奥数培优 第8讲 最大最小（讲义）-2025-2026学年五年级数学下册人教版

——小学五年级下册奥数培优讲义 —— 第8讲 最大最小 🎯 学习目标 1. 理解并掌握"和定差小积大"与"积定差小和小"两大基本原理； 2. 能运用原理解决长方形周长与面积的最值问题； 3. 学会将一个自然数拆分成若干个数之和，使乘积最大； 4. 掌握数字排列、划数字等综合最值问题的策略，培养优化思维。 📖 知识要点 在日常生活和数学问题中，我们经常遇到求"最大""最小""最多""最少"的问题。解决这类问题的核心，是找到变化中的不变量，再利用规律求最值。 两大基本原理： 原理 条件 结论 原理一 两个数的和一定 差越小，乘积越大；两数相等时乘积最大 原理二 两个数的积一定 差越小，和越小；两数相等时和最小 三个常用推论： ▸ 推论1（面积最值）：周长一定的长方形中，正方形的面积最大。 ▸ 推论2（周长最值）：面积一定的长方形中，长和宽越接近，周长越小。 ▸ 推论3（拆数求积）：把一个自然数拆成若干个自然数之和，要使乘积最大，应尽量多拆出3，最多保留两个2（不拆出1，也不拆出大于4的数）。 💡 【记口诀】 和定差小积最大，积定差小和最小； 周长一定正方大，面积接近周长小； 拆数求积多用3，两个2为止不能少。 ✏️ 典例精析 例1 和定积大——基础应用 【题目】两个自然数的和是20，这两个数各是多少时乘积最大？最大乘积是多少？ 【分析与解】 我们把和为20的情况列举出来： 1×19=19，2×18=36，3×17=51，4×16=64，5×15=75， 6×14=84，7×13=91，8×12=96，9×11=99，10×10=100。 观察发现：两个数越接近，乘积越大。当两个数相等（都是10）时，乘积最大为100。 答：这两个数都是10，最大乘积是100。 💡 【方法点睛】 和为偶数时，两数相等乘积最大；和为奇数时，两数相差1时乘积最大。 例2 比较乘积大小——原理妙用 【题目】不用计算，比较 A = 34567 × 98765 和 B = 34570 × 98762 的大小。 【分析与解】 直接计算两个五位数的乘积太麻烦。我们观察两组因数的和与差： A的因数和：34567 + 98765 = 133332 B的因数和：34570 + 98762 = 133332 两组因数的和相等！再看差： A的因数差：98765 − 34567 = 64198 B的因数差：98762 − 34570 = 64192 因为 B 的两个因数之差更小，根据"和定差小积大"，所以 B > A。 💡 【方法点睛】 当两组因数的和相等时，不必硬算乘积，比较差的大小即可判断乘积大小。 例3 周长一定求最大面积 【题目】用一根长40厘米的铁丝围成一个长方形（长和宽都是整厘米数），怎样围面积最大？最大面积是多少？ 【分析与解】 铁丝长40厘米即长方形周长为40厘米，所以： 长 + 宽 = 40 ÷ 2 = 20（厘米） 长与宽的和一定（20），根据"和定差小积大"，当长=宽=10厘米时，面积最大。 最大面积 = 10 × 10 = 100（平方厘米） 答：围成边长10厘米的正方形时面积最大，最大面积是100平方厘米。 💡 【方法点睛】 正方形是特殊的长方形。周长一定时，正方形面积最大——这是"和定差小积大"在几何中的直接应用。 例4 积定和小——逆向思维 【题目】两个自然数的乘积是60，这两个数分别是多少时它们的和最小？最小和是多少？ 【分析与解】 先找出乘积为60的所有自然数对： 1×60（和61），2×30（和32），3×20（和23）， 4×15（和19），5×12（和17），6×10（和16）。 观察发现：两个因数越接近，和越小。6和10最接近（差为4），它们的和最小为16。 答：这两个数是6和10，最小和是16。 💡 【方法点睛】 "积定差小和小"与"和定差小积大"是一对互逆原理，记住一个就能推出另一个。 例5 面积一定求最小周长 【题目】一个长方形的面积是56平方米，长和宽都是自然数。这个长方形的周长最小是多少米？ 【分析与解】 面积为56平方米，即长×宽=56。找出所有自然数对： 1×56（周长114），2×28（周长60），4×14（周长36），7×8（周长30）。 长和宽越接近，周长越小。7和8最接近（差为1），此时周长最小： 最小周长 = (7+8) × 2 = 30（米） 答：这个长方形的周长最小是30米。 例6 拆数求最大乘积 【题目】把20拆成若干个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？最大乘积是多少？ 【分析与解】 根据推论 3，拆数时应遵循三条原则： ① 不要拆出数字 1：因为 ，如果拆出 1，把 1 和 n 合并，得到的乘积会更大； ② 不拆出大于 4 的数（如 5=2+3，；大于 4 的数可以继续拆分，乘积会变大）； ③ 4 可以拆成 2+2（，大小不变），所以拆分后最终只保留数字 2 和 3。 又因为 ，乘积 8；而，乘积 9。所以三个 2 不如换成两个 3，因此 2 最多保留两个。 20 ÷ 3 = 6 …… 2 即20 = 3×6 + 2，拆成6个3和1个2： 最大乘积 = 3⁶ × 2 = 729 × 2 = 1458 答：把20拆成6个3和1个2时乘积最大，最大乘积是1458。 💡 【方法点睛】 拆数三步法：①除以3看余数；②余0→全是3；余1→把一个3和1改成两个2；余2→若干个3加一个2。 🔀 一题多解 同一道最值题，从枚举、原理、代数等不同角度切入，可以加深对"最大最小"本质的理解。 【题1】两个自然数的和是13，它们的乘积最大是多少？ 解法一（枚举法） 1×12=12，2×11=22，3×10=30，4×9=36，5×8=40，6×7=42。 最大乘积是42。 解法二（原理法） 和为13（奇数），两数越接近乘积越大。 最接近的两个自然数是6和7（差为1），乘积=6×7=42。 解法三（代数验证法） 设一个数为x，另一个数为13−x，乘积 = x(13−x)。 当x=6.5时乘积最大，但x必须是自然数， 所以取x=6或7，乘积=6×7=42。 💡 【方法点睛】 三种方法殊途同归。枚举法最直观但慢；原理法最快；代数法揭示了"为什么"——抛物线顶点在中点。 【题2】比较 A = 1234 × 5678 和 B = 1235 × 5677 的大小。 解法一（直接计算） A = 1234 × 5678 = 7006652； B = 1235 × 5677 = 7011095。 所以 B > A。（计算量大，容易出错） 解法二（和定差小法） A的因数和=1234+5678=6912， B的因数和=1235+5677=6912，和相等。 A的差=4444，B的差=4442，B的差更小，所以B > A。 解法三（代数展开法） B = (1234+1) × (5678−1) = 1234×5678 − 1234 + 5678 − 1 = A + 4443。 因为4443 > 0，所以B > A。 💡 【方法点睛】 解法三最巧妙——把B用A表示出来，一眼看出B比A大4443。这是代数的力量。 📝 方法总结 ★ 枚举比较法：把所有可能的情况列举出来，逐一计算后比较。适合数字小、情况少的题目。 ★ 原理应用法：直接利用"和定差小积大""积定差小和小"等原理，一步到位。这是最常用的快捷方法。 ★ 几何转化法：周长面积问题转化为"长+宽一定"或"长×宽一定"，再用原理求解。 ★ 拆数优化法：拆数求积时，尽量多拆3，余数为1时把一个3和1改成两个2，余数为2时加一个2。 ★ 贪心策略法：数字排列、划数字等问题，从高位到低位依次选择最优数字，逐步逼近最值。 📚 巩固练习 【基础巩固】（每题10分，共40分） 1. 两个自然数的和是25，这两个数各是多少时乘积最大？最大乘积是多少？ 2. 用一根长30厘米的铁丝围成一个长方形（长和宽都是整厘米数），最大面积是多少平方厘米？ 3. 两个自然数的乘积是36，它们的和最小是多少？ 4. 不用计算，比较 A = 9999 × 8888 和 B = 9998 × 8889 的大小。 【能力提升】（每题12分，共48分） 5. 一个长方形的面积是48平方米，长和宽都是自然数。这个长方形的周长最小是多少米？ 6. 把23拆成若干个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？最大乘积是多少？ 7. 用1、2、3、4、5、6这六个数字各用一次，组成两个三位数，使它们的乘积最大。这两个三位数各是多少？ 8. 一个长方形的周长是24厘米（长和宽都是整厘米数），它的面积最大是多少？最小是多少？ 【拓展挑战】（每题6分，共12分） 9. 在九位数 987654321 中划去2个数字（剩下的数字先后顺序不变），得到的七位数最大是多少？最小是多少？ 10. 把 30 拆成两个自然数之和，乘积最大是多少？如果拆成若干个自然数之和呢？拆成若干个自然数的乘积，是拆成两个自然数乘积的多少倍？ 🏆 趣味综合压轴题 下面两道题融合了最值原理与数字操作，既有挑战性又有趣味性。建议先独立思考，再看解析。 【压轴题1】数字排列乘积最大（⭐⭐⭐⭐选做题） 用2、3、4、5、6、7这六个数字各用一次，组成两个三位数，使它们的乘积最大。 （1）请你尝试写出几种组合，算一算，找出乘积最大的两个三位数。 （2）请你总结：用六个不同数字组成两个三位数使乘积最大，有什么规律？ （3）如果用1、2、3、4、5、6、7、8八个数字组成两个四位数，使乘积最大，你能直接写出答案吗？ 【压轴题2】划数字的智慧（⭐⭐⭐⭐⭐⭐选做题） 在多位数 123456789101112 中划去6个数字（剩下的数字先后顺序不变），得到一个九位数。 （1）这个九位数最大是多少？ （2）这个九位数最小是多少？ （3）请你总结"划数字求最值"的一般策略。 💡 【方法点睛】 划数字的关键是贪心策略：从最高位开始，在允许的范围内选最大（或最小）的数字，每选一个就更新剩余范围。 ✅ 参考答案与解析 第1题 答案：12和13，最大乘积156 解析：和为25（奇数），两数相差1时乘积最大。25=12+13，12×13=156。 第2题 答案：56平方厘米 解析：周长30，长+宽=15。15是奇数，最接近的两个整数是7和8，面积=7×8=56平方厘米。 第3题 答案：12 解析：积为36的因数对：1×36(和37)、2×18(20)、3×12(15)、4×9(13)、6×6(12)。最小和为6+6=12。 第4题 答案：B > A 解析：A的因数和=9999+8888=18887，B的因数和=9998+8889=18887，和相等。A的差=1111，B的差=1109，B差小积大，所以B>A。 第5题 答案：28米 解析：面积48的因数对：1×48(周长98)、2×24(52)、3×16(38)、4×12(32)、6×8(28)。最小周长=(6+8)×2=28米。 第6题 答案：7个3和1个2，最大乘积4374 解析：23÷3=7……2，即23=3×7+2。最大乘积=3⁷×2=2187×2=4374。 第7题 答案：631和542 解析：最大的两个数字6、5作百位；4、3作十位；2、1作个位。为使差最小，大百位配小数字：631，小百位配大数字：542。验证：631+542=1173，差=89，乘积=631×542=342002。 第8题 答案：最大36平方厘米，最小11平方厘米 解析：周长24，长+宽=12。面积最大：6×6=36（正方形）。面积最小：1×11=11。 第9题 答案：最大9876543，最小7654321 【解析】 原数为 9 位：，划去 2 个，保留 7 位。 ①求最大七位数：想要数最大，高位尽量选大数。原数本身从大到小递减，末尾数字最小，划去末尾最小的 2、1，得到最大七位数：9876543。 ②求最小七位数：一共保留 7 位，第一位只能在前 个数字 {9、8、7} 里面选（保证后面还有 6 个数字可用），这三个数中最小为 7，划掉前面的 9、8；剩余后面 6 位数字 654321 直接拼接。得到最小七位数：7654321。 💡提示：划数字求最值，选每一位数字时，后面必须预留够剩余需要的数字个数。 第10题 答案：拆成两个数乘积最大：225；拆成若干个自然数乘积最大：59049；倍数：6561/25（小数参考：262.44） 【解析】 ①拆成两个数：和一定 30，两数相等乘积最大，，。 ②拆成若干个自然数：拆数求积原则，尽量多拆 3，，全部拆为 10 个 3；。 ③倍数计算：。 ── 一题多解 参考答案 ── 题1 答案：42 解析：三种解法均得最大乘积为42（6×7）。推荐原理法——和为奇数时，两数相差1乘积最大。 题2 答案：B > A 解析：推荐代数展开法——B=(1234+1)(5678−1)=A+4443，所以B比A大4443。 ── 趣味综合压轴题 参考答案 ── 压轴题1 答案：742 × 653 = 484526 （1）最大乘积组合：742 × 653 = 484526。 （2）规律：①最大的两个数字分别作两个数的最高位；②次大的两个数字作下一位，依此类推；③为使两个数的差最小（从而乘积最大），大的最高位配较小的后续数字，小的最高位配较大的后续数字。 （3）用1-8组成两个四位数，最大乘积为：8531 × 7642。（8、7作千位；6、5作百位，大千位配小百位→85xx，小千位配大百位→76xx；4、3作十位，同理→853x，764x；2、1作个位→8531，7642。） 压轴题2 答案：最大 789101112，最小 123101112 原多位数序列：，一共 15 位；划去 6 个数字，保留 9 位。 💡核心策略：确定每一位数字时，后面必须预留还需要的位数，再在可选范围内挑选最大或最小数字。 （1）求最大九位数：一共保留 9 位，第一位可选范围：前 个数字：{1,2,3,4,5,6,7}，选最大数字 7；划掉 7 前面的 1‑6（共 6 个，刚好用完划去名额）；把剩余后面数字全部接上。 拼接结果：。 （2）求最小九位数：一共保留 9 位。 第 1 位：保留 9 位，可选前 7 位 {1,2,3,4,5,6,7}， 选最小数字 1（不删除），还需保留 8 位，还可以划去 6 个； 第 2 位：剩余字符串2,3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2， 需要留 8 位，可选前 7 位 {2,3,4,5,6,7,8}，选最小数字 2（不删除）； 还需保留 7 位，还可以划去 6 个； 第 3 位：剩余字符串3,4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2， 需要留 7 位，可选前 7 位 {3,4,5,6,7,8,9}， 选最小数字 3（不删除）；还需保留 6 位，还可以划去 6 个； 第 4 位：剩余字符串4,5,6,7,8,9,1,0,1,1,1,2， 还需要保留 6 位，可选前 7 位 {4,5,6,7,8,9,1}，其中最小数字是 1； 划掉 4、5、6、7、8、9，正好消耗 6 个删除名额； 后面剩余0,1,1,1,2全部保留。 拼接全部数字得到：。 （3）划数字求最值一般策略： ①想要保留 k 位，在确定当前这一位数字时，只能从「当前位置开始，往后数（总剩余字符数‑k+1）」范围内挑选数字； ②求最大数，此范围内选最大数字；求最小数，选最小数字； ③选定该数字后，消耗对应划去名额；更新剩余字符串与还需要保留的位数，重复操作直到选满 k 位。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 祝贺你完成了本讲的学习，给努力的自己一个奖励吧💪！ 学科网（北京）股份有限公司 $