奥数培优第14讲 用割补法求面积（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

小学五年级下册奥数培优讲义★★★★★ 第 14 讲 用割补法求面积 —— 分割 · 平移 · 旋转 · 拼补 —— ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 🎯【学习目标】 知识理解：理解割补法 “转化与化归” 核心思想，掌握平移割补、旋转拼补、等积变换、整体减空白、差不变原理五种常用几何技巧。 能力目标：能够对不规则组合图形进行分割、平移、旋转拼补，把复杂图形转化为正方形、长方形、三角形、圆、扇形等熟悉的规则图形计算面积。 模型掌握：熟练掌握三角形平行线分割面积份数、等腰直角图形拼补、直角三角形内接矩形、正方形 L 形面积差、叶形容斥等经典几何模型。 素养提升：学会从图形变换角度分析几何题，不硬套公式，优先观察图形能否通过割补简化运算，提升几何直观思维。 ◆ 知识导航 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形。直接套用公式往往无法求解，这时就需要用到"割补法"。 割补法的核心思想是：通过对图形进行分割、平移、旋转、拼补，把不规则图形转化为可以计算面积的规则图形。它体现了数学中"转化与化归"的重要思想。 ▸ 五种常用割补技巧 1. 平移割补：将阴影部分沿水平或垂直方向平移，拼补到空白位置，使不规则图形变为规则图形。 2. 旋转拼补：将图形的一部分绕某点旋转一定角度，与另一部分拼成规则图形（常用于等腰直角三角形、正方形）。 3. 等积变换：拼补一个与原图完全相同的图形，利用"面积相等"的关系建立等式，间接求出未知面积。 4. 整体减空白：当阴影部分形状复杂时，先求整体图形面积，再减去空白部分面积（容斥原理的应用）。 5. 差不变原理：两个图形同时增加或减少相同面积，它们的面积差不变。常用于两个正方形面积差的问题。 ★ 典例精析 【例1】平移割补——双正方形中的四分之一圆 如图，两个边长为 8 厘米的正方形左右拼接在一起。左边正方形内，以右下角顶点为圆心、边长为半径的四分之一圆为空白部分；右边正方形内，以左下角顶点为圆心、边长为半径的四分之一圆为阴影部分。求阴影部分的面积。 ▸ 分析 观察图形可以发现：左边正方形中的空白四分之一圆，与右边正方形中的阴影四分之一圆，半径相同、形状完全一样。如果把右边的阴影部分向左平移，恰好可以填满左边正方形中的空白部分。 ▸ 详解 将右边正方形中的阴影四分之一圆向左平移 8 厘米，正好拼补到左边正方形的空白区域。此时，原来的阴影部分就转化成了一个完整的正方形。 S阴影 = S正方形 = 8 × 8 = 64（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 64 平方厘米。 【方法提炼】 平移割补的关键是观察"空白"与"阴影"是否形状相同、半径相等。如果可以通过平移使阴影填满空白，就能直接将不规则阴影转化为规则图形面积。本题中，两个四分之一圆半径均为8，平移后恰好拼成一个正方形。 【例2】等分法——三角形内梯形面积占比 如图，在三角形 ABC 中，两条与底边 BC 平行的线段分别交 AB、AC 于 D'、E' 和 D''、E''，将两腰分别三等分。三条平行线将三角形分成上、中、下三个区域，求中间梯形区域（阴影部分）的面积占整个三角形面积的几分之几。 ▸ 分析 两条平行线将两腰三等分，我们可以从顶点 A 出发，作一系列与底边平行的辅助线，将整个三角形分割成若干个大小相同的小三角形。因为相似三角形的面积比等于边长比的平方，所以最上方小三角形面积是整个三角形的 1/9。 ▸ 详解 将三角形 ABC 分割成面积比为 1:3:5 共 9 份面积相等的小三角形（从上到下依次为 1 个、3 个、5 个）。 上方区域（小三角形）占 1 个小三角形； 中间区域（梯形）占 3 个小三角形； 下方区域（梯形）占 5 个小三角形。 中间梯形占比 = 3 ÷ 9 = 1/3 答：中间梯形区域的面积占整个三角形面积的三分之一。 【方法提炼】 对于三角形中平行线分割的问题，"等分法"非常有效。将三角形等分成 n² 个小三角形（n 为等分数），每一层小三角形的个数依次为 1、3、5、…、(2n-1)。本题 n=3，共 9 个小三角形，中间层占 3 个，即 1/3。 【例3】旋转拼补——等腰直角三角形中的梯形 如图，从一个等腰直角三角形中剪去一个小等腰直角三角形，剩下一个等腰梯形（阴影部分）。已知梯形的上底为 6 厘米，下底为 14 厘米，求这个梯形的面积。 ▸ 分析 题目只给出了梯形的上底和下底，没有给出高，无法直接用梯形面积公式求解。注意到这是从等腰直角三角形中剪去一个小等腰直角三角形得到的，我们可以利用等腰直角三角形与正方形的特殊关系：四个完全相同的等腰直角三角形可以拼成一个正方形。 ▸ 详解 将四个与原图完全相同的等腰梯形（即四个"大等腰直角三角形减小等腰直角三角形"），以直角顶点为中心旋转拼补，可以组成一个"大正方形减去小正方形"的环形图形。 大正方形的边长等于梯形的下底 14 厘米，小正方形的边长等于梯形的上底 6 厘米。环形面积是梯形面积的 4 倍。 S环形 = 14² − 6² = 196 − 36 = 160（平方厘米） S梯形 = 160 ÷ 4 = 40（平方厘米） 答：这个梯形的面积是 40 平方厘米。 【方法提炼】 当等腰直角三角形中缺少"高"这个条件时，要想到"四个等腰直角三角形拼成一个正方形"的经典拼补方法。拼补后，梯形的上底和下底分别对应小正方形和大正方形的边长，梯形面积 =（大正方形面积 − 小正方形面积）÷ 4。 【例4】等积拼补——直角三角形内的矩形 如图，在直角三角形 ABC 中，∠C = 90°，内部有一个矩形 CDEF，顶点 D 在 AC 上，E 在斜边 AB 上，F 在 BC 上。已知 AD = 7 厘米，FB = 5 厘米，求矩形 CDEF 的面积。 ▸ 分析 题目给出了 AD 和 FB 两个长度，但它们与矩形的边长没有直接关系，无法直接计算矩形面积。我们可以给这个直角三角形再拼补上一个完全相同的直角三角形，组成一个矩形，利用"面积相等"的关系来求解。 ▸ 详解 将直角三角形 ABC 沿斜边 AB 翻折（或拼补一个完全相同的三角形），得到一个大矩形。在拼补后的图形中： 矩形 CDEF 与翻折后对应的矩形面积相等； AD 对应的区域与 FB 对应的区域恰好组成一个小矩形，其长为 7 厘米、宽为 5 厘米。 由于两个直角三角形完全相同，去掉公共部分后，剩余部分面积仍然相等。因此矩形 CDEF 的面积等于由 AD 和 FB 构成的小矩形面积。 S矩形CDEF = AD × FB = 7 × 5 = 35（平方厘米） 答：矩形 CDEF 的面积是 35 平方厘米。 【方法提炼】 直角三角形内接矩形问题，当已知数据是"直角边上的剩余线段"时，常用"等积拼补法"——拼补一个相同的三角形组成矩形，利用"差不变"原理，将矩形面积转化为两条已知线段的乘积。核心结论：矩形面积 = 两条剩余线段长度之积。 💡注意：本结论只适用于直角三角形，矩形一个顶点落在直角顶点，对角顶点落在斜边上，不能套用到普通三角形或其他摆放方式的矩形。 【例5】差不变原理——两个正方形的面积差 如图，甲、乙两个正方形，它们的边长之和为 30 厘米，甲正方形的面积比乙正方形大 60 平方厘米。求乙正方形的面积。 ▸ 分析 已知两个正方形的边长之和与面积之差，要求乙正方形的面积。直接设未知数列方程可以求解，但用割补法更加直观巧妙。把甲正方形中与乙正方形同样大的部分"挖掉"，剩下的 L 形区域面积就是面积差 60 平方厘米。把 L 形切割后拼补，可以变成一个长方形。 ▸ 详解 第一步：从甲正方形中"挖掉"一个与乙正方形同样大的部分，剩下的 L 形区域面积为 60 平方厘米。 第二步：将 L 形中凸出的小长方形割下，拼补到乙正方形的上方，使 L 形合并成一个完整的长方形。这个长方形的长等于甲、乙两个正方形的边长之和 30 厘米，面积为 60 平方厘米。 长方形的宽 = 60 ÷ 30 = 2（厘米） 这个宽恰好等于甲、乙两个正方形的边长之差，即 2 厘米。 第三步：已知边长之和为 30 厘米，边长之差为 2 厘米，这是典型的"和差问题"。 乙边长 =（30 − 2）÷ 2 = 14（厘米） S乙 = 14 × 14 = 196（平方厘米） 答：乙正方形的面积是 196 平方厘米。 【方法提炼】 两个正方形面积差问题，割补法的核心步骤是：①将面积差表示为 L 形区域；②把 L 形割补成一个长方形，其长 = 边长之和，宽 = 边长之差；③由面积差 ÷ 边长之和 = 边长之差，再用和差公式求各自边长。公式：边长差 = 面积差 ÷ 边长和。 ✎ 举一反三 （共 8 题，1-3 题为基础题★，4-6 题为提高题★★，7-8 题为挑战题★★★） 1. 如图，在边长为 12 厘米的正方形中，以四条边为直径分别向正方形内部画四个半圆，四个半圆相交形成的叶形重叠部分为阴影。求阴影部分的总面积。（π 取 3.14） 2. 如图，长方形的长为 20 厘米，宽为 10 厘米。以左下角顶点为圆心、宽为半径画四分之一圆（阴影），以右上角顶点为圆心、宽为半径画四分之一圆（空白）。求阴影部分的面积。 3. 如图，三角形的底为 18 厘米，高为 12 厘米。一条与底边平行的线段将高分成 1:2 两部分（从顶点算起），截得一个小三角形和一个梯形。求小三角形与梯形的面积比。 4. 如图，等腰直角三角形的斜边长为 20 厘米。从中剪去一个最大的正方形（正方形的一个顶点与直角顶点重合，对角顶点在斜边上），求剩余部分的面积。 5. 如图，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。求乙正方形的面积。 6. 如图，大、小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长长 4 厘米，大正方形的面积比小正方形大 72 平方厘米。求大、小两个正方形的面积之和。 7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 10 厘米，E 是 AB 边的中点，F 是 AD 边的中点。连接 CE、CF，求四边形 AECF（阴影部分）的面积。 8. 如图，一个六边形由一个正方形和两个等腰直角三角形组成（两个三角形分别接在正方形的左右两条边上）。已知正方形的边长为 8 厘米，用割补法求这个六边形的总面积。 ✓ 参考答案 1. 四个半圆的面积之和等于 2 个整圆的面积： S四个半圆 = 2 × π × 6² = 72π ≈ 226.08（平方厘米） 四个半圆覆盖了整个正方形，阴影部分是被至少两个半圆重叠覆盖的区域。根据容斥原理： S阴影 = S四个半圆 − S正方形 = 226.08 − 12×12 = 82.08（平方厘米） 答：阴影部分的总面积是 82.08 平方厘米。 2. 将左下角的阴影四分之一圆向右上方平移，恰好可以拼补到右上角的空白四分之一圆位置。此时阴影部分转化为一个完整的正方形（边长等于长方形的宽 10 厘米）。 S阴影 = 10 × 10 = 100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 100 平方厘米。 3. 平行线将高分成 1:2，从顶点算起，小三角形的高是整个三角形高的 1/3。相似三角形面积比等于边长比的平方： S小三角形 : S大三角形 = (1/3)² = 1 : 9 将大三角形等分成 9 个小三角形，小三角形占 1 份，梯形占 8 份。 S小三角形 : S梯形 = 1 : 8 答：小三角形与梯形的面积比是 1:8。 4. 等腰直角三角形斜边长 20 厘米， 利用等腰直角三角形斜边中线性质：斜边上中线 = 斜边一半 = 10， 直接求三角形面积 = 20×10÷2 = 100 平方厘米。 再用割补法：将等腰直角三角形沿斜边上的高分成两个更小的等腰直角三角形，最大内接正方形的边长等于原三角形直角边的 1/2，正方形面积 =等腰直角三角形的一半 = 100÷2 = 50 平方厘米。 S剩余 = 100 − 50 = 50（平方厘米） 答：剩余部分的面积是 50 平方厘米。 5. 分析与解：如果从甲正方形中“挖掉”和乙正方形同样大的正方形丙，所剩的A，B，C三部分面积之和就是40平方厘米（见下图）。 把C割下，拼补到乙正方形的上面（见上右图），这样A，B，C三块就合并成一个长20厘米的矩形，面积是40平方厘米，宽是40÷20=2（厘米）。这个宽恰好是两个正方形的边长之差，由此可求出乙正方形的边长为（20-2）÷2=9（厘米），从而乙正方形的面积为9×9=81（平方厘米）。 答：乙正方形的面积为81平方厘米。 6. 利用平方差公式：面积差 =（大边长 + 小边长）×（大边长 − 小边长）。已知边长差为 4 厘米，面积差为 72 平方厘米： 边长和 = 72 ÷ 4 = 18（厘米） 由和差公式： 大边长 =（18 + 4）÷ 2 = 11（厘米） 小边长 =（18 − 4）÷ 2 = 7（厘米） 面积和 = 11² + 7² = 121 + 49 = 170（平方厘米） 答：大、小两个正方形的面积之和是 170 平方厘米。 7. 用割补法：正方形面积 = 10×10 = 100 平方厘米。空白部分是两个三角形——△CBE 和 △CDF。 S△CBE = 10 × 5 ÷ 2 = 25（平方厘米） S△CDF = 10 × 5 ÷ 2 = 25（平方厘米） S阴影 = 100 − 25 − 25 = 50（平方厘米） 也可以用割补法直接观察：阴影四边形 AECF 的面积恰好等于正方形面积的一半。 答：四边形 AECF 的面积是 50 平方厘米。 8. 用割补法：将左右两个等腰直角三角形分别绕正方形的左右边旋转 90°，可以拼补到正方形的上方和下方，组成一个更大的正方形。 每个等腰直角三角形的直角边等于正方形的边长 8 厘米，面积 = 8×8÷2 = 32 平方厘米。 S六边形 = S正方形 + 2 × S三角形 = 8×8 + 2×32 = 64 + 64 = 128（平方厘米） 答：这个六边形的总面积是 128 平方厘米。 📝 【知识总结】 一、割补法核心思想 割补法 = 分割、平移、旋转、拼补，把不规则图形转化成规则图形计算面积，核心是转化与化归。 二、五大割补方法回顾 平移割补：将阴影 / 空白部分平移，使阴影和空白完全重合，直接得到规则图形，常用于圆、扇形拼接题。 旋转拼补：将图形局部旋转一定角度进行拼合，多用于等腰直角三角形、正方形相关题型。 等积变换：补一个完全相同图形，利用面积相等关系间接求未知量，例：直角三角形内接矩形模型（注意有严格适用条件，不可随意套用）。 整体减空白：整体图形面积减去空白部分面积，容斥原理（如叶形阴影）就是该方法的典型应用。 差不变原理：两个图形同时增加或者减去相同部分，面积差不变；经典模型：正方形 L 形面积差，可把 L 形割补成长方形，结合和差问题求解边长。 三、重要模型结论提醒 1.三角形两腰 n 等分，平行分割得到的各层面积份数为：1、3、5、…(2n-1),只是面积份数，小块形状不一定全等。 2.等腰直角梯形可以 4 个拼合成 “大正方形 - 小正方形” 环形； 梯形面积 = (大正方形面积-小正方形面积) ÷ 4 正方形面积差：边长差 = 面积差 ÷ 边长和，配合和差公式求边长。 【易错警示】 1.二级结论不要死记硬背，优先看懂推导过程，注意模型的适用前提条件。 2.看到扇形、叶形重叠，优先想到容斥原理（整体减重叠）。 3.遇到只给斜边的等腰直角三角形，优先用斜边中线求面积，尽量避开根号运算。 ——————————————————————————————————————------------------------------ — 祝贺你完成了本讲的学习，加油！ — 学科网（北京）股份有限公司 $