安徽省六安第一中学2025-2026学年高一下学期周末作业数学试卷（六）

六安一中2026年春学期高一年级周末作业 数学试卷（六) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.已知圆锥的底面半径为V2,其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（) A.2 B.2V2 C.4 D.4V2 2.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为( A.20+123B.28V2 D. 28v2 3 3 3.已知平面向量=(1,0)，=(0,1)，2∈R,若(G+⊥(+d),则（) A.(a-B)L(jia+B) B.(a-2b)n(a+b） c.(a-1(a-) D.(a-1b)ll(ua-b) 4.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为4，E,F分别是B1C1,AB的中点， 则EF的长是() A.25 B.27 C.4 D.6 5.如图，已知△ABC用斜二测画法得到的水平放置的直观图为△ABC,已 知△ABC是周长为6的正三角形，则△ABC的面积是() A.2V2 B.4 C.23 D.26 6.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成 的集合.设集合T={Q∈SPQ5},则T表示的区域的面积为() A. B.π C.2π D.3π 7.在△ABC中，ab,c分别是内角AB,C的对边，若S△Bc-9(a2+b2-c2)(其中SABc表示△ABC 的面积)，且(+) BC-O,则△ABC的形状是() A.有一个角是30°的等腰三角形 B.等腰直角三角形 C,有一个角是30°的直角三角形 D.等边三角形 8.已知平面向量a,五，且==1，a·万-=，向量c满足-2a-2=-,则-a∈)的最小 值为() A.3-1 B.2-1 C.5 D.2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分， 9.已知向量a=(1,2),b=(-3,1),则下列说法正确的是() A.+2b=(-5,4) B.a-Bl=v17 C.在6方向上的投影向量为-。石 D.与垂直的单位向量为(，)或（仔，） 10.设：1,22为复数，则下列结论中正确的是（) A.若+>0，则> B.2122=√(1+2)2-4z122 C.121是纯虚数或零 D.1·22=1lzl 11.记△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,点M为AC的中点，b=2, cosC=2a-C,延长 cos B 2 AC到点D,使点C为线段AD的中点，则() A.B= 3 B.△ABC周长的取值范围为(4,6] C.BM的最大值为2 D.BD的最小值为2W2i-2W5 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知一平面截球O所得截面圆的半径为2，且球心O到减面圆所在平面的距离为1，则该球 的体积为 13.在△ABC中，已知AB=12,AC=9,∠BAC=120°，点E在线段BC上，且满足2BE=EC,则AE 的长度为 14.在锐角△ABC中，∠CAB=60°，BC=2,D为∠AB外角平分线上的一点，若 CD=CA+A(- AC AB 则实数的取值范围为 IACIAB 四、解答题：本题共3小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分) 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，AD=2,AB=4,BC=5,在梯形ABCD 内，挖去一个以A为圆心，以2为半径的四分之一圆，得到如图所示的阴影部分，若将该图形中阴 影部分绕AB所在直线旋转一周，求形成的几何体的表面积与体积. B 5 16.（本小题满分15分) 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b,BM=BC,AN=AB. (1)试用向量a,b来表示DN,AM; C (2)AM交DN于O点，求AO:OM的值. M B 17.（本小题满分15分) 现需要设计一个仓库，由上、下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1,下部的 形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4 倍 （1)若AB=6m,P01=2m,则仓库的容积是多少？ (2)若正四棱锥的侧棱长为6m,当P0,为多少时，下部的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ D B D 18.（本小题满分17分) 已知钝角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中A为钝角，若b=atanB,且 .3 2sin C=2sin Bcos A+ 2 (1)求角B: (2)若点D满足BD=2D元，且BC=2√3，求AD 19.（本小题满分17分) 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均 相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，求此时容器中水的体积. 六安一中2026年春学期高一年级周末作业 数学试卷（六)参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 & 0 心 B D A ABCD CD ABD 1.B【详解】设圆锥的母线长为l,由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则πl=2π×√2，解得l= 2V2.故选：B. 2.D 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2,4，侧棱长为2， 所以该棱台的高h=J22-(2V2-V2)2=V2, 下底面面积S1=16,上底面面积S2=4, 所以该棱台的体积V=(S1+S2+√SS)=专×V2×(16+ 4+V6网)-号2.故选：D. 3.B【详解】由-(1,0)，b=(0,1),得+-(1)，a+d-=(1),因为(a+⊥(+b,所以 (a+2b)（(+ub)-0,则1+0.因为a--(1,-),a+i-(4,1),a-石-(4，-l),因为1x1-(-2)=0, 1x(-1)-(-)e-2,（a-2b)（ua-b)-=u+所以(a-2b)n(ua+b),a-2b与a-b不平行， 由已知+不一定为0，a-λb与μa-b不一定垂直，故选：B. 4.A 【详解】取BC的中点为D,连接DE,DF, 由正三棱柱的性质易知：DE⊥平面ABC, 又DFc面ABC,所以DE⊥DF,又DE=4,DF=2, 所以EF=VI6+4=2V5,故选：A sin60°-n45所以0A=40sin60°2x9 5.D【详解】因为OA=AB V6,所以 sin45° △ABC的面积是S=BC:OA=BC.O'A=x2x2V6=2V6.故选：D 6.B【详解】设顶点P在底面上的投影为O,连接BO,则O为三角形ABC的中心， 且B0x6x号-2V,故P0-V56-22V6.因为PQ5,故001，故0的轨迹为以 0为圆心，为半径的圆，而三角形A8C内切圆的圆心为0，半径为2设5。 =V3>1, 3×6 故Q的轨迹圆在三角形ABC内部，故其面积为π故选：B 7.D【详解】SAARC=普(a2+b2-c2)=absinC,又a2+b2-c2=2 2abcosC,所以 9x2 abcosC--absinC,解得tanC-V5,因为C∈(0，，所以C-号又(+) BC-0, 4 \sinC'sinB 由6 2R,可得m8=会罗snC京-罗则 sinB sinC 2R 2R 丽可AC BC-O,如图所示，在边AB、AC上分别取点D、E, sinC sinB 0 使而爵正高以4D,4E为邻边作平行四边形ADFE,则四边形ADFE为菱形，连接4A,DE, 1,且离+斋（隔） BC-O,AF.BC=O,AF⊥BC,又DE⊥AF,.DEIIBC, 且AD=AE,∴AB=AC,即b-C,又C-于∴△ABC是等边三角形.故选：D. 【详解】因为1不3所以o码蓝的因为 （a,可∈[0，]，所以(a,b-,如图，令OA=a,0丽=b,则oD=+6,0C-2G+6, 所以oD3,0C-25,因为a--20·+2-1-2×+1=1, 心-2a-2=a-,所以心-2a-2=1,即心-2a+b=1,设0P-元，则点P的轨迹是 以C为圆心，1为半径的圆，令00=拓，则蛇-乃=O丽-00-Q驴，所以当C9⊥02， 且C,P,Q三点共线时，c-(2∈R)取最小值，则g-lmim=OClsin30°-l=√3-l, 故选：A 9.ABCD【详解】A正确：à+26-(1,2+2(-3,1)(1-6,2+2)=（←-5,4）.B正确：a-=(4,1),a-=V4+12=V7.C 正确：a石1X-3+2x1e-1,际V而，投影向量-5-5.D正确：设单位向量(x,满足+20 且22=1，解得（后）或（侯） 10.CD【详解】举例说明：若z1=4+i,22=2-2i,则=15+8i,子=-8i,+>0,但与-都是虚数， 不能比较大小，故A错：(31+2)2-412=(3122)2，令1-22=x+yi(xy∈R),则(31-2)2=(x+y2-=x2-y2+2xyi, k12P=+72=x272,272与2y+2i不一定相等，B错：设1=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,故21-=2bi, 当b=0时是零，当b0时，是纯虚数，C正确：设z1=x+yi(xy∈R),2=a+bi(a,b∈R),l=√x2+y,l2=Va2+b, 2/(x2+y2)(a2+b2),=12=ax+xbi+ayi+byi2=(ax-by)+(xb+ay)i l12l=√(ar-by)2+(xb+y)2=Vx2+y2(a2+b2)=1ll2,D正确.故选：CD 山.ABD【详解】对于A,已知S受-，由正弦定理得-。C,即 cosB sinB cosCsinB-=2 sinAcosB--sinCcosB,得sinCcosB+cosCsinB=2sin4cosB,则有sin(B+C)=2 sinAcosB,得 sin4=2sin4cosB,又由于A∈(0，，所以sin40,故cosB=),而B∈(0，)，所以 B-骨选项A正确：对于B,在△ABC中，由余弦定理cosB=4”,得a2+C2-aC4 2ac 所以4a+oP-3ac,acs(g9,所以3ac-a+P-4sao,即（a+oys16,当 且仅当a=c时取等号，由于2<a+c≤4，所以△ABC的周长的取值范围为(4,6]，故 B 选项B正确： 对于C,在△MBC中，由正弦定理得品品，。sin,9sinC, 由AC的中点为M,有BM=(B+BC),|BM-BA+BCVa2+c2+ac=4+2ac- 4+32sinAsinC 21 3 1 ,165 V5 3sin24+(1-cos2) ,8 42√4+ 04 -月+5sin21-co20)P+9sn(24-月.△MBc为锐角三角形，则 0<-4’ 得gK 当A∈（怎，引，有2A-∈（后，），所以sin(（24-)∈(6，小，有码+sin(24-)∈(（，12]，故B的最 大值为N3,选项C错误：对于D,设=0，所以a=Ssin0,在△BCD中由余弦定理， D-d+4-2x2xacos()-sin04-sinOcos(0sin0+4-sincos0-2+sin20 3 =号-63sin29+5cos20)号-ysin2tp）.tap-9,pe(,引放当20rr即6-号时，BD2取最 小值号-，所以BD的最小值为225， 故D选项正确.故选：ABD, 12.20【详解】由球的截面圆性质可知球的半径R=V+2-V5,则该球的体积为号×(W53=0: 故答案为：205 13.7【详解】如图所示：由余弦定理可得 BC2=AB2+AC2-2AB·AC.cos.∠BAC=122+92-2·12·9:()=333,所 以BC=V333=3V37,又因为2BE=EC,所以BE=,BC=V37,在△ABC中， cosB=CC=在△MBE中，由余弦定理可得： 2AB·BC AE2=AB2+BE2-2AB·BE·coS∠B=49,所以AE=7, B 14. (2,2【详解】如图，D为△ABC角A对应的旁心，设AB=c,AC=b,∠ABC-a, 由正弦定理得△ABC外接圆直径2R=C=4 sinM万 可得 b+sinatsin(120-o月-(sina+9cosa+号sina）-4(停sina+5cosa）-4sin(a+30)°， 而24EA+F=o2,于是0后4E严又设亚高+高则 iP=p2=1+1+2cos60=3=Ml=V3,且AD=2P→=e-如a02,由于 AP 3 (0<a<90°， 0°<120°-a<90 →30°<a<90°→sin(a+30)∈（停，J,所以4sin(a+30+2∈(2W5+2,61→2∈(s2,2. 故答案为：2,2习 15.68:140元 3π 【详解】由题意知，所求旋转体的表面积由圆台下底面， 侧面和一半球面组成.在直角梯形ABCD中， AK-2-D 过D点作DE⊥BC,垂足为E,在Rt△DEC中，CD=VCE+DE=5, 所以S半球=三×4元×22=8m,S圆台侧=π(2+5)×5=35π，S圆台下底=25n, 所以形成的几何体的表面积为S表=8π+35π+25π=68π.因为圆台的体积 /=(π×22+Vx22(x5可+r×52）×4=52π， 半球的体积1-××*23-台， E 所以所求几何体的体积为-山，= 3元 16.(1)D=a-石，i+6 (2)品 【详解】(1)因为不=A店，所以A=ā，所以D=-A心-=-b, 因为BMi=BC,所以BM=D-五，所以AM=B+8M+五： (2)设A0=M,则D0-=A0-AD-m-A而=以(a+6)-b=a+(-1)万， 因为D,O,N三点共线，所以存在实数u使D0=uD=μ(Ga-b)=a-b,由于向量a,b不共线， 则=，号-1=4，解得品号 所以A0:AM是→A0OM吉 17.(1)312m3(2)3V2,2882m2 【详解】(1)由P01=2知O01=4PO1=8.因为A1B1=AB=6, 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积V锥=}·A1Br2.P01=x62×2=24(m3)方 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积V柱=AB2.O01=62x8=-288(m3), 所以仓库的容积=/锥+Ψ柱=24+288=312(m3). （2)设P01=xm,下部分的侧面积为Sx),则001=4xm,A1O1=V36-x7,A1B1=V2·V36-x, Sx-4A1B1·001=16V2xV36-x2=16V2.√x236-x2,(0<<6), 设x=x2(36-x2)=-x4+36x2=-(x2-18)2+324, 当x2-18,即x=3V2时，x)max-324,Sx)max=288V2. 即当PO1为3V2时，下部分正四棱柱侧面积最大，最大面积是288v2m2 18.(1)(2)5 【详解】(I):b=-atanB.sinB=m4m,又B∈(0，，sinB>0,∴sin4=cosB. cosB :A为钝角，“B为锐角，∴A∈(O,习，sin(r0-sin(（任-B,A-B, 故A-+B.2sinC-2 2sincos4+22sin(4+By2 2sinBcos4/+3,∴.sin4cosB=-子 又4=+B,B为锐角，∴sin任+B8)cosB=6os2B=cosB-9,B=号 6 (2)gD-2DC,又BC-35,BD25,由(1)知BgA号∴C-名 .b-c,余弦定理得：BC2=a2=b2+c2-2 bccosA.a=V3b,∴b=3=c, 在AMBD中，AD2=AB2+BD2-2 AB.BD.0sB=9+12-232V5.9-3,AD-V3. 19.243π 【详解】作几何体的轴截面图如图，M,N分别是大球和小球的球心， E Q是圆台的轴截面等腰梯形ABCD两腰AD和BC的延长线的交点， G,H分别是球M和球N与圆台侧面的切点， E,F分别是与圆台上下底面的切点， 则GM⊥AQ,NH⊥AQ,QE⊥AB,QF⊥CD, E GM=EM-6,NH=NF=3,EF=18, 过N点作NKIIAO交GM于K,显然NK⊥GM, 四边形NHGK为矩形，且MN=9,MK=MG-KG=MG-NH=3, 在Ri△MWK中，sin∠MNK-答-cos∠MNK--i2ZM派-29，an∠MNK-号9 由NKAO,得∠MNK=∠EQA,则sin∠EQA=5 tanZEQA=-g 在R:ANHQ中，g-n28o-9,Fg-Q-NMF6, 在Rt△DFO中，DF=FQ·tan∠EQA=2, 在Rt△EQA中，EQ=EF+FQ-24,AE=E0·tan∠EQA=6V2, 因此圆台的上底面半径AB=-6W反，下底面半径DF=兰，高EF=18, 圆台的体积=号·EF(AE2+AE.DF+DF567m, 而球M的体积/w厂音x6-288m,球N的体积w音x33=36m, 所以容器中水的体积V=V-VMV=567m-288π-36=243元.故答案为：243元