1.5.1平面上两点间的距离学案-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019） 选择性必修第一册

1.5.1　平面上两点间的距离 [学习目标]　1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.掌握中点坐标公式.3.会用坐标法证明简单的平面几何问题． 一、两点之间的距离公式 问题1　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 问题2　已知平面内两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，怎样求这两点间的距离？ 知识梳理 1．平面上P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式____________________. 2．原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离OP＝. 例1　已知△ABC的三个顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，试判断△ABC的形状． 反思感悟　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，P1P2＝. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况用|x2－x1|或|y2－y1|求解． 跟踪训练1　已知A(a,2)，B(－2，－3)，C(1,6)三点，且|AB|＝|AC|，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 二、两点间距离公式的应用 例2　在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＋y＋a＝0与点A(2,0)，若直线l上存在点M满足MA＝2MO(O为坐标原点)，则实数a的取值范围是____________． 反思感悟　将条件转化为参数的方程或不等式(方程组或不等式组)求解． 跟踪训练2　在直线2x－3y＋5＝0上存在点P，使点P到A(2,3)的距离为，则点P的坐标是(　　) A．(5,5) B．(－1,1) C．(5,5)或(－1,1) D．(5,5)或(1，－1) 三、坐标法的应用 知识梳理 对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点是M(x0，y0)，则 例3　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 反思感悟　(1)坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系．坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决．建系的原则主要有两点：①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴． (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量． ②进行有关的代数运算． ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 跟踪训练3　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC＝BD. 1．知识清单： (1)两点间的距离． (2)由两点间距离求参数． (3)坐标法的应用． 2．方法归纳：待定系数法、坐标法． 3．常见误区：已知距离求参数问题易漏解． 1．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且AB＝5，则a的值为(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．－1,5 2．直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别是1,5，则PQ等于(　　) A．4 B．4 C．2 D．2 3．(多选)直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是(　　) A．(－4,5) B．(－3,4) C．(－1,2) D．(0,1) 4．在平面直角坐标系xOy中，点A(－3,3)，B(－1,1)，若直线x－y－m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是________. 1.5.1　平面上两点间的距离 问题1　AB＝|xA－xB|. 问题2　(1)当P1P2与x轴平行时，P1P2＝|x2－x1|； (2)当P1P2与y轴平行时，P1P2＝|y2－y1|； (3)当P1P2与坐标轴不平行时，如图，在Rt△P1QP2中，P1P＝P1Q2＋QP， 所以P1P2＝. 知识梳理 1．P1P2＝ 例1　解　方法一　∵AB＝＝＝2， AC＝＝＝2， 又BC＝＝＝2， ∴AB2＋AC2＝BC2，且AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形． 方法二　∵kAC＝＝， kAB＝＝－， ∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB. 又AC＝＝＝2， AB＝＝＝2， ∴AC＝AB，∴△ABC是等腰直角三角形． 跟踪训练1　A　[由两点间的距离公式及|AB|＝|AC|可得，＝，解得a＝－2.] 例2　 解析　设M(x，－x－a)，由MA＝2MO，得(x－2)2＋(－x－a)2＝4x2＋4(－x－a)2，整理得6x2＋(6a＋4)x＋3a2－4＝0，由Δ≥0得9a2－12a－28≤0，解得≤a≤，故a的取值范围为. 跟踪训练2　C　[设点P(x，y)，则y＝.由PA＝，得(x－2)2＋2＝13，即(x－2)2＝9，解得x＝－1或x＝5.当x＝－1时，y＝1；当x＝5时，y＝5，∴点P的坐标为(－1,1)或(5,5)．] 例3　证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点． 设A(0,0)，B(c,0)，C(m，n)， 则AB＝|c|. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴DE＝＝， ∴DE＝AB， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半． 跟踪训练3　证明　如图所示，以AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系， 设A(－a,0)，B(a,0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(－b，c)． ∴AC＝＝， BD＝＝. 故AC＝BD. 随堂演练 1．C　[由两点间距离公式得＝5.解得a＝1或a＝－5.] 2．B　[∵P(1,1)，Q(5,5)，∴PQ＝＝4.] 3．BC　[设所求点的坐标为(x0，y0)，有 x0＋y0－1＝0，且＝， 两式联立解得或] 4．[－2，2] 解析　设P(x，x－m)， 因为PA＝PB， 所以PA2＝3PB2， 所以(－3－x)2＋(3－x＋m)2＝3(－1－x)2＋3(1－x＋m)2， 化简得2x2－2mx＋m2－6＝0， 则Δ＝4m2－4×2(m2－6)≥0， 解得－2≤m≤2， 即实数m的取值范围是[－2，2]． 学科网（北京）股份有限公司 $$