6.4.2 超几何分布(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦超几何分布，通过自主招生答题的实际情境导入，引导学生思考概率计算与分布模型构建，衔接古典概型知识，搭建从具体问题到抽象概念的学习支架。 以数学建模驱动情境分析，通过辨析题强化数学抽象能力，对比二项分布深化数据分析素养。母题探究与一题多解培养思维灵活性，自我诊断和随堂检测助力知识巩固，提升解决实际问题的能力。

4.2　超几何分布 课标 要求 通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题（数学抽象、数学建模、数据分析）. 　　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个. 【问题】　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　超几何分布 1.超几何分布的概念 一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品，从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P（X＝k）＝　　　　，max{0，n－（N－M）}≤k≤min{n，M}.其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. 2.超几何分布的均值 当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝　　　　. 提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）超几何分布是不放回抽样.（　　） （2）超几何分布的总体中只有两类物品.（　　） （3）超几何分布与二项分布的均值相同.（　　） （4）超几何分布与二项分布没有任何联系.（　　） 2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为（　　） A.N＝15，M＝7，n＝10 B.N＝15，M＝10，n＝7 C.N＝22，M＝10，n＝7 D.N＝22，M＝7，n＝10 3.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取　　　　时，对应的概率为. 　　 题型一　超几何分布的概率模型辨析 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由. （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； （2）有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； （4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列； （5）现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列. 尝试解答 通性通法 判断一个随机变量是否服从超几何分布的三个注意点 （1）总体是否可分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　） A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品件数为X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 题型二　超几何分布的概率 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列. 2.（变条件）〔一题多解〕将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 通性通法 求超几何分布的分布列的步骤 1.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P（X＝2）＋P（Y＝2）＝（　　） A.　　　　 B. C.　 D. 2.现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为. （1）求7名学生中甲班的学生人数； （2）设所选2名学生中甲班的学生人数为ξ，求ξ≥1的概率. 1.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（　　） A. B. C. D. 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（　　） A. B. C.1－ D. 3.〔多选〕下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　） A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 4.〔一题多解〕从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则X的均值EX＝　　　　. 　二项分布与超几何分布的区别 　　 1.建立模型 袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则： 摸球方式 X的分布 EX DX 放回摸球 二项分布B（n，p） np np（1－p） 不放回摸球 参数为N，n，M的超几何分布 np np（1－p） 2.二项分布与超几何分布的联系与区别 （1）由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布； （2）对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近； （3）对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的.此时，超几何分布可以用二项分布近似代替.从方差的角度看，由于≈1，两个分布的方差也近似相等； （4）在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知道p＝即可. 某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. （1）若采用有放回的方式抽取，求X的分布列与期望； （2）若采用不放回的方式抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 尝试解答 答案 4.2　超几何分布 【基础落实】 新知初探 知识点 1.　2. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）√　（4）× 2.A　由超几何分布的概念可知A正确. 3.3　解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”. 【典例研析】 【例1】　解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. （3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. （5）中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题. 跟踪训练 ABD　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 【例2】　解：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，服从超几何分布， P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 母题探究 1.解：由题意可知η的可能取值为0，1，服从两点分布. 又P（η＝1）＝＝，所以η的分布列为 η 0 1 P 2.解：由题意知X的可能取值为0，1，2，3. 法一　P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. 法二　根据X～B（3，），由P（X＝k）＝（1－（）k求出各式概率， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 跟踪训练 1.C　由题意可知X，Y服从超几何分布， P（X＝2）＝，P（Y＝2）＝，所以P（X＝2）＋P（Y＝2）＝.故选C. 2.解：（1）设甲班的学生人数为M，则＝＝， 即M2－M－6＝0， 解得M＝3或M＝－2（舍去）. ∴7名学生中甲班的学生共有3人. （2）由题意可知，ξ服从超几何分布. ∴P（ξ ≥1）＝P（ξ＝1）＋p（ξ＝2）＝＋＝＋＝. 随堂检测 1.C　记X为抽取的2张中的中奖数，则P（X＝2）＝＝. 2.D　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋. 3.ACD　由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选A、C、D. 4.1　解析：法一　由题意，X的可能取值为0，1，2，P（X＝k）＝，k＝0，1，2.X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝1. 法二　EX＝＝＝1. 拓视野　二项分布与超几何分布的区别 【例】　解：（1）采用有放回的方式抽取P（取到合格品）＝＝， P（取到次品）＝＝， 根据题意随机变量X满足二项分布B（4，），可得X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以P（X＝0）＝（）0（）4＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝（）2（）2＝， P（X＝3）＝（）3（）1＝， P（X＝4）＝（）4（）0＝. X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以X的数学期望EX＝4×＝. （2）由题意得总体中合格品的比例为＝， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，所以样本中合格品的比例大于等于小于等于，即样品中合格品的个数为2或3. P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以P（样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过）＝＋＝. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $