04-§4 02-4.2 超几何分布（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦“超几何分布”核心知识点，从袋中取球等实例导入，通过基础过关练（如次品数判断）、能力提升练（如条件概率计算）到创新题型（如动物数量估计），构建从概念理解到综合应用的学习支架，衔接概率基础与实际问题。 其亮点在于以生活情境（如产品检验、抽奖模型）培养数学眼光，通过定义法与公式法对比训练数学思维，用分布列、期望方差公式规范数学语言。分层设计例题（如第8题零件检验分布列），助力学生提升知识迁移能力，也为教师提供系统教学素材与分层教学思路。

第六章 概率 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　二项分布与超几何分布 4.2　超几何分布 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　超几何分布及其概率计算 1.一个袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,1 0.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是( ) A.X表示取出球的最大号码 B.Y表示取出球的最小号码 C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,Z表示取出的4个球的总得分 D.T表示取出的黑球个数     D     第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025江西上饶广丰检测]一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个 球,则至少含有一个黑球的概率是( ) A. 　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　至少含有一个黑球的概率是 = . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏苏州大学附属中学月考]某年级7个班中有3个是先进班级,现从中任意选3个班,则下列事 件中概率等于 的是 ( ) A.至少有1个先进班级 B.有1个或2个先进班级 C.有2个或3个先进班级 D.恰有2个先进班级     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　用X表示选取的3个班中先进班级的个数,则X服从超几何分布, 故P(X=k)= , 所以P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = . 对于A,至少有1个先进班级,即有1个、2个或3个先进班级, 故概率为P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1- = ,故A不正确; 第1讲　描述运动的基本概念 对于B,有1个或2个先进班级的概率为P(X=1)+P(X=2)= ,故B正确; 对于C,有2个或3个先进班级的概率为P(X=2)+P(X=3)= ,故C不正确; 对于D,恰有2个先进班级的概率为P(X=2)= ,故D不正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026安徽合肥肥东尚真中学月考]某学习小组有男生4人,女生3人,现需从中抽取2人参加学校开展 的AI人工智能学习,则恰有一名男生参加的概率为_________;在有女生参加AI人工智能学习的条件下, 恰好只有一名女生参加的概率为_________. 解析　由题可知,恰有一名男生参加的概率为 = = .在有女生参加AI人工智能学习的条件下,恰 好只有一名女生参加的概率为 = = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025上海七宝中学月考]已知在12件产品中可能存在次品,从中抽取2件检测,设次品数为ξ.若P(ξ=1) = ,且该产品的次品率不超过40%,则这12件产品的次品率为___________.     25%     解析　设这12件产品中的次品数为x, 则P(ξ=1)= = , 且 ×100%≤40%,解得x=3, 故这12件产品的次品率为 ×100%=25%. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　超几何分布的期望与方差 6.[教材习题改编]已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品 数为X,则下列结论正确的是 ( ) A.E(2X-1)= 　　　     B.DX=  C.EX=1　　　　　　    D.D(2X-1)=      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:根据题意可得,X的可能取值为1,2,3,且X服从超几何分布, 则P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = , 所以EX=1× +2× +3× =2, DX=(1-2)2× +(2-2)2× +(3-2)2× = , E(2X-1)=2EX-1=2×2-1=3, D(2X-1)=4DX=4× = . 第1讲　描述运动的基本概念 解法二:根据题意知,X服从参数为6,4,3的超几何分布, 所以EX= =2,DX= × × = , 所以E(2X-1)=2EX-1=2×2-1=3,D(2X-1)=4DX=4× = . 知识总结 超几何分布的期望与方差 若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX= ,DX= · · . 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026江西景德镇一中期中]已知盒子中有12个样品,6个不同的正品和6个不同的次品,现从 中逐个抽取5个样品.方案一:有放回地抽样,记取得次品个数为X;方案二:不放回地抽样,记取得次品个 数为Y,则 ( ) A.P(X=0)<P(Y=0) B.当k=2或k=3时,P(X=k)最大 C.EX=EY D.两种方案中第三次抽到次品的概率均为      BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　方案一为有放回地抽样,则取得次品的个数X服从二项分布B , ∴P(X=k)=   =  ,k=0,1,2,3,4,5. 方案二为不放回地抽样,则取得次品的个数Y服从参数为12,6,5的超几何分布, 则P(Y=k)= ,k=0,1,2,3,4,5. 对于选项A,易得P(X=0)= = , P(Y=0)= = , 故P(X=0)>P(Y=0),A错误; 对于选项B,∵P(X=k)=  , 第1讲　描述运动的基本概念 且 = > = > , ∴k=2或k=3时,P(X=k)最大,B正确; 对于选项C,EX=5× = ,EY= = ,C正确; 对于选项D,方案一中,每次抽到次品的概率均为 , 方案二中,第三次抽到次品的情况有四种,“正正次”“正次次”“次正次”“次次次”, 其中“正正次”的概率为 × × = ,“正次次”的概率为 × × = , “次正次”的概率为 × × = , “次次次”的概率为 × × = , 故第三次抽到次品的概率为 ×3+ = ,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026四川成都蓉城名校联盟联考]一批零件共有12件,其中有3件次品,现不放回地随机抽取4件进行 检验. (1)求抽到的次品数X的分布列、数学期望和方差; (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品,求恰好有2件次品的概率. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)X的可能取值为0,1,2,3,X服从参数为12,3,4的超几何分布, P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = , 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P         第1讲　描述运动的基本概念 所以EX= =1,DX= × × = . (2)记事件A=“抽到的4件中至少有1件次品”,事件B=“恰好有2件次品”, ∴P(B|A)= = = = , 故已知抽到的4件中至少有1件次品,恰好有2件次品的概率为 . 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　二项分布与超几何分布 4.2　超几何分布 第1讲　描述运动的基本概念 题组　超几何分布的应用 1.[2026广东湛江调研]有甲、乙两个盒子,甲盒中只有1个白球,乙盒中有k(k>3)个白球和(k+1)个黑球, 现从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中,设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为pi,甲 盒中含有白球个数的期望为Ei,则 ( ) A.p1>p2,E1>E2　　    B.p1>p2,E1<E2 C.p1<p2,E1>E2　　    D.p1<p2,E1<E2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当i=1时,从乙盒中取出白球和黑球的概率分别为 和 , 放入甲盒后,从甲盒中取出白球的概率分别为1和 , 故p1= ×1+ × = , E1= ×2+ ×1= . 当i=2时,从乙盒中取两个球,服从超几何分布, 取出两个白球的概率P1= , 此时从甲盒中取出白球的概率为1; 取出两个黑球的概率P2= , 第1讲　描述运动的基本概念 此时从甲盒中取出白球的概率为 ; 取出一白一黑的概率P3= , 此时从甲盒中取出白球的概率为 , 则p2=P1×1+P2× +P3× = , E2=P1×3+P2×1+P3×2= , 则p1-p2= - = >0, 所以p1>p2,又E1= ,E2= ,故E1<E2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江西宜春丰城第九中学开学考试]为了保持某自然生态保护区的生态平衡,现用重捕法了解该 保护区内某种动物的大致数量N(单位:只),随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记,一段时间后 再随机捕捉100只,用X表示第二次捕捉的100只中有标记的数量.若以使得X=12的概率最大时N的值作 为该保护区内这种动物的数量的估计值,则N的估计值是___________.     833     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由题意得,随机变量X服从超几何分布,即P(X=12)= , 记a(N)= , 则a(N+1)= , 所以 =  = . 当 >1时,N2-198N+9 801>N2-186N-187,解得188≤N<832.33, 当N≥833时,a(N)>a(N+1),故当N=833时,a(N)最大,故N的估计值为833. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025四川眉山期中]现有甲、乙两个箱子,两个箱子中装有除颜色外其他都相同的小球若干.其中甲 箱中有4个红球,3个黑球,2个绿球;乙箱中有2个红球,2个黑球,5个绿球. (1)若从甲箱中任取两个球,求这两个球颜色不同的概率; (2)若从乙箱中任取3个球,记取出的黑球的个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望; (3)若先从甲箱中随机取出一个球放入乙箱,再从乙箱中随机取出一个球,求从乙箱取出的球是绿球的 概率. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)从甲箱中任取两个球,这两个球颜色不同的概率为1- =1- = . (2)由题意得,X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)= = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= = , 则X的分布列为 X 0 1 2 P       第1讲　描述运动的基本概念 所以EX=0× +1× +2× = . (3)用事件A1,A2,A3分别表示从甲箱中取出红球、黑球、绿球,B表示从乙箱中取出绿球, 则P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= , P(B|A1)=P(B|A2)= ,P(B|A3)= , 由全概率公式可得P(B)= P(Ai)·P(B|Ai)= × + × + × = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026山东潍坊诸城第一中学月考]某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成 绩,整理得到如图所示的频率分布直方图. (1)估计该地区本次物理测试的平均分(同一组中的数据 用该组区间的中点值代替); (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60% 的学生选科报物理方向,试估计报物理方向的学生本次 成绩不低于多少分;(结果保留整数) (3)从成绩在[80,90)和[90,100]内的答卷中,采用分层 随机抽样随机抽取7份,再从这7份中随机抽取3份, 设成绩在[90,100]内的答卷份数为随机变量X,求X的分布列、数学期望和方差. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意知10×(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a)=1,解得a=0.030, 则平均分为45×0.005×10+55×0.010×10+65×0.020×10+75×0.030×10+85×0.025×10+95×0.010×10=74, 所以估计该地区本次物理测试的平均分为74分. (2)成绩在[90,100]内的频率为0.1,在[80,90)内的频率为0.25,在[70,80)内的频率为0.3, 因为0.1+0.25=0.35,0.1+0.25+0.3=0.65, 所以选报物理方向的最低分在[70,80)内,设为x,则(80-x)×0.03+0.25+0.1=0.6,解得x≈72, 所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分. (3)因为0.25∶0.1=5∶2,所以成绩在[80,90)内的答卷抽取5份,成绩在[90,100]内的答卷抽取2份, 则X的所有可能取值为0,1,2, P(X=0)= = = , 第1讲　描述运动的基本概念 P(X=1)= = = , P(X=2)= = = , 故X的分布列为 X 0 1 2 P       因为X服从参数为7,2,3的超几何分布, 所以EX= = ,DX= × × = . 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2026广东东莞高级中学质量检测]某校为庆祝建校百年,由学校团委、学生会组织开展“奋斗进 程”校史知识竞赛活动,每位参赛者均需要回答3个题目,可以从6个A组题目和若干个B组题目中,共选 择3个题目作答,A组题目每正确回答1个得10分,B组题目每正确回答1个得a(a>0)分,不能正确回答的题 目均不得分,参赛者总得分为3个题目得分之和.已知小王恰能正确回答A组题目中的4个题目,B组题目 每个正确回答的概率均为 ,且能否正确回答A组和B组题目互不影响. (1)已知小王两组题目均有选择,以他至少答对1个题目的概率为依据,试确定他分别选择两组题目的数 量的策略; (2)记小王总得分为X分. (i)若选择的3个题目均为A组题目,求X的分布列及数学期望EX; (ii)试确定a,使小王在选择3个题目时,无论怎样调整A,B组题目数量,X的期望保持稳定,并说明理由. (参考 公式:E(X1+X2)=EX1+EX2,其中X1,X2为随机变量) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)小王有两种选择方案:1个A组题目和2个B组题目;2个A组题目和1个B组题目,分别记两种情况 下小王至少答对1个题目的概率为P1,P2, 则P1=1- × =1- × = , P2=1- × =1- × = , 因为 = < = ,所以P1<P2, 故以至少答对1个题目的概率为依据,小王应选择2个A组题目和1个B组题目的策略. (2)记小王所选题目中A组题目得分为X1分,B组题目得分为X2分,则X=X1+X2. (i)由选择的3个题目均为A组题目, 可知X1=10,20,30, 第1讲　描述运动的基本概念 则P(X1=10)= = , P(X1=20)= = , P(X1=30)= = , 故X1的分布列为 X1 10 20 30 P       第1讲　描述运动的基本概念 故EX=EX1=10× +20× +30× =20. (ii)设小王选择的3个题目中A组题目数量为x,则B组题目数量为3-x,其中x=0,1,2,3,则 服从参数为6,4,x 的超几何分布, 服从二项分布B , 则E = ,E =1- , 故EX=E(X1+X2)=EX1+EX2= +a =a+ , 当a=20时,EX的值与a无关, 即当a=20时,无论小王如何调整A,B组题目数量,X的期望保持稳定. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　利用超几何分布的期望与方差公式证明、估计 6.[2025湖南永州期末]某自然保护区经过几十年的发展,某种濒临灭绝的动物数量有大幅度的增加.已 知这种动物P拥有两个亚种(分别记为A种和B种).为了调查该区域中这两个亚种的数目,某动物研究小 组计划在该区域中捕捉100个动物P,统计其中A种的数目后,将捕获的动物全部放回,作为一次试验结 果.重复进行这个试验共20次,记第i次试验中A种的数目为随机变量Xi(i=1,2,…,20).设该区域中A种的数 目为M,B种的数目为N(M,N均大于100),每一次试验均相互独立. (1)求X1的分布列; (2)记随机变量 =  Xi.已知E(Xi+Xj)=EXi+EXj,D(Xi+Xj)=DXi+DXj. (i)证明:E =EX1,D = DX1; 第1讲　描述运动的基本概念 (ii)该小组完成所有试验后,得到Xi的实际取值分别为xi(i=1,2,…,20).数据xi(i=1,2,…,20)的平均值 =30,方 差s2=1.采用 和s2分别代替E 和D ,给出M,N的估计值.  已知随机变量x服从参数为P,Q,n的超几何分布(其中P为总数,Q为某类元素的个数,n为抽取的个数),则 Dx=n  ·   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)依题意,Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,且M,N均大于100, 故X1的分布列为P(X1=k)= (k∈N,0≤k≤100). (2)(i)证明:Xi(i=1,2,…,20)均服从完全相同的超几何分布,故EXi=EX1, E =E = E =  EXi= ×20EX1=EX1, D =D = D =  DXi= ×20DX1= DX1, 故E =EX1,D = DX1. (ii)E =EX1= . 利用公式Dx=n  · 计算X1的方差, 第1讲　描述运动的基本概念 则DX1= , 所以D = DX1= . 依题意有  解得M=624,N=1 456, 所以可以估计M=624,N=1 456. 第1讲　描述运动的基本概念 $