1.3 第2课时 两条直线垂直(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（苏教版)

该高中数学导学案聚焦“两条直线垂直”，引导学生掌握两直线垂直的判定方法，包括斜率存在时的乘积关系及特殊情况。课堂从生活中十字路口、黑板相邻边等垂直实例导入，类比上节课直线平行的研究方法，搭建知识支架，引导学生自主探究斜率关系。 资料通过情境导入培养学生用数学眼光观察现实世界，自我诊断与典例研析（含一题多解）强化数学思维，规律方法总结及分层训练（跟踪训练、随堂检测）提升数学语言表达能力，助力学生理解判定逻辑，发展推理与应用意识，适合课堂教学与自主学习。

第2课时　两条直线垂直 　　除平行外，生活中也存在很多垂直关系，如交通道路的十字路口，黑板相邻两边等，上节课我们学习了两条直线平行的判定方法，研究了两平行直线的斜率的关系． 【问题】　类比两条直线平行的研究方法，若l1⊥l2，你能得出l1与l2斜率的关系吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　　　　 知识点　两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2（两直线斜率都存在）⇔　　　　 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒　　　 提醒：l1⊥l2是k1•k2=－1的必要不充分条件． 1.判断正误．（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若直线l1⊥l2，则k1k2=－1.（　　） （2）若k1k2=－1，则l1⊥l2.（　　） （3）若直线l1的斜率为a，且l1⊥l2，则l2的斜率为－．（　　） 2.已知四点A（1，2），B（5，6），C（2，－1），D（1，0），则直线AB与直线CD的位置关系是（　　） A．平行　 　B．垂直 C．重合　 　D．无法确定 3.求过点A（2，3）且与直线x＋2y－6=0垂直的直线方程． 题型一　两条直线垂直的判定 （链接教科书第25页例4）判断下列两直线是否垂直： （1）l1经过点A（－1，1），B（－1，3），l2经过点（3，6），（7，6）； （2）直线l1的斜率为，直线l2与直线2x＋3y＋1=0平行； （3）〔一题多解〕l1：3x＋2y－2=0，l2：－4x＋6y＋5=0. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 判定两直线垂直的方法 （1）若一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直； （2）若两直线的斜率都存在且不为0，只需求出两直线的斜率，看它们的斜率之积是否等于－1即可； （3）若两直线用一般式表示为：l1：A1x＋B1y＋C1=0，l2：A2x＋B2y＋C2=0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2=0. 判断下列两直线是否垂直： （1）直线l1的斜率为－10，直线l2经过点A（10，2），B（20，3）； （2）l1：y=2x－2，l2：x－2y＋1=0. 题型二　求与已知直线垂直的直线方程 （链接教科书第25页例5）已知△ABC的顶点B（2，1），C（－6，3），其垂心为H（－3，2），则直线AH的方程为　　　　． 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 　　求与已知直线垂直的直线方程时，要看原直线斜率是否存在，若存在，利用斜率乘积等于－1求斜率，若不存在，则所求斜率为0，然后用点斜式求直线方程；也可先设出与已知直线Ax＋By＋C=0垂直的直线的一般方程Bx－Ay＋m=0，代入其他条件再求方程． 　与直线y=2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是（　　） A．y=x＋4 　B．y=2x＋4 C．y=－2x＋4　 　D．y=－x＋4 题型三　两条直线垂直的应用 （链接教科书第27页练习2题）（1）已知△ABC的顶点坐标为A（－5，－1），B（－1，1），C（－2，3），则△ABC的形状为（　　） A．锐角三角形　 　B．直角三角形 C．钝角三角形　 　D．无法确定 （2）已知直线x＋2y－3=0和2x＋my＋2=0互相垂直，则m=（　　） A．－4　 　B．－1 C.1　 　D.4 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 规律方法 1.利用两直线垂直判定平面图形的形状通常需要结合图形，寻找相关的垂直关系，然后利用直线的斜率进行判断． 2.利用两直线垂直求参数问题一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为－1求解，但要注意讨论直线与x轴垂直的情况，也可先将方程化为一般式，由两直线垂直时系数的关系，列出式子求解． 1.若直线l1：（a＋3）x＋y＋4=0与直线l2：x＋（a－1）y＋4=0垂直，则直线l1在x轴上的截距是（　　） A．－4　 　B．2 C．－2　 　D．4 2.点A（－1，1），B（2，－1），C（1，4）为直角三角形的三个顶点，则直角顶点为　　　　． 1.过点M（2，－3）且与直线x＋2y－9=0垂直的直线方程是（　　） A.2x－y－7=0　 　B．x－2y＋7=0 C．x＋2y＋4=0　 　D.2x－y＋8=0 2.直线l1，l2的斜率是方程x2－3x－1=0的两根，则l1与l2的位置关系是（　　） A．平行　 　B．重合 C．相交但不垂直　 　D．垂直 3.若直线mx＋4y－2=0与直线2x－5y－12=0垂直，则实数m=（　　） A．－10　 　B.10 C．－2　 　D.2 4.已知点A（－2，－5），B（6，6），点P在y轴上，且∠APB=90°，则点P 的坐标为　　　　．　 完成课后作业　第一章　1.3　第2课时 答案 第2课时　两条直线垂直 【基础落实】 新知初探 知识点 k1·k2＝－1　l1⊥l2 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）× 2.B 3.解：因为直线x＋2y－6＝0的斜率为k1＝－， 所以过点A（2，3）且与该直线垂直的直线l的斜率为k＝2. 所以直线l的方程为y－3＝2（x－2），即2x－y－1＝0. 【典例研析】 【例1】　解：（1）直线l1与x轴垂直，斜率不存在，直线l2与y轴垂直，斜率为0，故l1⊥l2. （2）直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝－，k1·k2＝－≠－1，所以直线l1与l2不垂直. （3）法一　直线l1的斜率k1＝－，直线l2的斜率k2＝，从而k1k2＝（－）×＝－1，故l1⊥l2. 法二　由A1A2＋B1B2＝3×（－4）＋2×6＝0，故l1⊥l2. 跟踪训练 解：（1）直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1·k2＝－10×＝－1，所以l1⊥l2. （2）将l2的方程化为斜截式为y＝x＋. 因此l2的斜率为， 又因为l1的斜率为2，而且×2＝1≠－1， 从而可知l1与l2不垂直. 【例2】　4x－y＋14＝0　解析：易知kBC＝＝－，又点H为△ABC的垂心，所以AH⊥BC，即kAHkBC＝－1，又kBC＝－，所以kAH＝4，又H（－3，2），故直线AH的方程为y－2＝4（x＋3），即4x－y＋14＝0. 跟踪训练 D　直线y＝2x＋1的斜率为2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线的斜率为－，又因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－x＋4. 【例3】　（1）B　（2）B　解析：（1）∵kAB＝＝，kBC＝＝－2，kAC＝＝，∴kAB·kBC＝－1，∴AB⊥BC，∴△ABC为直角三角形. （2）由题意得1×2＋2m＝0，解得m＝－1，此时后者直线方程为2x－y＋2＝0，满足题意.故选B. 跟踪训练 1.C　∵直线l1：（a＋3）x＋y＋4＝0与直线l2：x＋（a－1）y＋4＝0垂直，∴a＋3＋a－1＝0，∴a＝－1，∴直线l1：2x＋y＋4＝0，∴直线l1在x轴上的截距是－2，故选C. 2.A　解析：因为A（－1，1），B（2，－1），C（1，4），所以kAB＝＝－，kAC＝＝.所以kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，所以角A为直角. 随堂检测 1.A　2.D　3.B　4.（0，－6）或（0，7） 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $