4.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦等比数列前n项和的性质及应用，通过复习前n项和公式导入，衔接函数特性、片段和与奇偶项和性质，构建从公式到应用的学习支架，关联等比数列定义与通项公式的知识脉络。 资料以题型为框架，含规律方法总结与分层训练，例题结合实际问题，帮助学生用数学思维推理性质，用数学眼光分析现实情境，提升运算能力与应用意识，便于教师教学与学生自主学习。

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 题型一　等比数列前n项和公式的函数特性 已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2n－1，判断{an}是不是等比数列，并说明理由． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　由Sn=Aqn＋B（AB≠0，q≠0且q≠1）判断等比数列的注意事项 　　若数列{an}的前n项和Sn=Aqn＋B（AB≠0，q≠0且q≠1），当A＋B=0时，{an}是等比数列；当A＋B≠0时，{an}不是等比数列． 1.若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n＋1－2k，则实数k=　　　　． 2.〔一题多解〕等比数列{an}的前n项和Sn=m•4n－1＋t（其中m，t为常数且mt≠0），则=　　　　． 题型二　等比数列前n项和的性质 角度1　与“片段和”相关的性质 （1）等比数列{an}的前n项和为Sn，S2=7，S6=91，则S4=（　　） A.28　 　B.32 C.21　 　 D.28或－21 （2）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=，则 =（　　） A．　　 　B．　 　C．　　 　D． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则： （1）当Sm≠0时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列（公比为qm，m≥2）； （2）当q=1时，=；当q≠±1时，=； （3）Sn＋m=Sm＋qmSn=Sn＋qnSm． 角度2　与“奇数项和、偶数项和”相关的性质 一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）当n是偶数时，则=q； （2）当n是奇数时，则S奇=a1＋qS偶，即=q． 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=8，S6=24，则a10＋a11＋a12=（　　） A．32　 　B．64 C．72　 　D．216 2.等比数列{an}共有2n＋1项，其中a1=2，偶数项和为84，奇数项和为170，则n=（　　） A．3　 　B．4 C．7　 　D．9 题型三　等比数列前n项和的实际应用 （链接教科书第164页例4）某市2023年共有1万辆燃油型公交车．为了倡导绿色交通，有关部门计划于2024年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入数量为上一年投入数量的2倍，试问： （1）该市在2030年应该投入多少辆电力型公交车？ （2）到哪一年底，该市电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 解答等比数列应用问题的方法 （1）判断数列模型：当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比； （2）提取基本量：从条件中提取相应数列的基本量a1，q，n，an，Sn，列出方程（组）求解； （3）还原，回答实际问题． 　为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2025年开始出口，当年出口a吨，以后每年出口量均比上一年减少10%． （1）以2025年为第一年，设第n年出口量为an吨，试求an的表达式； （2）国家计划10年后终止该矿区的出口，问2025年最多出口多少吨？（0.910≈0.35，保留一位小数） 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为（　　） A.8　 　B．－2 C.4　 　D.2 2.在等比数列{an}中，a1a2a3=1，a4=4，则a2＋a4＋a6＋…＋a2n=（　　） A.2n－1　 　 B． C．　 　 D． 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯．”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层的灯数是（　　） A.1　 　B.2 C.3　 　D.6 4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=1，S4=4，则a7＋a8=　　　　． 完成课后作业　第四章　4.3　4.3.3　第2课时 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $