7.3.1 独立性检验&7.3.2 独立性检验的基本思想&7.3.3 独立性检验的应用(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦独立性检验，涵盖2×2列联表的统计意义、独立性检验的基本思想及应用。课堂以吸烟与疾病关系的现实问题导入，引导学生从列联表数据入手，通过频率估计概率过渡到χ²统计量的构建，形成从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于结合医学、教育等实例，设置自我诊断、典例研析及跟踪训练环节，培养学生数据分析与数学建模核心素养。习题从基础判断到实际问题解决，帮助学生用数学思维思考现实，提升应用意识与实践能力，便于教师开展分层教学与效果评估。

3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 课标 要求 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义（数学建模）. 2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用（数据分析）. 　　有关医学研究表明，许多疾病，如心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手.为此，联合国固定每年5月31日为世界无烟日. 【问题】　这些疾病与吸烟有怎样的关系呢？能否通过独立性检验来分析？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　2×2列联表及作用 1.2×2列联表 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝；变量B：B1，B2＝.我们将下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表： A B B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 2.列联表的作用 分别用频率，，，估计P（A1B1），P（A1B2），P（A2B1），P（A2B2）；用频率，，，，估计P（A1），P（B1），P（A2），P（B2）；由事件的相互独立性可知： 若有式子＝·，则可以认为A1与B1独立； 若＝·，则可以认为A1与B2独立； 若＝·，则可以认为A2与B1独立； 若＝·，则可以认为A2与B2独立. 在＝·中，由于，，表示的是频率，不同于概率.即使变量A，B之间独立，式子两边也不一定恰好相等.但是当两边相差很大时，变量A，B之间就不独立. 知识点二　独立性检验的基本思想及应用 1.统计思想 统计学家选取以下统计量，用它的大小来检验变量之间是否独立： χ2＝　　　　　　（其中n＝a＋b＋c＋d）. 在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布χ2（1）.当χ2较大时，说明变量之间不独立. 2.应用 在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断： （1）当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变量A，B是　　　　关联的； （2）当χ2＞2.706时，有　　　　的把握判断变量A，B有关联； （3）当χ2＞3.841时，有　　　　的把握判断变量A，B有关联； （4）当χ2＞6.635时，有　　　　的把握判断变量A，B有关联. 【想一想】 　如何对独立性检验的基本思想进行理解？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机事件中的变量与函数中的变量是同一概念.（　　） （2）独立性检验的方法就是用样本频率估计概率的应用.（　　） （3）独立性检验中可通过统计表从数据上说明两随机事件的相关性的大小.（　　） 2.下面是2×2列联表： X Y y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 则表中a＝　　　　，b＝　　　　. 3.若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么，有　　　　　　的把握判断两个变量之间有关系. 4.考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据： 是否得病 种子是否经过处理 种子经过处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 总计 93 314 407 根据以上数据得χ2的值是　　　　（精确到0.001）. 　　 题型一　独立性检验的思想 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的共200人. （1）根据以上数据列出2×2列联表； （2）是否有99％的把握判断40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？ 尝试解答 通性通法 解决独立性检验问题的基本步骤 （1）根据相关数据，列出2×2列联表，确定a，b，c，d的值； （2）求χ2的统计量； （3）由χ2的值判断两变量是否具有关联关系. 　某调查机构对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示： 手术类型 发作心脏病情况 又发作过心脏病 未发作心脏病 总计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 总计 68 324 392 试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别. 题型二　独立性检验的实际应用 某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20人，青年教师30人.老年教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； （2）是否有95％的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系？ 尝试解答 通性通法 利用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）计算χ2＝； （2）比较χ2与三个临界值：2.706，3.841和6.635的大小； （3）得出结论. 　为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：μg/m3），得下表： 　　　SO2 PM2.5　　 [0，50] （50，150] （150，475] [0，35] 32 18 4 （35，75] 6 8 12 （75，115] 3 7 10 （1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率； （2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表： 　　　SO2 PM2.5　　 [0，150] （150，475] [0，75] （75，115] （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99％的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050　0.010　0.001 k 3.841　6.635　10.828 . 1.对于两个变量X与Y的随机变量χ2，下列说法正确的是（　　） A.χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B.χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C.χ2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D.χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大 2.〔多选〕若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99％的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（　　） A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟和患肺癌有关系 B.1个人吸烟，那么这个人有99％的概率患有肺癌 C.在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D.在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 3.下表是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为（　　） x y y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s A.10，38 B.17，45 C.10，45 D.17，38 4.某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系，对本部门200名销售人员进行调查，所得数据如下表所示： 学历 销售任务 能按时完成销售任务 不能按时完成销售任务 总计 具有相关大学学历 57 42 99 不具有相关大学学历 36 65 101 总计 93 107 200 根据上述数据能得出结论：有　　 　　的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”. 完成课后作业 第七章 §3 3.1 3.2 3.3 答案 3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 【基础落实】 新知初探 知识点二 1. 2.（1）没有　（2）90%　（3）95%　（4）99% 想一想 提示：独立性检验的基本思想是经过选取统计量χ2，按照计算公式χ2＝，当χ2较大时，说明两变量A，B有关联（不独立），χ2越大，A与B关联性就越强，当χ2小于一个临界值时，A与B两变量基本相互独立，即没有关联性.因此用χ2作为判断变量A与B是否有具有关联性的统计量. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√ 2.52　54　解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54. 3.95%　解析：因为χ2＝4.013＞3.841，所以有95%的把握认为两个变量之间有关系. 4.0.164　解析：依题意χ2＝≈0.164. 【典例研析】 【例1】　解：（1）由已知可列2×2列联表： 生活规律情况 患胃病情况 患胃病 未患胃病 总计 生活规律 20 200 220 生活不规律 60 260 320 总计 80 460 540 （2）根据列联表中的数据，由计算公式得 χ2＝≈9.638. 因为9.638＞6.635， 故有99%的把握判断40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系. 跟踪训练 解：这是一个2×2列联表的独立性检验问题， χ2＝≈1.779. 因为1.779＜2.706，所以我们认为这两种手术对病人又发作心脏病的影响无差别. 【例2】　解：（1）2×2列联表如表所示 教师年龄 对新课程教学模式 赞同 不赞同 总计 老年教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 总计 34 16 50 （2）由公式得χ2＝≈4.963＞3.841， 所以有95%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系. 跟踪训练 解：（1）根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64. （2）根据抽查数据，可得2×2列联表： 　　　SO2 PM2.5　　 [0，150] （150，475] [0，75] 64 16 （75，115] 10 10 （3）根据（2）的列联表得 K2＝≈7.484. 由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关. 随堂检测 1.B　χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大.即χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小. 2.AD　独立性检验的结论是一个统计量，统计的结果只是说明事件发生的可能性的大小，具体到一个个体，则不一定发生. 3.B　根据2×2列联表可知，a＋35＝45，解得a＝10，则m＝a＋7＝10＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，则n＝7＋38＝45，故选B. 4.99%　解析：χ2＝≈9.67＞6.635，所以有99%的把握认为“销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $