26.4 实际问题与二次函数（讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数实际应用核心知识点，衔接二次函数概念与性质，通过面积、利润、运动轨迹等问题搭建从理论到应用的学习支架，涵盖建模、解析式求解、自变量范围确定及最值计算等关键技能。 资料以真实生活情境（如共享单车调度、投球轨迹）设计问题，培养数学眼光。通过表格数据建模、分类讨论最值（考虑实际范围）发展数学思维，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，提升模型意识与应用能力。

第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 课标要点 1. 能够分析实际问题中的数量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)； 2. 会结合实际情境确定自变量x的取值范围； 3. 会利用二次函数的性质求解实际问题中的最大、最小值； 4. 能利用二次函数解决面积、销售利润等常见实际问题； 5. 体会建模思想，会检验结果是否符合实际意义。 学习重难点 重点： 1. 根据实际问题建立二次函数模型，正确写出函数解析式； 2. 利用二次函数求实际问题的最值，掌握解题基本步骤； 3. 会从实际题意中找出自变量的取值范围。 难点： 1. 求最值时，忽略自变量的实际取值范围，直接套用顶点公式，顶点自变量不符合实际时不会改用端点计算； 2. 复杂数量关系，难以准确梳理，列错二次函数关系式； 3. 求出计算结果后，不会检验结果是否符合现实情境； 4. 利润问题中，准确辨析单价、销量、总利润之间的数量关系。 知识点二次函数现实情景建模探究题（表格大数据+实际约束+方案决策） 题型特征 1.题干文字量大，结合真实生活背景(共享单车、生产销售、污染物排放、物资进出等)。 2.给出表格数据，明确告知变量之间是二次函数关系； 3.包含两类信息：①统计数据；②现实限制条件(容量上限、进出速率、时间范围)。 4.设问分层： ①由表格求二次函数解析式； ②结合“流入、流出”写出存量函数； ③根据现实约束做方案决策(求车辆数、人员数、参数取值)。 融合：待定系数法、代数式表示数量、二次函数限定范围求最值、不等式、实际整数取值。 活学活用 1．（2026·广东深圳·三模）【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道）． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置） 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y（辆）与时间x（分钟）大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 【答案】(1)函数图象如图所示： 函数解析式为： (2)； (3)2辆 【分析】（1）描点、连线即可作出函数图象；再确定函数关系为二次函数，即可由待定系数法求解解析式； （2）由于每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车，即可得到经过x分钟，已调度的共享单车数量为；再由求解函数解析式； （3）设需要同时安排辆调度车，则，即，由题意得，在范围内，即可，据此求解即可． 【详解】（1）解：函数图象 由已知可得是的二次函数， ∴设解析式为： 代入点、、 则 解得 ∴函数解析式为； （2）解：由题意得，当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为（辆）， ∴， 即； （3）解：设需要同时安排辆调度车， 则， 即， 由题意得，在范围内，即可， 对于， 对称轴为直线， ∵ ∴， ∴， 即 ∴或 解可得，； 解，此时无解， 为了不浪费资源，故取最小值， ∴需要同时安排辆调度车． 2．（25-26八年级下·北京·期末）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)，（克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； (2)C； (3) 【分析】（1）直接根据表格中已知数据得出的变化规律，即可得到的值；再将表格的数据描点，并用平滑的曲线画出的函数图象即可； （2）观察表格和图象读取信息即可； （3）利用待定系数法求得、的函数关系式，进而得到的函数关系式，利用二次函数的性质即可求得最值． 【详解】（1）解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； 则（克）与时间（分钟）的函数图象：略 （2）解：观察图象可知，在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长． （3）解：将点和代入中得， ， 解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ， 解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， ∵结果保留小数点后一位 ∴ 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 题型一 二次函数实际应用之图形问题 解题贴士 利用互相垂直的两面墙(墙足够长，墙不用篱笆),篱笆只围矩形两条邻边；篱笆总长度固定；常考：已知面积求边长、有内部物体限制条件求最大面积。 设一条篱笆边长为x,则另一条篱笆边长=篱笆总长-x,矩形面积 S=x(总长-x) 得到二次函数：S=-x²+总长·x，开口向下。 两类设问解题思路 类型1：给定面积，求边长 1.根据矩形面积公式列方程：x(总长-x)=给定面积 2.整理成一元二次标准方程，解方程。 3.检验解：边长必须大于0，舍去不符合实际的根。 类型2：有约束条件，求花园最大面积(高频易错) 约束来源：园内有树、障碍物，要求物体在花园内(含边界)。 1.根据实际条件列出不等式，求出自变量c取值范围 物体到两面墙的距离，分别对应矩形两条边长的最小值；从而写出x的取值区间。 2写出面积二次函数，计算对称轴 3.判断对称轴是否落在x允许取值区间内： ①对称轴在区间里面：开口向下，顶点处取得最大面积； ②对称轴不在区间里面：开口向下，对称轴左侧，面积随x增大而增大；对称轴右侧，面积随c增大而减小。在区间靠近对称轴的端点取最大值。 4.将对应x代入面积式子算出最大面积。 ▌例1（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． ▌对点练1-1．（25-26八年级下·江西·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． 【答案】(1)； (2)6米 【分析】（1）表示出的长，根据长方形的面积公式即可写出函数关系式，根据“篱笆的长为24米，墙的最大可用长度为9米”列出不等式组，求解即可得到x的取值范围； （2）把代入函数关系式，求解即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的长为24米， ∴（米）， ∴花圃的面积， 即． ∵墙的最大可用长度为9米， ∴，解得 ∴的取值范围是． （2）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴的长度为6米． ▌对点练1-2．（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 【答案】(1) (2) (3)道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为 【分析】（1）设菜地的宽为米，则菜地的长为米，根据小路面积等于总面积减去菜地面积，列出函数关系式，即可求解； （2）设道路的宽为米，根据长方形面积公式，列出函数关系式，即可求解； （3）先求出x的取值范围，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设菜地的宽为米， ∵长、宽比为的长方形菜地， ∴菜地的长为米， ∴小路面积S关于的函数表达式为； （2）解：设道路的宽为米，根据题意得： ， 即菜地面积关于的函数表达式； （3）解：根据题意得：， 解得：， 由（2）得：菜地面积关于的函数表达式， ∵，， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为， 即道路宽度为时，菜地的面积最大，此时菜地面积为． 题型二 二次函数实际应用之拱桥问题 解题贴士 题型特点 拱桥、隧道、涵洞，形状是抛物线；已知跨度、拱高，求高度、宽度；或者已知某位置求对应数值。核心方法：建立平面直角坐标系，设抛物线解析式，求出函数，再代入计算。 完整解题步骤 步骤1：建立坐标系(最关键) 常见两种建系方式： 1.方式①：以抛物线顶点为坐标原点(最常用，计算简单) 顶点(0，0)，抛物线开口向下，解析式设：(没有一次项、常数项) 2.方式②:以拱桥左端地面点为原点 顶点在中间，设顶点式 优先选顶点在原点，计算量小；建系之后，把题目给的已知条件转化成点的坐标。 步骤2：设抛物线解析式，代入已知点求系数 顶点在原点，开口向下：，把拱脚端点坐标代入，求出a。 如果顶点不在原点，用顶点式：，顶点，代入另一个点求a。 步骤3：根据问题，代入求值 两类考法： 1.已知水平距离，求高度：把x代入解析式算y; 2.已知高度，求水平宽度：把y代入方程求x,再算左右两点之间距离。 步骤4：结合实际写出答案 注意：求出的x、y是坐标系中的数值，要还原成实际问题的长度。 ▌例2（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 ▌对点练2-1．（2026·浙江金华·模拟预测）某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 【答案】防护栏支柱的长度为． 【分析】建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式，再将点的横坐标代入解析式，即可得出点的纵坐标，则可得出答案． 【详解】解：以防护栏的最高点为原点，以的中垂线为轴，建立如图所示坐标系，由题意可知：点坐标为， 设抛物线的解析式为：，将点坐标代入得： ， 抛物线的解析式为：， 由题意可得点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 防护栏支柱的长度为． ▌对点练2-2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． ▌对点练2-3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 题型三 二次函数实际应用之销售问题 解题贴士 易错点 1.不要搞反销量变化：涨价销量减少，降价销量增加； 2.一定要考虑自变量实际范围，顶点对应的x如果取不到，不能直接用顶点算最大利润； 3.算售价：如果设的是涨价x，最终售价=原售价+x，不要只写x； 4.利润不能为负、销量不能为负，舍去不符合实际的解。 ▌例3（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． 【答案】货船不能顺利通过这座桥，理由如下： 当时，即， 解得，． ，且， 货船不能顺利通过该桥． 【分析】根据题意，当时，可得方程，再解方程，即可得出结论． 【详解】略 ▌对点练3-1．（2026·浙江金华·模拟预测）某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． 【答案】防护栏支柱的长度为． 【分析】建立平面直角坐标系，由待定系数法求得抛物线的解析式，再将点的横坐标代入解析式，即可得出点的纵坐标，则可得出答案． 【详解】解：以防护栏的最高点为原点，以的中垂线为轴，建立如图所示坐标系，由题意可知：点坐标为， 设抛物线的解析式为：，将点坐标代入得： ， 抛物线的解析式为：， 由题意可得点的横坐标为， 点的纵坐标为：， ， 防护栏支柱的长度为． ▌对点练3-2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ 【答案】(1)方案一，；方案二，；方案三， (2)方案一，；方案二；方案三， (3) 【分析】（1）根据水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是，求出点坐标； （2）三种方案中抛物线开口都向下，故抛物线解析式二次项系数为负，根据题意先求出顶点坐标，设解析式为顶点式，再代入（1）中点B坐标，即可求出抛物线解析式； （3）任意选择三种方案中的一种，根据暴雨水位上升代入对应抛物线解析式，求解即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： 选择方案一： 由题意得，; 选择方案二： 由题意得，; 选择方案三： 由对称性可知点与点关于轴对称，，， 又桥洞与水面的最大距离是，， ． （2）解：分情况讨论： 选择方案一：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案二：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为; 选择方案三：由题意得抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下，故设抛物线解析式为， 代入，得， 解得， 抛物线解析式为． （3）解：选择方案三中的解析式， ， 暴雨水位上升后，代入，得， 解得或， 水面宽为． ▌对点练3-3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 【答案】(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 题型四 二次函数实际应用之投球问题 解题贴士 代表场景：篮球投篮、铅球投掷、小球抛射。物体运动轨迹是抛物线，水平方向为x,竖直高度为y,y代表离地高度。 一般以抛出点正下方地面为坐标原点建立平面直角坐标系。 x：物体离开抛出点后的水平移动距离；y：物体距离地面的竖直高度 解析式常用一般式或者顶点式 完整解题步骤 1.读题提取关键点，转化成坐标 题目会给出几个关键位置，翻译成坐标： ①抛出点：投篮出手位置(有高度，y≠0)；②最高点(顶点)：给出最大高度以及此时水平距离 ③落地点：球落地，y=0；④目标点：篮筐、靶心(给出水平距离，求高度；或给出高度，求水平距离) 优先使用顶点式，如果题目直接告诉最高点，设，代入另外一个已知点求a。 2.求出抛物线解析式 把2~3个点坐标代入，解出a、b、c,得到函数。 3.根据问题代入计算(两类考法) ①水平距离x，求高度y：把x直接代入解析式，算出y，对比目标高度，判断是否投中/越过障碍物。 ②已知高度y，求对应的水平距离x：把y代入解析式，解一元二次方程，得到x; 投球只看向前飞出去的正数x，舍去负数解(向后的无实际意义)。 4.实际约束，取舍结果 ①x>0：代表向前飞行；负数x没有物理意义，直接舍去。；②落地时y=0，求出的正根就是投掷的水平最远距离。 ▌例4（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 题型五 二次函数实际应用之喷水问题 解题贴士 1.建立坐标系，把文字条件转成坐标 常见建系：以喷水口在地面的投影为原点(0，0)。 ①喷水口：起点坐标，c就是喷水口离地高度。 ②最高点(顶点)：，水平向右走h米，达到最大高度k。 ③落地点：水流落到地面，y=0，此时的x就是喷水的最远距离。 ④障碍物：假山、墙，给定水平位置，比较高度。 2.求抛物线解析式 题目给最高点，直接设顶点式y=a(x-h)²+k，代入喷水口或者落地点，求出a。 没有给顶点，代入2～3个点，用一般式求解。 3.按问题代入计算，两类考法 ①已知水平距离x,求水流高度y 把x代入函数算y,和障碍物高度对比，判断水流会不会碰到物体。 ②已知高度y，求水平距离x 把y代入方程，解一元二次方程； 取正数解，负数x代表喷水口左侧，水流不会往左边喷，直接舍去负根。 4.典型问题处理 ①求最大喷水高度：直接取顶点纵坐标k。 ②求水流喷到地面有多远：令y=0解方程，取正根。 ③物体会不会被水喷到：在物体的水平位置，算出水流高度；水流高度>物体高度，就可以越过。 ▌例5（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 题型六 二次函数实际应用之其他问题 ▌例6（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 ▌对点练6-1．（2026·广西·中考真题）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． 【答案】(1) (2) 理由如下：∵坐标原点为，对应风速表示零风速，此时风速影响下的成绩就是零风速下的成绩，即 ∴ ∴函数图象经过坐标原点 (3) (4)该运动员训练后的竞技水平有提升 【分析】（1）根据题目给定的正负数表示规则，直接得到逆风风速的表示结果； （2）根据原点对应的风速和的实际意义，结合与的关系推导说明.； （3）将给定风速代入二次函数，计算得到成绩变化量； （4）分别计算两次比赛转换为零风速后的成绩，比较大小判断竞技水平是否提升． 【详解】（1）解：∵规定顺风风速用正数表示，逆风风速用负数表示， ∴逆风风速记为． （2）略 （3）已知二次函数模型为， 将代入得： 即顺风风速时的成绩变化量为． （4）解：由题意得，变形得 第一次比赛：顺风，成绩， 由（3）得，则零风速成绩 第二次比赛：逆风，成绩，将代入函数得： 则零风速成绩 ∵，100米跑成绩越小说明竞技水平越高 ∴该运动员训练后的竞技水平有提升． ▌对点练6-2．（2026·河南三门峡·三模）项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 【答案】(1)第一阶段与的函数关系式为，与的函数关系式为 (2)相邻两个减速带之间的距离约为 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）根据表中数据得到速度为时，，再代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，知第一阶段v与t的函数关系式为，s与t的函数关系式为． 将代入， 得， 解得． ∴第一阶段与的函数关系式为， 与的函数关系式为． （2）解：由题意，知当时，， 此时，即第一阶段汽车行驶的路程为． ∴第二阶段汽车行驶的路程为．． ∴相邻两个减速带之间的距离约为． 基础通关 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【分析】根据关系式可知抛物线开口向下，再求出对称轴即可． 【详解】解：，， ∴当时，水火箭达到最高点． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 5．（2026·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】由图象得，抛物线顶点坐标为，即可判断①②，然后利用待定系数法求出函数解析式，然后分别将和代入即可判断③④． 【详解】解：①由图象得，抛物线顶点坐标为 ∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确； ②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故，故②正确； ③设函数解析式为：， 把代入得，解得， 函数解析式为， 当时，，故③错误； ④当时，， 解得：，故④错误． 综上所述，其中正确的有①②． 6．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 9．（25-26八年级下·北京·期末）某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 【答案】 【分析】（1）设安排加工A零件的工人人数为名，根据题意知加工C零件的工人人数为名，进而根据工人总人数为60名列方程求解即可； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名，根据题意列不等式得到，且x为正整数；分别求得生产A、B、C三种零件的总利润，则可得总利润且化简为，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设安排加工A零件的工人人数为名，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为名， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8名； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 由题意，A零件总利润：， B零件总利润：，代入，得：， C零件总利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为直线， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24名． 10．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 【答案】(1)10分钟 (2)①320人 ②可以达到预期效果 理由：， 可以在13分钟内完成全部出餐． 等待排队有名学生，则． 当（分钟）时，（人） ， 每个学生的排队时间不超过5分钟． 此方案可以满足预期效果． 【分析】（1）令，解方程求解即可； （2）①设等待排队有名学生，则，求函数的最值即可． ②设等待排队有名学生，则．求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 答：用时10分钟，全部学生到达食堂． （2）解：①设等待排队有名学生，则． ∵，抛物线开口向下， ∴当（分钟）时，（人）． ②略 11．（2026·北京朝阳·模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据． 水平距离（单位：） 竖直高度（单位：） 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点． (3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地． (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？ 【答案】(1)平面直角坐标系与曲线如图所示： (2) (3) (4)运动员落地的水平距离增加了 【分析】（1）以左下格点作为原点建立平面直角坐标系，再使用描点法画函数图象即可； （2）结合图象进行判断即可； （3）使用待定系数法求出二次函数的解析式，再将代入，求解方程即可； （4）先写出平移后的解析式，再将代入，求解方程并与第（3）问的结论对比即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，当水平距离为时，运动员在空中达到最高点； （3）解：由图象可知，该抛物线的顶点坐标为， 设二次函数的解析式为， 将点代入，得， ∴二次函数的解析式为， 将代入，得， ， 解得或（负值，舍去）， ∴运动员水平位置为时，运动员才能落地； （4）解：由题意可知，新抛物线由抛物线向上平移个单位长度得到， ∴， 将代入，得， ， 解得或（负值，舍去）， ， ∴运动员落地的水平距离增加了． 12．（2026·辽宁营口·模拟预测）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 【答案】(1)（，为整数）； (2)；第50天的日利润最大，最大日利润为4900元； (3)51天． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）依据题意销售利润=销售量×（售价-进价）易得出销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式， （3）根据销售利润为W（元）与t（天）之间的函数关系式，求出利润超过4000元的天数即可． 【详解】（1）解：∵销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系， ∴设y与的一次函数关系式为：， 将，代入得， ， 解得，， ∴； （2）解：根据题意得，， 当时， ， 当时， ， ∴， 当时， ， ∵， ∴当时，W随t的增大而增大，当时，W随t的增大而减小， 时，． 当时， ， ∵， ∴W随t的增大而减小， 时，． ∵， ∴第50天日利润最大，且最大日利润为4900元； （3）解：当时，， 令， ∴， ∴，， ∴符合题意； 当时，， 令， ∴， ∴时，符合题意， ∴当时，日利润不低于4000元， ∴共有：（天）． 素养提升 1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作的垂线，根据矩形的性质以及勾股定理，写出关于的表达式从而可以得到图象的形状． 【详解】解：过作于， 四边形为矩形， ， ， ∴， 四边形也是矩形， ，， ， ， 在上，在上， ，， ， 关于的函数图象是开口向上，对称轴为的抛物线． 2．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（   ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，二次函数的实际应用．设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接，根据题意得圆E的直径为，，可得到半径，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到，再求出抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接， 根据题意得圆E的直径为，， ∴半径， ∴，即，故A选项错误； ∴ 在中，， ∴，即， ∴点C的纵坐标为20，故B选项错误； 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即点不在该函数图象上，故C选项错误； 当时，，即点在该函数图象上，故D选项正确； 故选：D 5．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点P作交于点H，利用等腰直角三角形的性质得出，再由直角三角形两锐角互余及补角的定义得出，证明，得到，，设，则，由等腰直角三角形性质得出，利用勾股定理列方程得到的表达式，此时的表达式是二次函数，当时，有最小值，将开方后即可得出其最小值． 【详解】解：如图，过点P作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， 设，则， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， 当时，有最小值， ∴最小值， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及二次函数的最值． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期中）小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，为其对称轴，下部分的视图是矩形 ，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且B，D，H三点共线．如果从喷口流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E两点． （1）则的长为_______； （2）接洗手液时，当手心距的水平距离为时，手心距水平台面的高度为_______． 【答案】 11 【分析】根据题意得出各点坐标，利用勾股定理求得的值，利用待定系数法求抛物线解析式进而求得点坐标即可． 【详解】如图，以为原点，建立平面直角坐标系， 由题意可知，，，， ， 设抛物线解析式为, 因为抛物线经过C、E、B三点， 可得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 由题意可得点的横坐标为， 把代入抛物线解析式，可得， ， 即手心距水平台面的高度为 7．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为，现有一货车，它的车身宽为米，车厢面距离地面的高度为米，准备拉一车学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度应不高于__________米．（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，灵活运用二次函数的性质以及数形结合思想是解题的关键． 如图：设抛物线的对称轴交x轴于G，由二次函数的性质可得抛物线的对称轴直线为：，即点G的横坐标为，进而得到点A的横坐标为；如图：延长交抛物线于点H，则点H的横坐标为3，再求出点H的纵坐标为，即；进而得到米即可解答． 【详解】解：如图：设抛物线的对称轴交x轴于G， ∵函数表达式为， ∴抛物线的对称轴直线为：，即点G的横坐标为， ∵， ∴点A的横坐标为：， 如图：延长交抛物线于点H，则点H的横坐标为3， ∴点H的纵坐标为，即， ∴米， ∴则该车堆放学习用品的高度应不高于米． 故答案为：． 8．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 9．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由题意可知，，顶点坐标为，再利用待定系数法求解； （2）利用配方法求出的顶点坐标，再设直线的表达式，利用待定系数法求解； （3）先求出点、的坐标，再将抛物线顶点坐标代入直线，得出，则，再列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入，得， 解得：， 抛物线的函数表达式为； （2）解：, 的顶点坐标为， 设直线的表达式为， ，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，且，的顶点坐标分别为，， ，解得：， 的表达式为； （3）解：令，则， 解得：（舍），， ， 令，则， 解得：（舍），， ， ， 抛物线顶点坐标为 由（2）可知，顶点所在的直线的表达式为， ， ， 解得：或， 当时，抛物线开口向下，顶点在，不符合题意， ， ， ， ， 解得：， 即当喷泉的观赏效果最佳时，抛物线中的取值范围为． 10．（25-26八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 【答案】(1)① ② (2) 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可；②根据函数值求自变量的值即可； （2）根据题意得到抛物线解析式为，抛物线过点，则，抛物线解析式为，且抛物线过，，当时，代入计算即可． 【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 迁移创新 1．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 【答案】(1)，； (2)能避开障碍物和暗礁； (3)． 【分析】将，代入，求得的坐标，将，代入，即可求得的坐标； 先根据对称轴为得出，代入求得，得出，分别计算和的函数值，结合题意，即可求解； 设，根据已知得出，将代入，得出，将代入，得出，进而解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：∵飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，直线的表达式为， ∴当时，， 解得：， ∴， ∵， 当时，， 解得：，， ∴； （2）解：∵，抛物线在时距水面最高， ∴， 解得：， ∴， ∵过点， ∴当时，， 解得：， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， ∵水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开障碍物， ∵暗礁的一个截面宽，， ∴， ∴当时，， ∵， ∴跳弹能避开暗礁， 综上所述，跳弹沿路径运动时能避开障碍物和暗礁； （3）解：∵点的坐标， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵要避开暗礁， ∴， ∴，即， ∵过点， 当时，，即， ∴当时，， ， 即， ∵， ∴， 解得：． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． (1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； (2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； (3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 【答案】(1)； (2) (3)能获得满分 【分析】（1）用x表示t，并代入y关于t的表达式中即可； （2）观察图象即可； （3）令，求得x的值，据此即可判断． 【详解】（1）解：当离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； 离手角度为时，， 代入得， 则关于的函数表达式； （2）解：观察图象知，从下往上，离手角度分别为，显然，离手角度为时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； （3）解：令， 解得（舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴以最佳离手角度投掷实心球时，能获得满分． 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.4实际问题与二次函数 课标要点 1. 能够分析实际问题中的数量关系，列出二次函数解析式y=ax2+bx+c(a≠0)； 2. 会结合实际情境确定自变量x的取值范围； 3. 会利用二次函数的性质求解实际问题中的最大、最小值； 4. 能利用二次函数解决面积、销售利润等常见实际问题； 5. 体会建模思想，会检验结果是否符合实际意义。 学习重难点 重点： 1. 根据实际问题建立二次函数模型，正确写出函数解析式； 2. 利用二次函数求实际问题的最值，掌握解题基本步骤； 3. 会从实际题意中找出自变量的取值范围。 难点： 1. 求最值时，忽略自变量的实际取值范围，直接套用顶点公式，顶点自变量不符合实际时不会改用端点计算； 2. 复杂数量关系，难以准确梳理，列错二次函数关系式； 3. 求出计算结果后，不会检验结果是否符合现实情境； 4. 利润问题中，准确辨析单价、销量、总利润之间的数量关系。 知识点二次函数现实情景建模探究题（表格大数据+实际约束+方案决策） 题型特征 1.题干文字量大，结合真实生活背景(共享单车、生产销售、污染物排放、物资进出等)。 2.给出表格数据，明确告知变量之间是二次函数关系； 3.包含两类信息：①统计数据；②现实限制条件(容量上限、进出速率、时间范围)。 4.设问分层： ①由表格求二次函数解析式； ②结合“流入、流出”写出存量函数； ③根据现实约束做方案决策(求车辆数、人员数、参数取值)。 融合：待定系数法、代数式表示数量、二次函数限定范围求最值、不等式、实际整数取值。 活学活用 1．（2026·广东深圳·三模）【问题背景】共享单车是深圳绿色出行的重要方式，早高峰期间，大量市民选择骑行共享单车至地铁站．为解决共享单车占用人行道问题，共享单车公司针对早高峰时段某地铁站口开展共享单车的投放与调度研究．以下为该站口共享单车停放区、骑行区及调度车停靠点的示意图． 【调研条件】 条件1：早高峰从开始，持续30分钟（用x表示时间，单位：分钟， ，对应）． 条件2：地铁站口最多可同时停放224辆单车（超过将阻塞人行道）． 条件3：共享单车停放区可近似看作宽度相等的矩形，单车在此区域均匀摆放，且共享单车停放区②、③、④的长和宽均相等，共享单车停放区①的面积是共享单车停放区②的面积的两倍． 条件4：每辆调度车配备一个调度员，每个调度员大约每分钟可从站口运走6辆单车至调度车（调度车装满后将共享单车运往周边小区，随后下一辆调度车立马补到上一辆调度车的位置） 【数据调研】 经大数据统计，早高峰期间地铁站口的累计还车数量y（辆）与时间x（分钟）大致满足二次函数关系，记录的数据如下表： x（分钟） 0 3 6 9 12 15 … y（辆） 80 179 260 323 368 395 … 结合上述信息，请完成下述问题：   【模型应用】 (1)请根据表格中的数据，在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并求出y与x的函数解析式． (2)当只有一辆调度车，经过x分钟，已调度的共享单车数量为______；地铁站口共享单车停放区共享单车的数量w与x的函数关系式为____________； (3)在恰好满足条件1、2、4，且不浪费资源的条件下，需要同时安排多少辆调度车？ 2．（25-26八年级下·北京·期末）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在A、B两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间x（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 5 10 15 20 （克） （克） 经研究发现，可以分别用函数刻画，与x之间的关系．场景A下试剂挥发过程中的剩余质量与时间x近似满足函数关系：，与x近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中m的值： ，并在给定的平面直角坐标系中画出场景A下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间x（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景A下，剩余质量随时间减少的变化趋势是 ； A．匀速变化 B．先快后慢 C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克．在上述实验中，该化学试剂在场景 （填“A”或“B”）下发挥作用的时间更长； (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第 分钟（结果保留小数点后一位）． 题型一 二次函数实际应用之图形问题 解题贴士 利用互相垂直的两面墙(墙足够长，墙不用篱笆),篱笆只围矩形两条邻边；篱笆总长度固定；常考：已知面积求边长、有内部物体限制条件求最大面积。 设一条篱笆边长为x,则另一条篱笆边长=篱笆总长-x,矩形面积 S=x(总长-x) 得到二次函数：S=-x²+总长·x，开口向下。 两类设问解题思路 类型1：给定面积，求边长 1.根据矩形面积公式列方程：x(总长-x)=给定面积 2.整理成一元二次标准方程，解方程。 3.检验解：边长必须大于0，舍去不符合实际的根。 类型2：有约束条件，求花园最大面积(高频易错) 约束来源：园内有树、障碍物，要求物体在花园内(含边界)。 1.根据实际条件列出不等式，求出自变量c取值范围 物体到两面墙的距离，分别对应矩形两条边长的最小值；从而写出x的取值区间。 2写出面积二次函数，计算对称轴 3.判断对称轴是否落在x允许取值区间内： ①对称轴在区间里面：开口向下，顶点处取得最大面积； ②对称轴不在区间里面：开口向下，对称轴左侧，面积随x增大而增大；对称轴右侧，面积随c增大而减小。在区间靠近对称轴的端点取最大值。 4.将对应x代入面积式子算出最大面积。 ▌例1（25-26九年级上·陕西安康·期中）在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ ▌对点练1-1．（25-26八年级下·江西·期末）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为9米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃边长为米，面积为平方米． (1)写出与的函数关系式__________，并写出的取值范围__________； (2)如果要围成面积为的花圃，求的长度． ▌对点练1-2．（2026·山东淄博·一模）【综合与实践】 【问题情境】 王老师家有一块长、宽的长方形菜地，如图1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、摘菜很不方便，经常都会弄得一脚泥． 【问题提出】 为了改变这种局面，王老师打算在菜地里修建小路． 【方案设计】 方案一：如图2，在地块中间修建一个长、宽比为的长方形菜地，周围一圈是小路； 方案二：如图3，在地块中间修建三条等宽的道路，一条横向、两条纵向，其余是菜地． 【问题解决】 (1)在第一种方案中，若设菜地的宽为米，求小路面积S关于的函数表达式． (2)在第二种方案中，若设道路的宽为米，求菜地面积关于的函数表达式． (3)已知王老师在劳作时，只能覆盖道路两侧内的菜地．在第二种方案中，若要求道路宽度满足王老师的劳作需求，则道路宽度为多少时，菜地的面积最大？并求出此时菜地面积． 题型二 二次函数实际应用之拱桥问题 解题贴士 题型特点 拱桥、隧道、涵洞，形状是抛物线；已知跨度、拱高，求高度、宽度；或者已知某位置求对应数值。核心方法：建立平面直角坐标系，设抛物线解析式，求出函数，再代入计算。 完整解题步骤 步骤1：建立坐标系(最关键) 常见两种建系方式： 1.方式①：以抛物线顶点为坐标原点(最常用，计算简单) 顶点(0，0)，抛物线开口向下，解析式设：(没有一次项、常数项) 2.方式②:以拱桥左端地面点为原点 顶点在中间，设顶点式 优先选顶点在原点，计算量小；建系之后，把题目给的已知条件转化成点的坐标。 步骤2：设抛物线解析式，代入已知点求系数 顶点在原点，开口向下：，把拱脚端点坐标代入，求出a。 如果顶点不在原点，用顶点式：，顶点，代入另一个点求a。 步骤3：根据问题，代入求值 两类考法： 1.已知水平距离，求高度：把x代入解析式算y; 2.已知高度，求水平宽度：把y代入方程求x,再算左右两点之间距离。 步骤4：结合实际写出答案 注意：求出的x、y是坐标系中的数值，要还原成实际问题的长度。 ▌例2（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． ▌对点练2-1．（2026·浙江金华·模拟预测）某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． ▌对点练2-2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ ▌对点练2-3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 题型三 二次函数实际应用之销售问题 解题贴士 易错点 1.不要搞反销量变化：涨价销量减少，降价销量增加； 2.一定要考虑自变量实际范围，顶点对应的x如果取不到，不能直接用顶点算最大利润； 3.算售价：如果设的是涨价x，最终售价=原售价+x，不要只写x； 4.利润不能为负、销量不能为负，舍去不符合实际的解。 ▌例3（26-27九年级上·全国·课后作业）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，如图，已知这座桥的跨度米，拱高米，且设计方案为抛物线型，抛物线的解析式为．现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面米，此货船能否顺利通过这座桥？请说明理由． ▌对点练3-1．（2026·浙江金华·模拟预测）某公园草坪的防护栏形状是抛物线形，为了牢固起见，每段护栏需要间距加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部（如图），求其中防护栏支柱的长度． ▌对点练3-2．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，水面的宽度为，桥洞与水面的最大距离是．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图）． (1)你选择的方案是______（填“方案一”“方案二”或“方案三”），则B点坐标是______； (2)求出你所选方案中的抛物线的解析式； (3)因降暴雨水位上升，此时水面宽为多少？ ▌对点练3-3．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 题型四 二次函数实际应用之投球问题 解题贴士 代表场景：篮球投篮、铅球投掷、小球抛射。物体运动轨迹是抛物线，水平方向为x,竖直高度为y,y代表离地高度。 一般以抛出点正下方地面为坐标原点建立平面直角坐标系。 x：物体离开抛出点后的水平移动距离；y：物体距离地面的竖直高度 解析式常用一般式或者顶点式 完整解题步骤 1.读题提取关键点，转化成坐标 题目会给出几个关键位置，翻译成坐标： ①抛出点：投篮出手位置(有高度，y≠0)；②最高点(顶点)：给出最大高度以及此时水平距离 ③落地点：球落地，y=0；④目标点：篮筐、靶心(给出水平距离，求高度；或给出高度，求水平距离) 优先使用顶点式，如果题目直接告诉最高点，设，代入另外一个已知点求a。 2.求出抛物线解析式 把2~3个点坐标代入，解出a、b、c,得到函数。 3.根据问题代入计算(两类考法) ①水平距离x，求高度y：把x直接代入解析式，算出y，对比目标高度，判断是否投中/越过障碍物。 ②已知高度y，求对应的水平距离x：把y代入解析式，解一元二次方程，得到x; 投球只看向前飞出去的正数x，舍去负数解(向后的无实际意义)。 4.实际约束，取舍结果 ①x>0：代表向前飞行；负数x没有物理意义，直接舍去。；②落地时y=0，求出的正根就是投掷的水平最远距离。 ▌例4（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． ▌对点练4-1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． ▌对点练4-2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 题型五 二次函数实际应用之喷水问题 解题贴士 1.建立坐标系，把文字条件转成坐标 常见建系：以喷水口在地面的投影为原点(0，0)。 ①喷水口：起点坐标，c就是喷水口离地高度。 ②最高点(顶点)：，水平向右走h米，达到最大高度k。 ③落地点：水流落到地面，y=0，此时的x就是喷水的最远距离。 ④障碍物：假山、墙，给定水平位置，比较高度。 2.求抛物线解析式 题目给最高点，直接设顶点式y=a(x-h)²+k，代入喷水口或者落地点，求出a。 没有给顶点，代入2～3个点，用一般式求解。 3.按问题代入计算，两类考法 ①已知水平距离x,求水流高度y 把x代入函数算y,和障碍物高度对比，判断水流会不会碰到物体。 ②已知高度y，求水平距离x 把y代入方程，解一元二次方程； 取正数解，负数x代表喷水口左侧，水流不会往左边喷，直接舍去负根。 4.典型问题处理 ①求最大喷水高度：直接取顶点纵坐标k。 ②求水流喷到地面有多远：令y=0解方程，取正根。 ③物体会不会被水喷到：在物体的水平位置，算出水流高度；水流高度>物体高度，就可以越过。 ▌例5（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． ▌对点练5-1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． ▌对点练5-2．（25-26九年级上·江西景德镇·期末）掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 题型六 二次函数实际应用之其他问题 ▌例6（2026·广东深圳·中考真题）综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． ▌对点练6-1．（2026·广西·中考真题）综合与实践 风对田径比赛有影响，田径比赛规定：在100米和200米、110米栏、跳远和三级跳远等项目中，凡顺风风速超过，若创纪录不予承认．某体育训练团队期望建立一个科学合理的函数模型描述风速对100米比赛成绩的影响，将风速影响下的成绩转换为零风速状态下的成绩，从而更准确地评估运动员竞技水平． 【前期准备】查阅文献等相关资料，收集整理并筛选国内、外重要比赛的有效数据． 【模型假设】假设1：用（单位：）表示风速，顺风用正数表示，逆风用负数表示． (1)逆风风速记为____． 假设2：风速影响下的成绩记为（单位：），零风速状态下的成绩记为（单位：）．成绩变化量记为，与的关系用函数近似描述． (2)描述与关系的函数图象应经过坐标原点，请你结合和的关系解释原因． 假设3：用二次函数描述与的关系． 【模型求解】根据已有数据，通过统计软件进行数据分析，得到二次函数模型为：． 【模型应用】 (3)请你估计顺风风速时的成绩变化量． (4)某运动员在专项训练前后各参加了一次100米比赛，第一次在顺风的条件下跑出的成绩，第二次在逆风的条件下跑出的成绩．据此，请你利用上述模型，评估该运动员训练后的竞技水平是否有提升． 【模型反思】由于收集到的数据中，风速大小基本都在以内，因此超出此范围时，应谨慎使用本函数模型． ▌对点练6-2．（2026·河南三门峡·三模）项目式学习 【项目主题】设计减速带之间的距离． 【项目背景】在校园、景区的道路中间，常常设置一些用于限制汽车速度的减速带，但是相邻减速带之间的距离不宜过大，也不宜过小，那么减速带之间的距离应该设置为多少较合适？数学兴趣小组以此为主题开展项目式学习． 【研究步骤】 ①査阅资料 数学兴趣小组查阅资料获知，在限速的情况下，汽车从一个减速带到另一个减速带之间需要经历先加速、再减速两个阶段，其中第一阶段汽车速度从（前一减速带）加速到，第二阶段从减速到（后一减速带），两个减速带之间的距离就是这两个阶段汽车行驶的路程之和． ②建立模型 经过物理老师的帮助，该兴趣小组确定了汽车在加速阶段行驶的路程，速度，其中v0为初始速度，a为加速度，t为行驶时间，在加速阶段． ③测量数据 数学兴趣小组利用秒表分别测量汽车加速过程中，速度达到所用的时间，并进行多次试验取平均值，得到表1信息： 表1 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 10 20 30 40 ④整理数据 数学兴趣小组进一步把速度的单位进行转换，得到表2信息： 表2 时间/s 0 1.5 3 4.5 6 速度/（） 0 【解决问题】请你根据以上信息回答下列问题： (1)请你根据表2信息，求第一阶段v与t的函数关系式、s与t的函数关系式． (2)若第二阶段汽车行驶路程是第一阶段汽车行驶路程的，请计算相邻两个减速带之间的距离（结果精确到）． 基础通关 1．（26-27九年级上·全国·单元复习）水火箭从地面竖直向上弹出，水火箭在空中的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系式为．当水火箭达到最高点时，其运动时间为（     ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·全国·课后作业）中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（2026·河南周口·模拟预测）如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 5．（2026·山东枣庄·一模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是；③当时，；④当时，．其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 6．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 8．（25-26八年级下·山东济南·期末）如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 9．（25-26八年级下·北京·期末）某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 10．（25-26九年级·浙江温州·学业考试模拟）某中学有500名学生在校就餐，因人数多就餐排队时间长，决定进行优化调整．经调研，发现放学后累计到达食堂的人数（人）随时间（分）的变化情况满足函数：． (1)放学几分钟后，全部学生都到达食堂？ (2)食堂计划调整方案，预期13分钟内完成全部出餐，且每个学生的排队时间不能超过5分钟．原方案和调整后方案如下表． 目前实施方案 调整方案 点餐 窗口 单个窗口 点餐 窗口 单个窗口 形式 数量 出菜速度 形式 数量 出菜速度 自由点菜 4个 5份/分钟 套餐选择 5个 8份/分钟 ①按原方案，等待点餐的学生最多达到多少人？ ②调整后，是否可以达到预期效果？如果可以，请说明理由；如果不行，请调整窗口个数，使之可以达到预期效果． 11．（2026·北京朝阳·模拟预测）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．比赛过程分为助滑阶段，起跳后的空中飞行阶段和落地滑行阶段，今天我们一起来运用数学知识解决最具观赏性的空中飞行阶段相关问题．为了获得数据，技术人员设置了固定点进行测量，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．下表记录了某运动员起跳后的与的几组数据． 水平距离（单位：） 竖直高度（单位：） 请解决以下问题： (1)在下面网格中，建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接； (2)请结合图象分析，当水平距离为________时，运动员在空中达到最高点． (3)运动员水平位置为________时，运动员才能落地． (4)根据训练需要，假设运动员的起跳速度和角度没有变化，现将起跳跳台（起跳点）抬高22米，运动员落地的水平距离如何变化？变化了多少？ 12．（2026·辽宁营口·模拟预测）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售100天后，统计发现：在这100天内，①该商品每天的销售价格x（元/件）与时间（第天）满足关系式：； ②该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）满足一次函数关系，部分数据如下表： 时间t（第t天） 1 2 10 20 …… 日销售量y（件） 119 118 110 100 …… (1)直接写出y与t之间的函数解析式； (2)设销售该商品的日利润为w（元），请直接写出w与t之间的函数解析式，并求出在这100天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？ (3)在这100天内，日利润不低于4000元的共有多少天，请直接写出结果． 素养提升 1．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，在矩形中，，P，Q分别是边上的动点，，设，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 3．（25-26九年级上·江苏南通·期末）老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期末）如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（   ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 5．（25-26九年级上·浙江台州·期末）如图，已知中，，，点P、Q分别为、上的点，将线段绕着点P顺时针旋转，点Q的对应点G刚好落在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·浙江金华·期中）小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口流出，已知瓶身横截面为轴对称图形，为其对称轴，下部分的视图是矩形 ，点到台面的距离为，点距台面的距离为，且B，D，H三点共线．如果从喷口流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C、E两点． （1）则的长为_______； （2）接洗手液时，当手心距的水平距离为时，手心距水平台面的高度为_______． 7．（25-26九年级上·安徽六安·期末）如图，某学校大门的形状是一条抛物线，其函数表达式为，现有一货车，它的车身宽为米，车厢面距离地面的高度为米，准备拉一车学习用品从大门的正中间进入校园，为了安全通过学校大门，则该车堆放学习用品的高度应不高于__________米．（假设堆放学习用品的宽度与车身宽度一致） 8．（2026·江苏无锡·中考真题）综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 9．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）喷泉是城市中一道美丽的风景．如图1，水花从垂直地面的水管的顶端处喷射出，其在空中的飞行轨迹可近似看作一条抛物线．以水管与地面的交点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．经测量，水管的高度是米，喷出最远的水花的运动轨迹为抛物线（如图2所示），水花在与水管的水平距离为1米时，达到最大高度2米，水花之后沿抛物线下落，最终落到地面上的点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若图1中喷出的水花的运动轨迹所在的抛物线群如图3所示，且，，，这些抛物线的顶点在同一条直线上，其中一条抛物线与水平直线相交于点，请求出的顶点坐标和的表达式； (3)若喷泉水花瀑布中所有抛物线均可表示为且与直线相交于点，经测算，当时，喷泉的观赏效果最佳，请求出此时抛物线中的取值范围． 10．（25-26八年级下·福建莆田·期末）“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 迁移创新 1．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图所示．跳弹在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．飞机在距水面垂直高度为的处投放跳弹，跳弹与水面接触于点开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为，，，与水面分别接触于点，点．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计） (1)已知点与点所在直线的表达式为，分别求出，两点的坐标； (2)若水面上处有一个高为（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽的暗礁，抛物线在时距水面最高，请判断跳弹沿路径运动时能否避开障碍物和暗礁； (3)在的条件下，若跳弹从水面上点弹起后，沿路径撞击对方目标截面处时，启动跳弹内部回弹装置，避开暗礁沿直线加速飞向水面，接触水面后沿直线撞向目标，该过程始终保持．且目标露出水面的垂直高度，点的坐标，打击点距水面的距离为，且，求抛物线中的取值范围． 2．（25-26八年级下·重庆·期末）【问题背景】重庆市将投掷实心球作为中考体育的必考项目，在离手高度和离手速度一定的情况下，运动员可以通过调整实心球的离手角度，将实心球投掷得尽可能远． 【收集素材】投掷实心球属于物理中的斜抛运动，它可以看作竖直方向的运动与水平方向的运动的合成．忽略空气阻力，将实心球的离手速度分解到水平方向与竖直方向（如图1），抛实心球向前运动的水平距离（单位：米）、离开地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，其中表示重力加速度（，为常量）．表示实心球离手时距离地面的高度． 【建立模型】建立如图2所示的平面直角坐标系，实心球离手后的运动轨迹则可用函数图象来刻画． 【问题解决】某学习小组安排了一名男同学，分别以为离手角度进行实心球投掷．考虑到投掷者不变，故实心球离手时的离地高度、离手速度均视为不变量．通过查阅资料和初步计算，实心球离手后，水平方向与竖直方向的运动可表示如下： 离手角度为时：； 离手角度为时：； 离手角度为时：． 通过消元，离手角度为时，，即可表示为关于的二次函数，将其命名为函数． (1)任务一：请表示：离手角度为时，关于的函数表达式： ；离手角度为时，关于的函数表达式： ； (2)任务二：图3中是同一平面直角坐标系里，的图象，根据图象可以判断，在这三次投掷中，离手角度为 时，扔出的实心球落地点距离最远，为最佳离手角度； (3)任务三：中考实心球项目中，男生投掷9.7米及以上的距离则能够获得满分．请通过计算说明，该学习小组安排的这位男同学，以最佳离手角度投掷实心球时，能否获得满分？ 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $