27.2 反比例函数的图象和性质(2)教案 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该教案聚焦反比例函数k的几何意义及性质应用，通过知识回顾复习k>0或k<0时的图象象限与增减性，搭建前后知识联系，为后续探究与应用提供学习支架。 特色在于以合作探究（矩形面积实验）让学生直观感知k的几何意义，培养几何直观与空间观念，例题精讲（如例2分析m取值）结合数形结合发展推理意识与运算能力，分层练习和错题对比助力学生夯实数形转化能力，提升教师教学效率，帮助学生养成数学思维与应用意识。

第27章反比例函数导学案 第三课时： 反比例函数的图象和性质(2) 一、素养目标 1.掌握k的几何意义，会依托点坐标求k、由面积反推参数，夯实函数量化运算能力； 2.依托双曲线图像，数形互推，精准辨析象限内增减规律，养成分类讨论、数形结合思维； 3.能用函数性质解决大小比较、面积类综合习题，在探究图像对称规律中体悟数学严谨美，提升建模应用意识. 二、教学重点、难点 重点：1.能根据函数图象上的点的坐标求函数解析式，并能判断一个点是否在反比例函数图象上； 2.能根据反比例函数的图象和性质判断自变量或函数值的大小关系，体会数形结合思想的应用. 难点：理解反比例函数的系数k的几何意义，并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中. 三、教学过程 1、知识回顾 反比例函数 (k≠0)的图象是双曲线. 当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 2、例题精讲 例1已知反比例函数的图象经过点A(－2，4). (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？ (2) 点B(1，－8)、C(，)、D(2，4)是否在这个函数的图象上？ 解：(1) (1)反比例函数图象的位置只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.因为点A(－2，4)在第二象限，所以这个函数的图象位于第二、第四象限.在每一个象限内，y随x的增大而增大. (2)设这个反比例函数的解析式为.因为点A(－2，4)在其图象上，所以点A的坐标满足，即 ( 还可以计算点的横、纵坐标 的积，看其是否等于系数k. )，解得k＝－8. 因此，这个反比例函数的解析式为 因为点B，C的坐标都满足，点D的坐标不满足，所以点B，C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上. 例2 如图中的曲线是反比例函数的图象的一支.根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ (2) 在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2).如果x1＞x2， 那么y1和y2有怎样的大小关系？ 解：(1)因为这个函数的图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限. 因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以m－5＞0，解得m＞5. (2)因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任意一支上，y都随x的增大而减小.因此当x1＞x2时，y1＜y2. 3、合作探究 反比例函数解析式中k的几何意义 1.在反比例函数的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写下面表格： 2.若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写下面表格： 4、总结归纳：对于反比例函数，点P是其图象上的任意一点，作PA垂直于y轴，作PB垂直于x轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP＝|k|. 推理：△PAO与△PBO的面积和k 的关系是 S△PAO＝S△PBO＝. 反比例函数的面积不变性 5、练一练 1.如图，在函数(x＞0)的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为SA，SB，SC，则( ) A.SA＞SB＞SC B.SA＜SB＜SC C.SA＝SB＝SC D.SA＜SC＜SB 2.如图，过反比例函数图象上的一点P，作PA⊥x轴于A. 若△POA的面积为6，则k＝____. 四、课堂练习 1.已知一个反比例函数的图象经过点A(2，6). (1)这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y随x的增大如何变化？ (2)点B(3，4)，C(，)，D(2，－6)是否在这个函数的图象上？为什么？ 2.反比例函数的图象的一支位于第二象限，图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？ 3.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数的图象上.如果x1＜x2，且x1，x2同号，那么y1，y2有怎样的大小关系？为什么？ 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 本课围绕反比例函数k的几何意义、图象对称性与性质应用展开教学，依托数形结合引导学生结合图象比较函数值大小，整体课堂节奏平稳，基本达成教学目标。但多数学生容易忽略增减性“在每一象限内”的限定条件，跨象限比较数值易错，对k几何意义的图形转化不够熟练。后续将增加对比错题练习，多用图像直观演示，精简讲授时间，分层设计习题，夯实学生数形转化能力。 学科网（北京）股份有限公司 $