2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的综合问题，涵盖弦长求解、中点弦处理及综合应用，通过基础落实、典例研析到跟踪训练的递进设计，搭建从知识理解到能力提升的学习支架。 其亮点在于以数学运算和逻辑推理为核心，通过一题多解（如抛物线弦长的两种方法）、母题探究（如弦长到面积的转化）及通性通法总结，培养学生解题思路，学生能提升运算能力与推理意识，教师可依托结构化内容提高教学效率。

§4　直线与圆锥曲线的位置关系 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 第二章　圆锥曲线 1 课标 要求 1.会求直线与圆锥曲线相交截得的弦长（数学运算）. 2.掌握圆锥曲线中的中点弦问题（逻辑推理）. 3.掌握直线与圆锥曲线的综合问题（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 典例研析>> 目录 4 题型一　求直线与圆锥曲线相交弦问题 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e ＝，且点P（2，1）在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； 解： 由题意得所以 所以椭圆C的方程为＋＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求｜AB｜的最大值. 解： 设直线AB的方程为y＝－x＋m， 联立得3x2－4mx＋2m2－6＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以 所以｜AB｜＝｜x1－x2｜＝， 当m＝0时，满足Δ＞0，所以｜AB｜max＝4. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【母题探究】 　（变设问）本例（2）条件不变，求△AOB面积的最大值. 解：由本例知｜AB｜＝，原点到直线的距离为d＝. 所以S△OAB＝×· ＝·≤ ·＝， 当且仅当m＝±时，等号成立，所以△AOB面积的最大值为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 求弦长的两种方法 （1）求出直线与圆锥曲线的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次 方程，利用弦长公式：｜P1P2｜＝·（或｜ P1P2｜＝·），其中x1，x2（y1，y2）是上述 一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入 公式可求得弦长. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 〔一题多解〕已知抛物线C：y2＝4x，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于 A，B两点，且｜AB｜＝5，求AB所在直线的方程. 解：由题意知焦点F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）.若AB⊥x轴， 则｜AB｜＝4＜5，不满足题意.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线 AB的方程为y＝k（x－1）（k≠0）. 法一　与抛物线方程联立消去x，整理得ky2－4y－4k＝0.Δ＞0，y1＋y2＝ ，y1y2＝－4. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以｜AB｜＝｜y1－y2｜＝·＝ ·＝4（1＋）＝5，解得k＝±2.所以AB所 在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0. 法二　与抛物线方程联立消去y，整理得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0.Δ＞0， x1＋x2＝2＋. 所以｜AB｜＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝4＋＝5，解得k＝±2. 所以AB所在直线的方程为2x＋y－2＝0或2x－y－2＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　中点弦问题 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x， 一个焦点到该渐近线的距离为1. （1）求C的方程； 解：双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x， 所以＝2. 因为焦点（0，c）到直线y＝2x的距离d＝＝1， 所以c＝. 又c2＝a2＋b2，所以a2＝4，b2＝1， 所以双曲线C的方程为－x2＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）经过点M（1，4）的直线l交C于A，B两点，且M为线段AB的中点， 求l的方程. 解： 由题知直线l的斜率存在且不为0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的斜率为k， 则x1＋x2＝2，y1＋y2＝8. 又A，B是双曲线上的两点，所以－＝1，－＝1，两式相减，得 －－＋＝0，即＝4， 即＝4，所以k＝＝1， 所以直线l的方程为y－4＝x－1，即y＝x＋3. 经检验直线l：y＝x＋3与双曲线C有两个交点，满足条件，所以直线l的方 程为y＝x＋3. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 中点弦问题的解题策略 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 已知抛物线y2＝2x，过点Q（2，1）作一条直线交抛物线于A，B两点，试 求弦AB的中点的轨迹方程. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点为M（x，y），则y1＋y2＝ 2y，当直线AB的斜率存在时，kAB＝＝. 易知 相减得（y1＋y2）（y1－y2）＝2（x1－x2）， 所以2y·＝2，即2y·＝2，即（y－）2＝x－（y≠0）. 当直线AB的斜率不存在，即AB⊥x轴时，AB的中点为（2，0），适合上 式，故所求轨迹方程为（y－）2＝x－. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　直线与圆锥曲线的综合问题 〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷16题）已知A（0，3）和P（3，）为 椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）上两点. （1）求C的离心率； 解： 由题意得解得 所以e＝＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程. 解： 法一　kAP＝＝－，则直线AP的方程为y＝－x＋3，即x ＋2y－6＝0， ｜AP｜＝＝， 由（1）知C：＋＝1， 设点B到直线AP的距离为d，则d＝＝， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移个单位长度即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B， 设该平行线的方程为：x＋2y＋m＝0， 则＝，解得m＝6或m＝－18， 当m＝6时，联立 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解得或 即B（0，－3）或（－3，－）， 当B（0，－3）时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x－3，即3x－2y－6 ＝0， 当B（－3，－）时，此时kl＝，直线l的方程为y＝x，即x－2y＝0， 当m＝－18时，联立得2y2－27y＋117＝0， Δ＝272－4×2×117＝－207＜0，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线l的方程为3x－2y－6＝0或x－2y＝0. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二　同法一得到直线AP的方程为x＋2y－6＝0， 点B到直线AP的距离d＝， 设B（x0，y0），则 解得或 即B（0，－3）或（－3，－），以下同法一. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 　　圆锥曲线的综合问题最终体现在对直线与圆锥曲线的位置关系、轨 迹、向量关系及参数范围的探求上.设而不求，消参是解决这类问题常用 的方法.在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，右顶 点为（1，0）. （1）求双曲线C的标准方程； 解： 由渐近线方程为y＝±x， 所以b＝a，右顶点为（1，0），所以a2＝1，b2＝3， 故双曲线C的标准方程为x2－＝1. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）过点E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求· 的取值范围. 解： 如图所示，根据题意易知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为 y＝kx＋2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线和双曲线方程 消去y可得（3－k2）x2－4kx－7＝0， 因为直线与双曲线一支交于M，N两点， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以解得3＜k2＜7， 因此·＝（x1，y1－2）（x2，y2－2） ＝x1x2＋（y1－2）（y2－2） ＝x1x2＋k2x1x2＝（k2＋1）x1x2 ＝7×＝7×（1＋）. 因为3＜k2＜7，所以0＜k2－3＜4， 所以＞1，所以·＝7×（1＋）＞14， 故·的取值范围是（14，＋∞）. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B 两点，则｜AB｜＝（　　） A. 4 B. 2 C. 1 D. 4 √ 解析： 　因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为 （，0），将x＝代入＋y2＝1得，y＝±，故｜AB｜＝1.故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知斜率为k的直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，线段AB的中点 为M（2，1），则直线l的方程为（　　） A. 2x－y－3＝0 B. 2x－y－5＝0 C. x－2y＝0 D. x－y－1＝0 √ 解析： 　设A（x1，y1），B（x2，y2），则⇒＝＝ 2，所以k＝2，因为直线过点M（2，1），所以直线l的方程为2x－y－3＝0. 故选A. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（3，6）的直线l与C 相交于A，B两点，且线段AB的中点为N（12，15），则双曲线C的离心率 为（　　） A. 2 B. 3 C. D. √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 设A（x1，y1），B（x2，y2），由已知可得－＝1，－＝ 1，两式相减化简可得－·＝0.又线段AB的中点N的坐标为 （12，15），直线AB过点P（3，6），∴x1＋x2＝24，y1＋y2＝30，＝ 1，∴＝，∴＝1＋＝，∴离心率e＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 设F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点， 求使得·＝－7成立的点P的个数. 解：设P（x0，y0）.∵F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点， ∴F1（－4，0），F2（4，0），∴＝（－4－x0，－y0），＝（4－ x0，－y0）.∵·＝－7，∴（－4－x0）（4－x0）＋（－y0）2＝－7， 即＋＝9　①. 又∵P（x0，y0）为椭圆上任意一点，∴＋＝1　②. 联立①②解得或 ∴使得·＝－7成立的点P的个数为2. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 29 1. 直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦AB的中点M的坐标是（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由消y得2x2＋（x－1）2＝4，即3x2－2x－3＝0， 解得x1＝，x2＝，所以弦AB的中点M的横坐标为x0＝＝， 纵坐标为y0＝x0－1＝－，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长｜AB｜＝（　　） A. B. C. 2 D. 3 √ 解析： 　由得交点为（0，1），，则｜ AB｜＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），若直线y＝2x被抛物线所截弦长为 4，则抛物线C的方程为（　　） A. x2＝8y B. x2＝4y C. x2＝2y D. x2＝y √ 解析： 　由解得或则交点坐标为（0， 0），（4p，8p），则＝4，解得p＝1.故所求抛物 线C的方程为x2＝2y. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知直线l：y＝x＋3与双曲线－＝1相交于A，B两点，线段AB的中 点为M，则OM的斜率为（　　） A. B. √ C. D. 解析： 　设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），解方程组 得5x2＋54x＋117＝0，故x1＋x2＝－，所以x0＝＝－ ，y0＝x0＋3＝－，故kOM＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 〔多选〕〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷10题）抛物线C：y2＝4x的准 线为l，P为C上动点.过P作☉A：x2＋（y－4）2＝1的一条切线，Q为切点. 过P作l的垂线，垂足为B. 则（　　） A. l与☉A相切 B. 当P，A，B三点共线时，｜PQ｜＝ C. 当｜PB｜＝2时，PA⊥AB D. 满足｜PA｜＝｜PB｜的点P有且仅有2个 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　对于A，易知l：x＝－1，故l与☉A相切，A正确；对于B，A （0，4），☉A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P（4，4），所以｜ PA｜＝4，｜PQ｜＝＝＝，故B正确；对于 C，当｜PB｜＝2时，P（1，2），B（－1，2）或P（1，－2），B（－1， －2），易知PA与AB不垂直，故C错误；对于D，法一（直接法）　设P （，t），由PB⊥l可得B（－1，t），又A（0，4），｜PA｜＝｜PB｜， 根据两点间的距离公式，＝＋1，整理得t2－16t＋30＝ 0，Δ＝162－4×30＝136＞0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的 P点，D选项正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 法二（利用抛物线定义转化）　根据抛物线的定义，｜PB｜ ＝｜PF｜，这里F（1，0），于是｜PA｜＝｜PB｜时P点的 存在性问题转化成｜PA｜＝｜PF｜时P点的存在性问题， A（0，4），F（1，0），AF中点（，2），AF中垂线的斜率 为－＝，于是AF的中垂线方程为：y＝x＋，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136＞0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得｜PA｜＝｜PF｜，D选项正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而 且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是 （　　） A. 直线AB与OM垂直 B. 若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x＋y－3＝0 C. 若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为（，） D. 若直线方程为y＝x＋2，则｜AB｜＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　假设直线与椭圆交于椭圆的左顶点A（－，0）和上顶点B （0，2），显然△ABO不是等腰直角三角形，AB与OM显然是不垂直的.故 A错误.设直线方程为y＝kx＋b（b≠0）.联立直线与椭圆的方程，消去y 得，（2＋k2）x2＋2kbx＋b2－4＝0.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋ x2＝－，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2b＝－＋2b＝.故点M的坐标为 （－，）.对于B，点M（1，1），则解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 即所求直线方程为2x＋y－3＝0.故B正确.对于C，若直线方程 为y＝x＋1，即k＝1，b＝1，则M点坐标为（－，），故C错误.对于D， 若直线方程为y＝x＋2，即k＝1，b＝2，｜AB｜＝｜x1－x2｜＝ ＝×＝.故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与 椭圆交于A，B两点.若直线AB的倾斜角为，则弦长｜AB｜＝ 　　. 解析：易知F1（－1，0），∵直线AB的倾斜角为，∴直线AB的斜率为1， 可得直线AB的方程为y＝x＋1.联立整理得7x2＋8x－8＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝ －，则由弦长公式得｜AB｜＝·＝ ×＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 已知抛物线C：x2＝4y，F为其焦点，若直线l：y＝x＋1与抛物线C在 第一象限交于点M，则｜MF｜＝ ⁠. 解析：由题意得F（0，1），p＝2，准线方程为y＝－1，对于直线l：y＝ x＋1，当x＝0时，y＝1，即直线l过点F（0，1），联立得 3y2－10y＋3＝0，解得y＝3或y＝，由于M在第一象限，且l：y＝x＋1的 斜率大于0，故M的纵坐标为3，则｜MF｜＝yM＋＝3＋1＝4. 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 已知双曲线C：－＝1（a＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，直线l：y＝x＋2与双曲线C的一条渐近线平 行，过点F2作MF2⊥l，垂足为M，则△MF1F2的面积为 ⁠. 2　 解析：由题意可知所以a＝1，c2＝a2＋b2＝4，即c＝2，所以F1 （－2，0），F2（2，0），直线l：y＝x＋2，令y＝0，得x＝－2，故 直线l过点F1，因为直线l的斜率为，且MF2⊥l，所以∠MF1F2＝60°， ∠MF2F1＝30°，又点F2到直线l的距离｜MF2｜＝＝2，所 以△MF1F2的面积为｜MF2｜·｜F1F2｜·sin 30°＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 已知椭圆＋＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，点T（2，）在 椭圆上. （1）求椭圆的方程； 解： 因为椭圆的离心率为e＝＝，所以＝，则a2＝3b2. 因为点T在椭圆上，所以＋＝1， 解得b2＝3，则a2＝9， 所以椭圆的方程为＋＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）已知直线y＝x＋m与椭圆交于A，B两点，点P的坐标为（2， 0），且·＝－1，求实数m的值. 解： 设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）. 联立得7x2＋6mx＋3m2－9＝0. 所以Δ＝（6m）2－4×7×（3m2－9）＞0， 即0≤m2＜21， 所以x1＋x2＝－m，x1x2＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 因为·＝－1， 所以·＝（x1－2，y1）·（x2－2，y2） ＝3x1x2＋（m－2）（x1＋x2）＋8＋m2 ＝3×＋（m－2）×（－）＋8＋m2＝＝－1， 整理得m2＋6m＋9＝0，解得m＝－3， 满足Δ＞0，故m＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 已知动点P在椭圆C：＋＝1上，若点A的坐标为（3，0），点M满 足｜｜＝1，·＝0，则｜｜的最小值为（　　） A. B. 2 C. D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　因为｜｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的 圆，因为·＝0，所以PM⊥AM，要使｜｜最小，只需｜｜最 小，设P（m，n），－6≤m≤6，则＋＝1，其中｜AP｜＝ ＝＝＝｜m－ 6｜，因为－6≤m≤6，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜｜min＝ ＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是2， 过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原 点，则下列结论正确的是（　　） A. C的准线方程为x＝－1 B. 线段AB的长度的最小值为4 C. M的坐标可能是（4，2） D. 存在直线l，使得OA与OB垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由已知可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则点F（1， 0），准线的方程为x＝－1，A正确；当AB⊥x轴时，｜AB｜有最小值，令 x＝1，代入抛物线方程解得y＝±2，所以｜AB｜min＝｜2－（－2）｜＝ 4，B正确；设直线l的方程为x＝my＋1，代入抛物线方程可得y2－4my－4 ＝0，则yA＋yB＝4m，所以xA＋xB＝m（yA＋yB）＋2＝4m2＋2，当m＝1时， 可得M（3，2），C错误；因为yAyB＝－4，所以xAxB＝1，所以·＝ xAxB＋yAyB＝1－4＝－3，D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 已知双曲线C：x2－my2＝1（m＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点 A，B分别在双曲线C的左支与右支上，且点A，B与点F2共线，若｜ AB｜∶｜AF1｜∶｜BF1｜＝2∶2∶3，则｜AB｜＝ ⁠. 解析：因为｜AB｜∶｜AF1｜∶｜BF1｜＝2∶2∶3，设｜AB｜＝｜AF1｜ ＝t，｜BF1｜＝t，由双曲线定义可得｜AF2｜－｜AF1｜＝｜AF2｜－｜ AB｜＝｜BF2｜＝2，所以｜BF1｜＝｜BF2｜＋2＝4，即t＝4， t＝， 即｜AB｜＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 如图，已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1 的直线与抛物线交于M，N两点，且｜MN｜＝8. （1）求抛物线C的方程； 解：由题意可知F，则该直线方程为y＝x－， 代入y2＝2px（p＞0），得x2－3px＋＝0. 设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1＋x2＝3p. 因为｜MN｜＝8，所以x1＋x2＋p＝8， 即3p＋p＝8，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求·的 最小值. 解： 设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x， 得x2＋（2b－4）x＋b2＝0. 因为直线l为抛物线C的切线， 所以Δ＝0，解得b＝1. 所以直线l的方程为y＝x＋1. 由（1）可知x1＋x2＝6，x1x2＝1. 设P（m，m＋1）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 则＝（x1－m，y1－（m＋1）），＝（x2－m，y2－（m＋1））， 所以·＝（x1－m）（x2－m）＋[y1－（m＋1）]·[y2－（m＋1）] ＝x1x2－m（x1＋x2）＋m2＋y1y2－（m＋1）·（y1＋y2）＋（m＋1）2. 因为x1＋x2＝6，x1x2＝1， 所以y1y2＝（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝－4. 因为－＝4（x1－x2），所以y1＋y2＝4×＝4， 所以·＝1－6m＋m2－4－4（m＋1）＋（m＋1）2＝2（m2－4m －3）＝2[（m－2）2－7]≥－14， 当且仅当m＝2，即点P的坐标为（2，3）时，·取得最小值，最 小值为－14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $