1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

该高中数学导学案聚焦直线方程的点斜式与斜截式，通过射击手托枪位置（定点）和瞄准方向（斜率）的生活情境导入，衔接确定直线位置的几何要素，为后续学习两点式、一般式奠定基础支架。 资料以情境化问题驱动学习，引导学生用数学眼光抽象几何要素，通过“想一想”辨析与分层题型设计，培养数学思维的逻辑推理和数学运算能力，综合应用题型强化模型意识，助力学生构建知识体系并提升解决实际问题的能力。

1.3　直线的方程 课标 要求 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）（数学抽象、数学运算）. 第一课时　直线方程的点斜式 　　 　　射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向.若把子弹飞行的轨迹看作一条直线，并且射击手达到了上述的两个动作要求. 【问题】　（1）托枪的手的位置相当于直线中哪个几何要素？ （2）试从数学角度分析子弹是否会命中目标？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线l的方程 　如果一条直线l上的每一点的坐标　　　　　　　，并且以这个方程的解为坐标的点　　　　　　，那么这个方程称为直线l的方程. 知识点二　直线方程的点斜式与斜截式 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l过定点P（x0，y0），斜率为k 　　　 　 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为（0，b）（直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距） 　　　 提醒：（1）点斜式应用的前提条件是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能用此种形式；（2）＝k与y－y0＝k（x－x0）是不同的，前者缺少一个点（x0，y0），后者才是整条直线. 【想一想】 1.如果直线方程为y＝kx＋b，则实数b的符号与经过的点P（0，b）的位置有什么联系？ 2.直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程y－y0＝k（x－x0）表示经过点P（x0，y0）的所有直线的方程.（　　） （2）过点（1，2）与y轴垂直的直线的方程为y＝2.（　　） （3）方程y＝kx＋b称为直线方程的斜截式，截距b是直线与y轴交点到原点的距离.（　　） （4）经过点P（－4，3），倾斜角为45°的直线方程是y－3＝x＋4.（　　） 2.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（　　） A.直线经过点（2，－1），斜率为－1 B.直线经过点（1，－2），斜率为－1 C.直线经过点（－2，－1），斜率为1 D.直线经过点（－1，－2），斜率为－1 3.在y轴上的截距为－3，且斜率为4的直线的斜截式方程为　　　　. 　　 题型一　直线方程的点斜式 根据条件写出下列直线的方程，并画出图形. （1）经过点A（－1，4），斜率k＝－3； （2）经过坐标原点，倾斜角为45°； （3）经过点B（3，－5），倾斜角为90°； （4）经过点C（2，8），D（－3，－2）. 尝试解答 通性通法 求直线方程的点斜式的思路 1.方程y＝k（x－2）表示（　　） A.过点（2，0）的所有直线 B.过点（2，0）且不垂直于y轴的所有直线 C.过点（2，0）且不垂直于x轴的所有直线 D.过点（2，0）且除去x轴的所有直线 2.（2026·龙岩月考）已知过定点（4，5）的直线m的一个方向向量是d＝（3，2），则直线m的点斜式方程为　　　　. 题型二　直线方程的斜截式 根据条件写出下列直线方程的斜截式： （1）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3； （2）在y轴上的截距为－6，且与y轴夹角为60°. 尝试解答 通性通法 直线方程的斜截式的求解策略 （1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别； （2）直线方程的斜截式y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线方程的斜截式，利用k，b的几何意义进行判断. 1.已知直线l：y＝xsin θ＋cos θ的图象如图所示，则角θ是（　　） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 2.如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的斜截式方程是　　　　. 题型三　直线方程的点斜式、斜截式的综合应用 已知直线l：y＝kx＋2k＋1. （1）求证：直线l过定点； （2）当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，求实数k的取值范围. 尝试解答 通性通法 定点的确定方法 　　把含参直线方程化为点斜式（或斜截式）的形式即可得出定点坐标. （1）点斜式y－y0＝k（x－x0），直线过定点（x0，y0）. （2）斜截式y＝kx＋b，直线过定点（0，b）. 已知直线l：4ax－3y＋a＋3＝0. （1）求证：无论实数a为何值，直线l总经过第二象限； （2）若直线l不经过第三象限，求实数a的取值范围. 1.下列关于直线l：y＋2＝（－x）的说法正确的有（　　） A.过点（，2） B.斜率为 C.倾斜角为120° D.在y轴上的截距为－1 2.已知方程kx－y－1＝3k，当实数k变化时，方程表示的所有直线都通过的定点坐标为（　　） A.（0，0） B.（0，1） C.（3，1） D.（3，－1） 3.〔多选〕给出下列四个结论，正确的是（　　） A.方程k＝与方程y－2＝k（x＋1）可表示同一直线 B.直线l过点P（x1，y1），倾斜角为90°，则其方程是x＝x1 C.直线l过点P（x1，y1），斜率为0，则其方程是y＝y1 D.所有的直线都有点斜式和斜截式方程 4.直线y＝6－3x的斜率为　　　　，在坐标轴上的截距之和等于　　　　. 完成课后作业　第一章　§1　1.3　第一课时 答案 第一课时　直线方程的点斜式 【基础落实】 新知初探 知识点一 都是一个方程的解　都在直线l上 知识点二 y－y0＝k（x－x0）　y＝kx＋b 想一想 1.提示：当b＞0时，点P（0，b）在y轴的正半轴上；当b＝0时，点P（0，b）为坐标原点；当b＜0时，点P（0，b）在y轴的负半轴上. 2.提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不是一次函数. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√ 2.D　直线方程y＋2＝－x－1可化为y－（－2）＝－[x－（－1）]，所以过定点（－1，－2），斜率为－1. 3.y＝4x－3　解析：∵直线的斜率为4，又截距为－3，∴由斜截式方程可得y＝4x－3. 【典例研析】 【例1】　解：（1）y－4＝－3[x－（－1）]， 即y＝－3x＋1.如图1所示. （2）k＝tan 45°＝1，所以y－0＝x－0，即y＝x. 如图2所示. （3）斜率k不存在，所以直线方程为x＝3.如图3所示. （4）k＝＝2，所以y－8＝2（x－2）， 即y＝2x＋4.如图4所示. 跟踪训练 1.C　y＝k（x－2）为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，又直线过点（2，0），故选C. 2.y－5＝（x－4）　解析：因为直线的一个方向向量是d＝（3，2），所以直线的斜率为.又因为直线过点（4，5），所以直线的点斜式方程为y－5＝（x－4）. 【例2】　解：（1）因为直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝. 因为直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3， 故所求直线方程的斜截式为y＝x＋3或y＝x－3. （2）与y轴夹角为60°的直线的倾斜角为30°或150°，所以斜率k为tan 30°或tan 150°，即k＝±， 故所求直线方程的斜截式为y＝±x－6. 跟踪训练 1.D　结合图象易知，sin θ＜0，cos θ＞0，则角θ为第四象限角. 2.y＝x＋4　解析：直线y＝x＋2的斜率为，在y轴上的截距为2，则直线l的斜率为，在y轴上的截距为2×2＝4，故直线l的方程为y＝x＋4. 【例3】　解：（1）证明：由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k（x＋2）. 由直线方程的点斜式可知，直线过定点（－2，1）. （2）设函数f（x）＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线，当－3＜x＜3时，直线上的点都在x轴上方，需满足即 解得－≤k≤1. 所以实数k的取值范围是. 跟踪训练 解：（1）证明：4ax－3y＋a＋3＝0可化为y－1＝a，即直线恒过定点（－，1）， 所以无论实数a为何值，直线总经过第二象限. （2）由（1）知直线l的方程可化为y－1＝a.当x＝0时，y＝，即直线在y轴上的截距为，要使l不经过第三象限，需即故a的取值范围是[－3，0]. 随堂检测 1.C　对于A，令x＝，则y＝－2，故A不正确；对于B，由y＋2＝－（x－），可得直线l的斜率k＝－，故B不正确；对于C，直线l的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan α＝k＝－，可得α＝120°，故C正确；对于D，令x＝0，可得y＝1，即直线l在y轴上的截距为1，故D不正确. 2.D　将直线方程化为y＋1＝k（x－3），可得直线过定点（3，－1）. 3.BC　A不正确，方程k＝不含点（－1，2）；B正确；C正确；D只有k存在时成立. 4.－3　8　解析：由直线的斜截式方程y＝6－3x＝－3x＋6，直线的斜率为－3，在坐标轴上的截距之和等于6＋2＝8. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $