1.4 两条直线的交点(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦“两条直线的交点”，核心内容为用解方程组求交点坐标及判断两直线位置关系。以导弹防御系统拦截情境导入，将直线相交问题转化为数学问题，衔接直线方程知识，搭建从实际到理论的学习支架。 资料特色在于情境导入贴近现实，培养学生用数学眼光观察世界的意识，题型设计分层递进，通过自我诊断、典例研析及跟踪训练，结合一题多解和规律方法总结，强化数学运算与逻辑推理能力，助力学生自主学习，便于教师评估教学效果。

1.4　两条直线的交点 课标要求 能用解方程组的方法求两直线的交点坐标（直观想象、数学运算）． 中程导弹防御系统是用来对敌方弹道导弹进行探测和跟踪，然后发射拦截导弹，在敌方弹道导弹尚未到达目标之前，在空中对其进行拦截并将其摧毁．假若导弹的飞行路线是一条直线，拦截导弹的飞行路线也是直线，则被拦截的一瞬间即为两直线相交的过程． 【问题】　把上述问题放在平面直角坐标系中，如何求解两直线的交点坐标？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　两直线的交点坐标 1.定义：已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，将方程联立，得方程组若方程组有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，则两条直线相交，此解就是交点的坐标． 2.两直线l1，l2位置关系的判断方法 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点 　　个 无数个 个 直线l1，l2的位置关系 相交 重合 平行 【想一想】 1.如果两直线l1：A1x＋B1y＋C1=0.l2：A2x＋B2y＋C2=0相交于一点A（m，n），则点A的坐标与这两条直线方程有何关系？ 2.平面上两条直线的位置关系有哪几种情形？在两条直线的位置关系中有垂直吗？它属于哪种情形？ 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解．（　　） （2）若两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．（　　） （3）无论m为何值，x－y＋1=0与x－2my＋3=0必相交．（　　） 2.直线y=x与直线y=－x＋2的交点坐标为（　　） A．（－1，－1）　 　B．（1，1） C．（－1，1）　 　D．（1，－1） 3.方程组解的个数是（　　） A．0　 　B．1 C．2　 　D．无数个 题型一　两直线的交点问题 （链接教科书第29页例1）分别判断下列直线l1与l2是否相交，如果相交，求出交点的坐标： （1）l1：x－y=0，l2：3x＋3y－10=0； （2）l1：3x－y＋4=0，l2：6x－2y－1=0； （3）l1：3x＋4y－5=0，l2：6x＋8y－10=0. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 两条直线相交的判定方法 （1）联立直线方程解方程组，若有一解，则两直线相交； （2）两直线的斜率都存在，且斜率不相等，则两直线相交； （3）两直线的斜率一个存在，另一个不存在，两直线也相交． 判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： （1）l1：2x＋y＋3=0，l2：x－2y－1=0； （2）l1：x＋y＋2=0，l2：2x＋2y＋3=0. 题型二　由两直线的位置关系求参数 （链接教科书第30页例2、第31页练习3题） （1）〔一题多解〕设a为实数，直线l1：2x＋2y－3=0，l2：3x＋（a＋1）y－2=0，若l1∥l2，求a的值； （2）若三条直线ax＋2y－8=0，4x＋3y=10与2x－y=10相交于一点，求实数a的值． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 利用两直线的位置关系求参数的方法 （1）将两直线的位置关系转化为由两直线组成的方程组的解的个数问题，进而求得参数； （2）利用直线的一般式方程系数的关系，即已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0；若l1∥l2，则A1B2－A2B1=0且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）；若l1与l2重合，则A1B2－A2B1=0且B1C2－B2C1=0（或A1C2－A2C1=0），列出方程求参数． 设m为实数，已知直线l1：3x＋（m＋1）y－6=0，l2：mx＋2y－（m＋2）=0，当m为何值时，l1与l2： （1）相交；（2）l1∥l2． 题型三　求过两直线交点的直线 〔一题多解〕（链接教科书第30页例3）求经过直线l1：3x＋2y－1=0和l2：5x＋2y＋1=0的交点，且垂直于直线l3：3x－5y＋6=0的直线l的方程． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 【母题探究】 （变条件）本例中若将“垂直”改为“平行”，其他条件不变，试求直线l的方程． 规律方法 过两条直线交点的直线方程的求法 （1）常规解法（方程组法）：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程； （2）特殊解法（直线系法）：先设出过两直线交点的直线系方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程． 提醒：过两条已知直线A1x＋B1y＋C1=0，A2x＋B2y＋C2=0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0（不包括直线A2x＋B2y＋C2=0）． 直线l经过点（1，2），且经过直线2x＋3y＋8=0与x－y－1=0的交点，则直线l的方程为（　　） A．2x＋y=0　 　B．2x－y=0 C．x＋2y=0　 　D．x－2y=0 1.直线x=1和直线y=2的交点坐标是（　　） A．（2，2） 　B．（1，1） C．（1，2）　 　D．（2，1） 2.已知直线l1：ax＋y＋1=0与l2：2x－by－1=0相交于点M（1，1），则a＋b=（　　） A．－1　 　B.1 C.2　 　D．－2 3.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4=0和x＋y－4=0交点的直线方程为　　　　． 4.已知直线l过两直线l1：3x＋4y－2=0和l2：2x＋y＋2=0的交点，且与直线l3：4x＋3y－2=0平行，求直线l的方程． 完成课后作业　第一章　1.4 答案 1.4　两条直线的交点 【基础落实】 新知初探 知识点 1.唯一解 2.1　0 想一想 1.提示：点A的坐标满足直线l1和l2的方程. 2.提示：相交、平行、重合三种情形；有，它属于相交中的特殊情况. 自我诊断 1.（1）√　（2）×　（3）×　2.B　3.A 【典例研析】 【例1】　解：（1）解方程组得 所以l1与l2相交，交点坐标是. （2）解方程组 ①×2－②得9＝0，矛盾，这个方程组无解，所以l1与l2无公共点，l1∥l2. （3）解方程组 ③×2得6x＋8y－10＝0. 即方程组有无数组解，l1与l2重合. 跟踪训练 解：（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）. （2）解方程组 ①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1∥l2. 【例2】　解：（1）法一　因为l1∥l2，所以方程组无解. 由①×3－②×2得，（4－2a）y＝5， ③ 从而③无解，即4－2a＝0，得a＝2. 法二　由题可知A1＝2，B1＝2，C1＝－3，A2＝3，B2＝a＋1，C2＝－2. 当l1∥l2时， 解得a＝2. （2）由⇒即三条直线交于点（4，－2），代入ax＋2y－8＝0，有4a－4－8＝0⇒a＝3. 跟踪训练 解：（1）∵l1与l2相交，∴A1B2－A2B1≠0，即3×2－m（m＋1）≠0， 即m2＋m－6≠0，解得m≠－3且m≠2， 即当m≠－3且m≠2时，直线l1与l2相交. （2）∵l1∥l2，则解得m＝－3. 【例3】　解：法一　解方程组 得交点坐标为（－1，2）. 又由直线l3的斜率为，得直线l的斜率为－， 则直线l的方程为y－2＝－（x＋1），即5x＋3y－1＝0. 法二　设所求直线l的方程为3x＋2y－1＋λ（5x＋2y＋1）＝0， 即（3＋5λ）x＋2（1＋λ）y－1＋λ＝0， ① 又l⊥l3，则3×（3＋5λ）＋（－5）×（2＋2λ）＝0， 解得λ＝， 将λ＝代入①式得5x＋3y－1＝0. 母题探究 解：解方程组得交点坐标为（－1，2）， 又由直线l3的斜率为， 得直线l的斜率为， 故直线l的方程为y－2＝（x＋1）， 即3x－5y＋13＝0. 跟踪训练 B　设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ（x－y－1）＝0，即（2＋λ）x＋（3－λ）y＋8－λ＝0.因为l过点（1，2），所以（2＋λ）＋2（3－λ）＋8－λ＝0，解得λ＝8.则直线l的方程为2x－y＝0.故选B. 随堂检测 1.C　2.A　3.2x＋y－4＝0 4.解：联立方程得l1与l2的交点为（－2，2）.∵直线l3的斜率为－，l∥l3，∴直线l的斜率为k＝－，故直线l的方程为y－2＝－（x＋2），即4x＋3y＋2＝0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $