培优专题01 二次函数图象与性质综合题型归纳（专项训练）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图像性质、解析式及方程不等式综合，通过分级题型构建从基础到综合的知识逻辑，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像性质与系数分析|3题型（含符号判断等）|结合图像/表格分析开口、对称轴等，判定a,b,c符号|从图像直观认知到系数符号推理，构建性质与参数的关联| |解析式、图像变化与区间最值|4题型（含平移、定区间最值）|求解析式、分析平移规律、讨论区间内最值|衔接图像性质与代数表达，强化动态变化与分类讨论| |二次函数与方程、不等式综合|4题型（含交点、解集问题）|求交点坐标、判断方程根、确定不等式解集|整合函数图像与方程不等式，体现数形结合思想|

培优专题01 二次函数图像与性质综合题型归纳 常考题型·精准突破 考点1 图像性质与系数分析 题型1：判定图形特征（开口 对称轴 顶点 最值 ）（高频） 题型2：二次函数图像判定a、b、c符号问题 题型3：比较函数值大小 考点2 解析式、图像变化与区间最值 题型1：根据坐标、顶点、交点条件求解析式（重） 题型2：二次函数的平移 题型3：二次函数定区间最值问题 题型4：一次函数、二次函数图像综合判断（难） 考点3 二次函数与方程、不等式综合 题型1：求抛物线与坐标轴的交点坐标 题型2：根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型3：根据交点确定不等式的解集（高频） 题型4：利用不等式求自变量或函数值的范围 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程基础解法 ◆题型1判定图形特征（开口 对称轴 顶点 最值 ） 1．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 2．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 3．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 4．请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． ◆题型2 二次函数图像判定a、b、c符号问题 1．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B．C．D． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 3．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 5．如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号） ◆题型3 比较函数值大小 1．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 3．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 5．已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 考点二 解析式、图像变化与区间最值 ◆题型1 根据坐标、顶点、交点条件求解析式 1．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 2．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 5．某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是____． ◆题型2 二次函数的平移 1．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．将抛物线y=x2+ 2x+ 3沿x轴的正方向平移m个单位后能与抛物线y=x2-2x+3重合，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 5．在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． ◆题型3 二次函数定区间最值问题 1．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 2．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 3．当时，二次函数的最大值为________． 4．已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 5．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． ◆题型4 一次函数、二次函数图像综合判断 1．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 3．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 4．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 考点二 二次函数与方程、不等式的综合 ◆题型1 求抛物线与坐标轴的交点坐标 1．下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 2．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 3．二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点 4．小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴有3个交点，如；抛物线与坐标轴有2个交点，如__________；抛物线与坐标轴有1个交点，如． 5．若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． ◆题型2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 2．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 3．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 4．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 5．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． ◆题型3 根据交点确定不等式的解集 1．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 2．二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 3．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 5．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． ◆题型4 利用不等式求自变量或函数值的范围 1．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 2．已知点，是二次函数 图象上的任意两点．若对于，，都有 ，则t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 3．对于2≤x≤5范围内的每一个值，不等式ax2+2ax+7a﹣3＞0总成立，则a的取值范围是_________． 4．若对任意，都有成立，则必须满足的条件是 _________． 综合攻坚·知能拔高 1．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 4．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 5．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 6．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 7．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 9．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 11．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 12．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 13．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 14．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 15．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题01二次函数图像与性质综合题型归纳 常考题型精准突破 ●考点一一元二次方程基础解法。 ◆题型1判定图形特征（开口对称轴顶点最值） 1.B 2.B 3.①②④ 4.y=-x2+6x-9(答案不唯一) ◆题型2二次函数图像判定a、b、c符号问题 1.C 2.C 3.C 4.①②④ 5.①②⑤ ◆题型3比较函数值大小 1.D 2.A 3.D 4.<乃<y2 5.< 一。考点二解析式、图像变化与区间最值。一 ◆题型1根据坐标、顶点、交点条件求解析式 1.D 2.A 1/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.D 4.y= -1x+x+5 4 5.y=(x-1)(答案不唯一) ◆题型2二次函数的平移 1.A 2.B 3.C 4.m>3 5.5 ◆题型3二次函数定区间最值问题 1.D 2.B 3.10 4.6 5. 【详解】(1)解：对于二次函数的顶点式y=a(x-h)+k(a≠0)，其顶点坐标为(h,k) 在二次函数y=2(x-+1中，h=1,k=1, 所以抛物线C的顶点坐标为(，)】 (2)解：抛物线C先向左平移1个单位长度，即将x变为x+1, 得到y=2[(x+1)-1]+1=2x2+1, 再向上平移2个单位长度，即在整体上加2， 得到抛物线G的函数解析式为y=2x2+1+2=2x2+3: (3)解：y=2(x-1)+1. ∴.a=2>0,抛物线开口向上，对称轴为x=1, 当x>1时，y随x的增大而增大， 2/6 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x<1时，y随x的增大而减小， 当x=1时，y有最小值1. 当x=-2时，y=19: 当x=3时，y=9; -2<1<3, .当-2≤x≤3时，1≤y≤19 ◆题型4一次函数、二次函数图像综合判断 1.A 2.C 3.C 4.A 5.D 一·考点二二次函数与方程、不等式的综合。 ◆题型1求抛物线与坐标轴的交点坐标 1.D 2.C 3.B 4.y=x2+2x,y=x2+2x+1等 5.（-1,0)或(3,0) ◆题型2根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1.B 2.C 3.A 4.m<2 5.x=-1,x2=5 3/6 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3根据交点确定不等式的解集 1.C 2.C 3.D 4.-2≤x≤1 5.1≤x≤3 ◆题型4利用不等式求自变量或函数值的范围 1.D 2.B 3.a>2 4.m=-4 综合攻坚知能拔高 1.D 2.C 3.C 4.D 5.D 6.c 7.A 8.D 9.C 10.B 11.C 12.y>y3>2 13 416 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=4a+2b+c①， b =1②， 由函数的对称轴为x=1,即2a 关于x的方程ax2+hx+c=x有两个相等的实数根，则△=(b-l)-4ac=0③， 4a+2b+c=0 联立①②③，得 b 2a (b-1)2-4ac=0 a- 解得 b=1 c=0 故抛物线的表达式为y=一 x2+x 2 (2)略。 14. 【详解】(1)解：把A2,0,B0,-6代入y= -Ix+bx+c, 2 「-2+2b+c=0 得1c=6 [b=4 解得c=6' 所以抛物线解析式为y= x+4x-6, 2 y+4-6--4+2 抛物线的对称轴为直线x=4； (2)解：令x=0,则y=6, B(0,6). ∴.平移后的抛物线的顶点坐标为(0,6)， 平移后的抛物线解析武为y)一6 516 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 15 (1)画出函数图象如图所示： W 2 -3-2-0 12B45x D (2y=(x-102-4 (3)-1<x<3 (2)解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为（山，4）， 设二次函数的解析式为y=a(x-)-4(a≠0)， 将(3,0)代入解析式y=a(x-1)-4(a≠0)得a×(3-12-4=0, 解得a=1, ∴二次函数的解析式为y=(x--4, (3)解：由函数图象可得，当y<0时，x的取值范围为-1<x<3. 616 培优专题01 二次函数图像与性质综合题型归纳 常考题型·精准突破 考点1 图像性质与系数分析 题型1：判定图形特征（开口 对称轴 顶点 最值 ）（高频） 题型2：二次函数图像判定a、b、c符号问题 题型3：比较函数值大小 考点2 解析式、图像变化与区间最值 题型1：根据坐标、顶点、交点条件求解析式（重） 题型2：二次函数的平移 题型3：二次函数定区间最值问题 题型4：一次函数、二次函数图像综合判断（难） 考点3 二次函数与方程、不等式综合 题型1：求抛物线与坐标轴的交点坐标 题型2：根据二次函数图像确定相应方程根的情况 题型3：根据交点确定不等式的解集（高频） 题型4：利用不等式求自变量或函数值的范围 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 一元二次方程基础解法 ◆题型1判定图形特征（开口 对称轴 顶点 最值 ） 1．已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（     ）． A． B．当时，随的增大而减小 C．顶点坐标为 D．开口向下 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 2．二次函数（a，b，c为常数，）部分x，y的对应值如表： x … 0 1 3 4 … y … 1 1 5 … 则下列判断中正确的是（     ） A．函数图象的开口向下 B．当时，y随x的增大而增大 C．y有最大值为 D．y有最小值为 【答案】B 【分析】将表格中二次函数x，y的对应值代入函数解析式，求出a，b，c的值，解出二次函数解析式，再将其改写为顶点式，求出该二次函数的开口方向，对称轴，最值，以及函数的增减性 ． 【详解】∵函数图象经过，，， 将其代入函数解析式，得，解得， ∴二次函数解析式为． ∵， ∴函数图象的开口向上； 且该二次函数对称轴为：直线， y有最小值为，无最大值； ∴当时，y随x的增大而增大． ， ∴当时，y随x的增大而增大． 3．已知二次函数，下列结论正确的是__________．（填序号） ①函数图象与轴的交点坐标是；    ②函数图象的对称轴是直线； ③当时，随的增大而增大；    ④当时，函数的最大值是10． 【答案】 ①②④ 【分析】根据二次函数的性质，逐个验证每个结论的正确性即可． 【详解】解：①：把代入，得， ∴函数图象与轴的交点坐标为，故①正确； ②：二次函数的对称轴为直线，故②正确； ③：∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③错误； ④：∵抛物线开口向下，顶点在对称轴处，此时取最大值， ∴代入得，即函数最大值是，故④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 4．请选择一组你喜欢的a，b，c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件： ①开口向下； ②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 这样的二次函数的解析式可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据开口向下确定，根据二次函数的增减性确定对称轴为直线，选取满足条件的参数即可得到符合要求的解析式． 【详解】解：∵开口向下， ∴， ∵当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， ∴对称轴为直线， ∴满足题意的二次函数的解析式可以是． ◆题型2 二次函数图像判定a、b、c符号问题 1．已知：，且，则二次函数的图象可能是下列图象中的（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【详解】解：，， ，， 函数的图象开口方向向上， 当时，， 当时，． 2．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 3．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 4．已知二次函数(）的图象如图所示，有下列个结论： ①；②；③；④；⑤，的实数．其中正确结论的序号为______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据抛物线开口向下，与轴交于正半轴，对称轴为直线，即可得出的符号，即可判断①，根据时，，即可判断②，根据时，即可判断③，根据时，，即可判断④，根据抛物线开口向下，时，的值最大，即可判断⑤． 【详解】解：①由图象可知：，， ， ，故①正确； ②当时，，故，故②正确； ③由对称知，当时，函数值大于，即，故③错误； ④由对称知，当时，函数值小于，，且， 即，代入得，得，故④正确； ⑤当时，的值最大．此时，， 而当时， ， 所以， 故，即，故⑤错误． 故①②④正确． 故答案为：①②④． 5．如图，抛物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论： ①；②；③；④；⑤．其中结论正确的是______．（填序号） 【答案】①②⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键． 由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确． 【详解】解：①∵抛物线的开口向上， ， ∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上， ， 由得，， ， 故①正确； ②抛物线的对称轴为， ， ， ，故②正确； ③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等． 由图知时，， ∴时，． 即．故③错误； ④由图知时二次函数有最小值， ， ， ，故④错误； ⑤由抛物线的对称轴为可得， ， ∴， 当时，． 由图知时 ，故⑤正确． 综上所述：正确的是①②⑤， 故答案为：①②⑤． ◆题型3 比较函数值大小 1．抛物线过三点，则大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在二次函数中， 对称轴为直线，开口向上， 在图象上的三点， ∵， ∴点离对称轴的距离最远，点离对称轴的距离最近， ∴． 2．已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 由抛物线解析式可知，该函数图象开口向下，对称轴为直线，点离对称轴越远，函数值越小，计算各点到对称轴的距离，比较大小即可． 【详解】解：由题意知，抛物线， 二次项系数，则抛物线图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 由于抛物线图象开口向下，距离对称轴的距离越大，函数值越小，且， 因此，． 故选：A． 3．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 4．已知，，是抛物线上的点，则，，的大小关系为________．（用连接） 【答案】 【分析】先求出抛物线对称轴，根据开口向下的抛物线的性质：点到对称轴的距离越大，函数值越小，计算各点到对称轴的距离即可比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为，抛物线开口向下，且点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，且， ∴． 5．已知点和都在抛物线（是常数）上，那么__________（填“”，“”，“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性、对称轴，熟练掌握二次函数的增减性是解答本题的关键． 根据二次函数的增减性解答即可． 【详解】解：抛物线的图象开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 考点二 解析式、图像变化与区间最值 ◆题型1 根据坐标、顶点、交点条件求解析式 1．已知抛物线过，则抛物线的解析式为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入已知点到解析式，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式． 【详解】解：将代入，得， 整理得， 解得， ∴抛物线解析式为． 2．将抛物线的图象向左平移个单位后，所得抛物线经过点，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线平移规律得到平移后的解析式，代入已知点坐标列方程求解的值即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位后，所得解析式为， 将代入解析式，得，解得． 3．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据顶点坐标，利用待定系数法求解． 【详解】解：由顶点坐标可设二次函数表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴该二次函数的表达式是． 4．已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________． 【答案】 【分析】设二次函数的一般式，利用二次函数对称轴公式得到，结合已知两点的坐标列方程组，求解方程组得到各项系数，即可得到二次函数表达式． 【详解】解：设该二次函数的表达式为， 由二次函数对称轴公式，得对称轴， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， 将代入解析式，得， 整理得， ∴， 解得， ∴该二次函数的表达式为． 5．某抛物线顶点在x轴上，且和y轴正半轴有交点，那么这个抛物线的表达式可以是____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，抛物线顶点在x轴上，可设顶点式为，其中顶点为；与y轴正半轴有交点，即当时，，代入得，故且；选择简单值满足条件即可。 【详解】解：由题意，抛物线顶点在x轴上，设其表达式为，其中顶点坐标为；与y轴正半轴有交点，即当时，； 由可知，则，因此； 取，，得表达式， 验证：顶点在x轴上，当时，，符合条件． 故答案为：（答案不唯一）． ◆题型2 二次函数的平移 1．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 2．将抛物线y=x2+ 2x+ 3沿x轴的正方向平移m个单位后能与抛物线y=x2-2x+3重合，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二次函数平移的法则，左加右减，上加下减计算即可； 【详解】将抛物线y=x2+ 2x+ 3沿x轴的正方向平移m个单位得到， ， ∵与抛物线y=x2-2x+3重合， ∴， 解得：（舍去），； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确计算是解题的关键． 3．已知抛物线与x轴没有交点，将该抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度后，得到的抛物线的顶点一定在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据抛物线与x轴无交点求出a的取值范围，再求出原抛物线顶点坐标，根据平移规律得到平移后顶点坐标，通过判断坐标符号确定顶点所在象限． 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点， ∴， 解得：， 原抛物线顶点横坐标为，纵坐标为， 即原顶点坐标为， 根据平移规律，得平移后顶点坐标为， ∵， ∴，则， 又，则， ∴平移后顶点的横纵坐标均为负数，因此顶点在第三象限． 4．把二次函数的图象向上平移1个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：_____． 【答案】 【分析】先对原二次函数配方得到顶点坐标，再根据函数图象平移规则得到平移后抛物线的顶点坐标，结合抛物线开口方向，根据平移后抛物线与坐标轴有且只有一个公共点的条件，得到顶点纵坐标的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：，原抛物线顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后，顶点坐标变为，即， 平移后抛物线解析式为， 抛物线开口向上，且平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点， 抛物线与轴无交点，仅与轴有一个公共点，顶点纵坐标大于，即：，解得， 故答案为． 5．在同一平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于直线对称，可看作是由L向右平移4个单位长度所得，那么m的值为______． 【答案】 【分析】先求出原抛物线的对称轴，再根据平移的性质得到的对称轴，根据两个抛物线关于直线对称可知，是两条对称轴的中点，由此计算可得的值． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， ∵可看作是由向右平移个单位长度所得， ∴的对称轴为直线， 与关于直线对称， ， 解得． ◆题型3 二次函数定区间最值问题 1．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 2．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 3．当时，二次函数的最大值为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向和对称轴，结合自变量的取值范围，利用二次函数的增减性计算得到最大值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 离对称轴越远，对应的函数值越大， ， 到对称轴的距离最远， 当时，， 即当时，二次函数的最大值为． 4．已知抛物线，当时，函数的最大值是_____． 【答案】6 【分析】先将抛物线解析式配方，得到抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，在给定范围内，代入端点计算后比较得到最大值． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 已知的取值范围为， 分别代入端点计算函数值：当时，， 当时，， 比较得， 因此的最大值为． 5．已知二次函数的图象为抛物线C． (1)抛物线C顶点坐标为_____________； (2)将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数解析式； (3)当时，求该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的顶点式（），其顶点坐标为即可求解； （2）根据抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律求解； （3）由题得抛物线的对称轴为直线，可得时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，再得到最值即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数的顶点式（），其顶点坐标为． 在二次函数中，，， 所以抛物线的顶点坐标为． （2）解：抛物线先向左平移个单位长度，即将变为， 得到， 再向上平移个单位长度，即在整体上加， 得到抛物线的函数解析式为； （3）解：， ∴，抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y随x的增大而增大， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值1． 当时，； 当时，； ， ∴当时，． ◆题型4 一次函数、二次函数图像综合判断 1．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得，， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； C．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求； D．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，，， ，不符合要求． 2．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 3．已知二次函数（）与反比例函数（）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则一次函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数开口及顶点判断，的正负，根据反比例函数图象所在象限判断的正负，结合一次函数图象性质即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于正半轴， ∴ ∵反比例函数图象在第二，四象限， ∴， 一次函数过一、二、四象限． 4．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 考点二 二次函数与方程、不等式的综合 ◆题型1 求抛物线与坐标轴的交点坐标 1．下列关于二次函数与坐标轴的交点的说法正确的是（   ） A．与x轴的交点个数不确定 B．与y轴的交点坐标为 C．与坐标轴有两个交点 D．与坐标轴有3个交点 【答案】D 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点知识点，解题的关键是理解和灵活运用知识解题．通过计算二次函数与坐标轴的交点情况判断选项．与y轴的交点由求得；与x轴的交点个数由判别式决定． 【详解】∵与y轴交点：当时，， ∴交点为，故B错误． ∵与x轴交点：令，得方程，判别式， ∴方程有两个不相等的实数根，即与x轴有两个交点，故A错误． ∵与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且交点不重合（因为当时）， ∴与坐标轴共有三个交点，故C错误，D正确． 故选：D． 2．如图，以为顶点的二次函数的图象与轴负半轴交于点，则一元二次方程的正数解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线的对称性，求出抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为：， ∴对称轴为直线， 由图象可知，抛物线与轴负半轴的交点的横坐标的范围为：， ∴抛物线与轴正半轴的交点的横坐标的取值范围为； ∴一元二次方程的正数解的范围是； 故选:C． 3．二次函数与坐标轴的交点个数是（    ） A．只有一个交点 B．有两个交点 C．没有交点 D．有三个交点 【答案】B 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系，当y=0时，判断方程的根的情况，可确定与x轴交点的个数，当x=0,可确定与x轴的交点即可解答． 【详解】解：当时，方程为， ∵，，， ∴， ∴二次函数的图象与x轴有一个交点 当x=0时,可得y=9,即(0,9) ∴二次函数的图象与y轴有一个交点(0,9) ∴二次函数与坐标轴有两个交点 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，分与x轴和y轴的交点两种情况是解答本题的关键． 4．小宁在复习二次函数时进行如下整理，请写出满足条件的一个函数关系式：抛物线与坐标轴有3个交点，如；抛物线与坐标轴有2个交点，如__________；抛物线与坐标轴有1个交点，如． 【答案】，等 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点个数问题，解题的关键是掌握抛物线与坐标轴交点个数与系数的关系．抛物线与坐标轴有2个交点，则抛物线与 x 轴有1个交点或与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点． 【详解】解：解：抛物线与坐标轴有2个交点，则抛物线与 x 轴有1个交点或与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点，当抛物线与 x 轴有1个交点时，函数关系式为 ，当抛物线与 x 轴有2个交点但其中一个交点为原点时，函数关系式为． 故答案为 或 . 5．若二次函数的图像与y轴的交点坐标为，则该函数图像与x轴的交点坐标为______． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图像与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出函数解析式． 先根据抛物线与y轴的交点坐标求出，得到函数解析式，再令，求出函数图像与x轴的交点坐标． 【详解】解：∵二次函数的图像与y轴的交点坐标为， ∴， ∴解析式为， 当时，， 解得或， ∴该函数图像与x轴的交点坐标为或， 故答案为：或． ◆题型2 根据二次函数图像确定相应方程根的情况 1．二次函数的部分图象如图所示，则方程根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线经过点，即或得到，所以一元二次方程的两个根为，，把方程看作关于的一元二次方程，则或，然后解一次方程得到方程的根． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点， 抛物线经过点， 一元二次方程的两个根为，， 把方程看作关于的一元二次方程， 或， 解得， 方程的根是． 2．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 3．二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（     ）．    A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【详解】解：由图可知，方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 4．如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用数形结合思想，根据交点的坐标意义求解即可； 【详解】解：根据题意，得当时，此时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为零， 当时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为正， 故答案为：； 5．二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为直线，若该抛物线与x轴的一个交点为，则由图像可知，方程的解是________． 【答案】 【分析】先求出抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线与x轴交点的横坐标即为方程的解求解即可． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，该抛物线与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由图像可知，方程的解是． ◆题型3 根据交点确定不等式的解集 1．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】令两个函数的函数值相等，解方程求出的值，结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴由函数图象可知当时，自变量x的取值范围是． 2．二次函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，即可求解． 【详解】解：由函数图象得：二次函数 的对称轴为， ∴点关于的对称点的坐标为， ∴关于 的不等式的解集是 ． 3．一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 4．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 5．如图，二次函数的图象与直线有两个交点，交点横坐标分别为1、3，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【分析】将不等式变形为，即求二次函数图象在一次函数图象上方（包括交点）时自变量的取值范围． 【详解】解：关于的不等式可变形为， 该不等式的解集即为二次函数的图象在一次函数的图象上方（包括交点）时自变量的取值范围， 由图象可知，二次函数与一次函数交点的横坐标分别为，， 当时，二次函数的图象在一次函数的图象上方， 关于的不等式的解集为． ◆题型4 利用不等式求自变量或函数值的范围 1．已知抛物线经过点，，若，则的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合思想是解题关键．先求出抛物线的对称轴，结合开口方向判断增减性，转化为不等式并求解即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴离直线越近，函数值越小， ∵， ∴，即， 两边平方，得， 解得． 故选：D． 2．已知点，是二次函数 图象上的任意两点．若对于，，都有 ，则t的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数的对称性等知识，求出抛物线的开口方向和对称轴，由题意可得出，连线的垂直平分线与x轴的交点的横坐标大于3，且的最大值小于2，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：二次函数 图象开口向上，对称轴为直线， 当时，， ∴当时，， ∵点，是二次函数 图象上的任意两点，对于，，都有 ， ∴M到对称轴的距离小于N到对称轴的距离， ∴， 解得， 故选：B． 3．对于2≤x≤5范围内的每一个值，不等式ax2+2ax+7a﹣3＞0总成立，则a的取值范围是_________． 【答案】a＞． 【分析】根据当和时讨论,即可求解. 【详解】当时,图象开口向上,顶点纵坐标为,当,即时,y>0; 当时,抛物线对称轴为x=-1,根据对称性,只要x=5时,y>0即可,此时,解得,不符合题意,舍去. 所以答案为. 【点睛】本题考查了二次函数开口方向,顶点坐标,对称轴在实际问题中的运用,还考查了分类讨论的数学思想. 4．若对任意，都有成立，则必须满足的条件是 _________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的最值与不等式（组），解题的关键是分和两种情况把不等式转化为二次函数求最值问题． 【详解】解：当，即时，， ∴， ∵函数图像的对称轴为轴，且抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴； 当，即时，， ∴， ∵函数图像的对称轴为轴，且抛物线开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴； 综上所述，必须满足的条件是． 故答案为：． 综合攻坚·知能拔高 1．如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 2．若一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标为， ∴，即， ∴抛物线的对称轴为直线. 3．已知k为任意实数，则抛物线的顶点在（     ） A．x轴上 B．y轴上 C．直线上 D．直线上 【答案】C 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点的横坐标与纵坐标相等， ∴该点在直线上． 4．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 5．已知二次函数，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的开口向下 B．当时，随的增大而增大 C．二次函数的最小值为 D．抛物线的对称轴是 【答案】D 【分析】先将二次函数化为顶点式,然后根据二次项系数判断开口方向，利用对称轴公式和顶点坐标公式分析对称轴、增减性与最值． 【详解】解：． ∵ ， ∴ 抛物线开口向上，最小值为，A、C错误． 抛物线对称轴为，D正确． ∵ 开口向上，当时随的增大而增大， 又， ∴ 当时，并非随的增大而一直增大，B错误． 6．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 7．若二次函数的图象开口向下，顶点坐标为，且过点，则函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解： 因为抛物线的顶点坐标为， 则令二次函数的解析式为， 将点代入函数解析式得， ， 解得， 所以二次函数的解析式为， 故选：A． 8．已知二次函数的图象和轴有交点，则的取值范围是（     ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由二次函数定义得，结合图象与轴有交点的条件列不等式求解． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， ∵ 函数图象与轴有交点， ∴ ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 9．如图是二次函数的图象的一部分，图象过点A，二次函数的对称轴为，给出下列结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点、特殊值点等方面逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵时，， ∴，故④错误； ∵抛物线交x轴于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∴时，，故⑤错误． 综上所述，正确的结论有3个． 10．下面表格中的数据是二次函数的几组对应值．根据表中的数据我们可以判断：当时，自变量x的取值范围是（     ） x … 0 1 2 3 4 … y … 0 0 5 … A． B．或 C． D．﹣ 【答案】B 【分析】本题先根据表格中的对应值，得到二次函数的对称轴，与x轴的交点坐标，判断开口方向，再结合二次函数的图像性质确定时自变量的取值范围． 【详解】解：由表格数据可知，和时值相等，均为， 二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，二次函数与轴的交点为和， 顶点纵坐标，且抛物线与x轴有两个交点， 抛物线开口向上， 根据开口向上的二次函数图像性质，可得当时，自变量的取值范围是或． 11．二次函数（）中，当x分别取，（）时，它们对应的函数值相等，则当x取时，函数的值为________． 【答案】c 【分析】二次函数的对称轴为，函数值相等的两个不同点关于对称轴对称，据此求出的值，再代入计算函数值． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， 当，（）时对应的函数值相等， ∴点与点关于对称轴对称， ∴，即， 将代入得． 12．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 13．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为． (2)当时，；当时，；当时，，理由： 是抛物线上的两点， ∴ 故当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，对称轴代入，由方程具有两个相等的实数根得到，从而得出关于参数的方程组，解方程组求出参数的值，即得到表达式； （2）根据题目条件代入计算，故可由的正负判断结论． 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得： ①， 由函数的对称轴为，即  ②， 关于x的方程有两个相等的实数根，则  ③， 联立①②③，得 解得， 故抛物线的表达式为． （2）略． 14．如图，已知二次函数的图象经过两点． (1)求这个二次函数的解析式并写出它的对称轴； (2)把该抛物线平移，使它的顶点与B点重合，直接写出平移后抛物线的解析式． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，得到平移后的抛物线的顶点坐标为，据此求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， 所以抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：令，则， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴平移后的抛物线解析式为． 15．已知二次函数图象上部分点横坐标、纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 0 … (1)画出函数图象． (2)求出二次函数的解析式． (3)当时，的取值范围为___________． 【答案】(1)画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】（1）先描点，再连线即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）结合函数图象即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：根据图象及表格可得，二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴二次函数的解析式为； （3）解：由函数图象可得，当时，的取值范围为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $