1.1.2 空间向量的数量积运算讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，系统梳理空间向量夹角（含定义、范围及与异面直线所成角的区别）、数量积（定义、几何意义、运算律、性质）等内容，构建从概念辨析到应用的学习支架，为后续解题奠定基础。 资料亮点在于知识清单突出概念细节（如“共起点找夹角”口诀、零向量夹角约定），典型例题按求数量积、投影、夹角等场景分类，结合正方体、正四面体模型，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理的能力。课中助力教师分层教学，课后检测题帮助学生巩固，有效查漏补缺。

1.1.2 空间向量的数量积运算 第一部分：知识清单 知识点1：空间两个向量的夹角 1.定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2.范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3.拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点2：空间向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3.向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4.空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5.数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点3：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 第二部分：典型例题汇总 典例一 空间向量数量积的概念辨析 典例二 求空间向量的数量积 典例三 利用数量积求投影 典例四 利用数量积求夹角 典例五 利用数量积求距离或模长 典例六 利用数量积证明垂直问题 第三部分：典型例题 典例一 空间向量数量积的概念辨析 1．（25-26高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中，    满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 2．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）（多选）下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 【答案】CD 【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误. 【详解】对A：因为，若，则或或， 即或或，故A正确； 对B：因为，时，三点共线，故B正确； 对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量， 是与共线的向量，所以未必成立，故C错误； 对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误. 故选：CD 3．（25-26高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 【答案】6 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点满足是正方体的一条棱，则的最小值为______. 【答案】 【分析】作图相应图形，利用空间向量的线性运算与数量积的运算法则求得，进而得到点的轨迹，再利用空间向量数量积的定义即可得解. 【详解】依题意，取的中点，则， 则， 所以，则在以为球心，为半径的球面上，如图， 可知在上的投影数量最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：. 典例二 求空间向量的数量积 5．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 6．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体中棱向量两两垂直、模长为的性质，先展开点积，再根据垂直向量点积为，向量自身点积为模长平方，代入计算即可快速得到结果． 【详解】    由题意，正方体棱长为1，所以两两垂直且， 所以， 因为、、，所以，，， 又，代入得． 7．（2026高一·全国·专题练习）已知三棱锥的顶点在底面上的射影为的外心．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】由题可知，，再结合空间斯坦纳定理：，再代入计算即可． 【详解】解：如图， 因为在底面上的射影为的外心，所以， 由空间斯坦纳定理：． 故答案为：． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）转化为计算即可； （2）直接计算即可； （3）将转化为，将转化为，再代入计算即可． 【详解】（1）． （2）． （3） ． 典例三 利用数量积求投影 9．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用投影向量公式求解即可. 【详解】由投影向量公式得空间向量在向量方向上的投影向量如下， 为，故C正确. 故选：C 10．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在空间四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】由题意， 则，， 因为， 所以在上的投影向量为. 故选：C 11．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 【答案】 【分析】根据投影向量公式求得，利用数量积的运算律化简得，将已知条件代入得，最后利用数量积的定义求解即可. 【详解】由于在上的投影向量为， 则，即， 即，由，则，所以， 于是． 故答案为： 12．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为___________（用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 典例四 利用数量积求夹角 13．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 【答案】 【分析】先由数量积的定义式结合运算律求出与的点积，再计算其模长，然后由夹角公式计算可得. 【详解】由，的夹角为，且，得， ， 设与的夹角为，则， 由于，故. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，，证明出，结合直线、不重合可证得结论成立； （2）将、用基底、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）设，，，则、、不共面， 由题意可得，，所以， 又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面. （2）由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 因为为的中点，所以， ， 所以， 故 ， ， ， 所以， 因此直线与所成角的余弦值为. 15．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 【答案】C 【分析】根据数量积公式，代入向量夹角公式，即可求解. 【详解】设， ， , ， , 所以和的夹角为. 故选：C 16．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【详解】由， 所以，由于，所以 在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形， 分别是中点，所以， 所以，所以. 故选：C 典例五 利用数量积求距离或模长 17．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，利用数量积求模长即可； （2）设，根据向量垂直结合数量积可得，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知：，，， 因为， 则 ， 即，所以的长为. （2）设，则 可得 ， 若，则，解得， 所以，即的长为2. 18．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 19．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 20．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）在平行六面体中，底面正方形边长为3，侧棱的长为2，且，则的长为（    ） A． B．10 C． D．34 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算及数量积的运算律，结合向量的模公式即可求解. 【详解】在平行六面体中， 由，， 得，， 由图知，， 则 . 故选：A. 典例六 利用数量积证明垂直问题 21．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）首先写出，再根据向量数量积的运算律即可得到答案； （2）利用基底法得，再计算数量积为0即可； （3）首先写出，再求出相关数量积和模长，最后根据数量积的夹角公式即可得到答案. 【详解】（1）设，， ，，， 则 . （2）， 则，则. （3）， 则， 而 则， 则异面直线与所成角的余弦值为. 22．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 【答案】(1) (2) ， 则 . 故. 【分析】（1）由题意，结合模、数量积的计算公式列方程即可求解； （2），由数量积的运算律证明即可. 【详解】（1）设，三个向量不共线，则构成空间的一个基底， 且， ， 则，故. （2）略 23．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 【答案】(1)； (2) ， 所以，所以， 同理可证，所以. 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. 【详解】（1）， ， 所以； （2）略 24．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（   ）    A．直线与直线始终垂直 B．直线与直线始终异面 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】C 【分析】证明平面，从而可证四点不共面，即可判断AB；设，将分别用表示，假设直线与直线CP垂直，则，求出即可判断C；证明平面，即可判断D. 【详解】对于A，连接 因为正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，所以，平面 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 故A正确. 在正三棱柱中， 因为点M、N分别为棱AB、的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面， 因为平面，，， 所以四点不共面， 所以直线与直线CP始终异面，故B正确； 对于C，设， 则， ， 若直线与直线CP垂直，则， 即， 所以， 即，解得， 因为，所以不存在点使得直线与直线垂直，故C错误； 对于D，连接， 因为为的中点，所以， 又因平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以当点在的位置时，直线与直线BP垂直，故D正确.    故选：C. 第四部分：课后检测 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 【答案】B 【分析】根据数量积的运算律即可判断BCD，根据向量共线的性质即可判断A. 【详解】对于A，若，则且，不一定成立，故A错误， 对于B，，故B正确， 对于C，若，且，则， 则，无法得出，故C错误， 对于D，表示与共线的向量，而表示与共线的向量， 所以与不一定相等，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由，结合向量数量积运算率求解即可. 【详解】因为，，，， 所以 ， 所以. 故选：D 3．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用基底法结合空间向量数量积的运算律可求的值. 【详解】设正四面体的棱长为. 由正四面体结构性质可知， 而 故， 故选：B. 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 5．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在正四棱台中，，向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，设正四棱台高为h，如图建系，求得各点坐标，进而可得，根据投影向量的公式，即可求得答案. 【详解】设，则，设正四棱台高为h， 设平面中心为F，平面中心为E，取AB中点G，BC中点H， 连接FG、FH、FE，根据正四棱台的性质， 以F为原点，FG、FH、FE为x，y，z轴正方向建系，如图所示，    则， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为 . 故选：C 6．（25-26高二上·山东烟台·开学考试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 7．（25-26高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为6. 故选：B. 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 【答案】AC 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果即可. 【详解】在平行六面体中， 其中以顶点为端点的三条棱长均为1 ，且彼此夹角都是， 所以，. 对于A，因为， 所以， ，故A正确； 对于B，因为, 且, 即不成立，故B错误； 对于C，，所以， 所以, 所以向量与夹角是，故C正确； 对于D，， ， 而， ， ，故D错误. 故选：AC 10．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知平行六面体的各个面均为菱形，设，，且，两两之间的夹角都是，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先根据题意得到，且两两之间的夹角均为.对选项A，计算即可判断A正确；对选项B，计算，即可判断B错误；对选项C，计算，即可判断C正确；对选项D，分别计算和，即可判断D正确. 【详解】由已知得，且两两之间的夹角均为， 所以， 对选项A，，故A正确； 对选项B， . 故B错误； 对选项C， ，即，故C正确； 对选项D， ， 又因为，所以， 又因为余弦函数在单调递减， 故，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 12．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 【答案】 【分析】首先利用向量表示，平方后利用数量积运算公式，即可求解. 【详解】， 则， ， 所以. 故答案为： 13．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 【答案】0 【分析】根据题意，设，求得，，结合向量的数量积的定义与运算公式，即可求解. 【详解】设向量，则， 所以， 又由，， 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 【答案】 【分析】由空间向量数量积的定义和运算性质即可求解. 【详解】设，因为， 所以， 则． 所以，即． 故答案为： 15．（25-26高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据，可表示出； （2）先确定的模长以及两两之间的夹角，然后根据计算出， 再根据展开计算求得结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以. （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 16．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii） 【分析】（1）连接，结合空间向量的线性运算以为基底表示向量即可； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，即可得结论. 【详解】（1）如图，连接，    因为六边形为正六边形， 所以，则， 所以，； （2）因为六边形为正六边形，所以， 又， 所以， （i）； （ii）因为， 所以. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量的数量积运算 第一部分：知识清单 知识点1：空间两个向量的夹角 1.定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2.范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3.拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 知识点2：空间向量的数量积 1.定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2.空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3.向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4.空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5.数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 知识点3：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 第二部分：典型例题汇总 典例一 空间向量数量积的概念辨析 典例二 求空间向量的数量积 典例三 利用数量积求投影 典例四 利用数量积求夹角 典例五 利用数量积求距离或模长 典例六 利用数量积证明垂直问题 第三部分：典型例题 典例一 空间向量数量积的概念辨析 1．（25-26高二上·山东威海·期中）对任意的空间向量，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B． C． D．若，则 2．（25-26高二上·福建福州·阶段检测）（多选）下列四个结论错误的是（   ） A．任意向量，，若，则或或 B．若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线 C．空间中任意向量，，都满足 D．若，，则 3．（25-26高二上·山西·期中）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点满足是正方体的一条棱，则的最小值为______. 典例二 求空间向量的数量积 5．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 6．（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知正方体的棱长为，若，，，则（    ） A．0 B．2 C．1 D．4 7．（2026高一·全国·专题练习）已知三棱锥的顶点在底面上的射影为的外心．若，，则的值为________． 8．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为1的正四面体中，，分别是，的中点，求： (1)； (2)； (3)． 典例三 利用数量积求投影 9．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）在空间四边形中，已知，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）已知向量，满足，且在上的投影向量为，则= ______． 12．（25-26高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为___________（用向量来表示）.    典例四 利用数量积求夹角 13．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角___________. 14．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 15．（25-26高二上·北京·期中）三棱锥中，，，两两垂直，.则和的夹角为（   ） A． B． C． D．90° 16．（25-26高二上·江西赣州·期中）在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 典例五 利用数量积求距离或模长 17．（25-26高二上·浙江·期中）如图，在平行六面体中，，，点为的中点.    (1)求的长； (2)已知为上的动点，若，求的长. 18．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·河北石家庄·阶段检测）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 20．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）在平行六面体中，底面正方形边长为3，侧棱的长为2，且，则的长为（    ） A． B．10 C． D．34 典例六 利用数量积证明垂直问题 21．（25-26高二上·天津·阶段检测）已知平行六面体． (1)求的长度？ (2)求证：； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 22．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，已知在平行六面体中，，分别是的中点.    (1)若对角线的长度为时，求的值. (2)求证：. 23．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 24．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点当点由点出发向点运动的过程中，以下结论中不正确的是（   ）    A．直线与直线始终垂直 B．直线与直线始终异面 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 第四部分：课后检测 1．（25-26高二下·江苏南京·期中）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ） A．若且，则 B． C．若，且，则 D． 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在平行六面体中，，，，，则（   ） A． B．5 C． D． 3．（25-26高二上·河北·阶段检测）在棱长为的正四面体中，若，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 5．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在正四棱台中，，向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东烟台·开学考试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽安庆·模拟预测）在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）（多选）如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C．向量与的夹角是 D．与所成角的余弦值为 10．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）（多选）已知平行六面体的各个面均为菱形，设，，且，两两之间的夹角都是，则（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 12．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 13．（2026·黑龙江牡丹江·模拟预测）在平行六面体中，各棱长均为2，，则__________. 14．（25-26高二上·山西·阶段检测）如图，在三棱锥中，，则___________． 15．（25-26高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 16．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，．    (1)用分别表示． (2)若，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $