第6章 6.3 等比数列（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 以题载法构建等比数列完整认知链，通过基础巩固与能力提升两级训练，融合数学抽象与逻辑推理，实现概念理解到综合应用的递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|12题|定义应用、性质计算、方程构造|从通项公式推导到前n项和性质，形成"概念-性质-应用"逻辑链| |能力提升|2题|跨模块综合、实际建模|结合函数思想与数学建模，体现知识迁移与应用意识|

课时冲关36　等比数列 [基础巩固练] 一、单选题 1．已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　) A．16　　 B．8 C．4　　 D．2 解析：C　[由题意知 解得∴a3＝a1q2＝4.] 2．已知等比数列{an}的公比为q，若a1＋a2＝12，且a1，a2＋6，a3成等差数列，则q＝(　　) A. B．－ C．3 D．－3 解析：C　[根据等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得结果． ∵a1，a2＋6，a3成等差数列，∴2(a2＋6)＝a1＋a3，又a1＋a2＝12， ∴2(12－a1＋6)＝a1＋a3，整理可得：3a1＋a3＝3a1＋a1q2＝36， ∴＝＝＝，解得：q＝0(舍)或q＝3.] 3．记等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝3，S8－S5＝－96，则S6＝(　　) A．－3 B．－6 C．－21 D．－24 解析：C　[设等比数列{an}的公比为q(q≠0)， 则＝＝＝q5＝－32，解得：q＝－2， 又S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝(a1＋a2＋a3)＋a1q3＋a2q3＋a3q3， 所以S6＝S3(1＋q3)＝3×(1－8)＝－21.] 4．已知1，a1，a2，…，ak(k∈N＋，且k≥2)，2为等比数列，公比为q，记Sk＝a1a2…ak，则(　　) A．a1ak＝2 B．qk＋1＝3 C． D．Sk＝2k 解析：A　[由等比数列的性质得a1ak＝1×2＝2，A正确；1，a1，a2，…，ak,2共有k＋2项，则2＝1×qk＋1，即qk＋1＝2，B错误；若k为偶数，则k＋1为奇数，由qk＋1＝2得q＝.若k为奇数，则k＋1为偶数，由qk＋1＝2得q＝±，C错误；Sk＝a1a2·…·ak＝qq2…qk＝＝.故D错误．] 5．2025“庐山杯”九江马拉松于3月23日上午鸣枪开跑．此前，为备战此次马拉松，小宝同学制定了一个为期20周的跑步训练计划．计划第1周跑步2公里，之后一段时间每周的跑步量是前一周的2倍；当周跑步量首次超过30公里后，每周比前一周多跑2公里；当周跑步量首次超过全马里程(42.195公里)后，保持这个周训练量直至训练结束．请问：训练计划结束时，小宝同学跑步的总量是(　　) A．736公里 B．724公里 C．692公里 D．660公里 解析：C　[记第一周跑步量为a1＝2，则S4＝2＋4＋8＋16＝30，所以前4周的跑步量为等比数列，所以a5＝16×2＝32，则a10＝32＋5×2＝42，a11＝42＋2＝44，故第5周到第10周的跑步量为等差数列，则＝222，第11周到第20周每周44公里，总和为440公里，所以小宝同学跑步的总量是30＋222＋440＝692(公里)．] 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a3a5＝2a2a4，则＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：C　[根据等比数列的性质可得＝q2＝2，进而根据求和公式即可化简求解． 根据题意，设等比数列{an}的公比为q， 若a3a5＝2a2a4，即＝q2＝2， 故＝＝1＋q2＝3.] 二、多选题 7．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2an＋1(n∈N*)，则下列结论中正确的是(　　) A．a1＝－1 B．S5＝－32 C．数列{an}是等比数列 D．数列{Sn－1}的前n项和为2－2n＋1 解析：ACD　[因为Sn＝2an＋1(n∈N*)，所以Sn＋1＝2an＋1＋1，两式相减得an＋1＝2an＋1－2an，n∈N*，所以an＋1＝2an，n∈N*，因为a1＝S1＝2a1＋1，所以a1＝－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，则an＝(－1)×2n－1＝－2n－1，Sn＝2an＋1＝－2n＋1.综上可知，选项A，C正确；当n＝5时，S5＝－25＋1＝－31，选项B错误；因为Sn－1＝－2n，Sn＋1－1＝－2n＋1，所以＝2，又S1－1＝－2，所以数列{Sn－1}是首项为－2，公比为2的等比数列，则数列{Sn－1}的前n项和为＝2－2n＋1，选项D正确．] 8．设等比数列{an}的前n项积为Tn，下列命题为真命题的是(　　) A．若T3＝1，a8＝2，则T9＝16 B．若T3＝1，T5＝32，则a2＋a3＝3 C．若a2a3＝2，则T3T5＝8 D．若T5＝32，则|a2|＋|a4|≥4 解析：BD　[对于A，易知T3＝a，T5＝a，T9＝a， 若T3＝1，则a2＝1，又因为a8＝2，所以a5＝±＝±， 所以T9＝(±)9＝±16，故A错误； 对于B，若T3＝1，T5＝32，则a2＝1，a3＝2，所以a2＋a3＝3，故B正确； 对于C，若a2a3＝2，则T3T5＝aa＝(a2a3)3a＝8a，故C错误； 对于D，若T5＝32，则a3＝2， 所以|a2|＋|a4|≥2＝2＝4，当且仅当|a2|＝|a4|＝2时等号成立，故D正确．] 三、填空题 9．已知{an}为等比数列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________. 解析：设{an}的公比为q(q≠0)，则a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，显然an≠0， 则a4＝q2，即a1q3＝q2，则a1q＝1，因为a9a10＝－8，则a1q8·a1q9＝－8， 则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，则q5＝－2， 则a7＝a1q·q5＝1×(－2)＝－2. 答案：－2 10．设数列{xn}满足logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，若x1＋x2＋…＋x100＝100，则x101＋x102＋…＋x200＝________. 解析：∵logaxn＋1＝1＋logaxn(a＞0，a≠1)，则1＝logaxn＋1－logaxn＝loga， ∴＝a，∴数列{xn}是公比为a的等比数列， ∵x1＋x2＋…＋x100＝100， ∴x101＋x102＋…＋x200＝a100(x1＋x2＋…＋x100)＝100a100. 答案：100a100 四、解答题 11．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由； (3)求{an}的通项公式． 解：(1)由条件可得an＋1＝an，将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．理由如下：由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 12．已知{an}为正项等比数列， bn＝记Sn为数列{bn}的前n项和，b3＝3，S3＝7. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn. 解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，b3＝a3－1＝3，即a3＝4， S3＝b1＋b2＋b3＝a1－1＋a2＋2＋a3－1＝a1＋a2＋a3＝7， 所以＋＋4＝7， 解得q＝2或q＝－(舍去)， 所以数列{an}的通项公式是an＝4·2n－3＝2n－1. (2)由(1)可得， bn＝， 即bn＝ ①当n为偶数时，n－1为奇数，此时 Sn＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋bn－1＋bn ＝(20－1)＋(21＋2)＋(22－1)＋(23＋2)＋…＋(2n－2－1)＋(2n－1＋2) ＝(20＋21＋22＋23＋…＋2n－2＋2n－1)－1·＋2·＝＋＝2n＋－1； ②当n为奇数时，n－1为偶数， 此时Sn＝Sn－1＋bn ＝2n－1＋－1＋2n－1－1 ＝2n＋－. ∴Sn＝ [能力提升练] 13．[多选]已知数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足： (ai＋i)＝2bn－2，b1＝2，b2＋b3是b3与b4的等差中项，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．数列{an－bn}是等差数列 B．Sn＝2n＋1－2－ C．数列{an}是递增数列 D． ＜2 解析：ABC　[设{bn}的公比为q. 由题知b3＋b4＝2(b2＋b3)⇒b4－b3－2b2＝0⇒q2－q－2＝0⇒q＝2或－1(舍)，故bn＝2n， (ai＋i)＝Sn＋＝2bn－2＝2n＋1－2， (ai＋i)＝2n－2，an＋n＝2bn－2bn－1＝2n＋1－2n＝2n，an＝2n－n，an－bn＝－n，故{an－bn}为等差数列，A正确；Sn＝2＋22＋…＋2n－(1＋2＋…＋n)＝2(2n－1)－，B正确；an＋1－an＝2n－1≥1，故{an}是递增数列，C正确；当n＝1时，＝1，2＝1，矛盾，故D错误．] 14．已知等比数列{an}的公比q大于2，存在k∈N*，使3ak＋1－ak恰是{an}中的某一项，则q的值为________． 解析：假设m∈N*，且3ak＋1－ak＝am， 即3a1qk－a1qk－1＝a1qm－1， ∴3q－1＝qm－k，∵q>2，∴3q－1>5， 从而m－k∈N*， 当m－k＝1时，q＝(舍去)； 当m－k＝2时，q＝， ∵q>2，∴q＝； 当m－k≥3时，记f(q)＝qx－3q＋1(x≥3，x∈N*，q>2)， 则f(q)>0.证明如下： f′(q)＝xqx－1－3>3×23－1－3>0， ∴f(q)>f(2)＝2x－5>0， ∴3q－1<qm－k. 综上，q＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $