培优课 均值与方差的应用(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦均值与方差的应用，引导学生掌握均值与方差的性质及求法，通过具体分布列例题（如已知X分布列求X²分布列、方差及Y=4X+3的均值方差）引入性质，再过渡到商场摸球奖励、投资决策等实际问题，构建从基础运算到数据分析的学习支架。 资料亮点在于通性通法总结（如均值方差公式、决策四步骤）与情境化例题结合，帮助学生提升数学运算能力和推理意识，通过分析实际数据解决决策问题，培养用数学语言表达现实世界的能力，助力自主学习与应用意识养成。

均值与方差的应用 1.掌握均值与方差的性质以及求法，会利用公式求均值、方差（数学运算）. 2.能够利用样本的数字特征解决有关决策问题（数学运算、数据分析）. 　　 题型一　均值与方差性质的应用 已知X的分布列为 X －1 0 1 P a （1）求X2的分布列； （2）计算X的方差； （3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 尝试解答 通性通法 1.离散型随机变量aX＋b的均值可以利用性质E（aX＋b）＝aEX＋b求解. 2.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错.在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝E（X2）－（EX）2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如D（aX＋b）＝a2DX. 已知0＜a＜，0＜b＜，随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P a b 若EX＝，则a＝　　　　，D（3X－1）＝　　　　. 题型二　均值、方差在决策中的应用 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及均值. （2）商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 尝试解答 通性通法 　　利用样本的数字特征解决有关决策问题的关键：（1）建立模型，根据题意准确建立解决问题的概率模型，要注意各种概率模型的差异性，不能混淆；（2）分析数据，分析题中的相关数据，确定概率模型中的相关参数；（3）求值，利用概率知识求出概率模型中的数学期望、方差等数字特征；（4）做出决策，比较概率模型中的数字特征，确定解决问题的最优方案，做出决策. 某投资公司准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30％，也可能亏损15％，且这两种情况发生的概率分别为和； 项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50％，可能亏损30％，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和. 针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 完成课后作业　第六章　培优课 答案 培优课　均值与方差的应用 【典例研析】 【例1】　解：（1）由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝， 从而X2的分布列为 X2 0 1 P （2）由（1）知a＝，所以X的均值EX＝（－1）×＋0×＋1×＝－. 故X的方差DX＝（－1＋）2×＋（0＋）2×＋（1＋）2×＝. （3）因为Y＝4X＋3，所以EY＝4EX＋3＝2，DY＝42DX＝11. 跟踪训练 　5　解析：由题意可得 解得因此，DX＝（0－）2×＋（1－）2×＋（2－）2×＝，即D（3X－1）＝9DX＝5. 【例2】　解：（1）设顾客所获的奖励额为X（单位：元）. ①依题意，得P（X＝60）＝＝， 即顾客所获的奖励额为60元的概率为. ②依题意，得X的所有可能取值为20，60. P（X＝60）＝，P（X＝20）＝＝， 所以X的分布列为 X 20 60 P 所以顾客所获的奖励额的均值EX＝20×＋60×＝40. （2）根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60元.所以先寻找均值为60的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择（10，10，10，50）的方案，因为60是面值之和的最大值，所以均值不可能为60；如果选择（50，50，50，10）的方案，因为60是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60，因此可能的方案是（10，10，50，50），记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除（20，20，20，40）和（40，40，40，20）的方案，所以可能的方案是（20，20，40，40），记为方案2. 对两个方案进行分析： 对于方案1，即方案（10，10，50，50），设顾客所获的奖励额（单位：元）为X1，则X1的分布列为 X1 20 60 100 P 所以X1的均值EX1＝20×＋60×＋100×＝60， X1的方差DX1＝（20－60）2×＋（60－60）2×＋（100－60）2×＝. 对于方案2，即方案（20，20，40，40），设顾客所获的奖励额（单位：元）为X2，则X2的分布列为 X2 40 60 80 P 所以X2的均值EX2＝40×＋60×＋80×＝60， X2的方差DX2＝（40－60）2×＋（60－60）2×＋（80－60）2×＝. 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2的奖励额的方差比方案1的小，故应该选择方案2. 跟踪训练 解：若按“项目一”投资，设获利为X1万元，X1的所有可能取值为300，－150.则X1的分布列为 X1 300 －150 P ∴EX1＝300×＋（－150）×＝200（万元）. 若按“项目二”投资，设获利X2万元，X2的所有可能取值为500，－300，0.则X2的分布列为 X2 500 －300 0 P ∴EX2＝500×＋（－300）×＋0×＝200（万元）. DX1＝（300－200）2×＋（－150－200）2×＝35 000， DX2＝（500－200）2×＋（－300－200）2×＋（0－200）2×＝140 000. ∴EX1＝EX2，DX1＜DX2， 这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等，但项目一更稳妥. 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $