培优课 导数中函数的构造问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦导数中函数的构造问题，通过例题导入引导学生从已知条件联想导数运算法则，构造新函数建立导数与单调性的联系，搭建从基础导数知识到复杂构造应用的学习支架。 资料分题型归纳与x、e^x、sinx/cosx的构造方法，设“破题思维”引导信息读取，规律方法总结常见形式，跟踪训练与随堂检测巩固。助力学生数学抽象提炼模型，逻辑推理分析问题，数学运算解决问题，提升解题技巧与核心素养。

培优课　导数中函数的构造问题 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式（数学抽象）． 2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）． 题型一　利用f（x）与x构造 （2026•南通质检）已知f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜－xf′（x），则不等式f（x＋1）＞（x－1）•f（x2－1）的解集是（　　） A．（0，1） 　 　B．（2，＋∞） C．（1，2）　 　D．（1，＋∞） 【破题思维】 题目信息 信息读取 满足f（x）＜－xf′（x） 由条件f（x）＜－xf′（x），联想到导数的乘积法则，构造函数y=xf（x） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 常见构造函数的形式 （1）对于f′（x）±g′（x）＞0，构造h（x）=f（x）±g（x）； （2）对于f′（x）＞a，构造h（x）=f（x）－ax； （3）对于xf′（x）＋f（x）＞0，构造h（x）=xf（x）； （4）对于xf′（x）－f（x）＞0，构造h（x）=． 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）=0，当x＞0时，xf′（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A．（－∞，－1）⋃（0，1） B．（－1，0）⋃（1，＋∞） C．（－∞，－1）⋃（－1，0） D．（0，1）⋃（1，＋∞） 题型二　利用f（x）与ex构造 函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R，都有f′（x）＞－f（x）成立，若f（ln 2）=，则满足不等式f（x）＞的x的取值范围是（　　） A．（1，＋∞）　 　B．（0，1） C．（ln 2，＋∞）　 　D．（0，ln 2） 【破题思维】 题目信息 信息读取 满足不等式f（x）＞ 由条件f（x）＞，联想到导数的乘积法则，构造函数y=exf（x） 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 f（x）与ex构造常见的形式 （1）对于f′（x）＋nf（x）＞0，构造函数h（x）=enxf（x）； （2）对于f′（x）－nf（x）＞0，构造函数h（x）=． （2026•泰州月考）若函数f（x）对任意x∈R都有f′（x）＞f（x）成立，则（　　） A．3f（ln 5）＞5f（ln 3） B.3f（ln 5）=5f（ln 3） C.3f（ln 5）＜5f（ln 3） D.3f（ln 5）与5f（ln 3）的大小不确定 题型三　利用f（x）与sin x，cos x构造 已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f′（x）．若f′（x）sin x－f（x）cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f（）sin x的解集为　　　　． 【破题思维】 题目信息 信息读取 f′（x）sin x－f（x）cos x＞0恒成立 由条件f′（x）sin x－f（x）cos x＞0，联想到分式导数的运算法则，构造函数F（x）= 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 f（x）与sin x，cos x构造常见的形式 （1）对于f′（x）sin x＋f（x）cos x＞0，构造函数h（x）=f（x）sin x； （2）对于f′（x）sin x－f（x）cos x＞0，构造函数h（x）=； （3）对于f′（x）cos x－f（x）sin x＞0，构造函数h（x）=f（x）cos x； （4）对于f′（x）cos x＋f（x）sin x＞0，构造函数h（x）=． （2026•镇江月考）已知R上的奇函数f（x），其导函数为f′（x），且当x∈（0，＋∞）时，f′（x）sin x＋f（x）cos x＜0，若a=f（－），b=－f（），则a与b的大小关系为　　　　． 1.（2026•宿迁月考）已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）＋f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（　　） A．bf（b）≤af（a） 　B．bf（a）≤af（b） C．af（a）≤bf（b）　 　D．af（b）≤bf（a） 2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R，都有f′（x）＜f（x）成立，则（　　） A．ef（2）＜f（3）　 　B．ef（2）≤f（3） C．ef（2）＞f（3）　 　D．f（2）＜e2f（3） 3.已知f（x）是定义在（0，）上的函数，其导函数为f′（x），f（）=2，且当x∈（0，）时，f′（x）sin x＋f（x）cos x＞0，则不等式f（x）sin x＜3的解集为　　　　． 完成课后作业　第五章　培优课 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $