培优课 直线与圆的综合问题(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦直线与圆的综合问题，涵盖位置关系判断及应用、范围与最值问题、实际应用三大题型。通过典例一题多解（代数法与几何法）导入，衔接直线与圆方程的基础知识点，搭建从基础运算到综合应用的学习支架，引导学生掌握通性通法。 资料亮点在于注重一题多解培养数学思维，结合海岛、拱桥等实际案例强化数学建模，跟踪训练分层设计提升数学运算能力。通过坐标法应用，帮助学生用数学眼光观察问题、思维分析规律、语言表达结论，助力师生高效教学。

直线与圆的综合问题 1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题（数学抽象、数学运算）. 2.在平面直角坐标系中，探索直线与圆的方程的实际应用（数学抽象）. 3.能用直线与圆的方程解决实际问题，体会坐标法在解题中的应用（数学建模）. 题型一　直线与圆的位置关系的判断及应用 〔一题多解〕已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线y＝x＋b，当实数b为何值时，直线与圆： （1）有两个公共点； （2）只有一个公共点； （3）没有公共点. 尝试解答 通性通法 1.判断点、直线与圆的位置关系的一般思路 （1）代数法：将点的坐标代入圆的方程，根据运算结果确定点与圆的位置关系；将直线方程与圆的方程联立组成二元二次方程组，消元后将其变为只含一个未知数的一元二次方程，用判别式判断方程解的个数，从而确定直线与圆的位置关系； （2）几何法：用圆心与已知点或已知直线间的距离与半径大小的关系确定点或直线与圆的位置关系. 2.利用直线与圆的位置关系的三种不同的几何特征，可以确定参数或参数的取值范围，也可数形结合求圆（直线）的方程以及有关最值问题. 1.已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋m，当k变化时，l截得圆C弦长的最小值为2，则m＝（　　） A.±2 B.± C.± D.±3 2.曲线y＝1＋与直线l：y＝k（x－2）＋4有两个交点，则实数k的取值范围是　　　　. 题型二　范围与最值问题 已知点P（x，y）在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. （1）求的最大值和最小值； （2）求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值； （3）求x＋y的最大值与最小值. 尝试解答 通性通法 　　若P（x，y）是定圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2上的一动点，则mx＋ny和的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法. （1）几何法：①mx＋ny的最值：设mx＋ny＝t，圆心C（a，b）到直线mx＋ny＝t的距离d＝，由d＝r即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值；②的最值：即点P与原点连线所在直线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值. （2）代数法：①mx＋ny的最值：设mx＋ny＝t，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值；②的最值：设t＝，则y＝tx，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值. 1.直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为（　　） A.1 B. C. D. 2.已知实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝1，则z＝的最大值与最小值分别为　　　　和　　　　. 题型三　直线与圆的方程的实际应用 如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点. （1）求圆C的方程； （2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 尝试解答 通性通法 求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤 　如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为　　　　m. 完成课后作业　第一章　培优课 答案 培优课　直线与圆的综合问题 【典例研析】 【例1】　解：法一　圆心O（0，0）到直线x－y＋b＝0的距离为d＝，圆的半径r＝. （1）当d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点. （2）当d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆只有一个公共点. （3）当d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆没有公共点. 法二　由方程组消去y，得2x2＋2bx＋b2－2＝0， Δ＝4b2－8（b2－2）＝－4b2＋16. （1）当Δ＞0，即－2＜b＜2时，直线与圆有两个公共点. （2）当Δ＝0，即b＝2或b＝－2时，直线与圆只有一个公共点. （3）当Δ＜0，即b＞2或b＜－2时，直线与圆没有公共点. 跟踪训练 1.C　由题可得圆心为（0，0），半径为2，则圆心到直线的距离d＝，则弦长为2，则当k＝0时，弦长取得最小值为2＝2，解得m＝±.故选C. 2.　解析：直线l过点A（2，4），又曲线y＝1＋的图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝.当直线l过点B（－2，1）时，直线l的斜率为＝，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为. 【例2】　解：方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为（x－3）2＋（y－3）2＝4. （1）表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①，显然PO（O为坐标原点）与圆相切时，斜率最大或最小.设切线方程为y＝kx（由题意知，斜率一定存在），即kx－y＝0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径2，可得＝2，解得k＝，所以的最大值为，最小值为. （2）x2＋y2＋2x＋3＝（x＋1）2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E（－1，0）的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值.如图②，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为｜CE｜＋2，点P与点E距离的最小值为｜CE｜－2.又｜CE｜＝＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为（5＋2）2＋2＝51，最小值为（5－2）2＋2＝11. （3）设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图③，显然当动直线y＝－x＋b与圆（x－3）2＋（y－3）2＝4相切时，b取得最大值或最小值.此时圆心C（3，3）到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则＝2，即｜b－6｜＝2，解得b＝6±2，所以x＋y的最大值为6＋2，最小值为6－2. 跟踪训练 1.B　设圆心到直线的距离为d（0＜d＜1），则｜AB｜＝2，所以S△ABO＝·2·d＝，由基本不等式，可得S△ABO＝≤＝，当且仅当d＝时，等号成立. 2.　　解析：由题意，得表示过点A（0，－1）和圆（x－2）2＋（y－1）2＝1上的动点（x，y）的直线的斜率，当且仅当直线与圆相切时，直线的斜率分别取得最大值和最小值.设切线方程为y＝kx－1，即kx－y－1＝0，则＝1，解得k＝，所以zmax＝，zmin＝. 【例3】　解：（1）由题意，得A（40，40），B（20，0），设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. （2）该船初始位置为点D， 则D（－20，－20）， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0， 由（1）得圆C的圆心为C（10，30），半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离d＝＝10＜10， 故该船有触礁的危险. 跟踪训练 2　解析：如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C，圆的方程设为x2＋（y＋r）2＝r2（r＞0），水面所在弦的端点为A，B，则A（6，－2）.将A（6，－2）代入圆的方程，得r＝10，则圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100.当水面下降1 m后，可设点A'（x0，－3）（x0＞0），将A'（x0，－3）代入圆的方程，得x0＝，所以当水面下降1 m后，水面宽为2x0＝2（m）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $