓝色。请问：是否一定存在两列，小方格的涂色方式完全相同？ ▶分析 · 物品：7 列方格 · 抽屉：每一列全部格子的涂色组合方式 每一列一共 5 格，每格 2 种颜色，总涂色组合：种。 ▶详解 每一列有 5 个小方格，每个方格可以选红色或蓝色。 全部不同涂色组合一共有：种。 表格只有 7 列，。抽屉的总数量比物品数量更多，不能保证发生重复。 ✅结论：不一定有两列涂色方式完全相同。 💡【方法点睛】 抽屉原理想要推出 “一定有重复”，必须满足：物品的数量＞抽屉的数量；如果物品更少，就无法保证出现重复。 【例 2】整除问题（余数分类法） 题目：从 1~20 这 20 个自然数当中，任意取出 11 个数。是否总能找到两个数，它们的差是 10 的倍数？ ▶分析 两个数的差是 10 的倍数 ⇨ 两个数除以 10 得到的余数相等。 除以 10 余数可以取：0、1、2……9，一共 10 类，构造 10 个抽屉： ▶详解 我们将 1~20 按照除以 10 的余数分成 10 个抽屉。 一共取出 11 个数，物品数（11）＞抽屉数（10）。 根据抽屉原理，至少会有 2 个数落在同一个抽屉。 同一个抽屉的两个数除以 10 余数一样，差就是 10 的倍数。 ✅答案：一定可以找到这样的两个数。 💡【方法点睛】 遇到 “差为某个数的倍数”，优先使用余数分类法构造抽屉。 【例 3】配对求和（配对分组法） 题目：从 1，2，3……19，20 当中，至少取出多少个数，才能够保证其中存在两个数字之和等于 20？ ▶分析 先构造和等于 20 的配对： 数字 10、20 无法配对，单独作为抽屉。 合计抽屉：个抽屉。 ▶详解 一共有 11 个抽屉。 按照最不利原则，每个抽屉先拿 1 个数字，一共取出 11 个数，此时仍然没有任何一组和等于 20。 再多取第 12 个数字，必然落入前面某一个抽屉，凑出和为 20。 ✅答案：至少取出 12 个数。 💡【方法点睛】 做配对类抽屉，落单不能配对的数字也要单独算作抽屉，很容易漏掉。 【例 4】方格填数（极端值法） 题目：在 4 行 4 列方格表，每个格子填写 1、2、3。能不能做到：每一行、每一列、两条对角线，全部的和互不相等？ ▶分析 物品：4 行 + 4 列 + 2 条对角线，合计 10 个 “和”； 抽屉：一个 4 格相加，最小和，最大和； 可取和：4、5、6、7、8、9、10、11、12，一共 9 种不同取值。 ▶详解 能够得到的和一共只有 9 种（抽屉 = 9），但是我们一共有 10 个和需要填（物品 = 10）。 物品数＞抽屉数，根据抽屉原理，至少有两组和必然相等。 ✅答案：不能做到。 💡【方法点睛】 极端值法，先算取值上下限，统计总共有多少种不同取值，把每一类取值作为抽屉。 【例 5】多位数截取（综合应用） 题目：用数字 1、2、3、4 随意写出一个 1000 位数。从这个大数里面，截取任意连续 4 个数字得到四位数。问这些截取出来的四位数当中，至少有多少个是完全相同？ ▶分析 · 物品：截取出来的连续 4 位片段，总个数 · 抽屉：1‑4 组成的全部四位数组合：种。 ▶详解 总片段 997 个，抽屉一共 256 种。 有余数，套用公式： ✅答案：至少有 4 个四位数完全相同。 💡【方法点睛】 长数字截取连续片段，片段总个数计算公式：。 📋方法总结表 题型 物品 抽屉 核心技巧 方格涂色问题 各列 / 各行 全部涂色组合 算出全部涂色组合总数 整除差倍数问题 选出的自然数 余数类别 按除数余数分组 求和保证问题 选出的数 和为定值配对组 配对，落单数字单独抽屉 方格行列和问题 行列对角线的和 和的全部可能取值 求出最小、最大，统计取值种数 多位数截取 截取得到片段 全部数字组合 正确计算片段总数量 📢【解题口诀】 先找物品再找抽屉， 抽屉构造要合理， 物品多于抽屉时， 至少一个抽屉有重复！ 三、习题训练 🟦A 组｜基础练习 【题目1】一个 6 行 8 列的方格表，每个格子涂红色或者蓝色。是否一定存在两列，涂色方式完全相同？ 【题目2】至少取出多少个自然数，可以保证一定有两个数的差是 5 的倍数？ 【题目3】从 1~15 当中，至少取出多少个数，可以保证有两个数字之和等于 16？ 【题目4】在 3 行 3 列方格表，每个空格填写 1、2、3。能不能做到每行、每列、两条对角线的和全部互不相等？ 🟧B 组｜提高练习 【题目5】从 1，3，5……97，99，这 50 个奇数，至少取出多少个数，保证存在两数之和等于 102？ 【题目6】使用数字 1‑5，写一个 10000 位数。截取连续 3 位得到三位数，至少有多少个三位数是完全相同？ 【题目7】在下图所示的8行8列的方格表中，每个空格分别填上1，2，3这三个数字中的任一个，使得每行、每列及两条对角线上的各个数字的和互不相等，能不能做到？ 【题目8】任意给出 7 个互不相同自然数，是否一定能找到两个，差是 6 的倍数？ 🟥C 组｜挑战练习 【题目9】在 8 行 8 列方格表，每个空格填写 1、2、3、4。能不能做到每行、每列、两条对角线的和全部互不相等？说明理由。 【题目10】在 1~100 当中，至少取出多少个数，保证存在两个数字差是 9 的倍数？ 四、参考答案与详细解析 【A 组】 1. 不能 解析：每列 6 格，涂色组合种；一共只有 8 列，，不能保证两列涂色一样。 2. 6 个 解析：除以 5 余数有 0‑4，一共 5 个抽屉。取 6 个数字，物品＞抽屉，必有两数余数相同，差为 5 倍数。 3. 9 个 解析：配对，单独抽屉数字 8；合计 8 个抽屉。最不利每个抽屉取 1 个共 8 个，再多取 1 个，。 4. 不能 解析：3 个数字相加，最小和 3，最大和 9，一共 7 种和；一共有 8 个和（3 行 + 3 列 + 2 对角线）。，抽屉原理，必然至少两组和相等。 【B 组】 5. 27 个 解析：配对，共 24 对；单独抽屉数字 1、51；合计 26 抽屉。最不利各取 1 个 26 个，。 6. 80 个 解析：片段总数量：；1‑5 组成三位数一共种抽屉。 ；有余数，。 7. 不可能做到 解析：在8行8列的方格表中，8行有8个和，8列也有8个和，2条对角线有2个和，所以一共有8+8+2=18（个）和。因为题目问的是，这18个和能否互不相等，所以这18个和是物品，而和的不同数值是抽屉。 按题目要求，每个和都是由1，2，3三个数中任意选8个相加而得到的。这些和中最小的是8个都是1的数相加，和是8；最大的是8个都是3的数相加，和是24。在8至24之间，不同的和只有24-8+1=17(个)。将这17个不同的和的数值作为抽屉，把各行、列、对角线的18个和作为物品。把18件物品放入17个抽屉，至少有一个抽屉中的物品数不少于2件。也就是说，这18个和不可能互不相等。。 8. 能 解析：除以 6 余数 0‑5，6 个抽屉；7 个自然数，物品大于抽屉，必有两数余数相同，差为 6 倍数。 【C 组】 9. 不能做到 解析：4 个数字（1‑4）相加，最小和，最大和；不同和一共 13 种。 总共有：8 行 + 8 列 + 2 对角线 =18 个和；，根据抽屉原理，至少两组和相等。 10. 10 个 解析：两数差是 9 的倍数 ⇔除以 9 余数相同。除以 9 余数 0‑8，合计 9 个抽屉。 最不利每个抽屉先取 1 个数，再增加 1 个，。 五、本讲小结 ✦抽屉原理（鸽巢原理）核心：物品数＞抽屉数，则至少一个抽屉存在重复对象；解决 “保证至少……” 类问题。 ✦解题关键点：分清谁是物品、谁是抽屉；熟练掌握四种抽屉构造手段：余数分类、配对分组、组合分类、极端值法。 ✦配对类抽屉：落单数字必须单独算作抽屉，极易漏算。 ✦极端值法：先求出取值上下限，统计全部可能取值的总数量，把每一类取值作为抽屉。 ⚠【易错警示】 1. 不要默认一定会出现重复，只有物品数量大于抽屉数量，抽屉原理才生效； 2. “差等于 9” 与 “差是 9 的倍数” 完全是两类题目，余数抽屉的数量不一样，千万不要混淆； 3. 长数字截取片段，片段个数公式：总位数‑截取位数，不要直接拿总位数当片段数。 🧠【学习建议】 1.做题第一步优先区分物品、抽屉，再动手列式； 2.“保证至少” 的题型，优先思考最不利（最坏情况）； 3.算出答案之后，代入题目条件检验一遍，避免想当然出错。 逻辑与模型是思维的工具，用好抽屉原理，看透复杂问题背后的分类本质！ 祝贺你完成了本讲的学习，为努力的自己点赞！ 学科网（北京）股份有限公司 $