第4章 09-专题强化练10 数列的递推公式及通项公式（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦数列的递推公式及通项公式，从数列基础概念过渡到专项强化，通过累加法、构造法等题型搭建从基础到复杂递推关系的学习支架，帮助学生衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合具体实例（如已知a_{n+1}=a_n+2n用累加法求通项），培养数学思维（推理能力）和数学语言（规范表达），解题技法总结系统归纳方法。学生能掌握多样解题策略，教师可高效开展专题教学，提升教学效果。

第4章 数列 第1讲　描述运动的基本概念 专题专项练 专题强化练10　数列的递推公式及通项公式 第1讲　描述运动的基本概念 1.[2026广东广州执信中学联考]已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n(n∈N*),则a10= （　　 　） A.210-1　　　    B.211+1 C.210+1　　　    D.211-1     A     解析　已知数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则an+1-an=2n, ∴a2-a1+a3-a2+…+an-an-1=an-a1=2+22+23+…+2n-1, 则an=1+2+22+…+2n-1= =2n-1,∴a10=210-1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026山东泰安新泰一中检测]已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn+2n=2an,则a2 025= （　　 　） A.22 025-2　　　    B.22 026-2 C.22 027-2　　　    D.22 024-2     B     解析　当n∈N*时,Sn+2n=2an,① 当n≥2时,Sn-1+2(n-1)=2an-1,② ①-②得an=2an-1+2,所以an+2=2(an-1+2). 当n=1时,a1+2=2a1,解得a1=2, 因为a1+2=4≠0,所以{an+2}是首项为4,公比为2的等比数列, 所以an+2=4×2n-1=2n+1, 所以an=2n+1-2,故a2 025=22 026-2. 第1讲　描述运动的基本概念 3.在数列{an}中,an>0,a1=1, =2n,则a113=（　　 　） A.4 　　　    B.15 C. 　　　    D.10     B     解析　因为 =2n,所以 + =2n( - ),即(1-2n) =(-2n-1) ,得 = ,所以 = · ·  ·…· · · = × × ×…× × ×1=225,因为an>0,所以a113=15. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2025江苏泰州靖江期中]设数列{an}的前n项之积为Tn,且an+2Tn=1(n∈N*),则a2 024= （　　 　） A. 　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      C     解析　因为an+2Tn=1, 所以当n=1时,a1+2T1=1,即a1+2a1=1,所以a1= , 当n≥2时, +2Tn=1,所以 - =2(n≥2,n∈N*), 所以数列 是首项为 = =3,公差为2的等差数列, 所以 =3+2(n-1)=2n+1,即Tn= ,所以a2 024= = = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[多选题][2026江苏无锡第一中学月考]已知数列{an}满足an+1+an=f(n),且a1=1,则下列说法中正确的是  （　　　　 　） A.若f(n)=2n+1,则{an}是等差数列 B.若f(n)=2n,则{an}是等差数列 C.若f(n)=2,则{an}是等比数列 D.若f(n)=3×2n-1,则{an}是等比数列     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由an+1+an=2n+1,得an+1-(n+1)=-(an-n), 因为a1=1,所以a1-1=0,则数列{an-n}为常数列,且an-n=0,则an=n,故{an}是等差数列,A正确; 对于B,an+1+an=2n,则a1+a2=2,a2+a3=4, 因为a1=1,所以a2=1,a3=3,则{an}不是等差数列,故B错误; 对于C,因为an+1+an=2,a1=1,所以a2=1,则an=1,则{an}是首项为1,公比为1的等比数列,故C正确; 对于D,an+1+an=3×2n-1,则an+1-2n=-(an-2n-1), 又a1=1,所以a1-21-1=0,故数列{an-2n-1}为常数列,且an-2n-1=0,则an=2n-1, =2,则{an}是首项为1,公比为2的等 比数列,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏南京调研]设数列{an}的前n项和为Sn,a1= ,an+1= ,若S2 024∈(k,k+1),则正整数k的值为  （　　 　） A.2 024　　　    B.2 023 C.2 022　　　    D.2 021     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对an+1= 两边取倒数可得 = + ,即 -1=  , 又 -1=1,所以 是首项为1,公比为 的等比数列, 所以 -1= ,所以an=1- , 故Sn=n- , 令M= + +…+ , 由n≥3, < ,得M> + + +…+ = +  , 由 < ,得M< + +…+ =2 , 第1讲　描述运动的基本概念 则n-2+ <Sn<n- + ,所以2 022+ <S2 024<2 022+ + <2 023, 故S2 024∈(2 022,2 023),故正整数k的值为2 022. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026江苏常州第一中学调研]已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1,设bn= ,Sn为数列{bn} 的前n项和.若Sn<t对任意n∈N*恒成立,则实数t的最小值为_________.     3     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1,所以a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2n(n≥2,n∈N*), 两式相减可得nan=2n+1-2n=2n,即an= (n≥2,n∈N*). 又a1=22=4不满足上式, 所以an=  所以bn= =  当n=1时,S1=2; 当n≥2时,Sn=2+ + +…+  第1讲　描述运动的基本概念 =2+2  =3- . 综上可得Sn<3,因为Sn<t对任意n∈N*恒成立,所以t≥3. 故实数t的最小值为3. 第1讲　描述运动的基本概念 8.设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2n+1,数列{bn}满足bn=log2 ,若不等式 · ·…·  ≥m· 对任意n∈N*都成立,则实数m的最大值为_________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为Sn=2an-2n+1,所以Sn-1=2an-1-2n(n≥2),两式相减得an=2an-2an-1-2n,即an=2an-1+2n, 两边同时除以2n得 = +1, 又当n=1时,a1=2a1-22,所以a1=4,所以 =2, 所以 是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以 =2+(n-1)×1=n+1,故an=(n+1)·2n, 所以bn=log2 =log22n=n, 故原不等式即为  ·…· ≥m , 即m≤ , 第1讲　描述运动的基本概念 令cn= , 则cn+1=  , 所以cn+1-cn=  -  =  … ·  =  … · , 第1讲　描述运动的基本概念 因为(2n+3)2-(2n+2)(2n+4)=1>0, 所以(2n+3)2>(2n+2)(2n+4), 所以2n+3>  , 所以cn+1-cn>0恒成立,即{cn}为递增数列, 所以(cn)min=c1= = , 所以m≤ , 即m的最大值为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025江苏淮安调研]已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a2=4,a3=7,且ASn=n(an+1+B). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若k∈N*,则当n=ak时,bn=k;当ak<n<ak+1时, =2k. ①求数列{b3k}的前k项和Tk; ②当n=ak+1时,求证:25bn-2-2k ≥0. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)在ASn=n(an+1+B)中,分别令n=1,n=2,则  解得  ∴2Sn=n(an+1-2), 当n≥2时,2Sn-1=(n-1)(an-2), 两式相减得2an=nan+1-(n-1)an-2, ∴nan+1-(n+1)an=2(n≥2),当n=1时也满足此式, ∴nan+1-(n+1)an=2,n∈N*, ∴ - =2 , ∴ = ,n∈N*, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴ 为常数列,∴ = =3,∴an=3n-2. (2)①当n=3k-2时,bn=k,即b3k-2=k, 当3k-2<n<3k+1时, =2k,即 = =2k, ∴b3k-1=b3k-2·2k=k·2k,b3k=b3k-1·2k=k·4k, ∴Tk=b3+b6+…+b3k=1×41+2×42+…+(k-1)·4k-1+k·4k, ∴4Tk=1×42+2×43+…+(k-2)·4k-1+(k-1)·4k+k·4k+1, 两式相减得-3Tk=4+42+43+…+4k-k·4k+1= -k·4k+1= , ∴Tk= . ②证明:∵n=ak+1=3k+1,∴bn-2=b3k-1=k·2k, 第1讲　描述运动的基本概念 ∴25bn-2-2k =25k·2k-2k·(3k+1)2=k[25·2k-2·(3k+1)2], 令cn=25·2n-2(3n+1)2, 则cn+1-cn=25·2n+1-2(3n+4)2-25·2n+2(3n+1)2=25·2n-6(6n+5), 令dn=25·2n-6(6n+5), 则dn+1-dn=25·2n+1-6(6n+11)-25·2n+6(6n+5)=25·2n-36>0, ∴{dn}是递增数列,又当1≤n≤2时,dn=cn+1-cn<0,当n≥3时,dn=cn+1-cn>0, ∴c1>c2>c3,c3<c4<c5<…,∴cn≥c3=0, ∴25·2k-2(3k+1)2≥0, ∴25bn-2-2k ≥0. 第1讲　描述运动的基本概念 解题技法     求数列通项公式常用的方法 (1)公式法:根据等差、等比数列的通项公式直接求解; (2)前n项和法:根据an= 求解; (3)Sn 与an 的关系式法:由Sn 与an 的关系式,类比出Sn-1 与an-1 的关系式,两式作差求出通项公式,最后要检 验a1 是否满足通项公式; (4)累加法:当数列{an}中有an+1=an+f(n),即第(n+1)项与第n项的差构成的数列有规律时,可以利用这种方 法; (5)累乘法:当数列{an}中有 =f(n),即第(n+1)项与第n项的商构成的数列有规律时,可以利用这种方法; (6)构造法:通过构造等差数列或等比数列求解. 第1讲　描述运动的基本概念 $