第05讲 椭圆及其性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义聚焦椭圆核心考点，涵盖定义、标准方程、几何性质、焦点三角形、离心率等内容，按知识解构-题型破译-真题溯源逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、分层训练环节，帮助学生系统构建知识网络，突破高频难点。 讲义突出核心素养培养，如用焦点三角形面积结论培养数学眼光，离心率问题构建齐次方程训练数学思维，实际应用情境提升数学语言表达。设置10类题型专项训练，配套方法技巧归纳与真题演练，助力学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第05讲 椭圆及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1椭圆的定义 知识点2椭圆的简单几何性质 题型破译 (含超链接） 题型1 椭圆的定义及其应用 题型2 椭圆的标准方程 【方法技巧】 椭圆标准方程的求法 题型3 椭圆方程的充要条件 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 题型5 椭圆中的焦点三角形 【方法技巧】 椭圆焦点三角形中的结论应用 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 题型7 椭圆的离心率及范围 【方法技巧】 离心率问题的求解技巧 题型8 椭圆的轨迹问题 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 【方法技巧】 最值、范围问题的求解策略 题型10 椭圆的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 椭圆的方程与性质 全国Ⅱ卷T18（17分） 全国Ⅰ卷T18（17分） 全国Ⅱ卷T5（5分） 直线与椭圆的位置关系 全国Ⅰ卷T18（17分） 全国Ⅱ卷T16（15分） 全国Ⅰ卷T16（15分） 考情分析 近三年椭圆相关命题覆盖了求椭圆标准方程（根据a、b、c、离心率、过点等条件）、离心率（或其取值范围）、最值与定值、轨迹方程、焦点三角形面积等考点，题型包含选择题、填空题、解答题。 考查形式上，既有单一考点的直接考查，也涉及椭圆与三角形（四边形）面积、韦达定理等的综合，且 “求椭圆标准方程”“离心率相关问题” 为高频考查点. 复习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 椭圆的定义 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 自主检测已知是椭圆上的动点，，且，则 . 【答案】5 【详解】根据椭圆的定义确定点的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值. 【分析】因为，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆. 易知，即，所以. 故答案为：5 知识点2 椭圆的简单几何性质 1..椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为2b，长轴长为2a 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点 离心率 e＝ (0<e<1) a，b，c的关系 a2＝b2＋c2 自主检测（多选）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 【答案】ACD 【分析】由椭圆的标准方程分别得到，然后结合椭圆的几何性质逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于椭圆，，则， 则，对于A，椭圆的长轴长为，故A正确； 对于B，椭圆的焦点在轴上，且，则焦点坐标为，故B错误；对于C，离心率，故C正确；对于D，椭圆上的点到焦点的最大距离为，故D正确. 故选：ACD 必记结论 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 （1）b≤｜OP｜≤a； （2）a－c≤｜PF｜≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝｜PF1｜，r2＝｜PF2｜，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1（a＞b＞0）中： （1）r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； （2）S＝b2tan ＝c｜y0｜，当｜y0｜＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 题●型●破●译 题型1 椭圆的定义及其应用 例1-1已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 例1-2（2026·全国·模拟预测）设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】作出图形，设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点，连接，结合几何关系可以推出，从而可得出动点的轨迹是椭圆，然后根据椭圆上的点的纵坐标的取值范围求解即可. 【详解】如图， 设以线段为直径的圆的圆心为，半径为，与圆内切于点， 则点三点共线，连接，在中，为中位线，即， 又，，，则， 因为，所以动点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆， 椭圆中，即方程为. 为椭圆上的一点，设，则且，所以. 故选：A 【变式训练1-1】若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】根据椭圆的定义可知，只有为定值，且时， 点的轨迹才是椭圆， 因此，“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件. 【变式训练1-2】（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由椭圆方程可得椭圆基本量，再由得，进而在焦点三角形中由余弦定理可得，再由中线向量关系可得，从而可得所求值. 【详解】椭圆方程，得，因此， 根据椭圆的定义有，， 在中，因为，所以， 由同角三角函数关系式可得， 由余弦定理，， 即，得. 又在中，是的中线，所以，如图： 所以 ， 因此，，即. 【变式训练1-3】（2026·湖南娄底·模拟）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ． 【答案】3 【分析】通过椭圆的焦点在x轴或者y轴上，由椭圆的定义求出即可求解. 【详解】若椭圆的焦点在x轴上，则，由得（舍去）； 若椭圆的焦点在y轴上，则，由得. 故答案为：3． 【变式训练1-4·变角度】（2026·浙江温州·模）在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ． 【答案】12 【分析】利用椭圆的定义求解，结合椭圆的几何性质求解即可. 【详解】设 ，则 .由 ，知点 的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，长轴长为 10 ，焦距为 6 .椭圆半长轴 ，半焦距 ， 半短轴 . 设，则的轨迹是椭圆， 面积 ， 当 取最大值(即半短轴 )时，面积最大.最大面积为 . 故答案为：12. 【变式训练1-5·变情境】如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 【答案】35 【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性，可知，，， 又根据椭圆的定义，得，，，， 所以， 又由椭圆，可知， 所以. 故答案为：. 题型2 椭圆的标准方程 例2-1与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将椭圆的方程，化为标准方程，分析可得其焦点坐标，进而可以设所求椭圆方程为，分析可得b、c的值，即可得答案. 【详解】椭圆可化为， 可知焦点在轴上，焦点坐标为， 设所求椭圆方程为，则，又，即， 所以，所求椭圆的标准方程为. 故选：B. 例2-2（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以，又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以，即椭圆的方程为. 【变式训练2-1】（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【详解】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D 【变式训练2-2】已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】分别求出，再根据焦点所在的位置即可求出标准方程. 【详解】由题意，椭圆的焦距，长轴长， 则， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为， 当焦点在上时，椭圆的标准方程为. 综上，椭圆的标准方程为或. 故选：B. 【变式训练2-3·变载体】（2026·山东泰安·模拟）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数，结合椭圆的性质即可求解得，即可利用面积公式求解. 【详解】如图：,故， ，故， 故，解得， 由于， 故，故，故椭圆方程为， 故选：B    【变式训练2-4·变考法】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义表示出焦点三角形的周长，求出的值，结合离心率求出的值，即得椭圆方程. 【详解】 如图依题意，的周长为， 解得． 设椭圆的半焦距为，因为椭圆的离心率为，所以，解得． 所以． 故椭圆的标准方程为． 故选：D. 【变式训练2-5·变载体】已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性关系及垂直关系结合椭圆的定义及边长关系计算求参得出椭圆方程即可. 【详解】因为，所以， 设，则，，所以，． 因为，所以， 在中，，即，解得， 所以为等腰直角三角形，所以为椭圆的上顶点，所以， 所以，所以椭圆的标准方程为． 故答案为： 方法技巧 椭圆标准方程的求法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 题型3 椭圆方程的充要条件 例3-1（25-26高三·江西九江）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程各参数的意义求解. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，所以.解得. 故选： 例3-2（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，，解得； ②当椭圆的焦点在轴上时，，解得， 所以或. 【变式训练3-1】（25-26高三下·山东·阶段检测）“”是“曲线为椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据曲线表示椭圆，列不等式求解，即可根据集合间的关系求解. 【详解】若曲线为椭圆，则，解得或， 由于或是的真子集， 故“”是“曲线为椭圆”的必要不充分条件， 【变式训练3-2】已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程的特点，对分母和进行分类讨论即可得的范围. 【详解】由题意知，方程表示椭圆，根据椭圆的标准方程或的特点可知：，且，解得或，综上所述的取值范围是. 故选：D. 【变式训练3-3·变载体】（25-26高三下·山东·阶段检测）已知曲线为椭圆，且，则数对个数为（   ） A．5 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】利用椭圆方程的性质对数对进行列举即可. 【详解】曲线为椭圆，则， 且，则满足条件的正整数对有， 在上述数对中，只有满足，所以需要排除这个情况，剩下的数对共 8 对， 因此，满足条件的数对的个数为 8. 【变式训练3-4·变考法】【多选】（2026·福建福州·模拟）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 【答案】CD 【分析】根据抛物线标准方程、双曲线标准方程、圆的标准方程、直线的方程的定义和性质，逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】当时，由得，，所以曲线表示焦点在轴上的椭圆，A选项错误； 当时，曲线可化为，得，此时曲线是圆，半径为，B选项错误； 当时，曲线可化为，此时曲线是双曲线，C选项正确； 当，时，曲线可化为，得，此时曲线是两条直线，D选项正确； 故选：CD. 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 例4-1（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由判断椭圆的长轴在轴上，再设半焦距为，利用及“焦距”为列方程求． 【详解】因为，所以，椭圆的长轴在轴上，长半轴长为，短半轴长为． 设椭圆的半焦距为，则.因为椭圆的焦距为，即. 解得.代入，得. 即.所以.解得.因为，所以. 例4-2（2026·福建厦门·模拟）【新思维】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 【答案】A 【分析】首先根据，以及余弦定理，确定，再根据椭圆方程，即可求解. 【详解】由及余弦定理，得， 整理得，即，故该椭圆的长轴长为. 故选：A 例4-3（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（    ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 【答案】AD 【分析】结合不等式及轨迹方程求得，根据椭圆长轴短轴的集合意义求得的值，从而得椭圆的焦距与离心率，逐项判断即可得答案. 【详解】， ，解得. 该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值， 短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值， 椭圆的焦距为， 椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误. 故选：AD. 【变式训练4-1】（2026·河北秦皇岛·阶段检测）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】利用椭圆的标准方程与焦点位置即可得解. 【详解】由题意得，，，，所以． 故选：D． 【变式训练4-2·变考法】（2026·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程结合的关系，列方程求解的值即可. 【详解】焦点在轴上的椭圆的焦距为，则，所以， 则，故，又，则的值为. 故选：B. 【变式训练4-3·变考法】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意求出椭圆所有顶点坐标判断选项即可. 【详解】椭圆的一个顶点是，一个焦点是，椭圆的焦点在轴上， 设椭圆方程为，则有，得， 所以椭圆左顶点为，右顶点为，下顶点为，上顶点为， 只有A选项符合. 【变式训练4-4·变载体】（2026·重庆模拟）已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质求出焦点坐标，再结合焦点在圆上求出的值，最后根据椭圆离心率公式求出离心率. 【详解】已知椭圆方程，则. 根据椭圆的性质，可得，那么椭圆的焦点坐标为. 因为椭圆的焦点在圆上，将焦点坐标代入圆的方程可得： 即，移项可得. 因为，所以. 由，.根据椭圆离心率公式，可得. 此椭圆的离心率为. 故选： B. 【变式训练4-5·变载体】（2026·河南郑州·模拟）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程可得，且焦点在x轴上，再结合椭圆方程列式求解即可. 【详解】对于双曲线，可知其半焦距，且焦点在x轴上， 对于椭圆可得，且，解得. 故答案为：. 题型5 椭圆中的焦点三角形 例5-1（2026·广西柳州·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】根据条件可得，然后根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得，过且垂直于的直线与椭圆交于B、C两点， 所以为线段的垂直平分线，得， 则的周长为. 故选：B.    例5-2（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理即可求三角形面积. 【详解】由椭圆：可知：， 由余弦定理得：， 代入得：， 所以三角形面积为：. 例5-3【新思维】设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，利用角平分线定理分析得出，结合三角形的面积公式可求出的值； 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，根据题意得出关于、的方程组，解出这两个量的值，由结合三角形的面积公式可求出的值. 【详解】依题意，，， 解法一：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 因为平分，由角平分线定理可得，故， 所以，即， 故，所以. 解法二：不妨设点位于第一象限，设，，则①，且. 因为，所以，所以②. 由①②解得：，. 由，得， 所以. 故选：B. 方法技巧 椭圆焦点三角形中的结论应用 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c). 【变式训练5-1·变考法】（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由椭圆定义可知，焦距， 则，离心率， 联立，解得， ， ， 椭圆上，，当时，的面积最大， 最大值为． 【变式训练5-2·变角度】（2026·陕西西安·阶段检测）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】C 【详解】对于A，根据椭圆标准方程得，，，由椭圆定义知， 所以的周长为，A错误. 对于B，在中，由余弦定理可得，， 由，代入， 化简得， 所以， 在中，，所以为锐角， 且， 故，B选项错误. 对于C，由B选项知，在中，设点到的距离为， 由，得，即， 因为到的距离,就是到轴的距离，C选项正确. 对于D，根据数量积公式，，D选项错误. 【变式训练5-3·原创题】（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 【变式训练5-4·变设问】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据椭圆的定义求出的值，然后可确定，进而得到点的坐标，从而求出直线的斜率. 【详解】如图所示，根据椭圆的定义可知，①， 由题意知②， 联立①②方程组可解得. 而，所以，即为直角三角形，. 由于在第二象限，所以点的坐标为. 因为，所以直线的斜率为. 故答案为：. 【变式训练5-5·变载体】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是_______． 【答案】/ 【分析】利用椭圆的离心率确定形状，设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式计算求解. 【详解】设椭圆半焦距为，由其离心率为，得， 则椭圆的方程为，而的上顶点为，为其焦点， 则，为等边三角形，又，因此直线垂直平分， ，且直线的倾斜角为， 直线方程为，设， 由，得，则， ，解得，， 所以的周长为. 故答案为： 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 例6-1（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据椭圆定义，，则当三点共线时，取得最小值. 【详解】根据题意，，且点为椭圆右焦点， 根据椭圆定义，， 即如图，当三点共线时，取得最小值. 例6-2已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】B 【分析】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解. 【详解】由椭圆得，因为点为椭圆上的点，则， 直线经过定点，则， 当且仅当在线段上时取等号，所以的最大值为2. 故选：B. 【变式训练6-1】已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】椭圆上的点P满足，找到取等时点P位置即可求出最大值. 【详解】椭圆上的点P满足， 当点P为的延长线与C的交点时， 达到最大值，最大值为． 故选：B 【变式训练6-2】已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 【答案】A 【分析】依题意将点到圆上点距离最值转化为点到圆心距离问题，再结合椭圆定义并利用三点共线求得点在处时，使得的最小值为6. 【详解】易知椭圆中，即可得， 又圆的圆心为，半径， 易知椭圆右焦点，显然在圆上，如下图：    易知椭圆上一点到圆上任意一点的最小距离为， 因此可将的最小值转化为求的最小值， 由椭圆定义可得； 此时点在处，使得的最小值为6. 故选：A 【变式训练6-3·变载体】已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圆和椭圆方程可确定圆心、半径、的长；利用椭圆定义和圆的对称性可将问题转化为求解的最大值问题，利用三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值，由此可得结果. 【详解】由圆方程得：圆心，半径； 由椭圆方程得：，，设椭圆下焦点为，则， 由椭圆定义知：，； （当且仅当三点共线时取等号）， ， 又（当且仅当三点共线时取等号）， ，即的最大值为. 故选：D. 【变式训练6-4·变考法】（多选）（2026·山西吕梁·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 【答案】ABD 【分析】对A，直接利用离心率公式即可判断；对B，写出半径表达式即可判断；对C，利用基本不等式即可判断；对D，利用椭圆定义结合三点共线即可判断. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，记内切圆半径为，由，得， 则，所以当时，，故B正确； 对于C选项，不妨取P为第一象限点，设，则由，得， 当且仅当时取等，所以，故C错误； 对于D选项，，当为线段与椭圆的交点时，等号成立，故D正确． 题型7 椭圆的离心率及范围 例7-1（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】因为，，则， 则，， 所以椭圆的离心率为. 例7-2已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【分析】不妨设点在第一象限，根据题意求出的取值范围，结合椭圆方程可得出的取值范围，由此可得出关于、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围. 【详解】设椭圆的半焦距为，则，， 因为为等腰三角形，且为钝角，则， 设点，则，， 则，可得，又因为，故， 所以 ， 所以，化简得出. 故答案为：. 例7-3（多选）【新思维】已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 【变式训练7-1·变考法】已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【答案】C 【分析】通过讨论和，结合离心率，即可求解. 【详解】①当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； ②当时，即椭圆的焦点在轴上时， 此时，，解得，符合题意； 综上，的值为或12. 故选：C 【变式训练7-2·变载体】（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面积关系可得，从而得到，利用结合余弦定理化简即可求解. 【详解】因为，所以 则，由于所以，根据椭圆的定义可得， 在中，，在中，，因为，所以， 即，化简得：，即，所以椭圆的离心率为。 【变式训练7-3·变载体】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 【变式训练7-4·变融合】（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出的位置关系，利用已知条件求出相应的点，代入方程中建立关于的方程，解齐次方程，再由椭圆的离心率范围求解即可. 【详解】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点， 由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴，设点在第一象限，如图所示： 令，此时有，又抛物线的焦点为， 所以，所以抛物线方程为，因为点在抛物线上，所以，所以，即点，又点在椭圆上， 所以，又，所以， 所以，即，又，所以， 令 ，则，解得（舍去）或， 即，又，所以. 【变式训练7-5·变载体】（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率. 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：，以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为，将的坐标代入直线方程可得，化简得：，因为椭圆离心率，且，所以，解得. 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解椭圆离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用椭圆的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 题型8 椭圆的轨迹问题 例8-1已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由题意，因为是的中点，且轴，则有，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，因为是的中点，且轴，则有，如图： 又在圆上，将代入其中可得，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A. 例8-2知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长，所以所求轨迹方程为. 故选：B 【变式训练8-1·变载体】如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义判断即可. 【详解】关系式表示点到两个定点和的距离之和，符合椭圆的定义. 则，，又，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 【变式训练8-2·原创题】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据已知建立点坐标之间的关系，利用相关点法求解可得. 【详解】因为点在的延长线上，且，所以为的中点， 设，则，由中点坐标公式得， 因为点在曲线，所以， 即点的轨迹方程为. 故选：D      【变式训练8-3·变考法】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【答案】 【分析】根据已知条件得到向量，然后用坐标表示出来，根据线段的长度即可求得点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意，又，所以，即， 所以，所以，所以曲线C的方程为. 故答案为：. 【变式训练8-4·变考法】在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点轨迹为. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设出动点坐标，根据中点坐标公式，结合圆的方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程组写出韦达定理，利用三角形面积公式以及弦长公式，可得答案. 【详解】（1）设点，则点，由点是线段的中点， 得 因为点在圆上，所以* 把，代入方程*，得， 即的轨迹方程：. （2）依题意，设直线，，， 联立，消去整理得，则， 由韦达定理得， 所以，，直线的方程为：或. 方法二：①当时，（不符合题意，舍去） ②设直线，，， 联立，消去整理得， 则，由韦达定理得，， 所以，，直线的方程为：或. 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 例9-1（2026·甘肃兰州·一模）【新思维】已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程，设点为曲线的任意一点，且，进而根据点到直线的距离，结合三角恒等变换求解即可. 【详解】曲线变形得，表示轴右侧的部分椭圆， 所以，， 设点为曲线的任意一点，且， 点到直线的距离为： 因为，， 所以， 所以， 所以曲线上的点到直线的距离的取值范围是. 例9-2（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【答案】BD 【分析】A：根据离心率定义计算出并判断；B：根据椭圆定义计算焦点三角形的周长并判断；C：根据的最小值为作出判断；D：根据椭圆定义结合基本不等式计算并判断. 【详解】椭圆即为， 故， 对于A，，故A错误； 对于B，的周长为，故B正确； 对于C，的最小值为，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确， 故选：BD. 【变式训练9-1·变载体】（2026·河南·模拟预测）已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，的斜率为，，，进而根据点差法求得，进而求得点的轨迹方程为，进而得，进而利用二次函数的最值的求法可求得的最大值. 【详解】当直线的斜率不存在时，，； 当直线的斜率存在时，设，的斜率为，，， 则，两式相减整理得.又， 两式消去化简得点的轨迹方程为， 则. 由，得，所以. 而二次函数图象的对称轴为直线， 所以当时，可取到最大值为.又，故的最大值为. 【变式训练9-2·变载体】若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的、、，以及圆心坐标与半径，再由数量积的运算律得到，利用椭圆的性质求解的范围，从而可得答案. 【详解】椭圆的，，则， 圆的圆心为，半径，则为椭圆的右焦点， 又 ， 由椭圆的性质可得，即， 所以． 故答案为： 【变式训练9-3·变角度】（多选）（2026·湖南郴州·三模）已知二次曲线表示一个椭圆，则（    ） A．的对称中心为 B．上的点到原点距离的取值范围是 C．当点在上时， D．的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据对称性定义计算可判断A；令，由代入化简可得，计算可判断B；将曲线看作关于的方程，由判别式列不等式计算可判断C；先证明旋转公式，再将原方程标准化，计算判断D即可. 【详解】对于A，设是二次曲线上任意一点， 将代入二次曲线， 化简可得，所以在二次曲线上， 则二次曲线的对称中心为，故A正确； 对于B，令，则， 因为，得， 所以，解得，即， 所以二次曲线上的点到原点距离的取值范围是，故B错误； 对于C，将曲线方程视为关于的方程， 因为为实数，所以， 解得，当点在二次曲线上时， 可得，故C正确； 对于D，先推理旋转公式，记平面内点在角的终边上，则， 而绕原点顺时针旋转一个锐角，可得旋转后的坐标为， 由正余弦的和差公式得旋转后的坐标如下， 为， 又， 所以，即旋转公式得证， 将原方程化为标准方程，而其旋转角为， 旋转后整理方程令交叉项系数为0，可得， 而，解得，设， 代入曲线，化简可得， 故二次曲线可以看作由椭圆绕坐标原点逆时针旋转得到， 如图所示，作出符合题意的图形， 在椭圆中， 故二次曲线的离心率为，故D正确. 【变式训练9-4·变考法】（2026·山东济宁·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）求出、的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程； （3）由题意可知，设点，将直线、的方程联立，可求出点的纵坐标，结合韦达定理可求得的取值范围，结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）由题意可得，该椭圆的离心率为，可得， 所以， 故椭圆的标准方程为. （2）若直线与轴重合时，则轴经过，，不符合题意； 设直线的方程为，设点、， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以 ，解得， 故直线的方程为或， 即或. （3）由题意可知，设点， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立可得，即， 解得， 由（2）可得， 所以， 当且仅当时，等号成立，即， 故的面积为， 即面积的最大值为. 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解椭圆中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题，常用以下三大技巧： 代数函数法：通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和判别式（Δ≥0）构造不等关系。将目标量（如弦长、面积）表示为斜率或截距的函数，借助二次函数性质、导数或均值不等式求最值与范围。 三角参数法：利用椭圆的参数方程，将椭圆上的动点设为 (acosθ,bsinθ) 。把目标代数式转化为于θ 的三角函数，再利用三角函数的有界性及辅助角公式求解。 几何定义法：充分挖掘椭圆的几何性质（如焦点三角形、点到焦点的距离范围等），结合平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。 题型10 椭圆的实际应用 例10-1【新思维】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 例10-2小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设篮球半径为，连接，过作交于，则，于是椭圆长轴长，，由二倍角公式化简即可求解. 【详解】   设篮球半径为，显然平面平面，连接平面， 过作交于，则， 于是椭圆长轴长， 在四边形中，， 令椭圆半焦距为，而，则， 解得， 所以该椭圆的离心率为. 故选：A 【变式训练10-1·变情境】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可知可判断A；根据图象可知，结合由不等式的性质可判断B，C；对两边同时平方化简可判断D. 【详解】如图可知，，，，A不正确； ，，；B不正确； 由，可知，C不正确； ，可得，故， 即，，，即，D正确， 故选:D. 【变式训练10-2·新定义】加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用椭圆的几何性质，可判定A、B正确，结合椭圆的性质和蒙日圆的方程，可判定C错误，结合基本不等式和圆的性质，可得判定D错误. 【详解】由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，所以A正确； 由椭圆，可得，则， 故椭圆的焦点与椭圆相同，所以B正确； 因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上， 可得半径，可得椭圆的蒙日圆方程为，所以错误； 设矩形的边长分别为和，则有， 所以矩形的面积等于，当且仅当时取等号，所以D正确. 故选：ABD. 【变式训练10-3·变情境】已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为______．（精确到0.1°） 【答案】 【分析】结合题意由椭圆的几何性质和离心率确定椭圆的，再由椭圆的光学性质和反三角函数计算. 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即，由以上可得，又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【分析】设点，由题意，根据中点的坐标表示可得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，根据列出表达式即可求解. 【详解】（1）已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. （2）解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i）    由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率，         设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 3．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 【答案】(1) (2)（i）的方程为； （ii）当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为 ，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率； （2）(i)通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程； （ii）先对曲线方程配方，再讨论在不同取值时，中心存在的情况；再通过平移规律求出的方程，再讨论不同情况下的形状. 【详解】（1）设椭圆 的右焦点为，其中 ， 那么过右焦点且垂直于 轴的直线为，代入椭圆得 ，即 ， 所以 ，由于截线段长为 ，解得 ， 故 ，离心率 . （2）(i)  方法一： 由（1）知椭圆方程为 ，由于点满足 ，且 ，过作轴的垂线，交 轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线 方程为：，直线方程为： ， 即 ， 联立，解得，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即， 两边乘以得， 整理得， 把点代入，仍然成立， 故轨迹的方程为； 方法二： 由于，点在轴，故直线必有斜率； 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以，， 把代入椭圆方程： ，得，即， 整理化简，得 ， 故轨迹的方程为； (ii)由（i）得轨迹的方程为， 当即时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与x轴交点，无对称中心； 当 即 且0时， 化简轨迹的方程为， 将轨迹向左或向右平移个单位得到的方程为，即， 所以当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 综上，当时，轨迹无对称中心； 当时，有对称中心； 当时，形状为焦点在x轴上的椭圆去掉与轴交点， 当时，形状为焦点在x轴上的双曲线去掉与轴交点. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】(1) (2)(ⅰ) (ⅱ) 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【详解】（1）由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； （2）(ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【详解】（1）因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. （2） 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 【答案】(1) (2)直线的方程为或. 【分析】（1）代入两点得到关于的方程，解出即可； （2）方法一：以为底，求出三角形的高，即点到直线的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到点坐标，则得到直线的方程；方法二：同法一得到点到直线的距离，再设，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点到直线的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线斜率不存在的情况，再设直线，联立椭圆方程，得到点坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线斜率不存在的情况，再设，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅垂高乘表达面积即可. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以. （2）法一：，则直线的方程为，即， ，由（1）知， 设点到直线的距离为，则， 则将直线沿着与垂直的方向平移单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点， 设该平行线的方程为：， 则，解得或， 当时，联立，解得或， 即或， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，此时，直线的方程为，即， 当时，联立得， ，此时该直线与椭圆无交点. 综上直线的方程为或. 法二：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，则，解得或， 即或，以下同法一. 法三：同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 设，其中，则有， 联立，解得或， 即或，以下同法一； 法四：当直线的斜率不存在时，此时， ，符合题意，此时，直线的方程为，即， 当线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆方程有，则，其中，即， 解得或，，， 令，则，则 同法一得到直线的方程为， 点到直线的距离， 则，解得， 此时，则得到此时，直线的方程为，即， 综上直线的方程为或. 法五：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当的斜率存在时，设，令， ，消可得， ，且，即， ， 到直线距离， 或，均满足题意，或，即或. 法六：当的斜率不存在时，到距离， 此时不满足条件. 当直线斜率存在时，设， 设与轴的交点为，令，则， 联立，则有， ， 其中，且， 则， 则，解得或，经代入判别式验证均满足题意. 则直线为或，即或. 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．椭圆与椭圆的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 【答案】D 【解析】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为，所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过，两点； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点； （3）焦距是8，离心率等于0.8． 【答案】（1）1；（2）或；（3）或 【解析】（1）根据题意，椭圆经过点，，且，则椭圆的焦点在x轴上，且，b，则椭圆的方程为：1； （2）根据题意，要求椭圆长轴长是短轴长的3倍，即，若椭圆经过点，分2种情况讨论： ①椭圆的焦点在x轴上，则a＝3，b＝1，椭圆的标准方程为：， ②椭圆的焦点在y轴上，则b＝3，a＝9，椭圆的标准方程为：， （3）根据题意，即，又，所以，因为，所以，若椭圆的焦点在x轴上，则椭圆的标准方程为：．若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为：． 3．已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标． 【答案】，，，. 【解析】由椭圆方程可得，设是椭圆上一点，则，代入椭圆，则，所以点P的坐标为，，，. 4．如图，圆的半径为定长，A是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？ 【答案】椭圆，理由见解析 【解析】连接、，如下图所示： 因为线段的垂直平分线和半径相交于点，由中垂线的性质可得，因为点A在半径为的圆内，则，因为，由椭圆的定义可知，点的轨迹是以点、A为焦点，且长轴长为的椭圆. 5．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 【答案】；椭圆． 【解析】设d是点M到直线的距离，根据题意，所求轨迹就是集合，由此得．将上式两边平方，并化简，得，即点M的轨迹方程为：；轨迹是椭圆． 6．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 【答案】点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点 【解析】设点的坐标为，点，由题意可知，则由题可得，即，点P在圆上运动，，即点的轨迹方程为，点的轨迹为椭圆，除去与轴的交点. 7．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 【答案】；椭圆. 【解析】设动圆圆心为，半径为，设圆和圆的圆心分别为、，将圆的方程分别配方得：圆，圆，当动圆与圆相外切时，有 …① ，当动圆与圆相内切时，有…② 将①②两式相加，得，∴动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆．设该椭圆的长轴为，短轴为，焦距为；∴，∴，∴，∴动圆圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆． 8．已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积. 【答案】 【解析】椭圆16x2+25y2＝1600化成标准形式为．∴F1、F2是椭圆的左、右焦点，∴F1（﹣6，0），F2（6，0），设P（x，y）是椭圆上一点，则，消去y，得19x2﹣225x+650＝0，∴x1＝5或x2．当x2时，代入②得与③矛盾，舍去．由x＝5，得y＝4．∴△PF1F2的面积S24． 9．如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，A是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程. 【答案】 【解析】由椭圆方程可知：，，设椭圆焦点，又，则，，，，整理可得：，又，，，，，此椭圆的方程为：. 10．如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 【答案】证明见解析. 【解析】由题得，，所以，所以直线的方程为，（1），由题得，所以，所以直线的方程为，（2），联立方程（1）（2）解之得所以直线的交点为，代入椭圆方程得，所以直线的交点在椭圆上.同理ES与、ET与的交点M，N都在椭圆上． 11．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】（1）存在点到直线距离最小，最小值为；（2）存在点到直线距离最小，最小值为. 【解析】设椭圆上点，则点到直线距离 ，其中， （1）当时，，此时， 即，所以， ，所以存在点到直线距离最小，最小值为； （2）当时，，此时， 即，所以， ，所以存在点到直线距离最大，最大值为. 12．已知椭圆，一组平行直线的斜率是． （1）这组直线何时与椭圆有两个公共点？ （2）当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】（1）纵截距在，时与椭圆相交；（2）证明见解析 【解析】（1）设一组平行直线的方程为，代入椭圆方程，可得 ，即为，由判别式大于0，可得，解得，则这组平行直线的纵截距在，，与椭圆相交； （2）证明：由（1）直线和椭圆方程联立，可得，即有，代入直线方程可得截得弦的中点为，，由，消去，可得．则这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上． 6 / 65 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 椭圆及其性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1椭圆的定义 知识点2椭圆的简单几何性质 题型破译 (含超链接） 题型1 椭圆的定义及其应用 题型2 椭圆的标准方程 【方法技巧】 椭圆标准方程的求法 题型3 椭圆方程的充要条件 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 题型5 椭圆中的焦点三角形 【方法技巧】 椭圆焦点三角形中的结论应用 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 题型7 椭圆的离心率及范围 【方法技巧】 离心率问题的求解技巧 题型8 椭圆的轨迹问题 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 【方法技巧】 最值、范围问题的求解策略 题型10 椭圆的实际应用 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 椭圆的方程与性质 全国Ⅱ卷T18（17分） 全国Ⅰ卷T18（17分） 全国Ⅱ卷T5（5分） 直线与椭圆的位置关系 全国Ⅰ卷T18（17分） 全国Ⅱ卷T16（15分） 全国Ⅰ卷T16（15分） 考情分析 近三年椭圆相关命题覆盖了求椭圆标准方程（根据a、b、c、离心率、过点等条件）、离心率（或其取值范围）、最值与定值、轨迹方程、焦点三角形面积等考点，题型包含选择题、填空题、解答题。 考查形式上，既有单一考点的直接考查，也涉及椭圆与三角形（四边形）面积、韦达定理等的综合，且 “求椭圆标准方程”“离心率相关问题” 为高频考查点. 复习目标 1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程. 2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 3.掌握椭圆的简单应用. 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点1 椭圆的定义 椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆； (2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段； (3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在. 自主检测已知是椭圆上的动点，，且，则 . 知识点2 椭圆的简单几何性质 1..椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 (a>b>0) (a>b>0) 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长为 ，长轴长为 焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝ 对称性 对称轴： ，对称中心： 离心率 a，b，c的关系 自主检测（多选）已知椭圆，则（    ） A．C的长轴长为8 B．C的焦点坐标为 C．C的离心率为 D．C上的点到焦点的最大距离为 必记结论 1.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则 （1）b≤｜OP｜≤a； （2）a－c≤｜PF｜≤a＋c. 2.焦点三角形：椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形，r1＝｜PF1｜，r2＝｜PF2｜，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1（a＞b＞0）中： （1）r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； （2）S＝b2tan ＝c｜y0｜，当｜y0｜＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. 题●型●破●译 题型1 椭圆的定义及其应用 例1-1已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例1-2（2026·全国·模拟预测）设P为平面内一动点，，，若以AP为直径的圆与圆内切，则面积的最大值为（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【变式训练1-1】若平面内有两个定点，一动点，则“为定值”是“点的轨迹是椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练1-2】（2026·山东德州·三模）设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】（2026·湖南娄底·模拟）已知椭圆C：上一动点到其两个焦点的距离之和为2m，则 ． 【变式训练1-4·变角度】（2026·浙江温州·模）在中，，，的中垂线交于点，则的面积的最大值是 ． 【变式训练1-5·变情境】如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 题型2 椭圆的标准方程 例2-1与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 例2-2（2026·云南保山·二模）设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-1】（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【变式训练2-2】已知为椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，则椭圆的标准方程为（   ） A． B．或 C． D．或 【变式训练2-3·变载体】（2026·山东泰安·模拟）已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（为椭圆的半焦距）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-4·变考法】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆的上、下焦点分别为，离心率为，过点作直线（与轴不重合）交椭圆于两点，的周长为12，则椭圆的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2-5·变载体】已知椭圆的左、右焦点分别为，过右焦点的直线交于两点，且，，则椭圆的标准方程为 ． 方法技巧 椭圆标准方程的求法 (1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义. (2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时， 一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)； 与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)； 与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0). 题型3 椭圆方程的充要条件 例3-1（25-26高三·江西九江）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3-2（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练3-1】（25-26高三下·山东·阶段检测）“”是“曲线为椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练3-2】已知方程 表示椭圆，则实数的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【变式训练3-3·变载体】（25-26高三下·山东·阶段检测）已知曲线为椭圆，且，则数对个数为（   ） A．5 B．10 C．9 D．8 【变式训练3-4·变考法】【多选】（2026·福建福州·模拟）已知曲线：，下列说法正确的是（ ） A．若，则是焦点在轴上的椭圆 B．若，则是圆，其半径为 C．若，则是双曲线 D．若，，则是两条直线 题型4 椭圆的焦距与长轴、短轴 例4-1（2026·河南安阳·模拟预测）已知椭圆的焦距为，则（    ） A．2 B． C． D． 例4-2（2026·福建厦门·模拟）【新思维】已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，且，，当在变化时，点总在椭圆上，则该椭圆的长轴长为（    ） A．6 B． C． D．3 例4-3（多选）如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（    ） A．长半轴长为 B．短半轴长为 C．焦距为4 D．离心率为 【变式训练4-1】（2026·河北秦皇岛·阶段检测）已知椭圆C：的一个焦点为，则k的值为（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【变式训练4-2·变考法】（2026·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变考法】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆，其一个顶点是，一个焦点是，以下为椭圆顶点的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-4·变载体】（2026·重庆模拟）已知椭圆的焦点在圆上，则此椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-5·变载体】（2026·河南郑州·模拟）已知椭圆和双曲线的焦点相同，则 . 题型5 椭圆中的焦点三角形 例5-1（2026·广西柳州·模拟）已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于B、C两点，则的周长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 例5-2（2026·山西忻州·模拟预测）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 例5-3【新思维】设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练5-1·变考法】（2026·河南·模拟预测）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，椭圆的离心率为，点在椭圆上，且的周长为，则的面积的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【变式训练5-2·变角度】（2026·陕西西安·阶段检测）已知是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，且，则（   ） A．的周长为12 B． C．点到轴的距离为 D． 【变式训练5-3·原创题】（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【变式训练5-4·变设问】已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为 ． 【变式训练5-5·变载体】（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是_______． 方法技巧 椭圆焦点三角形中的结论应用 P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0. (2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (3)|PF1|·|PF2|≤＝a2. (4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. (5)焦点三角形的周长为2(a＋c). 题型6 椭圆上两线段的和差最值问题 例6-1（2026·陕西咸阳·三模）已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例6-2已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．6 【变式训练6-1】已知，分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式训练6-2】已知椭圆和圆分别为椭圆和圆上的动点，若为椭圆的左焦点，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．9 D．8 【变式训练6-3·变载体】已知为椭圆的上焦点，为上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4·变考法】（多选）（2026·山西吕梁·三模）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．内切圆半径的最大值为 C．椭圆C内接矩形面积的最大值为 D．若，则的最小值是1 题型7 椭圆的离心率及范围 例7-1（2026·重庆渝中·模拟预测）已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例7-2已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 例7-3（多选）【新思维】已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【变式训练7-1·变考法】已知椭圆的离心率，则的值为（    ） A．12 B． C．12或 D．或 【变式训练7-2·变载体】（2026·安徽合肥·二模）设椭圆的左、右焦点分别为为坐标原点，过的直线与交于两点，若，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练7-3·变载体】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【变式训练7-4·变融合】（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5·变载体】（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 离心率问题的求解技巧 求解椭圆离心率问题的核心技巧在于“构建关于 a,c 的齐次方程”。由于离心率 ​ ，解题时应避免直接求 a,b,c的具体值，而是利用已知条件（如焦点三角形、几何性质、渐近线等）建立包含 a,b,ca,b,c 的等式或不等式。接着，巧妙运用椭圆的基本关系 ，将式子中的 b 消去，转化为仅含 a,c 的齐次方程。最后，等式两边同除以 a或 a2，即可将其化为关于 e 的一元方程或不等式，从而精准求出离心率的值或范围。 题型8 椭圆的轨迹问题 例8-1已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 例8-2知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-1·变载体】如果点在运动过程中，总满足关系式，则的轨迹方程为（   ） A． B． C． D．【答案】B 【变式训练8-2·原创题】已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，点在的延长线上，且，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3·变考法】如图，在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，点在线段的延长线上，且，，则点的轨迹方程为 ．    【变式训练8-4·变考法】在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点轨迹为. (1)求的轨迹方程； (2)过点的直线与轨迹交于，两点，为坐标原点，面积为，求直线的方程. 题型9 与椭圆有关的范围(最值) 例9-1（2026·甘肃兰州·一模）【新思维】已知曲线，则曲线上的点到直线的距离的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例9-2（多选）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（   ） A．C的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．的最大值为16 【变式训练9-1·变载体】（2026·河南·模拟预测）已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-2·变载体】若椭圆上一动点，为圆的任意一直径，则的取值范围为_______________． 【变式训练9-3·变角度】（多选）（2026·湖南郴州·三模）已知二次曲线表示一个椭圆，则（    ） A．的对称中心为 B．上的点到原点距离的取值范围是 C．当点在上时， D．的离心率为 【变式训练9-4·变考法】（2026·山东济宁·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过的直线交椭圆于、．两点，且在轴上方． (1)求的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设点与点关于坐标原点对称，直线与直线相交于点，求面积的最大值． 方法技巧 最值、范围问题的求解策略 求解椭圆中的最值与范围问题，核心在于将几何问题转化为代数或三角函数问题，常用以下三大技巧： 代数函数法：通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和判别式（Δ≥0）构造不等关系。将目标量（如弦长、面积）表示为斜率或截距的函数，借助二次函数性质、导数或均值不等式求最值与范围。 三角参数法：利用椭圆的参数方程，将椭圆上的动点设为 (acosθ,bsinθ) 。把目标代数式转化为于θ 的三角函数，再利用三角函数的有界性及辅助角公式求解。 几何定义法：充分挖掘椭圆的几何性质（如焦点三角形、点到焦点的距离范围等），结合平面几何定理（如三角形两边之和大于第三边）进行数形结合分析，往往能巧妙避开繁琐计算，快速锁定极值。 题型10 椭圆的实际应用 例10-1【新思维】韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例10-2小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；已知太阳光线与地面的夹角为；如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，小明经过研究资料发现，当时，篮球的影子为一椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（    ）（用表示）.    A． B． C． D． 【变式训练10-1·变情境】如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 【变式训练10-2·新定义】加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．椭圆与椭圆有相同的焦点 C．椭圆的蒙日圆方程为 D．矩形的面积最大值为50 【变式训练10-3·变情境】已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为______．（精确到0.1°） 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 1．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（2026·全国一卷·高考真题）已知椭圆的左焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 3．（2026·全国二卷·高考真题）已知椭圆：（），过E的右焦点且与轴垂直的直线被截得的线段长为． (1)求的离心率． (2)设为坐标原点，给定点，为上的点，过作轴的垂线，垂足为，直线与直线的交点为．当在上运动时，点的轨迹为． （ⅰ）求的方程； （ⅱ）当为何值时，有对称中心？当有对称中心时，将平移后得到曲线，使得为的对称中心，说明是什么曲线. 4．（2025·全国一卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． (1)求C的方程； (2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 5．（2025·全国二卷·高考真题）已知椭圆的离心率为，长轴长为4． (1)求C的方程； (2)过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知和为椭圆上两点. (1)求C的离心率; (2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．椭圆与椭圆的（ ） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过，两点； （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点； （3）焦距是8，离心率等于0.8． 3．已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标． 4．如图，圆的半径为定长，A是圆内一个定点，是圆上任意一点．线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？ 5．点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形． 6．如图，轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且，当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状． 7．一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线? 8．已知点是椭圆上一点，且在轴上方，分别是椭圆的左、右焦点，直线斜率为，求的面积. 9．如图，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰好为左焦点，A是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且，，求此椭圆方程. 10．如图，矩形ABCD中，，．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，，，是线段CF的四等分点．证明直线ER与、ES与、ET与的交点L，M，N都在椭圆上． 11．已知椭圆，直线．椭圆上是否存在一点，使得： （1）它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ （2）它到直线l的距离最大？最大距离是多少？ 12．已知椭圆，一组平行直线的斜率是． （1）这组直线何时与椭圆有两个公共点？ （2）当它们与椭圆有两个公共点时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上． 6 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $