2.3 圆与圆的位置关系(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

**基本信息** 高中数学圆与圆的位置关系专项训练，以一题多解、新定义问题为载体，系统覆盖位置关系判定、公共弦、公切线等核心题型，融合几何直观与代数运算，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-10题|几何法（圆心距与半径关系）、代数法（方程联立）、参数法设圆方程|从位置关系概念（外离/相切/相交/内含）到判定方法，再到公共弦、公切线等应用，形成概念-判定-应用逻辑链| |综合运用|11-14题|轨迹法求圆心方程、新定义“串圆”中点性质、存在性问题转化|结合充要条件、动圆问题深化位置关系本质，通过一题多解提升方法迁移能力|

2.3　圆与圆的位置关系 1.〔一题多解〕两圆C1：x2＋y2－2x－3=0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3=0的位置关系是（　　） A．外离　 B．相切　 C．相交 　 D．内含 2.〔一题多解〕圆x2＋y2－4x＋6y=0和圆x2＋y2－6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是（　　） A．x＋y＋3=0　 　B.2x－y－5=0 C.3x－y－9=0　 　D.4x－3y＋7=0 3.已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2＋y2=1与圆C2：（x－4）2＋（y＋3）2=m（m＞0）有公共点”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.我们把圆心在一条直线上，且相邻两圆彼此外切的一组圆叫做“串圆”．在如图所示的“串圆”中，圆C1和圆C3的方程分别为x2＋y2=1和（x－4）2＋（y－2）2=1，若直线ax＋2by－2=0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则a＋b=（　　） A．　 　B．1　 　C．　 　D．2 5.〔多选〕半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋（y－3）2=1内切，则此圆的方程可以是（　　） A．（x－4）2＋（y－6）2=6 B．（x＋4）2＋（y－6）2=6 C．（x－4）2＋（y－6）2=36 D．（x＋4）2＋（y－6）2=36 6.〔多选〕已知点A（1，0），B（1，6），圆C：x2＋y2－10x－12y＋m=0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°，则m=（　　） A．－3　 　B．3 C．57　 　D．－57 7.已知圆C1：x2＋y2=1，圆C2：（x－2）2＋y2=1，则C1，C2的公切线方程为　　　　．（写出一个即可） 8.两圆交于点A（1，3）和B（m，1），两圆的圆心都在直线x－y＋4=0上，则m=　　　　． 9.过两圆x2＋y2－2y－4=0与x2＋y2－4x＋2y=0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1=0上的圆的方程是　　　　． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21=0. （1）若直线l1过定点A（1，1），且与圆C相切，求l1的方程； （2）若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程． 11.若直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2=1，圆C2：（x－1）2＋y2=4都相切，切点分别为A，B，则AB=（　　） A.1　 　B． C．　 　D.2 12.〔多选〕圆O1：x2＋y2－2x=0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y=0的交点为A，B，则有（　　） A．公共弦AB所在直线的方程为x－y=0 B．线段AB中垂线的方程为x＋y－1=0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 13.已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y=0与圆C2：x2＋y2＋ky－2=0的公共弦所在直线恒过点P（a，b），且点P在直线mx－ny－2=0上，则mn的取值范围是　　　　． 14.已知圆A：x2＋（y＋1）2=1，圆B：（x－4）2＋（y－3）2=1. （1）过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率； （2）若动圆P同时平分圆A与圆B的周长． ①求动圆圆心P的轨迹方程； ②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由． 答案 2.3　圆与圆的位置关系 1.C　2.C　3.B　 4.B　若直线ax＋2by－2＝0（a，b＞0）始终平分圆C2的周长，则该直线经过圆C2的圆心，由圆外切的关系知C2为线段C1C3的中点，圆C1的圆心的坐标为（0，0），圆C3的圆心的坐标为（4，2），所以圆C2的圆心的坐标为（2，1），可得a＋b＝1. 5.CD　由题意可设圆的方程为（x－a）2＋（y－6）2＝36，又由两圆内切，得＝5，所以a2＝16，所以a＝±4，所求圆的方程为（x－4）2＋（y－6）2＝36或（x＋4）2＋（y－6）2＝36. 6.AC　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.因为A（1，0），B（1，6），所以以AB为直径的圆M的方程为（x－1）2＋（y－3）2＝9，圆C：（x－5）2＋（y－6）2＝61－m.因为两圆相切，所以CM＝｜3±｜，即5＝｜3±｜，解得m＝57或m＝－3. 7.y＝1（或y＝－1或x＝1）　解析：由题知圆C1，C2的半径均为1，圆心分别为C1（0，0），C2（2，0），则C1C2＝2，则C1，C2外切，如图，结合图象可知，C1，C2的公切线方程为y＝1，y＝－1，x＝1. 8.3　解析：由题意知直线AB与两圆圆心所在直线垂直，所以×1＝－1，解得m＝3. 9.x2＋y2－3x＋y－1＝0　解析：设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ（x2＋y2－2y－4）＝0，则（1＋λ）x2－4x＋（1＋λ）y2＋（2－2λ）y－4λ＝0，把圆心代入l：2x＋4y－1＝0的方程，可得λ＝，所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0. 10.解：（1）圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝4，所以圆C的圆心为（3，4），半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意； ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k（x－1），即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心（3，4）到直线l1的距离等于半径2，所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0. 综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. （2）依题意，设D（a，a＋2）. 又已知圆C的圆心为（3，4），半径为2，由两圆外切，可知CD＝5，所以＝5，解得a＝－1或a＝6. 所以D（－1，1）或D（6，8），所以所求圆D的方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝9或（x－6）2＋（y－8）2＝9. 11.C　如图所示，设直线l交x轴于点M，由于直线l与圆C1：（x＋1）2＋y2＝1，圆C2：（x－1）2＋y2＝4都相切，切点分别为A，B，则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，∵BC2＝2＝2AC1，∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，∴MC1＝C1C2＝2，由勾股定理可得AB＝MA＝＝. 12.ABD　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为（1，0），又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×（x－1），整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0，圆心O1（1，0）到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以AB＝2＝，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1（1，0）到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确. 13.（－∞，1]　解析：由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k（x＋y）－2y－2＝0，求得定点P（1，－1），又P（1，－1）在直线mx－ny－2＝0上，得m＋n＝2，即n＝2－m.所以mn＝（2－m）m＝－（m－1）2＋1，所以mn的取值范围是（－∞，1]. 14.解：（1）由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A（0，－1），设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B（4，3）到直线l的距离为， 即＝，化简得12k2－25k＋12＝0，解得k＝或k＝. （2）①由已知可得PA＝PB，故圆心P在线段AB的中垂线上. ∵直线AB的斜率为1，∴圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点（2，1），∴圆心P在直线x＋y－3＝0上.即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0. ②设P（m，3－m），则动圆P的半径为＝， ∴动圆P的方程为（x－m）2＋（y＋m－3）2＝m2＋（3－m＋1）2＋1， 即x2＋y2－6y－8－2m（x－y－1）＝0. 由 得或故动圆P过定点（2＋，1＋），（2－，1－）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $