1.2 空间向量基本定理 2026-2027高二上学期数学选修一例题精讲及课时精练

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，先通过基础回顾梳理空间向量基本定理（基底概念及正交分解），再以题型分层设计（基底判断、用基底表示向量、定理应用）搭建学习支架，形成从概念理解到综合应用的完整脉络。 该资料亮点在于题型设计注重逻辑推理与空间观念培养，如基底判断通过假设共面建立方程组训练推理意识（数学思维），几何模型问题（如空间四边形、平行六面体）发展空间想象（数学眼光）。课中助力教师系统授课，课后精练含选择、填空、解答题，帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达和解决问题的能力。

1.2 空间向量基本定理 题型一 基底向量的概念 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A D C D AC ACD BD 题型二 用基底表示空间向量 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B C A D ACD ABD ABD 题型 三 空间向量基本定理的应用 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A C D D A BD ACD ACD 课时精练 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C C D C C A BCD BCD ACD 三、填空题 12．【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 13．【答案】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 14．【答案】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 四、解答题 15．【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 16．【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 17．【答案】(1) (2)1 (3)或． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解； （2）利用空间向量的线性运算得到，然后利用三点共线求出，最后利用空间向量数量积的运算律结合余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出，解方程即可求解. 【详解】（1）在中，， ， ． （2）设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． （3）设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ， 化简得， 解得或， 或． 18．【答案】(1)证明见解析； (2)6. 【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证. （2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解. 【详解】（1）在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. （2）依题意，， 而， 则， 因此 ， 所以的长度为6. 19．【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 空间向量基本定理 【基础回顾】 1 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 不共面，那么对空间中的任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 . 其中，空间中不共面的三个向量 组成的集合 ，常称为空间向量的一组基底。 此时， 都称为基向量； 如果 ，则称 为 在基底 下的分解式。 注意：基底中不能有零向量。 因为零向量与任意一个非零向量都是共线向量， 与任意两个非零向量都共面， 所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量。 知识点 2: 空间向量的正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫作单位正交基底，常用 表示。 （2）正交分解： 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫作把空间向量进行正交分解。 题型一 基底向量的概念 基底判断的基本思路及方法： （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底； 若不共面， 则能构成基底。 （2）方法： ①若向量中存在零向量，则不能作为基底；若存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底。 ②假设 ，运用空间向量基本定理，建立关于 ， 的方程组， 若有解， 则共面， 不能作为基底； 若无解， 则不共面， 能作为基底。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 3．已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 4．以下说法中，正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 5．关于空间向量，以下说法错误的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 6．在以下命题中，不正确的个数为（   ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 8．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 10．（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 题型二 用基底表示空间向量 1．如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 2．在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 3．在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 4．已知在三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，直线上的动点满足：，则的值随增大而（    ） A．不变 B．增大 C．减小 D．先减小，后增大 5．如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）在正方体中，是棱上的动点，则（    ） A． B．的面积为定值 C．向量在平面上的投影向量为 D．若为的中点，则 9．（多选）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 10．（多选）如图，在长方体中，P为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．若长方体的长宽高确定，则四面体的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若底面为正方形，则过点P有且只有一条直线与，所成的角均为 D．若，，则平面截长方体的外接球所得截面的面积是 题型 三 空间向量基本定理的应用 主要有以下四点： （1） 求线段长或模长； （2） 证明垂直关系；（3）求向量夹角；（ 4）用唯一性求参数 （重难点） 1．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 4．在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．15 B．12 C．9 D．10 7．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 8．（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 9．（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 10．（多选）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 课时精练 一、单选题 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．在四面体中，.设，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 5．如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 6．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 8．在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 10．（多选）在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（ ） A．当时， B．当时，在平面内 C．当时，的轨迹的面积为 D．当时，点在平行四边形内部及其边上 11．（多选）在四棱锥中，，，，点分别满足，，．平面与棱交于点，，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．, C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 三、填空题 12．如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 13．在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 14．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 16．如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 17．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 18．如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 19．在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． $ 1.2 空间向量基本定理 【基础回顾】 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 知识点 1: 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量 不共面，那么对空间中的任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得 . 其中，空间中不共面的三个向量 组成的集合 ，常称为空间向量的一组基底。 此时， 都称为基向量； 如果 ，则称 为 在基底 下的分解式。 注意：基底中不能有零向量。 因为零向量与任意一个非零向量都是共线向量， 与任意两个非零向量都共面， 所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量。 知识点 2: 空间向量的正交分解 （1）单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为 1，那么这个基底叫作单位正交基底，常用 表示。 （2）正交分解： 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫作把空间向量进行正交分解。 题型一 基底向量的概念 基底判断的基本思路及方法： （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底； 若不共面， 则能构成基底。 （2）方法： ①若向量中存在零向量，则不能作为基底；若存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底。 ②假设 ，运用空间向量基本定理，建立关于 ， 的方程组， 若有解， 则共面， 不能作为基底； 若无解， 则不共面， 能作为基底。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间的另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故A错误； 对于B，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故B错误； 对于C，假设共面， 则存在实数使得 ， 又因为构成空间的一个基底，则，方程组无解， 所以不共面，可以作为空间一个基底，故C正确； 对于D，因为，所以共面， 不能作为空间一个基底，故D错误. 2．已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依次判断各选项的向量，与，不共面即可. 【详解】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足. 对于B，由于，，，共面，不满足； 对于C，由于，，，共面，不满足； 对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足； 故能与，构成空间的一个基底的只有． 故选：A 3．已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 4．以下说法中，正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】对于①，若，则，反向共线，充分性成立， 但当非零向量，同向共线时，不存在，必要性不成立， 则“”是“，共线”的充分不必要条件，故①正确； 对于②，当为零向量，不为零向量时，不存在，故②错误； 对于③，由，，则，， 不能得到，故③错误； 对于④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， 即不共面，构成空间的另一个基底，故④正确； 对⑤，，故⑤错误． 5．关于空间向量，以下说法错误的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】D 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；利用共面定理的推论可判断B；假设共面，利用共面定理可否定假设，从而可判断C；考虑共线反向可判断D. 【详解】对A，向量中，若存在，显然满足题意，所以都是非零向量， 不妨设向量共线，则存在实数，使得，故， 由共面向量定理可知，向量共面，正确； 对B，因为，所以，由共面定理的推论可知，P，A，B，C四点共面，正确； 对C，设，则， 因为是空间向量的一个基底，所以， 显然上述方程组无实数解，所以向量不共面，可以作为空间向量的基底，正确； 对D，当时，向量有可能反向，此时若，不是钝角，错误. 故选：D 6．在以下命题中，不正确的个数为（   ） ①是共线的充要条件； ②若，则存在唯一的实数，使； ③对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①；利用与任意向量共线判断②；利用共面向量定理判断③；利用基底的定义，结合反证法推理判断④即可. 【详解】对于①，当向量、同向时，，则不是共线的充要条件，①错误； 对于②，当为零向量，不是零向量时，不存在使成立，②错误； 对于③，若四点共面，则存在唯一使得， 则，即， 而，因此，此方程无解，③错误； 对于④，若向量共面，于是， 则，即向量共面，与为空间的一个基底矛盾， 因此构成空间的另一个基底，④正确， 所以给定命题中不正确的个数为3. 故选：C 7．已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理可判断. 【详解】∵向量，，不能构成空间的一组基底， ∴，，共面， ∵向量，，有共同的点， ∴四点共面，故D正确； 当四点共面时， ，，不一定共线，故A错误； 中不一定有三点共线，故B错误； 与不一定共线，故C错误， 故选：D. 8．（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 9．（多选）已知是空间的一个基底，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量、、一定共面 C．向量在基底下的坐标是 D．对空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组，使得 【答案】ACD 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，因为是空间的一个基底，若， 假设、、不全为零，不妨设，则， 所以、、共面，矛盾，故，同理可得，，即，A对； 对于B，假设、、共面， 则存在、，使得， 即， 根据A可知，该方程组无解，假设不成立， 故向量、、不共面，B错； 对于C，向量在基底下的坐标是，C对； 对于D，由B可知，向量、、一定不共面， 则可作为空间向量的一组基底， 故空间中任意向量，都存在唯一的有序实数组， 使得，D对. 10．（多选）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【分析】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【详解】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 题型二 用基底表示空间向量 1．如图，空间四边形中，点和点分别在和上，且满足，则下列向量与是共线向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，由，得， 所以， 对于A，假设共线，则，无解，A错误； 对于B，， 所以与共线，B正确； 对于C，假设共线，则，无解，C错误； 对于D，假设共线，则，无解，D错误； 2．在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，由得， ， 代入得． 3．在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 4．已知在三棱锥中，平面，是边长为的等边三角形，直线上的动点满足：，则的值随增大而（    ） A．不变 B．增大 C．减小 D．先减小，后增大 【答案】B 【分析】由题意知，再结合，根据向量数量积运算得，最后结合一次函数的性质判断即可. 【详解】因为直线上动点满足：， 所以 因为平面，平面，所以，即 因为是边长为的等边三角形， 所以，， 所以 ， 因为是关于的一次函数，且单调递增， 所以的值随增大而增大 5．如图，空间四边形中，，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形可得，结合向量的线性运算求解即可. 【详解】由题意可得： ， 所以. 6．在四面体中，设，，，点M为AB的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，又点M为AB的中点，所以. 所以 . 7．如图，在长方体中，，，分别是线段，，上靠近点的三等分点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理求解即可. 【详解】由题意可知，， ， 则， 又因为，所以. 8．（多选）在正方体中，是棱上的动点，则（    ） A． B．的面积为定值 C．向量在平面上的投影向量为 D．若为的中点，则 【答案】ACD 【分析】对于A，由平面即可判断；对于B，作，，证明是的高，由判断；对于C，由点A，P在平面上的投影分别为点，判断；对于D，由空间向量的线性运算判断. 【详解】 如图所示，在正方体中，平面，平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，故A正确； 作于点，则平面，又平面，则， 作于点，又平面，则平面， 又平面，则，所以是的高，因 ， 因为点是棱上的动点，则垂足也在动，则点到的距离也在变，即长度变， 虽然的长不变，但在变，而，则的面积不是定值，故B错误； 因为点A，P在平面上的投影分别为点，，所以向量在平面上的投影向量为，故C正确； 因为为的中点，且，所以，故D正确. 故选：ACD 9．（多选）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 【答案】ABD 【分析】根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A，根据空间向量加法规则可知，A正确； 对于B，因为点满足，且，所以根据共面向量定理得点四点共面，B正确； 对于C，因为， ， 与不共线，故不共线，因此不可能共线，C错误； 对于D，因为 因为，所以，则，D正确. 10．（多选）如图，在长方体中，P为线段上一动点（含端点），则下列说法正确的是（   ） A．若长方体的长宽高确定，则四面体的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若底面为正方形，则过点P有且只有一条直线与，所成的角均为 D．若，，则平面截长方体的外接球所得截面的面积是 【答案】ABD 【分析】对于A，由三棱锥体积公式求解即可；对于B，先设，再用表示，再对比系数求解即可；对于C，过点P可以作两条直线与，所成的角均为；对于D，先求外接球半径，再求截面（截面为圆）的半径，进而求其面积. 【详解】对于A，在长方体中，因为 ，平面，平面， 所以 平面，即点到平面的距离是定值，故四面体的体积为定值，A正确； 对于B，设，由向量运算 ，如果，对比系数得：， 所以存在点P，使得，B正确； 对于C，如图，连接交于点，因为底面是正方形，所以，过点可以作两条直线与，所成的角均为， 可将这两条平行线平移到经过P点，所以过点P有两条直线与，所成的角均为，C错误； 对于D，设长方体的外接球球心为，半径为，与交于点， 则 所以，设到平面的距离为， 利用等体积法，先以为底面计算三棱锥的体积：， ， 再以为底面计算三棱锥的体积： 由题可知四边形是正方形，所以， 又，所以平面，所以 ，所以是三棱锥的高， ，， ， 等体积法得： ，所以，解得， 则平面截长方体的外接球所得截面圆的半径， 其面积为 ，D正确. 题型 三 空间向量基本定理的应用 主要有以下四点： （1） 求线段长或模长； （2） 证明垂直关系；（3）求向量夹角；（ 4）用唯一性求参数 （重难点） 1．如图，在空间四边形中，，，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，，， 则，又， 且不共面，因此， 所以. 2．在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 3．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 4．在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 故选：C 5．如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量线性运算即可求得结果. 【详解】在平行六面体中，， 由为平行四边形，与交于点， 所以为与的中点， 所以 ， 故选：D. 6．已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．15 B．12 C．9 D．10 【答案】D 【分析】利用向量的基本定理将用进行表示，结合已知，进行整理得到，根据空间向量基本定理可知在平面内存在一点，从而得到，即可得到，利用三棱锥的体积公式求出． 【详解】    因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则． 故选：D． 7．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，连接，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【详解】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 故选：A. 8．（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 9．（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【分析】以为一组基底，将用基底表示，得，利用数量积的运算即可求解，进而判断A，先求，利用向量的夹角公式即可判断B，计算和即可判断CD. 【详解】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由 ，所以，故D正确； 故选：ACD. 10．（多选）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【答案】ACD 【分析】由空间向量的基本定理结合面面平行可得A正确；由向量的数量积运算可得B错误；由空间向量的基本定理结合已知得到点的轨迹是线段，再由勾股定理可得C正确；由空间向量的基本定理得到点P的轨迹是线段，当为的中点时可得D正确. 【详解】对于A，若，则点P在线段上，易知平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，若， 即， 则点P的轨迹是以为半径的四分之一圆弧，又， 所以点P的轨迹长度是，故B错误； 对于C，设和的中点分别为M，N， 若，则点P的轨迹是线段， 当P是的中点时，的长度最小， 因为是等腰三角形，，， 所以长度的最小值为.，故C正确； 对于D，若，则点P的轨迹是线段， 设与平面所成的角为， 在等边三角形中，边长为，当P为的中点时，取得最小值，为， 而点P到平面的距离恒为2，所以 ，从而，故D正确. 故选：ACD. 课时精练 一、单选题 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】由共面向量的充要条件验证即可. 【详解】由共面向量的充要条件可得： 选项A，，所以，，三个向量共面； 选项B，，无解，所以，，三个向量不共面； 选项C，，所以，，三个向量共面； 选项D，，所以，，三个向量共面； 故选：B. 2．已知三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得. 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且. 对于A，由，得，点不共面，故A不合题意； 对于B，由，得，点不共面，故B不合题意； 对于C，由，得，点不共面，故C不合题意； 对于D，由，得，点共面，故D符合题意. 故选：D. 3．在四面体中，.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的运算进行求解即可. 【详解】. 故选：C 4．如图，在平行六面体中，，，，点M为线段的中点，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量线性运算性质进行求解即可. 【详解】 . 故选：C 5．如图，分别是四面体的棱的中点，点在上且满足，若，则与相等的向量是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算，结合中线向量性质，即可求解. 【详解】由可得：， 又因为分别是四面体的棱的中点， 所以， 又因为， 所以， 故选：D. 6．如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】如图，连接，    则. 故选：C 7．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 8．在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积可求. 【详解】， 则 ． 故选：A. 二、多选题 9．（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理及空间向量的运算法则即可判断各选项． 【详解】对于A，因为， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B，由题可知，， 因为， ， 所以， 又平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，由题可知，四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以平行四边形为菱形， 又， 所以，则菱形为正方形，故C正确； 对于D，设， 则 ， 所以 ， 所以的最小值为，故D正确． 10．（多选）在棱长为1的平行六面体中，，点满足，其中.则（ ） A．当时， B．当时，在平面内 C．当时，的轨迹的面积为 D．当时，点在平行四边形内部及其边上 【答案】BCD 【分析】利用向量模的运算即可判断A，利用向量线性运算结合共面定理可判断BCD. 【详解】当时，， 因为在棱长为1的平行六面体中，，且， 所以 ， 故A错误； 当时，则 可得， 向量共面，即在平面内，故B正确； 当时，， 因为，所以表示以为起点，终点在平行四边形的内部及其边上， 则，表示终点的轨迹为平行六面体中的截面，其面积等于平行四边形的面积， 即，故C正确； 当时，， 可得， 当时，可知点在平行四边形内部及其边上， 故D正确. 11．（多选）在四棱锥中，，，，点分别满足，，．平面与棱交于点，，则以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．, C．若，则 D．若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分 【答案】ACD 【分析】求证平面即可由线面平行性质定理求解判断A；取CD中点H，求证平面且在平面外即可判断B；用基底表示，利用共面定理即可求解判断C；求出，由，，得到，求出从而得到，由，得到，建立 的等式求出的值可判断D. 【详解】对于选项A，由题，若，则，即重合， 因为，在平面外，平面， 所以平面，因为平面平面，平面， 所以，故A正确； 对于选项B，取CD中点H，连接BH，则由题可知，所以四边形为平行四边形， 连接，则I为BD中点， 因为，，， 所以，， 所以，连接PI，则，又平面， 所以平面，因为平面，在平面外， 所以对，不成立，故B错误；    对于选项C，若，则， ， 因为四点共面，所以存在实数使得， 则，故C正确； 对于选项D，设的体积为，点到平面的距离为， ，，为梯形， ，设， 则， ， ， ，， ， 到平面的距离就是到平面的距离， ，， ， ， ，， ， 且要使， ，， 在上，， ，， ， ， ， ， ，， 故若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 13．在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【分析】利用空间向量模长公式，将体对角线向量分解为三条棱向量的和，平方展开后代入模长与夹角计算数量积，最后开方得到结果. 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 14．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 【答案】 【分析】先利用四点共面的向量性质得到的约束条件，再通过1的代换变形目标式，结合基本不等式求出最小值. 【详解】根据共面向量定理的推论，因为四点共面，不在该平面上，满足， 所以，即， 所以， 因为 当且仅当，即时等号成立， 代入得， 故的最小值为. 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式. 四、解答题 15．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 16．如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【详解】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 17．如图，在棱长为2的正四面体中，为上的动点，为上靠近的三等分点，为的中点，与交于点．    (1)用，表示； (2)若点为的中点，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 (3)或． 【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解； （2）利用空间向量的线性运算得到，然后利用三点共线求出，最后利用空间向量数量积的运算律结合余弦定理即可求解； （3）设，利用余弦定理和空间向量数量积的运算律表示出，解方程即可求解. 【详解】（1）在中，， ， ． （2）设， 由（1）可知，， ，， ，，三点共线， ，， ， ， 由余弦定理可得， ， ． （3）设，由余弦定理可得， 由正四面体得， ， ， 化简得， 解得或， 或． 18．如图，在平行六面体中，，分别在棱上，且． (1)求证：四点共面； (2)求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)6. 【分析】（1）取空间的一个基底，利用空间向量的线性运算及向量共线推理得证. （2）由（1）中基底表示，再利用空间向量数量积及运算律求解. 【详解】（1）在平行六面体中，令，则是空间的一个基底， 由，得，， 因此，而点直线，则，所以四点共面. （2）依题意，， 而， 则， 因此 ， 所以的长度为6. 19．在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． $