精品解析：陕西西安市西北大学附属中学2026-2027学年高三上学期摸底质量监测数学试题

西北大学附属中学2026-2027学年度第一学期摸底质量监测试题 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，即，解得， 则，故. 2. 表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ ） （1），，，则 （2），，，则 （3），，，则 （4），，，则 A. （1）（2） B. （3）（4） C. （2）（3） D. （2）（4） 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直、面面垂直的性质及判定逐一判断即可. 【详解】对于命题（1），可能只是相交不垂直，不正确； 对于命题（2），设，当时，可得，从而有，不正确； 对于命题（3），若，，则，那么内必有一条直线， 同理内也存在一条直线；由于， 故必相交于一点且，所以，故命题（3）正确； 对于命题（4），，则或；当时， 因为，所以；当时，存在使得， 因为所以，从而也有,所以命题（4）正确． 综上可得，命题（3）（4）正确. 3. 已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（     ） A. 99 B. 78 C. 66 D. 52 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的对称性得到，并得到，，得到答案 【详解】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②，由①－②可得， 用替换可得， 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 4. 已知函数恰有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分和两种情况，把看作一个整体， 结合正弦函数的性质进行分析，可得关于的不等式，求解可得的取值范围. 【详解】当时，由，得. 因为函数恰有两个极值点， 所以， 解得. 当时，由，得. 因为函数恰有两个极值点， 所以， 解得. 综上所述，的取值范围为. 5. 设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（ ） A. 42 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由定义令，解出对应的区间，每一个对应连续项，分段求和：算出到对应的项数与累加和，得到，进而时列不等式，求出m的最大值即可求解. 【详解】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则.变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为， 所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 则时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时， 设，解得，即最大取. 此时，； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为，则选项A正确. 6. 若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，由可求出的取值范围，根据函数在上恰有两个零点可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，，此时函数在上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 因为函数在上恰有两个零点，则，解得； 当时，由可得， 因为函数在上恰有两个零点，，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 7. 设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求得，求得随机变量X的取值，利用古典概型概率公式求得对应的概率，进而利用期望公式求得期望. 【详解】由题意得，随机变量X的取值为. 则，，， ，，， 所以. 8. 已知抛物线焦点为F，设P是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的最小值为（ ）． A. 5 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得双曲线的方程为，设，，则切点弦方程为，联立抛物线与抛物线的切点弦方程，由韦达定理可得，继而可得，由可得，结合抛物线的定理可得，利用二次函数的单调性求解最小值即可. 【详解】等轴双曲线中，所以， 所以双曲线的方程为，即， 设，， 则切点弦的方程为，即， ，可得， 所以， 又，， 所以， 又因为点在双曲线上， 所以，即， 所以， ， 二次函数的对称轴为，当时单调递减， 所以在上单调递减， 所以当时，取得最小值为6. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. （多选）给出下列命题，则（ ） A. 两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B. 若，，则 C. 若为非零向量，则与同向 D. 已知，为实数，若，则与共线 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A，相等向量可以通过平移重合，因此若两个相等向量起点相同，其终点必然相同，A正确； 选项B，由，，得，B正确； 选项C，是与同向的单位向量，C正确； 选项D，当时，恒成立，此时和可以是任意向量，不一定共线，D错误． 10. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（ ） A. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B. 若，则 C. 复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D. 复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意结合复数的三角表示以及几何意义依次判断即可. 【详解】对于A，已知，则复数可以表示为， 根据题意，，其中为偶数， 当时，，这是实数，不是纯虚数，故A错误； 对于B，已知，则模长，辐角满足，所以， 因此，则，故B正确； 对于C，点对应的复数为，模长，设辐角为，则， 将点绕原点逆时针旋转，相当于将复数乘以， 设旋转后的点为，对应的复数为，则， 对应的点的坐标为，故C正确； 对于D，设直线上任意一点为，对应的复数为，旋转后的点为，对应的复数为， 根据题意，是由顺时针旋转得到的，即是由逆时针旋转得到的， 因此，所以，， 将代入直线方程：，得，化简得， 因此旋转后得直线方程为，故D正确. 11. 设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，，则； D. 若，则． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件概率公式推导即可判断A；利用条件概率公式，结合对立事件性质，即可判断B；利用条件概率公式将两个式子展开化简即可判断C；利用对立事件的概率和，再结合条件概率公式和加法公式推导，即可判断D. 【详解】A.根据条件概率公式得,即， 两边同除以得，即，A正确； B.已知，即, 又整理得，， 即，即， 因此，B错误； C.化简得 ， ，C正确； D.已知，且， 即，所以， 整理得，而， 因此，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 【答案】169 【解析】 【分析】由能被4除余3且被6除余3的数就是能被12整除余3的数，运用等差数列的通项公式，以及解不等式即可得到所求的项数. 【详解】题目要求数满足两个条件：被4除余3、被6除余3，即该数减去3之后，既能被4整除，也能被6整除. 即为4和6的最小公倍数12的倍数， 因此所有符合要求的数都可以表示为， 显然数列为等差数列，且首项为3，公差为12. 由，则，解得 . 由于是正整数，的取值为，总共有169项. 13. 在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知两边及其夹角，可通过余弦定理求第三边，利用向量关系计算中线长即可． 【详解】由，，，根据余弦定理可得： ，解得； 由中线满足向量关系可得： ， 则． 14. 记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有4个正整数n满足，则实数的取值范围是_________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合题意和二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为点在直线上，可得， 则， 可得， 又因为有且只有4个正整数n满足， 结合二次函数的性质，可得符合条件的， 所以，即实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】（1）如图所示，取中点，连结，．由题意可知，，， 且，．故且，故四边形为平行四边形． ． ，平面，平面，平面 （2）1 【解析】 【分析】小问（1）在平面内找到一条平行于的直线，再运用线面平行的判定定理； 小问（2）运用几何法或建立空间直角坐标系将四棱锥的高即的长度求出，再运用四棱锥的体积公式即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （法一）取中点O，连结，，，， ， 由题意可知，平面，平面， 因此，而，，平面， 平面． 故平面，则为直线与平面所成角 即，故，而， 故． 四棱锥的体积； （法二）由题意可知，平面且， 以点A为坐标原点，，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系． 则各点坐标，，，，，， 平面的法向量为，，设直线与平面所成角为θ， 则，解得， 同理． 16. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024． 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． （2）①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 【答案】（1）选择模型②更适宜，理由如下： 根据图2可知，模型①的残差波动性很大，说明拟合关系较差； 模型②的残差波动性很小，基本分布在0的附近，说明拟合关系很好，所以选择模型②更适宜. （2）①；②该公司2030年的年利润最大 【解析】 【分析】（1）根据残差图确定； （2）①根据最小二乘法求非线性回归方程即可求解；②根据题意结合二次函数性质计算求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①设，所以， 所以， ， 所以关于的经验回归方程为； ②由题设可得， 当，即时，年利润有最大值， 故该公司2030年的年利润最大. 17. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，满足 ． （1）求证：； （2）求 的取值范围． 【答案】（1）证明：由题可知， 因为，故 ． 根据正弦定理得：， ， 因为，所以， 在 中，，故 ，即 ． 由正弦定理 （大边对大角）． 因此在 且 的条件下，只能是 ，故 ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理进行证明； （2）根据二倍角公式先化简，再令 结合二次函数的性质求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令 ， 在锐角三角形中 为锐角，且 为锐角， 所以， 又 为锐角，所以，所以 在 处 取最小值 ， 当 （）：（开区间），所以. 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）设过点且斜率不为的直线的方程为，设， 由椭圆方程可知，联立， 整理得， 由根与系数的关系得， 设直线的方程为，直线的方程为， 设，则， 将代入得， 所以， 即， 又由可得， 化简整理得， 因为直线的斜率不为，不能同时为，且若假设， 代入到，得； 代入到，得， 将代入到中，整理得，即矛盾，故假设不成立， 即， 故只能，即， 因此点在定直线上. （ii） 【解析】 【分析】(1)根据椭圆的定义和离心率求方程； (2)（i）设直线的方程，并与椭圆方程联立整理得到根与系数的关系，同时表示出直线和的方程，利用两个方程得到交点的横坐标，得以证明点在定直线上； （ii）先表示出两个三角形的面积比的形式，结合求得的根与系数的关系进行化简整理得到 的关系，代入分析最终得到的取值范围. 【小问1详解】 由椭圆的定义得，解得，又因为离心率， 所以，则， 因此椭圆标准方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题可知， 且，， 所以. 由（i）可知，且， 设，则，代入到根与系数关系中， 即， 将上式化简整理得， 再结合消去， 得， 可得，解得， 所以，则， 则， 故的取值范围为. 19. 已知函数，，， （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间，并求当函数有三个零点时，实数m的取值范围； （3）当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围. 【答案】（1）； （2）函数的单调增区间为和，单调减区间为； 实数m的取值范围为． （3）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得； （2）把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围； （3）由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可． 【小问1详解】 函数，所以，得，而， 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 当时，，，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数的单调增区间为和，单调减区间为； 极大值，极小值， 又， ， 如图所示，函数有三个零点等价于函数的图象与直线有三个交点， 所以函数有三个零点时的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以 令，得或，解得或， 当或时，，当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有， 而，， 又不等式对任意恒成立，于是， 设， 显然，， 令，求导得， 则函数在上严格递减，有， 当时，， 则有函数在上严格递减， ，符合题意； 当时，存在，使得， 当时，，当时，， 因此函数在上严格递增，有，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北大学附属中学2026-2027学年度第一学期摸底质量监测试题 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，则（   ） A. B. C. D. 2. 表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（ ） （1），，，则 （2），，，则 （3），，，则 （4），，，则 A. （1）（2） B. （3）（4） C. （2）（3） D. （2）（4） 3. 已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（     ） A. 99 B. 78 C. 66 D. 52 4. 已知函数恰有两个极值点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（ ） A. 42 B. C. D. 6. 若函数，恰有两个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设为空间中点构成的集合，点，记样本空间，从中随机取一个点，定义随机变量X如下：对中的每个点，令，则X的数学期望值为（ ） A. B. C. 0 D. 8. 已知抛物线焦点为F，设P是焦点为的等轴双曲线下支上一点，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则的最小值为（ ）． A. 5 B. 2 C. 3 D. 6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. （多选）给出下列命题，则（ ） A. 两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B. 若，，则 C. 若为非零向量，则与同向 D. 已知，为实数，若，则与共线 10. 设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式．由复数的三角形式可得出，若，，其在复平面内对应的点为，，．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍．根据上面知识，下列选项中正确的有（ ） A. 当，，且为偶数时，复数为纯虚数 B. 若，则 C. 复平面中，点绕原点逆时针旋转得到 D. 复平面中，将直线：绕点顺时针旋转得到直线： 11. 设M，N为随机事件，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，，则； D. 若，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________． 13. 在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为______． 14. 记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有4个正整数n满足，则实数的取值范围是_________ . 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图所示，在四棱锥中，平面，，，，是的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 16. 为了加快实现我国高水平科技自立自强，某科技公司逐年加大高科技研发投入．图1是该公司2015年至2024年的年份代码和年研发投入(单位：亿元)的散点图，其中年份代码1－10分别对应年份2015－2024． 根据散点图，分别用模型①，②作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并进行残差分析，得到图2所示的残差图．结合数据，计算得到如下表所示的一些统计量的值： 75 2.25 82.5 4.5 120 28.35 表中，． （1）根据残差图，判断模型①和模型②哪一个更适宜作为年研发投入关于年份代码的经验回归方程模型，并说明理由． （2）①根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程； ②设该科技公司的年利润(单位：亿元)和年研发投入满足（且），该科技公司哪一年的年利润最大？ 附：对于一组数据，，…，，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为， 17. 在锐角 中，内角 的对边分别为 ，满足 ． （1）求证：； （2）求 的取值范围． 18. 已知椭圆：的离心率为，为坐标原点，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，直线与直线相交于点． （ⅰ）求证：点在定直线上； （ⅱ）设和的面积分别为，，求的取值范围． 19. 已知函数，，， （1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）若，求函数的单调区间，并求当函数有三个零点时，实数m的取值范围； （3）当时，、分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $