25. 1 一元二次方程的概念 导学案

该初中数学导学案围绕一元二次方程的概念展开，核心知识点包括定义、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）、参数确定及方程的解。课堂导入从回顾一元一次方程入手，通过对比整式方程的未知数个数与次数，引导学生整理方程后判断是否满足“整式、一元、二次”条件，搭建从旧知到新知的学习支架。 该资料采用“知识详解+典例分析+变式训练”分层设计，典例覆盖定义辨析、一般式转化等核心问题，变式训练梯度递进。注重培养学生的抽象能力（概念条件提炼）、推理意识（参数取值逻辑判断），帮助学生形成从数学角度观察方程特征、用数学思维解决问题的习惯，提升学习效率与学科素养。

§ 第二十五章 一元二次方程 课时1 一元二次方程的概念 【知识详解一】一元二次方程的定义 1、 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 【批注】判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，这里的整理是指去括号、移项、合并同类项等，然后观察整理后的方程是否具备以下三个条件： （1） 是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2. 【典例分析】 【例1】下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有 ； 【变式训练】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【知识详解二】一元二次方程的一般式 二、一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2 + bx +c = 0(a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 注意：指出方程各项的系数时要带上前面的符号． 【典例分析】 【例2】．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【例3】．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【变式训练】 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 3．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项、一次项系数、常数项分别是________． 4．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； 5．关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 6．若关于的方程化成一般形式后不含有的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【知识详解三】一元二次方程的定义求参数 【例4】．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或-1 【例5】．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【变式训练】 1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 2．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 3．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 4．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 5．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【知识详解四】一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 注：判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根． 【典例分析】 【例6】．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 3．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 4．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 5．若关于x的方程满足和，则该方程的两个根分别为（   ） A． B． C． D． 6．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【知识详解五】根据一元二次方程的解求参数和代数式的解 【例7】．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【例8】．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【变式训练】 1．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 2．已知是关于的方程的一个根，则________． 3．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 5．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 6．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 7．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 8．已知是方程的解，则________． 9．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 10．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ § 第二十五章 一元二次方程 课时1 一元二次方程的概念 解析版 【知识详解一】一元二次方程的定义 1、 一元二次方程的定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 【批注】判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，这里的整理是指去括号、移项、合并同类项等，然后观察整理后的方程是否具备以下三个条件： （1） 是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2. 【典例分析】 【例1】下列方程中：①，②，③，④，⑤，⑥，是一元二次方程的有 ； 答案：①⑤ 解析：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对方程进行整理，这里的整理是指去括号、移项、合并同类项等，然后观察整理后的方程是否具备以下三个条件： （2） 是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是 2. 【变式训练】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 2．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 3．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识详解二】一元二次方程的一般式 二、一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax2 + bx +c = 0(a≠0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 注意：指出方程各项的系数时要带上前面的符号． 【典例分析】 【例2】．将一元二次方程化为一般形式是(        ) A． B． C． D． 【答案】C 【例3】．将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【变式训练】 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 2．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 3．将一元二次方程化为一般形式后，其二次项、一次项系数、常数项分别是________． 【答案】，， 4．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (2)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； (3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项； 5．关于的一元二次方程化成一般形式，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，4，0，则表示的数为（   ） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 6．若关于的方程化成一般形式后不含有的一次项，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识详解三】一元二次方程的定义求参数 【例4】．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或-1 【答案】B 【例5】．已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【变式训练】 1．若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 2．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 3．已知是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 4．已知方程． (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出二次项系数、一次项系数及常数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m的值． 【答案】(1)，二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为11 (2)或 5．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【知识详解四】一元二次方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根． 注：判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根． 【典例分析】 【例6】．下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【变式训练】 1．下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．下列方程中，有一根为2的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 4．已知代数式的值如下表，则关于的一元二次方程的根为(   ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 5．若关于x的方程满足和，则该方程的两个根分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 6．请你写一个一元二次方程，使其中一个解等于1，它是____________． 【答案】（答案不唯一） 【知识详解五】根据一元二次方程的解求参数和代数式的解 【例7】．已知方程的一个根是2，则的值为（     ） A．2 B．1 C．3 D．−3 【答案】B 【例8】．若关于x的一元二次方程的一个根是，则（     ） A．2029 B．2023 C． D．2025 【答案】A 【变式训练】 1．若是方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】C 2．已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 3．已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为_________． 【答案】 4．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是________． 【答案】 5．若是关于的一元二次方程（）的解，则代数式的值是_____． 【答案】 6．已知是方程的解，则________． 【答案】 7．已知、是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】9 8．若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 1 学科网（北京）股份有限公司 $