第2章有理数及其运算典例精讲与强化训练-2026-2027学年北师大版 数学七年级上册

**基本信息** 以“概念-运算-应用”为逻辑主线，通过新定义探究与分层训练，系统整合有理数核心知识，渗透转化、数形结合思想，培养抽象能力与运算能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道（含1道新定义探究）|除方运算转化为乘方、代数式求值三步法（找关系-代值-分类计算）|从有理数概念（相反数、倒数）到运算（加减乘除、乘方），通过“除方”新定义整合旧知，构建知识网络| |强化训练|19道（选择8/填空6/解答5）|数轴三要素判断法、绝对值几何意义应用、简便运算技巧（乘法分配律）|覆盖概念辨析（有理数分类）、基本运算、实际应用（行程问题），通过易错点（如数轴画法、负因数乘积符号）强化理解|

第2章有理数及其运算典例精讲与强化训练 典例精讲 1．计算： (1)； (2)； (3)． (4)． 2．若，互为相反数，，互为倒数，的平方为，求代数式的值． 3．综合与探究： 【概念学习】现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”． 一般地写作，读作“的圈次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_______；_______． 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，则有理数的除方运算也可以按如图所示的方式转化为乘法运算． (2)【探究应用】试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式：______，______； (3)算一算：． 强化训练 一、单选题 1．在，，，，，这六个数中，有理数有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．已知圆周率，将π精确到百分位的结果是（   ） A．3.1 B．3.14 C．3.141 D．3.142 3．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 6．下列说法：①最大的负整数是；②相反数是本身的数是正数；③有理数分为正有理数和负有理数；④数轴上表示的点一定在原点的左边；⑤几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数，其中错误的个数是（   ）． A．个 B．个 C．个 D．个 7．一盒乒乓球外包装标注乒乓球的直径为，任意取出2个，它们的直径最多相差（   ） A． B． C． D． 8．如图是一个计算程序，若输入a的值为，则输出的结果b应为（    ） A．7 B． C．1 D．5 二、填空题 9．用四舍五入法取近似数：__________．（精确到千分位） 10．比较大小：__________．(填“”、“”或“”) 11．的相反数是__________；的绝对值是__________；的倒数__________． 12．若，则的值为_______． 13．如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 14．把二进制数，改写成十进制数，只要把它写成各位数字与基数2的幂的乘积之和的形式，然后按通常的方法进行计算即可． ， 所以二进制数转换成十进制数为89．（注：规定当时，） 请通过计算将二进制数，改写成十进制数是__________． 三、解答题 15．把下列各数序号按各数从小到大的顺序号填入相应的括号内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨ 正数集：{                      } 整数集：{                      } 负分数集：{                      } 有理数集：{                      } 16．计算（能简便运算的要简算）： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 17．计算： (1)； (2)． 18．某校组织学生去秀水茶文化基地进行研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始向东的方向直走到距离学校500米处的秀水茶文化基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返行走，为队伍护行．以向东的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：． (1)最终联络员有没有到达秀水茶文化基地？如果没有，那么他距离秀水茶文化基地还差多少米？ (2)若联络员行走的平均速度为80米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？ 19．【阅读理解】我国数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【学以致用】 （1）_____． （2）若，则__________． 【迁移拓展】 （3），则_____． （4）若，所有符合条件的整数的和为_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1) (2) (3) (4)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 2．或 【分析】本题考查代数式求值，利用相反数、倒数和有理数的平方求解．和互为相反数，则；和互为倒数，则；的平方为，则或．代入代数式化简计算即可． 【详解】解：，互为相反数， ． ，互为倒数， ． 的平方为， 或． 代数式为．代入，，得． 当时，． 当时，． 代数式的值为或． 3．(1)； (2)， (3)0 【分析】（1）根据题目中的例子计算即可得解； （2）根据题目中的例子计算即可得解； （3）先求出、、，再结合有理数的运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ， ； （3）解：，， 原式 ． 强化训练解析 1．C 【分析】根据有理数的定义逐个判断六个数即可得到结果． 【详解】解：∵整数和分数统称为有理数，有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数， 逐个判断得： 是分数，是有理数； 是无限不循环小数，不是有理数； 是整数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数. 故有理数共5个，故选C． 2．B 【分析】精确到百分位即保留小数点后两位，只需观察千分位数字进行四舍五入即可得到结果． 【详解】将π精确到百分位的结果是3.14． 3．A 【详解】解：的绝对值是． 4．D 【分析】根据有理数减法法则、乘方法则、绝对值的性质计算即可． 【详解】解：A、，故原计算错误； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、，故原计算正确． 5．B 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐项判断即可． 【详解】解：图（1）有单位长度和正方向，有原点，故正确； 图（2）有原点和单位长度，但没有正方向，故不正确； 图（3）有原点和正方向，但所画负半轴上的数字排列顺序不对，故不正确； 图（4）有原点和正方向，但单位长度不一致，故不正确； 综上，四个选项中，只有（1）正确． 故选：B． 6．D 【详解】解：对于①：最大的负整数是，故①正确； 对于②：相反数是本身的数是，不是正数，故②错误； 对于③：有理数分为正有理数、负有理数和零，故③错误； 对于④：当时，在原点的右边，故④错误； 对于⑤：若因数中包含零，则乘积为零，不是负数，故⑤错误； ∴一共有4个错误结论． 7．D 【分析】根据标注找出直径的最大值和最小值，计算差值即可． 【详解】解：∵标注乒乓球直径为． ∴乒乓球直径的最大值为，最小值为． ∴任意取出两个乒乓球，直径最多相差． 8．B 【分析】根据流程图，列式计算即可． 【详解】解：． 9． 【分析】精确到千分位即小数点后保留三位小数，需看万分位上的数字，根据四舍五入法进行近似即可． 【详解】解：（精确到千分位）． 10． 【分析】本题考查两个负数的大小比较，解题思路为根据两个负数比较大小的法则，先计算两个数的绝对值，再通过比较绝对值的大小得到原数的大小关系． 【详解】解：根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小， 先计算两个数的绝对值：，， ， ． 11． // / 【分析】根据相反数、绝对值、倒数的定义，分别对三个数进行计算求解即可． 【详解】解：根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，可得的相反数是； 根据绝对值的性质：负数的绝对值是它的相反数，可得； 将化为分数得，根据倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数， 可得，即的倒数是． 12． 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．根据非负数的性质列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 解得：，， 所以，． 故答案为：． 13． 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点，，所对应的数即可解决问题． 【详解】解：①为原点，，， 点所对应的数为， ， 点所对应的数为， ； ②原点在图中数轴上点的右边，且， 点所对应的数为， ，， 点所对应的数为，点所对应的数为， ； 故答案为：；． 14．51 【分析】根据题干给出的二进制转化为十进制的规则，列式计算即可． 【详解】解： ． 15．正数集：②①⑧⑤；整数集：⑨⑦④⑤；负分数集：⑥③；有理数集：⑨⑦⑥③④②①⑧⑤ 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的乘方运算，化简绝对值与多重符号，熟练掌握正数、整数、负分数，有理数的定义是解题的关键；根据有理数的分类填空，即可求解． 【详解】，，， 正数集：3，，，；， 即正数集：{②①⑧⑤}； 整数集：，，，；， 即整数集：{⑨⑦④⑤}； 负分数集：，；， 即负分数集：{⑥③}； 有理数集：，，，，，，，，， ， 即有理数集：{⑨⑦⑥③④②①⑧⑤}． 16．(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）先除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先去括号，再进一步计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值内的运算，再把除法转化为乘法，然后乘除，最后计算加减即可； （4）利用乘法分配律，然后乘除，最后计算加减即可； （5）先化带分数为假分数，再把除法转化为乘法，最后相乘即可； （6）先将原式化为，利用乘法分配律，然后乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．(1)最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； (2)共用了8分钟． 【详解】（1）解： ， （米）， ∴最终联络员没有到达秀水茶文化基地，还差170米； （2）解： （米）， （分钟）， ∴共用了8分钟． 19．（1）7；（2）或；（3）；（4） 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，有理数的加法运算， （1）根据两点间的距离即可得出结论； （2）结合数轴可找出数轴上离表示的点距离为2的数即可求解； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． （4）表示数轴上到点2和的距离和为7，由此可得出在和2之间（包括端点），进而即可得出的值，然后求和即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：7； （2）表示数轴上离表示的点距离为2的数 ∴或； 故答案为：或； （3）表示数轴上到点1和距离相等的点． ； 故答案为：； （4）表示数轴上到点2和的距离和为7， 在和2之间（包括端点）， 是整数， 的值为：，，，，，，， 它们的和为：． 故答案为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $