专题04 全等三角形证明方法—倍长中线（高效培优专项训练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以倍长中线辅助线作法为核心，系统构建“条件-作法-结论”方法体系，通过梯度典例与习题实现全等三角形证明的专项突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方法总结|3种|延长中线构造SAS全等，含直接倍长、垂直辅助线、中点延长三类作法，核心结论为线段等量与位置关系转化|从辅助线作法到全等判定，再到线段范围、长度、角度及面积问题的应用| |典例|5个|覆盖中线范围、线段计算、性质探究、综合应用等考法，突出“分散条件集中化”思想|由基础模型到复杂情境，体现从特殊到一般的推理过程| |习题|18道|包含选择、填空、解答题，强化方法迁移与变式应用|对应典例类型，形成“方法-典例-习题”的完整训练链|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形证明方法一一倍长中线 模型梳理 (1)条件：如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线， 作法：延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE, 结论：①△ADC≌△EDB:②AC=EB:③AC∥EB」 (2)条件：如图，在△ABC中，AF为△ABC的中线， 作法：过点C作CE⊥AF于点E,过点B作BD⊥AF交AF的延长线于点D, 结论：①△CEF≌aBDF,②BD=CE;③BD∥CE. (3)条件：如图，在△ABC中，D为BC的中点，M为AB边上任意一点， 作法：延长MD至点N,使得MD=DN,连接CN, 结论：①△BMD≌aCND:②BM=CN;③BM∥CN A M 1/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典例精讲 【典例1】B 【典例2】2.4 【典例3】6 【典例4】【性质探究】①3：②l<AD<5;【拓展应用】①AC=2AD-AF,理由见解析：【创新 9 人才培养选做题】②2 【详解】解：【性质探究】①在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积为6， 1 1 ÷A4DC的面积为25.4c=2×6=3: ②如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, :D是BC的中点， ·CD=BD,又∠ADC=∠EDB, △ADC≌aEDB(SAS), .AC=BE. 在△ABE中，AB=4,BE=AC=6, :6-4<AE<6+4,即2<2AD<10, .1<AD<5: 【拓展应用】①AC=2AD-AF.理由如下： 如图2，延长AD到点H,使DH=AD,连接BH, 图2 :D是BC的中点， :.CD=BD,又∠ADC=∠HDB, .△ADC≌aHDB(SAS), 2/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AC=BH,∠C=∠HBD. .AC∥BH, .∠AEF=∠FBH, AF=AE, .∠AEF=∠AFE=∠BFH, ∠FBH=∠BFH, .FH=BH=AC, ..FH=AH-AF=2AD-AF, .AC=2AD-AF 【创新人才培养选做题】②如图3，作∠BEP=∠BEA交BC于P,过E作ET⊥BC于T, DTP 图3 :BE是△ABC的角平分线， .∠PBE=∠ABE,又BE=BE, .△PBE≌△ABE(ASA). .PE=AE=3,BP=AB,S.PBE =S.ABE, .CP=BC-BP=BC-AB=6: :D是BC的中点， .S.4BD =S.ADC: 设S。ABF=S, :.5-S.=(S+S)-(S+S)-5.w-5.-(25.wo-25.m)-(S.wc-5mww)-5.cm, ET≤EP=3, ÷S.cep=CP-E7=x6×ET=3ETs9, 2 1 9 2 3/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 故S-S,的最大值为2 【典例5】(1)AC=BE;(2)2<AD<10:(3)16 【详解】解：(1)如图1，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE. B D E 图1 :AD为中线， .BD=CD, 又：DE=AD,∠ADC=∠BDE. .△EDB≌△ADC(SAS), ..AC=BE (2)如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE B :DE=AD,∠BDE=∠ADC,BD=CD, :△EDB≌△ADC(SAS), .AC=BE=12 在△ABE中，BE-AB<AE<BE+AB. 4<2AD<20 .2<AD<10 (3)如图，延长AF至点G,使GF=AF,连接BG. 4/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G GF=AF,∠BFG=∠AFC,BF=CF, :.△GBF≌△ACF(SAS), .BG=AC,∠G=∠CAF, .AC∥BG, .∠BAC+∠ABG=180° .∠BAM=∠CAN=90°. :.∠BAC+∠MAN=360°-∠BAM-∠CAN=180°， .∠ABG=∠MAN AC=AN, .BG=AN. 在△ABG和△MAN中， AB=MA ∠ABG=∠MAN, BG=AN .△ABG≌aMAN(SAS), .AG=MN :AG=AF+GF=2AF=2×8=16, MW=16. 5/21 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1.B 2.B 3.B 4 4.3 5.100° 6.1.5 7.证明见解析 【详解】证明：如图，过点C作CF⊥AD于点R,过点B作BG⊥AD,交AD的延长线于点G, F D G ∠G=∠CFD=90° :AD是△ABC的中线， .BD=CD 又：∠BDG=∠CDF, .△BDG≌△CDF(AAS). .BG=CF 在RtABGE和Rt△CFA中， BE=CA BG=CF· :.Rt△BGE≌Rt△CFA(HL), ∴.∠BED=∠DAC, 8.证明见解析 【详解】证明：延长AE、BC交于点M,如下图所示， 6/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点E是DC的中点， :.DE=CE, :AP∥BC, :.∠1=∠M, 在△ADE和△MCE中， ∠1=∠M ∠5=∠6 DE=CE .△ADE≌aMCE(AAS), .AD=MC,AE=ME, .AD+BC=AB. .MC+BC=AB. .'BM=AB, 在△BAE和△BME中， AE=ME BE=BE, BA=BM ·.△BAE≌aBME(SSS). .∠BEA=∠BEM, :∠BEA+∠BEM=180° ∴.∠BEA=∠BEM=90°， .AE⊥BE 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.证明见解析 【详解】证明：如图，延长FE到M,使EM=EF,连接BM, :点E是BC的中点， .'BE=CE, 在△CFE和△BME中， F G 3 B E D M FE=ME ∠CEF=∠BEM, CE=BE :.△CFE≌△BME(SAS), ∴CF=BM,∠F=∠M, .BG=CF. .BG=BM ∴.∠1=∠M, .∠1=∠F, :EF∥AD, .∠3=∠F,∠1=∠2， .∠2=∠3」 即AD为△ABC的角平分线. 8/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.证明见解析 【详解】证明：延长ED至G,使DG=DE,连结GC, D G :在△ABC中，AD为中线， .BD=CD, 在△BDE和△CDG中， BD=CD ∠BDE=∠CDG, DE=DG :.△BDE≌aCDG(SAS) .BE=CG,∠BED=∠CGD, BE=AC, .AC=CG. ∴.∠AGC=CAG 又∠BED=∠AEF, .∠AEF=∠EAF, .AF =EF, 11.证明见解析 【详解】证明：延长CD至点R,使得CD=DF,连接BF, D ,CB是△AEC中线，CD是△ABC中线， 9/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EB=AB,BD=AD, :在△ADC和△BDF中， AD=BD ∠ADC=∠BDF. CD=DF :△ADC≌△BDF(SAS), .AC=BF, 又，AB=AC, .AB=AC=BF=BE,CD=DF,∠A=∠DBF, :∠A=∠DBF, AC∥BF, .∠ACB+∠CBF=180°， .AB=AC. .∠ABC=∠ACB. .∠ABC+∠CBF=180°， 点A、B、B共线， ∴.∠ABC+∠CBE=180°， .∠CBF=∠CBE, ,在△CBF和△CBE中， 「BF=BE ∠CBF=∠CBE. BC=BC :.△CBE≌aCBF(SAS), ..CE=CF, CD-DF-1CF-ICE, 2 .CE=2CD 12.(1)证明见解析：(2)证明见解析 【详解】(1)证明：，AB=AC, .∠ABC=∠ACB, 10/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :BC平分∠EBD, .∠EBC=∠DBC, :∠ACB=∠D+∠DBC,∠ABC=∠ABE+∠EBC, .∠D+∠DBC=∠ABE+∠EBC, .∠ABE=∠D: (2)证明：延长BE到点卫，使得EF=EB,连接CF,如图所示： C D :BE是AC的中线， .AE=CE :∠AEB=∠CEF, .△ABE≌△CFE(SAS) .∠ABE=∠F, ∠ABE=∠D, ∠F=∠D, :∠FBC=∠DBC,BC=BC, .△BCF≌aBCD(AAS), .BD=BF, .BD=2BE 13.(1)1<AD<5:(2)BE+CF>EF,理由见解析：(3)AF+CF=AB,理由见解析 【详解】解：(I)如图①，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, 11/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图① D是BC的中点， .CD=BD :∠ADC=∠BDE, ·.△ACD≌△EBD(SAS), .BE=AC=4. 在△ABE中， AB-BE<AE<AB+BE, ∴6-4<AE<6+4. .2<AE<10, .1<AD<5: (2)BE+CF>EF,理由如下： 延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图②所示. E B 图② M 同(I)得：△BMD≌aCFD(SAS), .BM=CF, :DE⊥DF, :.∠EDM=∠EDF=90°， DM=DF,ED=ED. :△EDF≌△EDM(SAS). 12/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.EM=EF, 在△BME中，由三角形的三边关系得： BE+BM>EM :BE+CF>EF (3)AF+CF=AB,理由如下： 如图③，延长AE,DF交于点G, D E 图③ G AB∥CD, .∠BAG=∠G, 在△ABE和△GCE中， ∠AEB=∠GEC ∠BAG=∠G BE=CE 、△ABE≌aGCE(AAS), ..CG=AB :AE是∠BAF的平分线， .∠BAG=∠GAF, .∠FAG=∠G, .AF=GF, .FG+CF=CG. .AF+CF=AB 14.(1)B;(2)C;(3)证明见解析 【详解】(1)解：：AD是△ABC中线， ..BD=DC, 在△ADC与△EDB中， 13/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=ED ∠ADC=∠EDB CD=BD :.△ADC≌△EDB(SAS): (2)解：由(1)知：△ADC≌△EDB. .BE=AC=6,AE=2AD 由三角形三边之间的关系可得：AB-BE<AE<AB+BE, 即8-6<2AD<8+6, 解得：1<AD<7: (3)证明：延长AE到F,使AE=EF,连接DF,如图所示： B E D F :AE是△ABD中线， .BE=DE, 在△ABE与△FDE中， AE=EF ∠AEB=∠DEF, BE=DE :.△ABE≌aDFE(SAS). ·.AB=DF,∠F=∠BAE, .CD=AB .CD=DF, :∠F=∠BAE, .AB∥DF, ∠BAD+∠ADF=180°. :∠BDA+∠ADC=18O°，∠BDA=∠BAD, .∠ADF=∠ADC, 14/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :在△ADF和△ADC中 AD=AD ∠ADF=∠ADC, DF=DC .△ADF≌aADC(SAS), LF=∠C, .∠C=∠BAE 15.(1)①证明见解析：②1<BD<9:(2)MN=2BD,理由见解析 【详解】(I)①证明：，BD是三角形ABC的中线， .CD=AD. 又：∠CDE=∠ABD,ED=BD, ∴.aCED≌△ABD(SAS): ②解：：△CED≌△ABD, :AB=CE, .CE-BC<BE CE+BC, .AB-BC<BE<AB+BC 2<BE<18. 又，BE=BD+DE=2BD, .1<BD<9 (2)解：MN=2BD,理由如下： 如图所示，延长BD到E使得DE=BD, 同(I)可证△ADE≌aCDB(SAS), :.∠DAE=∠DCB,AE=CB, .BC=BN. .AE BN, :∠ABM=∠NBC=90°， :.∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°， :∠ABC+∠BAC+∠ACB=180° ∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°. 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BAE+∠ABC=180°， :.∠BAE=∠MBN, 又：AB=BM, :.△BAE≌△MBN(SAS). .MN =BE. BE BD+ED=2BD. .MN =2BD M B 图2 16.(1)∠A0C=∠B0D,SAS:(2)2<AD<8,1<A0<4:(3)4 【详解】解：(1)点O是BC的中点， ..OB=OC, 在△AOC和△DOB中， 「OA=OD ∠AOC=∠BOD, OC=OB 、△AOC≌aDOB(SAS): (2)由(1)知△AOC≌△DOB, .AC=BD. :AB=5,AC=3, BD=3, .AB-BD<AD<AB+BD,5-3<AD<5+3, .2<AD<8, :40=24D, 16/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .1<A0<4: (3)延长AO到M,使AO=OM,连接BM,如图所示： :AO是△ABC中线， ..BO=CO. 在△AOC和△MOB中， CO=BO ∠AOC=∠MOB A0=OM .△AOC≌aMOB(SAS), .BM=AC,∠CAO=∠M, .AF =EF, ∠CAO=∠AEF, :∠AEF=∠BEM, :.∠BEM=∠CAO=∠M, .BE =BM=AC=7, .CF=3. .EF=AF=AC-CF=7-3=4. 17.(1)2<AD<8;(2)证明见解析：(3)证明见解析 【详解】(1)解：如图1延长AD到点E,使得AD=DE,再连接BE, :AD为中线， .BD=CD, 在△ADC和△EDB中， .CD=BD, ∠ADC=∠EDB. 17121 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=ED, :.△ACD≌△EBD(SAS), .AC=EB=6. 在△ABE中， AB-BE<AE<AB+BE, .4<2AD<16 .2<AD<8: D E 图1 B (2)证明：如图2延长FD到G,使DG=FD,连结BG,EG, 由D为BC中点，BD=CD, 在△FDC和△GDB中， CD=BD」 ∠FDC=∠GDB, FD=GD, :△FCD≌aGBD(SAS), .FC=GB, DE⊥DF, .∠FDE=∠GDE=90°， DF=DG,DE =DE, .△FDE≌△GDE(SAS). .EF=EG, 在△BEG中， EG<EB+BG,即BE+CF>EF: 18/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图2 B (3)证明：如图3，延长AD到G使DG=AD,连结BG, 由D是BC边上的中点， .BD=CD, 在△ADC和△GDB中， CD=BD. ∠ADC=∠GDB. AD=GD. △ACD≌aGBD(SAS), AC=GB,∠DAC=∠G, .BE=AC, .BE=BG. :.∠BED=∠G=∠CAD E 图3 18.(1)【探索一】BC=2AD,证明见解析：【材料】1<BD<9(2)【探索二】AD是△ABC的 “旋补中线”，理由见解析 【详解】(1)【探索一】解：BC=2AD,证明如下： 如图1，延长AD至点E使AD=DE,连接CE, 19/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 ,AD是△ABC的“旋补中线”， ,AD是△AB'C的中线，即B'D=CD, 又.∠BDA=∠C'DE, △B'DA≌△C'DE(SAS), .AB=C'E,∠BAD=∠E, AB'=AB, :.AB=C'E, AD是△ABC的“旋补中线”， .∠BAC+∠B'AC=∠BAC+∠BAD+∠EAC'=180°， ∠ACE+∠E+∠EAC'=180°，∠BAD=∠E, .∠BAC=∠ACE. :AC=AC',∠BAC=∠ACE,AB=CE :.△ABC≌△C'EA(SAS) .BC=AE=2AD,即BC=2AD. 【材料】解：由题意得：AB=CE=10,BC=8,BE=2BD, 由三角形三边关系可得：CE-BC<BE<CE+BC,即2<2BD<18, .1<BD<9: (2)【探索二】解：AD是△ABC的“旋补中线”，理由如下： 如图，作CH⊥AD于H,作B'F⊥AD交AD延长线于F, 20/21 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 R B 图3 :AE⊥BC, ∴.∠F=∠BEA=90°， :.∠BAE+∠B=90°， a=B=90°，即∠BAB'=∠CAC'=90°， .∠BAE+∠BAF=90°， .∠B=∠B'AF, 又：BA=AB, :.△ABE≌aB'AF(AAS), .B'F=AE, 又：∠AEC=∠C'HA=90°，∠CAC'=90°， ∴.∠CAE+∠C=90°，∠CAE+∠CAH=90°， .∠C=∠CAH, .CA=AC', :.△ACE≌aC'AH(AAS), :AE=C'H, :B'F=C'H, :∠F=∠CHD=90°，∠B'DF=∠C'DH, :△B'DF≌aC'DH(AAS), .B'D=C'D .AD是△AB'C的中线， ∴AD是△ABC的“旋补中线”. 21/21 专题04 全等三角形证明方法——倍长中线 （1）条件：如图，在中，为的中线， 作法：延长至点E，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，在中，为的中线， 作法：过点C作于点E，过点B作交的延长线于点D， 结论：①；②；③. （3）条件：如图，在中，D为的中点，M为边上任意一点， 作法：延长至点N，使得，连接， 结论：①；②；③. 【典例1】如图，在中，，，点D为的中点，则的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为___________ 【典例3】如图，，，，，点M为的中点，， ______． 【典例4】某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”．如图1，在中，D是的中点，若的面积为6，则的面积为__________． ②“倍长中线法可以求中线范围”．如图1，延长到点E，使，连接，根据可以判定，得出．这样就能把线段，，集中在中，根据三角形三边关系可以求出中线的范围．若，，则的取值范围是__________． 【拓展应用】 ①如图2，在中，D是的中点，E是边上的一点，连接，交于点F．若，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在中，D是的中点，是的角平分线，交于点F，．设，的面积分别为和，若，试求的最大值． 【典例5】下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在中，若，，则边上的中线的取值范围是多少？ 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长至点E，使，连接，可证得，进而可求得中线的取值范围．该小组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决． 拓展题：如图2，以的边，为边分别向外作等腰和等腰，其中， ，，F是的中点，连接，，当时，求的长． 任务： （1）图1中与的数量关系是________________； （2）图1中，的取值范围是________________； （3）求图2中的长． 1．如图，已知是中边上的中线，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如图，中，，是中线，有下面四个结论：①与的面积相等；②；③若点P是线段上的一个动点（点P不与点A，D重合），连接，，则的面积比的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若，连接，，则．所有正确结论的序号是（    ）    A．①②③④ B．①②④ C．②③ D．①③④ 4．如图，中，点D在上，，，点E是的中点，连接，，则______________． 5．如图，已知是的中线，E是上的一点，交于F，，，，则_____． 6．已知：如图，中，D为的中点，E是上一点，连接并延长交于F，，且，，那么的长度为_____． 7．如图，在中，是中线，E是上一点，且．求证：． 8．如图，已知，点E是的中点，且，求证：． 9．如图，在中，交于点D，点E是的中点，交的延长线于点F，交于点G，．求证：为的角平分线． 10．已知：如图所示，在中，为中线，交，分别于E，F，如果， 求证： ． 11．如图，是的中线，是的中线，且，求证：． 12．如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． （1）求证：； （2）求证：． 13．（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 14．【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明提出了如下解决方法，延长线段至点E，使，连接．请根据小明的方法回答下列问题． （1）由已知和作图能得到的理由是____________． A．  B．  C． D． （2）探究得出的取值范围___________． A．  B．  C． D． 【问题解决】 （3）如图2，在中，，，是的中线，求证：． 15．如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围． （1）小聪同学是这样思考的：延长至E，使，连接，可证得． ①请证明； ②中线的取值范围是 　 　． （2）问题拓展：如图2，在中，点D是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形，其中，，，，连接．请写出与的数量关系，并说明理由． 16．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，点O是的中点，求边上的中线的取值范围．小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到D，使，连接．根据小明的方法思考：请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：； 证明：∵点O是的中点， ∴， 在和中， ∴（______）（依据）． （2）由“三角形的三边关系”，则的取值范围是_____；的取值范围是_____； 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于点E，交于F，，若，，求线段的长度． 17．阅读理解： （1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使得，再连接，把，，集中在中，利用三角形三边关系即可判断中线的取值范围是______． （2）解决问题：如图2，在中，D是边上的中点，，交于点E，交于点F，连接，求证：． （3）问题拓展：如图3，在中，D是边上的中点，延长至E，使得，求证：． 18．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转 ()得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    （1）【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是______________． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． （2）【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04全等三角形证明方法一一倍长中线 模型梳理 (1)条件：如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线， 作法：延长AD至点E,使得DE=AD,连接BE, 结论：①△ADC≌△EDB:②AC=EB:③AC∥EB」 (2)条件：如图，在△ABC中，AF为△ABC的中线， 作法：过点C作CE⊥AF于点E,过点B作BD⊥AF交AF的延长线于点D, 结论：①△CEF≌aBDF,②BD=CE;③BD∥CE. (3)条件：如图，在△ABC中，D为BC的中点，M为AB边上任意一点， 作法：延长MD至点N,使得MD=DN,连接CN, 结论：①△BMD≌aCND:②BM=CN;③BM∥CN A M 1/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典例精讲 【典例1】如图，在△ABC中，AB=4,AC=2,点D为BC的中点，则AD的长可能是() D A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：延长AD到E,使DE=AD,连接BE, 在△ADC和△EDB中， AD=ED ∠ADC=∠EDB, CD=BD :△ADC≌aEDB(SAS), :.BE=AC=2, 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE, 即2<2AD<6, 解得1<AD<3 【典例2】如图，在△ABC中，AD为BC边的中线，E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F, 若∠AEF=∠FAE,BE=4,EF=1.6,则CF的长为 【答案】2.4 2/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：如图，延长AD,使AD=DG,连接BG, :AD为BC边的中线， .BD=CD 在△BDG和△CDA中， BD=CD ∠BDG=∠CDA, DG=DA .△BDG≌ACDA(SAS). .BG=CA,∠CAD=∠G :∠AEF=∠FAE,即∠CAD=∠AEF, 又∠BEG=∠AEF, .∠CAD=∠BEG. .∠G=∠BEG. .BG=BE=4, ..CA=BG=4. .∠AEF=∠FAE, .AF=EF=1.6. .CF=CA-AF=4-1.6=2.4 【典例3】如图，AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点，AM=3, DE= 【答案】6 3/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：延长AM至N,使MW=AM,连接BN, :点M为BC的中点， ∴.CM=BM, 在△AMC和△NMB中， AM=NM ∠AMC=∠NMB CM=BM ·△AMC≌aNMB(SAS). :.AC=BN,∠C=∠NBM, .AD BN. .AB⊥AE,AD⊥AC, .∠EAB=∠DAC=90°， .∠EAD+∠BAC=180°， :.∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=18O°-∠BAC=∠EAD, 在△EAD和△ABN中， AE=AB ∠EAD=∠ABN AD=BN .△EAD≌△ABN(SAS). .DE AN =2AM=6. 4/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例4】某数学兴趣小组在探究一般三角形中线的性质时，提出以下两个结论： 【性质探究】 ①“中线平分面积”.如图1，在△ABC中，D是BC的中点，若△ABC的面积为6，则△ADC的面积为 ②“倍长中线法可以求中线范围”，如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,根据SAS可以 判定△ADC≌△EDB,得出AC=BE.这样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中，根据三角 形三边关系可以求出中线的范围.若AB=4,AC=6，则AD的取值范围是 【拓展应用】 ①如图2，在△ABC中，D是BC的中点，E是边AC上的一点，连接BE,交AD于点F.若AF=AE, 请判断AC,AD,AF之间的数量关系，并说明理由. 【创新人才培养选做题】 ②如图3，在△ABC中，D是BC的中点，BE是△ABC的角平分线，交AD于点F,AE=3.设△BFD, △AFE的面积分别为S和S,若BC-AB=6,试求S-S2的最大值. 图1 图2 图3 【答案】【性质探究】①3；②1<AD<5;【拓展应用】①AC=2AD-AF,理由见解析：【创新人 9 才培养选做题】②2 【详解】解：【性质探究】①：在△ABC中，D是BC的中点，△ABC的面积为6， 1 1 ÷64DC的面积为23.c-2x6=3: ②如图1，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, :D是BC的中点， .CD=BD,又∠ADC=∠EDB :.△ADC≌△EDB(SAS), 、AC=BE, 在△ABE中，AB=4,BE=AC=6, 5/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.6-4<AE<6+4,即2<2AD<10, .1<AD<5: 【拓展应用】①AC=2AD-AF.理由如下： 如图2，延长AD到点H,使DH=AD,连接BH, H 图2 :D是BC的中点， .CD=BD,又∠ADC=∠HDB, :.△ADC≌aHDB(SAS), .AC=BH,∠C=∠HBD AC∥BH, ∠AEF=∠FBH, .AF=AE, ∴.∠AEF=∠AFE=∠BFH, ∴.∠FBH=∠BFH, .FH=BH=AC. .FH=AH-AF=2AD-AF. ..AC=2AD-AF: 【创新人才培养选做题】②如图3，作∠BEP=∠BEA交BC于P,过E作ET⊥BC于T, DTP 图3 :BE是△ABC的角平分线， ∴∠PBE=∠ABE,又BE=BE, :.△PBE≌△ABE(ASA), 6/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.PE=AE=3,BP=AB,S.PBE=S.ABE, .CP=BC-BP=BC-AB=6: :D是BC的中点， .S.ABD=S.ADC 设SABF=S, ÷S-S=(S+S)-(S,+S)=Sm-SE=2So-2Sc）广=号S-Sm)广ScE ET≤EP=3, .S.cCP.ET-7x6xET-3ET59. 2 9 S,-S2=5Scm≤2 9 故S-S,的最大值为2： 【典例5】下面是小芳同学的部分数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务. 今天参加课外兴趣小组活动时，老师提出了一个问题：如图1，在△ABC中，若AB=8,AC=12,则 BC边上的中线AD的取值范围是多少？ B D E 图1 图2 小组内的同学们经过讨论发现，如果在条件中出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三 角形，把分散的己知条件和所求的结果转化到同一个三角形中，这样就可以找到解题方法：如图1，延长 AD至点E,使ED=AD,连接BE,可证得△EBD≌△ACD,进而可求得中线AD的取值范围.该小 组在求解下面的拓展题时，发现也可以用这种方法解决. 拓展题：如图2，以△ABC的边AB,AC为边分别向外作等腰Rt△ABM和等腰Rt△ACN,其中 AB=MA, 7/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=AN,∠BAM=∠CAN=90°，F是BC的中点，连接AF,MN,当AF=8时，求MN的长. 任务： (1)图1中AC与BE的数量关系是 (2)图1中，AD的取值范围是 (3)求图2中MN的长. 【答案】(1)AC=BE;(2)2<AD<10:(3)16 【详解】解：(1)如图1，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE. D E 图1 ,AD为中线， .BD=CD, 又：DE=AD,∠ADC=∠BDE, :.△EDB≌△ADC(SAS), .AC=BE: (2)如图，延长AD至点E,使DE=AD,连接BE B D E :DE=AD,∠BDE=∠ADC,BD=CD. :.△EDB≌△ADC(SAS). .AC=BE=12 在△ABE中，BE-AB<AE<BE+AB, 8/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .4<2AD<20. .2<AD<10 (3)如图，延长AF至点G,使GF=AF,连接BG. G :GF=AF,∠BFG=∠AFC,BF=CF, :.△GBF≌△ACF(SAS), .BG=AC,∠G=∠CAF, :.AC∥BG .∠BAC+∠ABG=180° :∠BAM=∠CAN=90° .∠BAC+∠MAN=360°-∠BAM-∠CAN=180°， .∠ABG=∠MAN .AC=AN, .BG=AN 在△ABG和△MAN中， AB=MA ∠ABG=∠MAN, BG=AN .△ABG≌aMAN(SAS). .AG=MN :AG=AF+GF=2AF=2×8=16, .MW=16」 9/38 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过关专练 1.如图，己知AD是△ABC中BC边上的中线，AB=5,AC=3,则AD的取值范围是() D A.2<AD<8 B.1<AD<4 C.2<AD<5 D.4≤AD≤8 【答案】B 【详解】解：如图所示，延长AD到E,使DE=AD,连接CE, D E :AD是△ABC中BC边上的中线， .BD=CD, 在△ABD与△ECD中， BD=CD ∠ADB=∠EDC, AD=DE :△ABD≌△ECD(SAS). :.AB=CE=5, 在△ACE中，由三角形三边关系得： CE-AC<AE<CE+AC. AC=3,AE=AD+DE=AD+AD=2AD, .5-3<2AD<5+3. .1<AD<4 10138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5,AD=8,则AC的取值范围是() A.16<AC<20 B.11<AC<21 C.16<AC<21 D.11<AC<20 【答案】B 【详解】解：延长AD至点E,使DE=AD=8,则AE=16, E :AD为BC边上的中线， BD=CD」 在△ADC和△EDB中， CD=BD ∠ADC=∠EDB, AD=DE ∴.△ADC≌△EDB(SAS), .BE=AC, .AE-AB<BE<AE+AB. :.16-5<BE<16+5,即11<BE<21, .11<AC<21. 3.如图，△ABC中，AB>AC,AD是中线，有下面四个结论：①△ABD与△ACD的面积相等；② AD<(AB+AC):®若点P是线段4D上的一个动点（点P不与点A,D重合），连接PB'PC: 则△ABP的面积比△ACP的面积大；④点P,Q是A,D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合）， 若DP=D,连接PB,QC,则PB∥QC.所有正确结论的序号是() D 11/38 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.①②③④ B.①②④ C.②③ D.①③④ 【答案】B 【详解】解：，AD是中线， .BD=CD :,△ABD与△ACD的面积相等，故①正确， 延长4D至医：使D=DE=4,知图。 ·∠ADC=∠EDB,CD=BD, :.△ACD≌aEBD(SAS) .AC=BE. 则在△ABE中，AE<AB+BE=AB+AC, :AD<(AB+AC),故②正确， 点P是线段AD上的一个动点（点P不与点A,D重合），连接PB,PC,如图， D .BD =CD. .S.PBD=S.PCD, 又，△ABD与△ACD的面积相等， .△ABP的面积和△ACP的面积相等，故③不正确， 点P,O是A,D所在直线上的两个动点（点P与点Q不重合），若DP=D0,连接PB,QC,如图， 12138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由DP=DQ,∠BDP=∠CDQ,BD=CD, ·△CDQ≌aBDP(SAS), .∠COD=∠BPD :.PB∥QC. 故④正确。 4.如图，△ABC中，点D在AC上，AD=3,AB+AC=10,点E是BD的中点，连接CE, ∠ACB=∠ABC+2∠BCE,则CD= E B C 【答案】3 【详解】解：如图，延长CE至F,使得EF=CE,交AB于点G, F G E D B C 点E是BD的中点， .BE DE, 在△BEF与△DEC中， 13138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE=DE ∠BEF=∠DEC, EF=EC .△BEF≌aDEC(SAS), .∠F=∠DCE,BF=DC, ,∠ACB=∠ABC+2∠BCE, ·.∠DCE=∠ACB-∠BCE=∠ABC+∠BCE, :∠AGC=∠ABC+∠BCE, :.∠AGC=∠DCE, .∠F=∠DCE=∠AGC=∠BGF,AG=AC, .BF=BG=CD 设BF=BG=CD=x, :AD=3,AB+AC=10, 10-x-3=x, .2 解得 3” 0c0 5.如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F,AC=BF,∠DAC=24°， ∠EBC=32°，则∠ACB= E R B D 【答案】100° 【详解】解：如图，延长AD到M,使得DM=AD,连接BM, 14138 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M 在△BDM和△CDA中， DM=DA ∠BDM=LCDA, BD=CD :.△BDM≌aCDA(SAS), .BM=AC=BF,∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM, .BF=AC, .BF =BM, .∠M=∠BFM=24° .∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°， ,∠EBC=32°， .∠DBM=∠MBF-∠EBC=100°， .∠C=∠DBM=100° 6.己知：如图，△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于F,BE=AC ，,且BF=9,CF=6,那么AF的长度为一 D 【答案】1.5 【详解】解：如图，延长AD到G使DG=AD,连接BG, 15138 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 在△ACD与△GBD中， CD=BD ∠ADC=∠GDB, AD=GD :.△ACD≌△GBD(SAS)J ∠CAD=∠G,AC=BG, BE=AC, ..BE=BG. .∠G=∠BEG, ,∠BEG=∠AEF. ∴.∠AEF=∠EAF. .'EF=AF, BE=AC,AF+CF=BF-EF, ..AF+6=9-EF,AF+6=9-AF, .AF=1.5 7.如图，在△ABC中，AD是中线，E是AD上一点，且BE=AC.求证：∠BED=∠DAC, D 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，过点C作CF⊥AD于点R,过点B作BG⊥AD,交AD的延长线于点G, 16138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B .∠G=∠CFD=90°. :AD是△ABC的中线， .BD=CD 又，∠BDG=∠CDF, :.△BDG≌aCDF(AAS), .BG=CF 在Rt△BGE和Rt△CFA中， BE=CA BG=CF' :.Rt△BGE≌RtACFA(HL). .∠BED=∠DAC. &.如图，已知AP∥BC,点E是DC的中点，且AD+BC=AB,求证：AE⊥BE P E D 【答案】证明见解析 【详解】证明：延长AE、BC交于点M,如下图所示， M B :点E是DC的中点， 17138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .DE=CE, ,AP∥BC, .∠1=∠M, 在△ADE和△MCE中， 「∠1=∠M ∠5=∠6， DE=CE :.△ADE≌△MCE(AAS). :AD=MC,AE=ME, :AD+BC=AB, .MC+BC=AB, ∴.BM=AB, 在△BAE和△BME中， 「AE=ME BE=BE, BA=BM :.△BAE≌△BME(SSS), .∠BEA=∠BEM, :∠BEA+∠BEM=180°， :.∠BEA=∠BEM=90°， .AE⊥BE 18138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，在△ABC中，AD交BC于点D,点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F,交 AB于点G,BG=CF.求证：AD为△ABC的角平分线 F G B 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，延长FE到M,使EM=EF,连接BM, :点B是BC的中点， BE=CE, 在△CFE和△BME中， G B E D M FE=ME ∠CEF=∠BEM, CE=BE ·.△CFE≌△BME(SAS)」 ∴.CF=BM,∠F=∠M, .BG=CF, ∴.BG=BM, .∠1=∠M, .∠1=∠F, ,EF∥AD .∠3=∠F,∠1=∠2， .∠2=∠3 19138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即AD为△ABC的角平分线， 20138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.己知：如图所示，在△ABC中，AD为中线，BF交AD,AC分别于E,F,如果BE=AC, 求证：AF=EF B 【答案】证明见解析 【详解】证明：延长ED至G,使DG=DE,连结GC, B D G :在△ABC中，AD为中线， .BD=CD 在△BDE和△CDG中， BD=CD ∠BDE=∠CDG. DE=DG ·.△BDE≌aCDG(SAS) :.BE=CG,∠BED=∠CGD. BE=AC, ..AC=CG, .∠AGC=CAG, 又∠BED=∠AEF, ∴.∠AEF=∠EAF, .AF=EF. 21138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC,求证：CE=2CD B D 【答案】证明见解析 【详解】证明：延长CD至点F,使得CD=DF,连接BF, C D :CB是△AEC中线，CD是△ABC中线， .EB=AB,BD=AD, :在△ADC和△BDF中， AD=BD ∠ADC=∠BDF, CD=DF ·.△ADC≌aBDF(SAS) .AC=BF, 又：AB=AC, .AB=AC=BF=BE,CD=DF,∠A=∠DBF, :∠A=∠DBF, AC∥BF, :.∠ACB+∠CBF=180°， .AB=AC, ∠ABC=∠ACB, .∠ABC+∠CBF=180°， ,点A、B、E共线， :.∠ABC+∠CBE=180°， 22138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠CBF=∠CBE, :在△CBF和△CBE中， BF=BE ∠CBF=∠CBE. BC=BC ∴.△CBE≌aCBF(SAS), :.CE=CF, xCD-DF-1CF-ICE, 2 2 .CE =2CD 12.如图，在△ABC中，AB=AC,BE是AC的中线，点D在AC的延长线上，连接BD,BC平分 ∠EBD B E D (1)求证：∠ABE=∠D: (2)求证：BD=2BE 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【详解】(1)证明：：AB=AC, .∠ABC=∠ACB, :BC平分∠EBD, .∠EBC=∠DBC, :∠ACB=∠D+∠DBC,∠ABC=∠ABE+∠EBC, :.∠D+∠DBC=∠ABE+∠EBC, ∴.∠ABE=∠D: (2)证明：延长BE到点F,使得EF=EB,连接CF,如图所示： 23138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D :BE是AC的中线， .AE=CE, :∠AEB=∠CEF, :.△ABE≌aCFE(SAS), ∴∠ABE=∠F, :∠ABE=∠D, .∠F=∠D, ,∠FBC=∠DBC,BC=BC, .△BCF≌aBCD(AAS), :BD=BF, .BD=2BE. 13.(1)如图O,在△ABC中，若AB=6,AC=4,AD为BC边上的中线，求AD的取值范围： (2)如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点P,连 接EF,判断BE+CF与EF的大小关系并证明： (3)如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F,点E是BC的中点，若 AE是∠BAF的角平分线.试探究线段AB,AF,CF之间的数量关系，并加以证明. D B D 图① 图② 图③ 【答案】(1)1<AD<5;(2)BE+CF>EF,理由见解析；(3)AF+CF=AB,理由见解析 【详解】解：(1)如图①，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE, 24138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图① D是BC的中点， .CD=BD :∠ADC=∠BDE, ·.△ACD≌△EBD(SAS), .BE=AC=4. 在△ABE中， AB-BE<AE<AB+BE, ∴6-4<AE<6+4. .2<AE<10, .1<AD<5: (2)BE+CF>EF,理由如下： 延长FD至点M,使DM=DF,连接BM、EM,如图②所示. E B 图② M 同(I)得：△BMD≌aCFD(SAS), .BM=CF, :DE⊥DF, :.∠EDM=∠EDF=90°， DM=DF,ED=ED. :△EDF≌△EDM(SAS). 25138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.EM=EF, 在△BME中，由三角形的三边关系得： BE+BM>EM, :BE+CF>EF (3)AF+CF=AB,理由如下： 如图③，延长AE,DF交于点G, D E 图③ G AB∥CD, .∠BAG=∠G, 在△ABE和△GCE中， I∠AEB=∠GEC ∠BAG=∠G BE=CE 、△ABE≌aGCE(AAS), ..CG=AB :AE是∠BAF的平分线， .∠BAG=∠GAF, .∠FAG=∠G, .AF GF, .FG+CF=CG. .AF+CF=AB 14.【阅读理解】数学兴趣小组活动时，老师提出如下问题：如图1，在△ABC中，若AB=8,AC=6, 求BC边上的中线AD的取值范围.小明提出了如下解决方法，延长线段AD至点E,使DE=AD,连 接BE.请根据小明的方法回答下列问题. 26138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 图1 图2 (1)由己知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是 A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)探究得出AD的取值范围」 A.6<AD<8 B.6≤AD≤8 C.1<AD<7 D.1≤AD≤7 【问题解决】 (3)如图2，在△ABC中，CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 【答案】(1)B:(2)C;(3)证明见解析 【详解】(1)解：：AD是△ABC中线， :.BD=DC, 在△ADC与△EDB中， 「AD=ED ∠ADC=∠EDB, CD=BD ·.△ADC≌aEDB(SAS): (2)解：由(I)知：△ADC≌△EDB, .BE=AC=6,AE=2AD. 由三角形三边之间的关系可得：AB-BE<AE<AB+BE, 即8-6<2AD<8+6. 解得：1<AD<7: (3)证明：延长AE到F,使AE=EF,连接DF,如图所示： 27138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B Ei F :AE是△ABD中线， :.BE=DE, 在△ABE与△FDE中， 「AE=EF ∠AEB=∠DEF, BE=DE .△ABE≌△DFE(SAS) :.AB=DF,∠F=∠BAE, CD=AB. .CD=DF ,∠F=∠BAE, AB∥DF, .∠BAD+∠ADF=180°， :∠BDA+∠ADC=180°，∠BDA=∠BAD, :.∠ADF=∠ADC :在△ADF和△ADC中 AD=AD ∠ADF=∠ADC, DF=DC △ADF≌△ADC(SAS), .∠F=∠C, .∠C=∠BAE 15.如图1，在△ABC中，若AB=10,BC=8,求AC边上的中线BD的取值范围. (I)小聪同学是这样思考的：延长BD至E,使DE=BD,连接CE,可证得△CED≌△ABD 28138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①请证明△CED≌△ABD: ②中线BD的取值范围是 (2)问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB,BC为直角边向△ABC外作等 腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN,其中，AB=BM,BC=BN,∠ABM=∠NBC=90°」 连接MN.请写出BD与MN的数量关系，并说明理由. 图1 图2 【答案】(1)①证明见解析：②1<BD<9:(2)MN=2BD,理由见解析 【详解】(I)①证明：BD是三角形ABC的中线， .CD=AD, 又：∠CDE=∠ABD,ED=BD, :.△CED≌△ABD(SAS): ②解：△CED≌△ABD, .AB=CE. .CE-BC<BE<CE+BC .AB-BC<BE AB+BC 2<BE<18, 又BE=BD+DE=2BD. .1<BD<9; (2)解：MN=2BD,理由如下： 如图所示，延长BD到E使得DE=BD, 同(I)可证△ADE≌aCDB(SAS), .∠DAE=∠DCB,AE=CB, BC=BN, .AE=BN. 29138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABM=∠NBC=90°， :.∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°， .∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°， :.∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°， :∠BAE+∠ABC=180°， .∠BAE=∠MBN, 又：AB=BM, .△BAE≌aMBN(SAS). .MN BE BE BD+ED=2BD. .MN =2BD M B A E 图2 30138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB=5,AC=3,点O是BC的中点，求BC边上的中线AO的取值范围.小明 在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长AO到D,使OD=OA,连接BD.根据小明 的方法思考：请补充完整证明“△AOC≌△DOB”的推理过程. D 图1 (1)求证：△AOC≌△DOB: 证明：，点O是BC的中点， ..OB=OC, OA-OD 在 和 中， ) △AOC ADOB OC=OB .△AOC≌△DOB()(依据). (2)由“三角形的三边关系”，则AD的取值范围是一：AO的取值范围是一： 【解后反思】题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件 和所求证的结论集合到同一个三角形中， 【初步运用】 (3)如图2，AO是△ABC的中线，BF交AO于点E,交AC于F,AF=EF,若BE=7,CF=3, 求线段EF的长度. E 0 图2 【答案】(1)∠AOC=∠BOD,SAS:(2)2<AD<8,1<AO<4,(3)4 【详解】解：(1)：点O是BC的中点， 31138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.OB=OC, 在△AOC和△DOB中， OA=OD ∠AOC=∠BOD, OC=OB :△AOC≌aDOB(SAS): (2)由(1)知△AOC≌△DOB, ..AC=BD AB=5,AC=3, BD=3, .AB-BD<AD<AB+BD,5-3<AD<5+3. 2<AD<8 :10=2AD, .1<A0<4. (3)延长AO到M,使AO=OM,连接BM,如图所示： E B :AO是△ABC中线， .BO=CO. 在△AOC和△MOB中， CO=BO ∠AOC=∠MOB A0=OM :.△AOC≌aM0B(SAS), :.BM=AC,∠CAO=∠M, 32138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF=EF, .∠CAO=∠AEF, :∠AEF=∠BEM, .∠BEM=∠CAO=∠M, .BE=BM=AC=7. CF=3, .EF=AF=AC-CF=7-3=4. 17.阅读理解： E D E B D 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问题可以 用如下方法：延长AD到点E,使得AD=DE,再连接BE,把AB,AC,2AD集中在△ABE中，利 用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是 (2)解决问题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交 AC于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF. (3)问题拓展：如图3，在△ABC中，D是BC边上的中点，延长DA至E,使得AC=BE,求证： ∠CAD=∠BED 【答案】(1)2<AD<8；(2)证明见解析：(3)证明见解析 【详解】(I)解：如图1延长AD到点E,使得AD=DE,再连接BE, :AD为中线， .BD=CD, 在△ADC和△EDB中， CD BD. ∠ADC=∠EDB, AD=ED, 33138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△ACD≌aEBD(SAS), .AC=EB=6, 在△ABE中， AB-BE<AE<AB+BE, .4<2AD<16, .2<AD<8: A D 图1 B (2)证明：如图2延长FD到G,使DG=FD,连结BG,EG, 由D为BC中点，BD=CD, 在△FDC和△GDB中， .CD=BD, ∠FDC=∠GDB, FD=GD. :.△FCD≌aGBD(SAS)J .FC=GB :DE⊥DF, ∴.∠FDE=∠GDE=90°. DF=DG,DE=DE. .△FDE≌aGDE(SAS), ∴.EF=EG, 在△BEG中， EG<EB+BG,即BE+CF>EF: 34138 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G 图2 B (3)证明：如图3，延长AD到G使DG=AD,连结BG, 由D是BC边上的中点， .BD=CD, 在△ADC和△GDB中， CD=BD. ∠ADC=∠GDB. AD=GD. △ACD≌aGBD(SAS), AC=GB,∠DAC=∠G, .BE=AC, .BE=BG. :.∠BED=∠G=∠CAD E G 图3 18.我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转Q(0°<Q<180°)得到AB',把AC绕 点A逆时针旋转B得到AC',连接B'C'.当Q+B=180°时，我们称△AB'C是△ABC的“旋补三角 形”，△AB'C边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心” 35138 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 图3 (1)【探索一】如图1，△AB'C是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”，探索 AD与BC的数量关系. 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在△ABC中，若AB=10,BC=8.求AC边上的中线BD的取值范围.是这样思考的： 延长BD至E,使DE=BD,连结CE.利用全等将边AB转化到CE,在△BCE中利用三角形三边关系 即可求出中线BD的取值范围.中线BD的取值范围是 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中AD与BC的数量关系，并给予证明. (2)【探索二】如图3，当Q=B=90°时，△AB'C是△ABC的“旋补三角形”，AE⊥BC,垂足为 点E,AE的反向延长线交B'C'于点D,探索AD是否是△ABC的“旋补中线”，如果是，请给出证明， 如果不是，请说明理由. 【答案】(1)【探索一】BC=2AD,证明见解析；【材料】1<BD<9(2)【探索二】AD是 △ABC的“旋补中线”，理由见解析 【详解】(1)【探索一】解：BC=2AD,证明如下： 如图1，延长AD至点E使AD=DE,连接CE, 图1 :AD是△ABC的“旋补中线”， ∴AD是△AB'C'的中线，即B'D=CD, 又∠B'DA=∠C'DE, .△B'DA≌aC'DE(SAS), 36138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=C'E,∠BAD=∠E, .AB'=AB, .AB=C'E. :AD是△ABC的“旋补中线”， .∠BAC+∠BAC'=∠BAC+∠BAD+∠EAC=180°， :∠AC'E+∠E+∠EAC'=180°，∠BAD=∠E, .∠BAC=∠ACE, :AC=AC',∠BAC=∠ACE,AB=CE :.△ABC≌aC'EA(SAS), .BC=AE=2AD,即BC=2AD 【材料】解：由题意得：AB=CE=10,BC=8,BE=2BD, 由三角形三边关系可得：CE-BC<BE<CE+BC,即2<2BD<18, .1<BD<9; (2)【探索二】解：AD是△ABC的“旋补中线”，理由如下： 如图，作CH⊥AD于H,作B'F⊥AD交AD延长线于F, B' B 图3 :AE⊥BC, ∠F=∠BEA=90° .∠BAE+∠B=90°， :a=B=90°，即∠BAB'=∠CAC'=90°， ∠BAE+∠BAF=90°， .∠B=∠BAF, 又.BA=AB', .△ABE≌△B'AF(AAS), 37138 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..B'F=AE, 又：∠AEC=∠CHA=90°，∠CAC'=90°. ,∠CAE+∠C=90°，∠CAE+∠CAH=90°， .∠C=∠CAH, CA=AC, .△ACE≌△C'AH(AAS), :.AE=C'H, .B'F=C'H, :∠F=∠CHD=90°，∠B'DF=∠C'DH, .△B'DF≌△C'DH(AAS), .B'D=C'D .AD是△AB'C的中线， ·.AD是△ABC的“旋补中线”. 38138