第二十九章 圆（三大考点+五大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学“圆”单元知识清单系统整合了圆的相关概念、性质及计算核心内容，涵盖圆的定义与要素、垂径定理、圆心角圆周角关系、弧长扇形面积及圆锥计算等知识范畴，构建了从基础概念理解到性质应用再到综合计算的递进式学习支架。 清单以“易错点分类突破”和“核心素养培养”为特色，如垂径定理强调“平分非直径弦才垂直”的前提，圆周角定理突出“同弧所对圆周角是圆心角一半”的推理逻辑，培养学生几何直观与推理意识。设计“辅助线构造指南”（如过圆心作弦的垂线）和“生活情境题”（如月洞门半径计算），帮助学生高效掌握知识，教师可据此设计分层教学，提升课堂实效。

第二十九章 圆 知识点一 圆的相关概念 1. 圆的两种定义 ① 动态定义：在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做圆；固定端点为圆心，线段长度为半径。 ② 静态定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合。 · 圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。 1. 圆中基础线段 · 弦：连接圆上任意两点的线段； · 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦，直径 ； · 弦心距：圆心到一条弦的垂线段长度。 1. 弧的分类 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧： · 劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示； · 半圆：直径分圆所得弧，度数 ； · 优弧：大于半圆的弧，必须用三个字母表示； · 等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧；半径不等的圆不存在等弧。 1. 等圆：半径相等的两个圆叫做等圆，圆心不同、半径相同可互相重合。 1. 点与圆的位置关系 设圆半径为 ，点到圆心距离为 ： · 点在圆外 · 点在圆上 · 点在圆内 知识点二 圆的有关性质 1. 垂径定理及其推论 · 定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 做题常用辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长、半径。 2. 圆心角、弧、弦、弦心距四组量关系 前提：同圆或等圆中 圆心角相等 所对弧相等 所对弦相等 弦心距相等；一组量全部相等，其余三组量全部对应相等。 3. 圆周角定理及推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半。 （2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等； （3）推论2：直径所对的圆周角是直角（）； 的圆周角所对的弦是直径。 4. 圆内接四边形性质 四个顶点都在圆上的四边形叫作圆内接四边形： ① 对角互补； ② 任意一个外角等于它的内对角。 知识点三 弧长和扇形面积 设：圆半径 ，圆心角度数 1. 弧长公式 · 含义：圆心角 对应的圆弧长度。 1. 扇形面积两个公式 ① （依靠圆心角、半径计算） ② （依靠弧长、半径计算，计算更便捷） 1. 圆锥相关计算（拓展必考） · 圆锥构成：底面圆形、侧面曲面（侧面展开图是扇形） · 参数定义： · ：圆锥底面半径 · ：圆锥母线长（侧面展开扇形的半径） · ：圆锥的高 · 三者满足勾股关系： · 圆锥侧面积： · 圆锥全面积：（侧面积 + 底面圆面积） · 关键关系：侧面展开扇形的弧长 = 圆锥底面圆周长 易错点1 垂径定理及其应用 易错提醒 易错点总结 1. 乱用推论：忽略推论前提，直接说“平分弦的直径垂直弦”，忘记必须排除「弦是直径」的情况，造成定理误用。 2. 漏分情况：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），做题只算一种，导致角度、长度漏解。 3. 不会构造直角三角形：遇弦长计算，不做“圆心向弦作垂线”，无法利用勾股定理，列式失败。 4. 概念混淆：分不清弦、弦心距、半径，代入数值混乱，计算出错。 注意事项总结 1. 定理严格背诵：垂直于弦的直径平分弦和弧；推论必须加条件：平分非直径的弦才垂直。 2. 弦的题型万能辅助线：过圆心作弦的垂线，形成「半径、半弦长、弦心距」直角三角形，用勾股定理计算。 3. 一条弦对应两个弧、两种圆心角、圆周角，无图题必须分类讨论，防止漏解。 4. 已知弦长优先除以2，用“半弦长”参与计算，不要直接用整弦长。 【对点训练】1．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 【答案】10 【分析】连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接，则，，，，设的半径为r，则，，根据垂径定理求出，进而在中根据勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：连接，过点B作于点H，交于点F，设所在圆的圆心为点O，连接， 由题意可得，四边形，四边形都是矩形， ∴，，， 设的半径为r，则， ∴， ∵过圆心O，且， ∴， ∵在中，， ∴，解得， ∴所在的半径为10分米． 易错点2 圆周角定理及其推论 易错提醒 易错点总结 1. 角度倍数搞反：误把“圆周角是圆心角的一半”记成圆心角是圆周角的一半，角度全部算反。 2. 看错对应弧：不同弧对应的角乱套用，非同弧的圆心角、圆周角乱换算。 3. 忽略直径推论：看到直径不会自动联想直角，无法构造直角三角形解题。 4. 圆内接四边形性质乱用：忘记对角互补、外角等于内对角，角度推导错误。 注意事项总结 1. 铁律：同弧所对，圆周角 = ½ 圆心角，必须认准「同一段弧」才可换算。 2. 看到直径立刻构造直角三角形，是圆几何题第一万能思路。 3. 同弧圆周角相等、等弧圆周角相等，做题优先找公共弧、等弧。 4. 圆内接四边形：对角和 180^∘，外角=内对角，角度计算优先使用。 【对点训练】2．点、、是上不同的三点，已知，则____度． 【答案】140或60 【分析】分两种情况：当点在优弧上时，当点在劣弧上时，然后分别进行计算即可解答． 【详解】根据圆周角定理，可知一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，因此得 解：分两种情况： 如图，当点在优弧上时， ∵，， ∴ ， ∴； 如图，当点在劣弧上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 易错点3 扇形与圆锥的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 公式记混：弧长公式、扇形面积公式混淆，π 位置、分母 180/360 乱用。 2. 圆锥两个半径混淆：把底面小圆半径 r 和侧面母线 l 弄混，代入公式错误。 3. 求全面积忘记加底面积：只算侧面积，漏掉底面圆面积扣分。 4. 核心等量关系遗忘：不会用「圆锥底面周长 = 侧面扇形弧长」求圆心角。 5. 忘记母线、半径、高的勾股关系：，无法换算边长。 注意事项总结 1. 熟记必考公式：弧长；扇形面积 2. 圆锥区分：r 是底面半径，l 是母线（扇形半径），绝不混用。 3. 看清题目：求侧面积不加底，求全面积必须加一个底面圆面积。 4. 圆锥求圆心角题型，唯一突破口：底面周长 = 扇形弧长，列方程求解。 【对点训练】3．如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】先求出底面圆的半径，再由圆锥的侧面积公式计算． 【详解】解：圆锥的高为12，母线长为13， 圆锥的底面圆的半径， 该圆锥的侧面积为． 易错点4 不规则图形的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 不会割补法：不规则阴影图形不会拆分、拼接，直接硬算导致出错。 2. 重复、漏算面积：重叠区域多算、空白区域没扣除。 3. 平移、旋转等全等变换不会使用，不会等面积替换。 4. 扇形、三角形、四边形组合图形，公式套用混乱。 注意事项总结 1. 不规则图形面积万能思路：割补法、和差法。 阴影面积 = 整体规则图形面积 − 空白部分面积或阴影面积=几部分规则图形面积相加 2. 利用旋转、平移、轴对称进行等面积转化，把零散阴影拼成规则图形。 3. 组合图形分步计算：先算扇形、再算三角形，最后做加减，不混算。 4. 杜绝目测估算，所有面积必须用公式严谨计算。 【对点训练】4．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可知，则，结合图形可得阴影部分的面积等于扇形的面积，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ， ， ． ，， ． 易错点5 圆锥侧面上最大路径问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会将圆锥曲面沿母线剪开摊成平面扇形，依旧在曲面上画图找线段，无法求解最短距离。 2. 展开扇形后，两点之间线段最短不会应用，错误沿着圆锥母线、底面圆周绕行计算路程。 3. 展开后圆心角度数算错，等腰三角形顶角数值出错，无法用勾股定理、余弦定理求弦长。 4. 分不清起点、终点位置，展开图标注点位混乱。 注意事项总结 1. 圆锥表面最短路径解题唯一套路：沿母线剪开，把曲面展开为平面扇形。 2. 平面内两点之间线段最短，连接起点与终点的线段长度即为最短路径。 3. 先利用底面周长=扇形弧长算出展开图圆心角，确定顶角大小。 4. 根据扇形顶角、母线长，构造三角形，利用勾股定理或三角函数计算线段长度。 5. 看清动点起点终点，准确在展开图上标注对应点位。 【对点训练】5．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 一、单选题 1．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和垂径定理，证明，从而推出这两个三角形的面积相等，即可知道三角形的面积即是扇形的面积，利用平行线的性质和圆周角定理推出，即可知道度数，最后利用扇形面积公式即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：， ， ， ，， ， ． 阴影部分的面积为． ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积为． 2．如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形内角和求出，再根据直径得到，求出，根据圆周角定理得到，最后根据三角形内角和求即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据菱形的性质和圆的半径相等，可证得和均为等边三角形，从而求出圆心角的度数，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ， ， ，， 和均为等边三角形， ， ， 与分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 4．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等腰三角形性质求出圆心角，再利用圆周角定理求解． 【详解】解：， ， ， 与是同弧所对的圆周角与圆心角， ． 5．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直径所对的圆周角等于求出的度数，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 6．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，由等边对等角得到，则可求出，再由可得． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 7．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是______． 【答案】 【分析】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，熟练掌握圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解题关键．将圆锥沿母线展开，根据两点之间线段最短可知：即为盘山公路的长度；设展开图的圆心角为，根据圆锥的底面周长是展开的扇形的弧长，可得，从而求得n的值；再利用勾股定理即可求得的长，从而完成解答． 【详解】解：如图，将圆锥展开得展开图，为的中点，连接，则是这条盘山公路的长度，设展开图的圆心角为． ∴， ∵圆锥的底面半径是， ∴的长为， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 8．如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算及扇形圆心角的计算，先根据题意利用圆锥的侧面积公式计算其侧面积，再设侧面展开图的圆心角的度数为n，利用扇形圆心角的公式列出方程，求得n的值即为所求． 【详解】解：由题意知，底面直径为， ∴底面半径为， ∴， 设侧面展开图的圆心角的度数为n， ∴， 即，解得， 即该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为， 故答案为：． 9．如图，在边长为2的正方形中，对角线与的交点为，分别以、为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 【答案】 【分析】根据图形可得阴影部分面积等于正方形面积减去两个扇形面积的一半，由正方形的性质可求得对角线长及扇形半径，利用扇形面积公式求出扇形的面积，即可求出阴影部分面积． 【详解】解：由图可知， ，． ∵四边形是正方形，边长为2， ∴，，， ∴ ∴扇形的半径为，圆心角为， ∴ ∴． 10．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 【答案】 14 【分析】根据圆内接四边形的性质求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，然后根据计算即可. 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴. 三、解答题 11．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得出，根据补角的性质得出，最后根据平行线的判定即可得出结论； （2）先证明，得出为等边三角形，根据等边三角形的性质得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 12．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 【答案】(1)证明：如图，连接． 为的直径， ． ． 又， ． (2)阴影部分的面积为 【分析】（1）连接．利用直径对的圆周角是直角及等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）连接．由题意可求得的半径及的度数，的长度，由即可求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图，连接． 为的直径， ． ，， ，，． 在中，， ． ， 即阴影部分的面积为． 13．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)∵是的直径， ∴． 又∵， ∴， 即． ∴． ∴． (2)10 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角与，得垂直于，根据垂径定理可得平分弧，进而可证对应圆心角． （2）设圆O半径为r，则长度可表示为；由垂径定理可知E为中点，得长度为的一半；在中，根据勾股定理列关于r的方程，求解即可得到半径． 【详解】（1）略 （2）解：设的半径为， ∵， ∴． ∵， 由（1）知，， ∴． 在中，由勾股定理， 代入得 ， 解得． 因此，的半径为． 14．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可； （2）过点O作于点E，则，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求解． 【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到， ∵，， ∴； （2）解：过点O作于点E，则圆心O到的距离，， ∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 15．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十九章 圆 知识点一 圆的相关概念 1. 圆的两种定义 ① 动态定义：在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点_______一周，另一个端点所形成的封闭曲线叫做_______；固定端点为_______，线段长度为_______。 ② 静态定义：平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的集合。 · _______决定圆的位置，_______决定圆的大小。 1. 圆中基础线段 · 弦：连接圆上任意_______的_______； · 直径：经过_______的弦，是圆内最_______的弦，直径 ； · 弦心距：圆心到一条弦的______________长度。 1. 弧的分类 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧： · 劣弧：______________半圆的弧，用两个字母表示； · 半圆：直径分圆所得弧，度数 ； · 优弧：______________半圆的弧，必须用三个字母表示； · 等弧：在同圆或等圆中，能够______________的弧；半径不等的圆不存在等弧。 1. 等圆：半径相等的两个圆叫做等圆，圆心不同、半径相同可互相重合。 1. 点与圆的位置关系 设圆半径为 ，点到圆心距离为 ： · 点在_______ · 点在_______ · 点在_______ 知识点二 圆的有关性质 1. 垂径定理及其推论 · 定理：_______于弦的直径_______这条弦，并且平分弦所对的两条_______。 · 推论：平分弦（弦不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 · 做题常用辅助线：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，结合勾股定理计算弦长、半径。 2. 圆心角、弧、弦、弦心距四组量关系 前提：同圆或等圆中 圆心角相等 所对弧相等 所对弦相等 弦心距相等；一组量全部相等，其余三组量全部对应相等。 3. 圆周角定理及推论 （1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的_______。 （2）推论1：同弧或等弧所对的圆周角_______； （3）推论2：直径所对的圆周角是_______（）； 的圆周角所对的弦是_______。 4. 圆内接四边形性质 四个顶点都在圆上的四边形叫作圆内接四边形： ① 对角_______； ② 任意一个外角等于它的_______。 知识点三 弧长和扇形面积 设：圆半径 ，圆心角度数 1. 弧长公式 · 含义：圆心角 对应的圆弧长度。 1. 扇形面积两个公式 ① （依靠圆心角、半径计算） ② （依靠弧长、半径计算，计算更便捷） 1. 圆锥相关计算（拓展必考） · 圆锥构成：底面圆形、侧面曲面（侧面展开图是扇形） · 参数定义： · ：圆锥底面半径 · ：圆锥母线长（侧面展开扇形的半径） · ：圆锥的高 · 三者满足勾股关系：_____________________ · 圆锥侧面积： · 圆锥全面积：（侧面积 + 底面圆面积） · 关键关系：侧面展开扇形的弧长 = 圆锥底面圆周长 易错点1 垂径定理及其应用 易错提醒 易错点总结 1. 乱用推论：忽略推论前提，直接说“平分弦的直径垂直弦”，忘记必须排除「弦是直径」的情况，造成定理误用。 2. 漏分情况：一条弦对应两条弧（优弧、劣弧），做题只算一种，导致角度、长度漏解。 3. 不会构造直角三角形：遇弦长计算，不做“圆心向弦作垂线”，无法利用勾股定理，列式失败。 4. 概念混淆：分不清弦、弦心距、半径，代入数值混乱，计算出错。 注意事项总结 1. 定理严格背诵：垂直于弦的直径平分弦和弧；推论必须加条件：平分非直径的弦才垂直。 2. 弦的题型万能辅助线：过圆心作弦的垂线，形成「半径、半弦长、弦心距」直角三角形，用勾股定理计算。 3. 一条弦对应两个弧、两种圆心角、圆周角，无图题必须分类讨论，防止漏解。 4. 已知弦长优先除以2，用“半弦长”参与计算，不要直接用整弦长。 【对点训练】1．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 易错点2 圆周角定理及其推论 易错提醒 易错点总结 1. 角度倍数搞反：误把“圆周角是圆心角的一半”记成圆心角是圆周角的一半，角度全部算反。 2. 看错对应弧：不同弧对应的角乱套用，非同弧的圆心角、圆周角乱换算。 3. 忽略直径推论：看到直径不会自动联想直角，无法构造直角三角形解题。 4. 圆内接四边形性质乱用：忘记对角互补、外角等于内对角，角度推导错误。 注意事项总结 1. 铁律：同弧所对，圆周角 = ½ 圆心角，必须认准「同一段弧」才可换算。 2. 看到直径立刻构造直角三角形，是圆几何题第一万能思路。 3. 同弧圆周角相等、等弧圆周角相等，做题优先找公共弧、等弧。 4. 圆内接四边形：对角和 180^∘，外角=内对角，角度计算优先使用。 【对点训练】2．点、、是上不同的三点，已知，则____度． 易错点3 扇形与圆锥的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 公式记混：弧长公式、扇形面积公式混淆，π 位置、分母 180/360 乱用。 2. 圆锥两个半径混淆：把底面小圆半径 r 和侧面母线 l 弄混，代入公式错误。 3. 求全面积忘记加底面积：只算侧面积，漏掉底面圆面积扣分。 4. 核心等量关系遗忘：不会用「圆锥底面周长 = 侧面扇形弧长」求圆心角。 5. 忘记母线、半径、高的勾股关系：，无法换算边长。 注意事项总结 1. 熟记必考公式：弧长；扇形面积 2. 圆锥区分：r 是底面半径，l 是母线（扇形半径），绝不混用。 3. 看清题目：求侧面积不加底，求全面积必须加一个底面圆面积。 4. 圆锥求圆心角题型，唯一突破口：底面周长 = 扇形弧长，列方程求解。 【对点训练】3．如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 易错点4 不规则图形的相关计算 易错提醒 易错点总结 1. 不会割补法：不规则阴影图形不会拆分、拼接，直接硬算导致出错。 2. 重复、漏算面积：重叠区域多算、空白区域没扣除。 3. 平移、旋转等全等变换不会使用，不会等面积替换。 4. 扇形、三角形、四边形组合图形，公式套用混乱。 注意事项总结 1. 不规则图形面积万能思路：割补法、和差法。 阴影面积 = 整体规则图形面积 − 空白部分面积或阴影面积=几部分规则图形面积相加 2. 利用旋转、平移、轴对称进行等面积转化，把零散阴影拼成规则图形。 3. 组合图形分步计算：先算扇形、再算三角形，最后做加减，不混算。 4. 杜绝目测估算，所有面积必须用公式严谨计算。 【对点训练】4．如图，中，，将绕点逆时针旋转得到，恰好经过点．则阴影部分的面积为_______． 易错点5 圆锥侧面上最大路径问题 易错提醒 易错点总结 1. 不会将圆锥曲面沿母线剪开摊成平面扇形，依旧在曲面上画图找线段，无法求解最短距离。 2. 展开扇形后，两点之间线段最短不会应用，错误沿着圆锥母线、底面圆周绕行计算路程。 3. 展开后圆心角度数算错，等腰三角形顶角数值出错，无法用勾股定理、余弦定理求弦长。 4. 分不清起点、终点位置，展开图标注点位混乱。 注意事项总结 1. 圆锥表面最短路径解题唯一套路：沿母线剪开，把曲面展开为平面扇形。 2. 平面内两点之间线段最短，连接起点与终点的线段长度即为最短路径。 3. 先利用底面周长=扇形弧长算出展开图圆心角，确定顶角大小。 4. 根据扇形顶角、母线长，构造三角形，利用勾股定理或三角函数计算线段长度。 5. 看清动点起点终点，准确在展开图上标注对应点位。 【对点训练】5．已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是__． 一、单选题 1．如图，是的直径，弦垂足为点，连接，．如果，，那么图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，是的直径，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图，点A、B、C、D为上的点，四边形是菱形，则的度数是（） A． B． C． D． 4．如图，点均在上，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 5．如图，为直径，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，内接于，，是的直径．设，，则与的关系是 _______． 7．如图，某圆锥形山峰，圆锥底面半径为，母线长为，欲从A处修一条最近的盘山公路到景点B（B位于母线的中点处），那么这条盘山公路的长度是______． 8．如图，有一种竹编斗笠，外形是圆锥，它的母线长为，底面直径为，则该斗笠的侧面展开图的圆心角大小为_______． 9．如图，在边长为2的正方形中，对角线与的交点为，分别以、为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中阴影部分的面积为________（结果保留）． 10．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接，若，________． 三、解答题 11．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，点E在的延长线上，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，若，求的长． 12．如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，，连接，求图中阴影部分的面积．（用含的式子表示运算结果） 13．如图，为的直径，，为圆上的两点，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 14．如图，在中，直径与弦相交于点P，，． (1)求的大小； (2)已知圆心O到的距离为4，求的长． 15．已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $