1.1.3 第2课时 直线方程的两点式、一般式与点法式(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦直线方程的两点式、截距式、一般式及点法式，通过男子100米短跑实例导入，从“两点确定一条直线”引出方程推导问题，衔接直线斜率等前置知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 导学案以生活化情境培养数学眼光，用表格对比明晰公式适用范围强化推理意识。题型含通性通法与跟踪训练，助力学生用数学语言表达方程转化过程，点法式拓展内容提升创新意识，适合师生高效教学。

第二课时　直线方程的两点式、一般式与*点法式 　　当前，男子100米短跑世界纪录为9.58秒，女子100米短跑世界纪录为10.49秒.在学校运动会上，如果你参加100米短跑比赛，那么你就会从起点努力冲刺直奔终点，可见，两点确定一条直线. 【问题】　已知直线过两定点，如何推导直线的方程？ 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线方程的两点式与截距式 两点式 截距式 条件 P1（x1，y1）和P2（x2，y2）， 其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，其中ab≠0 图形 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 不表示　　　　坐标轴的直线 不表示　　　　坐标轴的直线及过　　　　的直线 提醒：（1）当经过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线斜率不存在（x1＝x2）或斜率为0（y1＝y2）时，不能用两点式方程表示；（2）两点式方程与这两个点的顺序无关；（3）把直线的两点式方程化为（x2－x1）（y－y1）＝（y2－y1）（x－x1），则该方程表示过平面内任意不同两点（x1，y1），（x2，y2）的直线. 知识点二　直线方程的一般式与*点法式 1.直线方程的一般式 （1）定义：关于x，y的二元一次方程　　　　　　（其中A，B不全为0）表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式； （2）系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k（斜率），－＝b（y轴上的截距）；当B＝0，且A≠0时，则－＝a（x轴上的截距），此时不存在斜率. 2.直线方程的*点法式 （1）直线的法向量：与直线的方向向量　　　　的向量称为直线的法向量； （2）设直线l经过点P（x0，y0），且它的一个法向量为n＝（A，B），则直线l方程的点法式为 　　　　　　. 【想一想】 1.给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，任选直线上一点P（x，y），其中P不与P1，P2重合，那么与有什么关系？ 2.任意一个关于x，y的二元一次方程都可以表示一条直线吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.（　　） （2）直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.（　　） （3）方程＝和方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）表示的图形相同.（　　） 2.过P1（2，0），P2（0，－3）两点的直线方程是（　　） A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝1 D.－＝1 3.直线经过点P（1，3），且一个法向量为n＝（2，1）的点法式方程为　　　　　，化为一般式为　　　　　. 　　 题型一　直线方程的两点式 已知△ABC的三个顶点是A（1，3），B（－2，－1），C（1，－1）. （1）求这个三角形三边所在直线的方程； （2）求边AB上的中线所在直线的方程. 尝试解答 通性通法 求直线方程的两点式的策略及注意点 （1）当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程； （2）由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系. 1.若点P（3，m2－3m）在过点A（2，－1），B（－3，4）的直线上，则m＝　　　　. 2.已知直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程. 题型二　直线方程的截距式 〔一题多解〕求经过点A（5，2），且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程. 尝试解答 【母题探究】 　（变条件）若将本例中的条件“在坐标轴上的截距互为相反数”变为“在x轴上的截距是y轴上截距的2倍”，其他条件不变，如何求解？ 通性通法 直线方程的截距式的求法及注意点 （1）由已知条件确定横、纵截距； （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入公式＋＝1，可得所求的直线方程. 提醒：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定要注意考虑“零截距”的情况. 1.直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为（　　） A.1　　　 B.－1 C.7　　　 D.－7 2.过点（0，3），且在两坐标轴上截距之差等于5的直线方程为　　　　. 题型三　直线方程的一般式 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式： （1）斜率是 且经过点A（5，3）； （2）经过A（－1，5），B（2，－1）两点； （3）在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 尝试解答 通性通法 直线方程的一般式的求解策略 　　在求直线方程时，设一般式有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用五种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式. 1.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－4，则直线l方程的点斜式为　　　　；截距式为　　　　　；斜截式为　 　　　；一般式为　　　　　. 2.直线（m＋2）x＋（m2－2m－3）y＝2m在x轴上的截距为3，则实数m的值为　　　　. 题型四　直线方程的*点法式 用直线方程的点法式求经过点A（－3，4），B（5，－1）的直线的方程为　　　　. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 通性通法 要求直线方程的点法式，求出直线的法向量是解题的关键. 过点（2，－3），且法向量为（－3，4）的直线方程为　　　　. 1.过点A（5，6），B（－1，2）的直线的两点式方程是（　　） A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 2.过点（1，）且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为（　　） A.x＋4y－2＝0 B.3x＋4y－2＝0 C.4x＋y－2＝0 D.x＋4y＋2＝0 3.〔多选〕如果AB＜0，BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0经过（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.直线l过点A（3，－1），且l的一个法向量n＝（3，2），则直线l的点法式方程为　　　　. 完成课后作业　第一章　§1　1.3　第二课时 答案 第二课时　直线方程的两点式、一般式与*点法式 【基础落实】 新知初探 知识点一 垂直于　垂直于　原点 知识点二 1.（1）Ax＋By＋C＝0 2.（1）垂直　（2）A（x－x0）＋B（y－y0）＝0 想一想 1.提示：＝，即＝. 2.提示：可以.任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0（A，B不同时为0），B≠0时，y＝－x－；B＝0时，x＝－均表示直线. 自我诊断 1.（1）√　（2）√　（3）× 2.D　由截距式得，所求直线的方程为＋＝1，即－＝1. 3.2（x－1）＋（y－3）＝0　2x＋y－5＝0　解析：直线的点法式方程为2（x－1）＋（y－3）＝0，即2x＋y－5＝0. 【典例研析】 【例1】　解：（1）直线AB过点A（1，3），B（－2，－1），其两点式方程为＝，整理得4x－3y＋5＝0，即为边AB所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x＝1. 直线BC平行于x轴， 故边BC所在直线的方程为y＝－1. （2）设边AB的中点为M（a，b）， 则a＝＝－，b＝＝1， 即M（－，1），又边AB的中线过点C（1，－1）， 所以＝，即4x＋3y－1＝0，所以边AB上的中线所在直线的方程为4x＋3y－1＝0. 跟踪训练 1.1或2　解析：由直线方程的两点式得＝，∴直线AB的方程为y＝－x＋1，∵点P（3，m2－3m）在直线AB上，则－3＋1＝m2－3m，得m＝1或2. 2.解：由直线经过点A（1，0），B（m，1），因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝， 即x－（m－1）y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－（m－1）y－1＝0. 【例2】　解：法一　①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0； ②当直线l在坐标轴上的截距不为0时， 可设方程为＋＝1， 即x－y＝a， 又∵l经过点A（5，2）， ∴5－2＝a，a＝3， ∴l的方程为x－y－3＝0， 综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0. 法二　由题意知直线的斜率一定存在. 设直线方程的点斜式为y－2＝k（x－5）， x＝0时，y＝2－5k，y＝0时，x＝5－. 根据题意得2－5k＝－，解得k＝或1. 当k＝时，直线方程为y－2＝（x－5）， 即2x－5y＝0； 当k＝1时，直线方程为y－2＝1×（x－5）， 即x－y－3＝0. 母题探究 解：①当直线l在两坐标轴上的截距均为0时，方程为y＝x，即2x－5y＝0，符合题意； ②当直线l在两坐标轴上的截距均不为0时，可设方程为＋＝1， 又∵l经过点（5，2），∴＋＝1，解得a＝. ∴l的方程为x＋2y－9＝0. 综上所述，直线l的方程为2x－5y＝0或x＋2y－9＝0. 跟踪训练 1.B　直线在x轴上截距为3，在y轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2.3x＋8y－24＝0或3x－2y＋6＝0 解析：设直线方程为＋＝1，则解得或 则直线方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋8y－24＝0或3x－2y＋6＝0. 【例3】　解：（1）由点斜式方程得y－3＝（x－5）， 化成一般式，得x－y＋3－5＝0. （2）由两点式方程得＝， 化成一般式，得2x＋y－3＝0. （3）由截距式方程得＋＝1， 化成一般式，得x＋3y＋3＝0. 跟踪训练 1.y＋4＝（x－0）　＋＝1　y＝x－4　x－y－4＝0　解析：点斜式方程： y＋4＝（x－0），截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0. 2.－6　解析：令y＝0，则直线在x轴上的截距是x＝，∴＝3，∴m＝－6. 【例4】　5x＋8y－17＝0　解析：因为直线经过点A（－3，4），B（5，－1），所以直线AB的斜率为＝－，所以直线AB的一个方向向量为m＝（8，－5），所以直线AB的一个法向量为n＝（5，8），所以直线的点法式方程为5（x＋3）＋8（y－4）＝0，即5x＋8y－17＝0. 跟踪训练 3x－4y－18＝0　解析：过点（2，－3），且法向量为（－3，4）的直线方程的点法式为－3（x－2）＋4（y＋3）＝0，即3x－4y－18＝0. 随堂检测 1.C　由直线的两点式方程＝（x1≠x2，y1≠y2），过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是＝.故选C. 2.A　因为在两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零.设直线方程为＋ay＝1，因为＋ay＝1过点（1，），所以＋a＝1，解得a＝2.所以，所求直线方程为x＋2y＝1，即x＋4y－2＝0. 3.ABC　直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距为－＝－＜0，在y轴上的截距为－＞0，如图所示，由图象可知，直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限.故选A、B、C. 4.3（x－3）＋2（y＋1）＝0　解析：直线l过点A（3，－1），且l的一个法向量n＝（3，2），则直线l的点法式方程为3×（x－3）＋2×（y＋1）＝0. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $