6.4.1 二项分布(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案围绕二项分布展开，通过“投硬币中奖”情境导入引发认知冲突，引导学生从具体实例抽象出n重伯努利试验特征，进而掌握二项分布的定义、分布列及数字特征，搭建从实际问题到数学概念的学习支架。 资料以情境化问题驱动学习，结合射击、交通岗遇红灯等实例设计分层例题与变式训练，注重数学建模与数据分析核心素养的培养，帮助学生理解二项分布的实际应用，提升用数学思维解决问题的能力。

4.1　二项分布 课标 要求 通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题（数学抽象、数学建模、数据分析）. 　　某学生走在大街上，看见路旁有一群人，他挤进去，见一块木牌上写着：只需投掷二十次硬币，便可拥有双倍财富（恰好10次正面朝上者中奖），他一阵窃喜：数学老师刚讲过，投硬币时，正面朝上和正面朝下为等可能事件，概率均为，20×不就是10吗？这简直是必然事件嘛！于是他走上前去，将仅有的30元押在桌上. 【问题】　这个学生的运气如何呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　二项分布 1.n重伯努利试验 （1）定义：在　　　　条件下重复做　　次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响.称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验； （2）特征：①同一个伯努利试验　　　　做n次； ②各次试验的结果相互独立. 提醒：（1）在相同条件下，n重伯努利试验是有放回地抽样试验；（2）“重复”意味着各次试验成功的概率相同. 2.二项分布 在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为P（X＝k）＝　　　　（k＝0，1，2，…，n）. 若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，简记为　　　　. 提醒：由二项式定理可知，二项分布的所有概率和为1. 3.二项分布的均值与方差 若X服从二项分布，即X～B（n，p），则EX＝　　　，DX＝　　　　. 【想一想】 1.n重伯努利试验必须具备哪些条件？ 2.二项分布与两点分布有什么关系？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X～B（n，p）.（　　） （2）在n重伯努利试验中，各次试验的结果相互没有影响.（　　） （3）对于n重伯努利试验，各次试验中事件发生的概率可以不同.（　　） （4）如果在1次试验中某事件发生的概率是p，那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发生k次的概率P（X＝k）＝pk（1－p）n－k，k＝0，1，2，…，n.（　　） 2.设随机变量X～B（n，p），且EX＝1.6，DX＝1.28，则（　　） A.n＝8，p＝0.2 B.n＝4，p＝0.4 C.n＝5，p＝0.32 D.n＝7，p＝0.45 3.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为　　　　　.（用数字作答） 　　 题型一　n重伯努利试验概率模型及求解 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响. （1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率； （2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率. 尝试解答 【母题探究】 1.（变设问）在本例（2）的条件下，求甲、乙均击中目标1次的概率. 2.（变设问）在本例（2）的条件下，求甲未击中、乙击中2次的概率. 通性通法 n重伯努利试验概率求法的三个步骤 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了3次试验，记该小组试验成功的次数为X，求X的分布列； （2）第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第4次成功之前共有3次失败的概率. 题型二　二项分布 角度1　二项分布的实际应用 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. （1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列； （2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的交通岗数η的分布列； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 尝试解答 通性通法 利用二项分布解决实际应用问题的解题思路 （1）根据题意设出随机变量； （2）分析出随机变量服从二项分布； （3）找到参数n（试验的次数）和p（事件发生的概率）； （4）写出二项分布的分布列. 角度2　二项分布的均值与方差 电子商务在我国发展迅猛，网上购物已经成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖10元钱三瓶，有8种口味供您选择（其中有1种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过三瓶，且各种口味的瓶数相同， 每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）. （1）小王花10元钱买三瓶，请问小王收到货的组合方式共有多少种？ （2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖的瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差. 尝试解答 通性通法 正确认识二项分布及其在解题中的应用 （1）在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程； （2）对于二项分布公式EX＝np和DX＝np（1－p）要熟练掌握. 城南公园种植了4棵棕榈树，每棵棕榈树成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活棕榈树的株数，数学期望Eξ＝. （1）求p的值并写出ξ的分布列； （2）若有2棵或2棵以上的棕榈树未成活，则需要补种，求需要补种棕榈树的概率. 1.若随机变量X～B，则P（X＝2）＝（　　） A.× B.× C.×× D.×× 2.一头猪服用某药品后被治愈的概率是90％，则服用这种药的5头猪中恰有3头被治愈的概率为（　　） A.0.93 B.1－（1－0.9）3 C.×0.93×0.12 D.×0.13×0.92 3.随机变量X～B（100，p），且EX＝20，则D（2X－1）＝（　　） A.64 B.128 C.256 D.32 4.一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个题目选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成绩的均值为　　　，方差为　　　. 完成课后作业　第六章　§4　4.1 答案 4.1　二项分布 【基础落实】 新知初探 知识点 1.（1）相同　n　（2）①重复　 2.pk（1－p）n－k　X～B（n，p） 3.np　np（1－p） 想一想 1.提示：（1）每次试验是在同样条件下进行的； （2）各次试验中的事件互不影响； （3）每次试验结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生. 2.提示：当n＝1时，二项分布就是两点分布. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）√ 2.A　由已知有 解得 3.0.947 7　解析：至少3人被治愈的概率为×0.93×0.1＋0.94＝0.947 7. 【典例研析】 【例1】　解：（1）设A1表示“甲射击3次至少有1次未击中目标”，由题意，射击3次，相当于3次伯努利试验，故P（A1）＝1－P（）＝1－＝. （2）设A2表示“甲射击2次，恰有2次击中目标”，B表示“乙射击2次，恰有1次击中目标”，则P（A2）＝×＝，P（B）＝××＝，由于甲、乙射击相互独立，故P（A2B）＝×＝. 母题探究 1.解：设A3表示“甲击中目标1次”，B1表示“乙击中目标1次”，则P（A3）＝××＝，P（B1）＝××＝， 所以甲、乙均击中目标1次的概率为P（A3B1）＝×＝. 2.解：设A4表示“甲未击中目标”，B2表示“乙击中2次”，则P（A4）＝＝，P（B2）＝＝，所以甲未击中、乙击中2次的概率为P（A4B2）＝×＝. 跟踪训练 解：（1）由题意得，随机变量X可能的取值为0，1，2，3，则X～B（3，）， 则P（X＝0）＝（）0（1－）3＝， P（X＝1）＝（）1（1－）2＝， P（X＝2）＝（）2（1－）1＝， P（X＝3）＝（）3（1－）0＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）第二小组第7次试验成功，前面6次试验中有3次失败，3次成功，每次试验又是相互独立的. 故所求概率为（）3×（1－）3×＝. 【例2】　解：（1）由题意知ξ～B，则它的分布列为 P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5. 如表： ξ 0 1 2 3 4 5 P （2）η的分布列为P（η＝k）＝P（前k个是绿灯，第k＋1个是红灯）＝·，k＝0，1，2，3，4. P（η＝5）＝P（5个均为绿灯）＝. 如表： η 0 1 2 3 4 5 P （3）所求概率为P（ξ≥1）＝1－P（ξ＝0）＝1－＝. 【例3】　解：（1）若三瓶口味均不一样，有＝56（种）； 若其中两瓶口味一样，有＝56（种）； 若三瓶口味一样，有8种. 故小王收到货的组合方式共有56＋56＋8＝120（种）. （2）ξ所有可能的取值为0，1，2，3. 因为各种口味的口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，有8种不同口味，所以小王随机点击一次是草莓味口香糖的概率为. 即随机变量ξ服从二项分布，ξ～B（3，）. P（ξ＝0）＝×（）0×（1－）3＝， P（ξ＝1）＝×（）1×（1－）2＝， P（ξ＝2）＝×（）2×（1－）1＝， P（ξ＝3）＝×（）3×（1－）0＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 数学期望Eξ＝np＝3×＝. 方差Dξ＝np（1－p）＝3××＝. 跟踪训练 解：（1）由题意知，ξ服从二项分布，即ξ～B（4，p）. 因为Eξ＝4p＝，所以p＝. 因为ξ所有可能的取值为0，1，2，3，4， 所以P（ξ＝0）＝（）4（）0＝，P（ξ＝1）＝（）3·（）1＝，P（ξ＝2）＝（）2（）2＝，P（ξ＝3）＝（）1（）3＝，P（ξ＝4）＝（）0（）4＝，则ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P （2）记“需要补种棕榈树”为事件A. 由（1）得，P（A）＝P（ξ≤2）＝＋＋＝， 所以需要补种棕榈树的概率为. 随堂检测 1.D　∵随机变量X～B，∴P（X＝2）＝××. 2.C　5头猪中恰有3头被治愈的概率为×0.93×0.12. 3.A　EX＝100p＝20，解得p＝0.2，DX＝np（1－p）＝100×0.2×（1－0.2）＝16，D（2X－1）＝4DX＝64. 4.60　96　解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数（成绩）为Y，则Y＝4X.由题知X～B（25，0.6），所以EX＝25×0.6＝15，DX＝25×0.6×0.4＝6，EY＝E（4X）＝4EX＝60，DY＝D（4X）＝42×DX＝16×6＝96.所以该学生在这次测试中的成绩的均值与方差分别是60与96. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $