7.1.1 直线拟合&7.1.2 一元线性回归方程(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦直线拟合与一元线性回归方程，通过恩格尔系数实例导入，引导学生思考线性相关变量的模型构建，衔接相关关系知识，搭建从散点图观察到最小二乘法建模的学习支架。 以数学抽象、数学建模、数据分析为核心素养导向，设置“想一想”互动、分层习题（基础诊断、题型应用、非线性回归拓展）及实际案例（如销售额预测），帮助学生掌握从数据到模型的研究方法，提升解决实际问题的能力。

1.1　直线拟合 1.2　一元线性回归方程 课标 要求 1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件（数学抽象、数学建模、数据分析）. 2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测（数学建模、数学运算、数据分析）. 恩格尔系数是根据恩格尔定律得出的比例数，指居民家庭中食品支出占消费总支出的比重，是表示生活水平高低的一个指标.其计算公式：恩格尔系数＝食品支出金额÷总支出金额.一个家庭收入越少，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食品的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中或者家庭总支出中用来购买食品的支出所占比例将会下降. 【问题】　恩格尔系数是预测生活水平高低的一个模型，那么当两个变量线性相关时，我们如何对成对样本数据建立一个模型进行预测？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线拟合 1.散点图：在平面直角坐标系中，每个点对应的一对数据（xi，yi）称为　　　　　　，这些点构成的图称为散点图. 2.曲线拟合与直线拟合 （1）曲线拟合：从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的　　　　来近似地描述.这样近似描述的过程称为曲线拟合； （2）直线拟合：若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在　　　　　　附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合. 【想一想】 　若两个变量X与Y的关系能用直线来拟合，则X与Y是函数关系吗？ 知识点二　一元线性回归方程 1.最小二乘法：对于给定的两个变量X和Y，可以把其成对的观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）表示为平面直角坐标系中的n个点，现在希望找到一条直线Y＝a＋bX，使得对每一个xi（i＝1，2，…，n），由这个直线方程计算出来的值a＋bxi与实际观测值yi的差异尽可能　　.为此，希望[y1－（a＋bx1）]2＋[y2－（a＋bx2）]2＋…＋[yn－（a＋bxn）]2达到　　　　.换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小，这个方法称为最小二乘法. 2.线性回归方程、回归直线、线性回归方程的系数 若变量X和Y的n对观测值为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），使[y1－（a＋bx1）]2＋[y2－（a＋bx2）]2＋…＋[yn－（a＋bxn）]2达到最小的a，b取值为＝　　　　　　　，＝　　　　. 其中，＝（x1＋x2＋…＋xn），＝（y1＋y2＋…＋yn）.这时直线方程Y＝＋X称作Y关于X的线性回归方程，相应的　　　称作Y关于X的回归直线，　　　　是这个线性回归方程的系数. 【想一想】 回归直线与样本点的中心（，）之间有什么关系？（其中，，分别是变量x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数） 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）散点图可以直观地分析出两个变量是否具有相关性.（　　） （2）选取一组数据的部分点得到的线性回归方程与由整组数据得到的线性回归方程一定相同.（　　） （3）根据线性回归方程得到的结论一定是可靠的.（　　） 2.已知X，Y之间的一组数据： X 0 1 2 3 Y 1 2 4 5 Y关于X的线性回归方程Y＝X＋必过点（　　） A.（2，2） B.（1.5，0） C.（1，2） D.（1.5，3） 3.对具有线性相关关系的变量X，Y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到线性回归方程为Y＝10.5X＋，据此模型预测当X＝20时，Y的估计值为（　　） X 2 4 5 6 8 Y 20 40 60 70 80 A.210 B.210.5 C.211.5 D.212.5 　　 题型一　求线性回归方程 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额与利润额的有关数据如下表： 商店名称 A B C D E 销售额X/千万元 3 5 6 7 9 利润额Y/百万元 2 3 3 4 5 （1）画出销售额和利润额的散点图； （2）试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程. 尝试解答 通性通法 求线性回归方程的步骤 （1）画出成对样本数据对应点的散点图，确定两变量之间的关系.若（xi，yi）对应的点都在某一条直线附近，则两变量具有线性关系； （2）当两变量线性相关已确定，在此统计意义下，利用最小二乘法公式＝，求；用＝－，求；得到线性回归方程Y＝＋X. 某班5名学生的数学和物理成绩如下表： 学生 A B C D E 数学成绩X/分 88 76 73 66 63 物理成绩Y/分 78 65 71 64 61 （1）画出散点图； （2）求物理成绩Y关于数学成绩X的线性回归方程（结果保留三位小数）. 参考公式：＝＝，＝－. 题型二　一元线性回归方程的应用 为研究某城镇居民家庭月人均生活费支出和月人均收入的关系，随机抽取10户进行调查，其结果如下： 月人均收入X/元 300 390 420 520 570 月人均生活费 支出Y/元 255 324 335 360 450 月人均收入X/元 700 760 800 850 1 080 月人均生活费 支出Y/元 520 580 600 630 750 试预测月人均收入为1 100元和月人均收入为1 200元的两个家庭的月人均生活费支出. 尝试解答 通性通法 一元线性回归方程的应用 （1）可以利用一元线性回归方程Y＝＋X预测在x0取某一个值时，y0的估计值； （2）线性关系确立之后，Y＝＋X具有了统计意义，可用线性回归方程进行预测和控制. 　某种产品的广告费用支出X（单位：百万元）与销售额Y（单位：百万元）之间有如下的对应数据： 广告费用支出X/百万元 2 4 5 6 8 销售额Y/百万元 30 40 60 50 70 （1）画出散点图； （2）试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程； （3）试预测广告费用支出为10百万元时，销售额多大？ 1.以下四个散点图中，两个变量的关系适合用线性回归模型刻画的是（　　） A.①②　　 B.①③　　 C.②③　　 D.③④ 2.由变量x与y相对应的一组数据（1，y1），（5，y2），（7，y3），（13，y4），（19，y5）得到的线性回归方程为Y＝2X＋45，则＝（　　） A.135 B.90 C.67 D.63 3.若根据变量X与Y的对应关系（如表），求得Y关于X的线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5，则表中m的值为（　　） X 2 4 5 6 8 Y 30 40 m 50 70 A.60 B.55 C.50 D.45 4.已知x，y之间的一组数据如下表： x 2 3 4 5 6 y 3 4 6 8 9 对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y＝x＋1；②y＝2x－1；③y＝x－；④y＝x.则根据最小二乘法的思想求得拟合程度最好的直线是　　　　（填序号）. 5.若根据5名儿童的年龄X（岁）和体重Y（kg）的数据用最小二乘法得到用年龄预报体重的线性回归方程是Y＝2X＋18，已知这5名儿童的年龄分别是3，5，2，6，4，则这5名儿童的平均体重是　　　　 kg. 　非线性回归模型 　　 1.非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关系，此时不能直接利用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. 2.非线性回归方程 当回归方程不是形如Y＝X＋（，∈R）时，称之为非线性回归方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的非线性回归方程. 3.非线性回归问题的处理方法 （1）指数函数型y＝ebx＋a ①函数y＝ebx＋a的图象，如图（ⅰ）； ②处理方法：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据（x，y）转化为（x，z），再根据求一元线性回归模型的方法求出a，b. （2）对数函数型y＝bln x＋a ①函数y＝bln x＋a的图象，如图（ⅱ）； ②处理方法：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据求一元线性回归模型的方法求出a，b. （3）二次函数型y＝bx2＋a 处理方法：设x'＝x2，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据求一元线性回归模型的方法求出a，b. 下表为收集到的一组数据： X 21 23 25 27 29 32 35 Y 7 11 21 24 66 115 325 （1）作出X与Y的散点图，并猜测X与Y之间的关系； （2）通过X与Y的关系，建立回归模型； （3）利用所得模型，预测X＝40时Y的值. 尝试解答 通性通法 解非线性回归分析问题的一般步骤 　　有些非线性回归分析问题并不给出函数，这时我们可以根据已知数据画出散点图，与学过的各种函数（幂函数、指数函数、对数函数等）的图象进行比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，用适当的变量进行变换，把问题转化为线性回归分析问题，使之得到解决. 一般步骤为： 【迁移应用】 　数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛，赛前小明在某数独APP上进行一段时间的训练，每天的解题平均速度Y（秒）与训练天数X（天）有关，经统计得到如表的数据： X（天） 1 2 3 4 5 6 7 Y（秒） 990 990 450 320 300 240 210 （1）现用Y＝a＋作为回归模型，请利用表中数据，求出该回归方程； （2）请用第（1）题的结论预测，小明经过100天训练后，每天解题的平均速度Y约为多少秒？ 参考数据：tiyi＝1 845，＝0.37，－7＝0.55. 参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线＝＋u的斜率和截距分别为：＝，＝－·. 完成课后作业　第七章　§1　1.1　1.2 答案 1.1　直线拟合 1.2　一元线性回归方程 【基础落实】 新知初探 知识点一 1.成对数据 2.（1）曲线　（2）一条直线 想一想 提示：不一定是. 知识点二 1.小　最小　 2. －　直线　， 想一想 提示：由＝－可知，回归直线一定经过样本点的中心（，）. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）× 2.D　回归直线必过样本点的中心（，），由表中数据可知＝1.5，＝3. 3.C　由题意可知，＝＝5，＝＝54.∵线性回归直线经过样本中心点，∴54＝10.5×5＋，＝1.5，线性回归方程为Y＝10.5X＋1.5，当X＝20时，Y的估计值为10.5×20＋1.5＝211.5.故选C. 【典例研析】 【例1】　解：（1）散点图如下： （2）数据如下表： i xi yi xiyi 1 3 2 9 6 2 5 3 25 15 3 6 3 36 18 4 7 4 49 28 5 9 5 81 45 合计 30 17 200 112 可以求得＝6，＝，＝＝0.5， ＝－＝0.4. 线性回归方程为Y＝0.5X＋0.4. 跟踪训练 解：（1）散点图如图所示. （2）因为＝×（88＋76＋73＋66＋63）＝73.2，＝×（78＋65＋71＋64＋61）＝67.8， xiyi＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054， ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174， 所以＝≈0.625， ＝－≈67.8－0.625×73.2＝22.05. 因此Y关于X的线性回归方程为Y＝0.625X＋22.05. 【例2】　解：作出散点图（如图所示），由图可知，月人均生活费支出与人均收入之间能用直线拟合. 通过计算可得＝639，＝480.4，＝4 610 300， ＝2 540 526，xiyi＝3 417 560， ∴＝≈0.659 9，＝－≈58.723 9. ∴线性回归方程为Y＝0.659 9X＋58.723 9. 将x1＝1 100代入得y1≈784.61（元）；将x2＝1 200代入得y2≈850.60（元）. 故预测月人均收入分别为1 100元和1 200元的两家庭的月人均生活费支出分别为784.61元和850.60元. 跟踪训练 解：（1）散点图如图所示. （2）列出下表， i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 4 5 6 8 25 yi 30 40 60 50 70 250 xiyi 60 160 300 300 560 1 380 4 16 25 36 64 145 所以＝＝5，＝＝50，＝145，xiyi＝1 380.于是可得＝＝＝6.5，＝－＝50－6.5×5＝17.5. 所以所求的线性回归方程为Y＝6.5X＋17.5. （3）根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，销售额估计为6.5×10＋17.5＝82.5（百万元）. 即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元. 随堂检测 1.B　①③中的点分布在一条直线附近，适合线性回归模型. 2.D　∵＝（1＋5＋7＋13＋19）＝9，＝2＋45，∴＝2×9＋45＝63，故选D. 3.A　由表中数据，得＝×（2＋4＋5＋6＋8）＝5，＝×（30＋40＋m＋50＋70）＝38＋，因为线性回归直线Y＝6.5X＋17.5过点（5，38＋），所以38＋＝6.5×5＋17.5，解得m＝60. 4.③　解析：由题意，知＝＝4，＝＝6，∴＝＝＝，∴＝－＝6－×4＝－，∴y＝x－，故③的拟合程度最好. 5.26　解析：由题意：＝＝4，由于回归直线过样本的中心点（，），所以＝2＋18＝2×4＋18＝26，则这5名儿童的平均体重是26 kg. 拓视野　非线性回归模型 【例】　解：（1）作出散点图如图， 从散点图可以看出X与Y不具有线性相关关系，数形结合可猜测样本点分布在某一指数型函数Y＝c1的周围，其中c1，c2为待定的参数，即X与Y之间的关系为Y＝c1. （2）对（1）中猜测结果两边取对数把指数关系变为线性关系，令Z＝ln Y，则变换后的样本点应分布在直线Z＝bX＋a（a＝ln c1，b＝c2）的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立Y与X之间的非线性回归方程了，数据可以转化为 X 21 23 25 27 29 32 35 Z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 求得线性回归方程为Z＝0.272X－3.849， ∴Y＝e0.272x－3.849. （3）当X＝40时，Y＝e0.272×40－3.849≈1 131. 迁移应用 解：（1）由题意得＝×（990＋990＋450＋320＋300＋240＋210）＝500， 令t＝，设Y关于t的线性回归方程为Y＝t＋， 则有＝＝＝1 000， ＝500－1 000×0.37＝130， 所以Y＝1 000t＋130， 又t＝， 所以Y关于X的回归方程为＝＋130. （2）当X＝100时，Y＝140， 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $