13.2.1三角形的边 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦“三角形的边”核心内容，系统梳理三边关系定理（两边之和大于第三边、差小于第三边）、构成条件（简化为最短两边之和大于最长边）、按边分类（不等边、等腰、等边三角形）及稳定性（与四边形对比及生活应用），构建从定理到应用的完整知识支架。 资料以“知识点+题型”设计，通过典例与变式题（如等腰三角形第三边判断、第三边取值范围计算）培养推理意识，结合生活实例（自行车三角架、伸缩门）渗透应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化知识理解与运用。

13.2.1三角形的边 目录 知识点1 三角形的三边关系定理 1 知识点2 构成三角形的条件 2 知识点3 三角形按边分类 2 知识点4 三角形的稳定性 3 题型1 构成三角形的条件 3 题型2 确定第三边的取值范围 5 题型3 三角形三边关系的应用 7 题型4 三角形的稳定性及应用 9 1. 掌握三角形三边关系定理，理解三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。 2. 能判断三条线段能否组成三角形，能确定第三边的取值范围。 3. 能运用三角形三边关系解决化简、证明及实际问题。 4. 了解三角形的稳定性，能运用稳定性解释生活中的现象。 知识点1 三角形的三边关系定理 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 若三角形三边长为a、b、c，则a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a。 推论：第三边大于两边之差且小于两边之和，即|a－b|＜c＜a＋b。 理论依据：两点之间，线段最短。 知识点2 构成三角形的条件 三条线段能组成三角形的充要条件是：任意两边之和大于第三边。 简化判断方法：将三条线段按长短排序，只需验证最短两边之和大于最长边即可（若最短两边之和大于最长边，则其余两个不等式自动成立）。 若最短两边之和等于最长边，则三点共线，不能组成三角形。 若最短两边之和小于最长边，更不能组成三角形。 知识点3 三角形按边分类 三角形按边的相等关系分类： 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两边叫腰，第三边叫底。 等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形（底边和腰相等）。 注意：等边三角形属于等腰三角形，二者是包含关系，不是并列关系。 知识点4 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定，不会改变，这就是三角形的稳定性。 四边形的四条边长度确定后，形状仍可以改变（可挤压变形），因此四边形不具有稳定性。 实际应用：自行车三角架、房屋屋顶桁架、桥梁结构、电线杆固定支架等利用了三角形的稳定性；伸缩门、活动衣架等利用了四边形的不稳定性。 使不稳定图形变稳定的方法：添加对角线或辅助线，将其分割成若干个三角形。 题型1 构成三角形的条件 【解题技巧】 ① 核心判断：三条线段能组成三角形 ⇔ 任意两边之和大于第三边。 ② 简化方法（最常用）：先将三条线段按从小到大排序为a≤b≤c，只需验证a＋b＞c是否成立。成立则能组成三角形，不成立则不能。 ③ 为什么只需验证一个：因为c是最大边，所以a＋c＞b和b＋c＞a必然成立，只需验证最短两边之和是否大于最长边。 ④ 等号的情况：若a＋b＝c，三点共线，不能组成三角形；若a＋b＜c，更不能组成。必须是严格大于。 ⑤ 含字母的判断：需根据字母的取值范围分类讨论，确保三个不等式都成立。 ⑥ 易错点：只验证了一个不等式就下结论（但未选最短两边）；忘记等号不能组成三角形；单位不统一时直接比较。 【常见考法】判断给定三条线段能否组成三角形；选择能组成三角形的线段组合；含参数的三角形存在性讨论。 【典例1】．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，选取每组线段中较小的两条边求和，与最长边比较大小，可快速判断能否组成三角形． 【详解】解：A选项，，不能组成三角形，不符合题意． B选项， ，不能组成三角形，不符合题意． C选项，，不能组成三角形，不符合题意． D选项，，能组成三角形，符合题意． 【变式1】．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较两条较短线段的和与最长线段的大小，判断能否组成三角形． 【详解】解：A中，，不能组成三角形． B中，，不能组成三角形． C中，，不能组成三角形． D中，，能组成三角形． 【变式2】．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 【答案】 /厘米 【分析】分两种情况讨论，分别以为腰长和为腰长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，舍去不符合条件的情况，即可得到第三边的长度． 【详解】 该三角形为等腰三角形，两边长分别为和， 分两种情况讨论： 情况一：若为腰长，则第三边长为， ，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，因此舍去； 情况二：若为腰长，则第三边长为， ，，满足三角形三边关系，可以构成三角形， 综上，这个等腰三角形的第三边长为． 【变式3】．等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 【答案】 【分析】分两种情况：腰长为和腰长为，根据构成三角形的条件验证能否构成三角形后，计算符合条件的周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，则该等腰三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，符合题意， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为． 题型2 确定第三边的取值范围 【解题技巧】 ① 基本公式：已知三角形两边长为a和b（设a≥b），则第三边c的取值范围为：a－b＜c＜a＋b。 ② 推导依据：由三边关系a＋b＞c（得c＜a＋b）和a－b＜c（由b＋c＞a变形得c＞a－b），合并得到范围。 ③ 注意边界：取值范围是开区间，不含等号。c＝a＋b或c＝a－b时三点共线，不能组成三角形。 ④ 求整数解：若要求第三边为整数，在范围内逐一列出所有整数。如两边为3和7，则4＜c＜10，整数c可取5、6、7、8、9。 ⑤ 求周长范围：第三边范围确定后，周长L＝a＋b＋c的范围为2a＜L＜2(a＋b)（设a≥b）。 ⑥ 等腰三角形特殊情况：若已知两边且说明是等腰三角形，需分类讨论哪条是腰，再结合三边关系验证。 ⑦ 易错点：范围写成闭区间（含等号）；只考虑了上限或下限；求整数解时漏数或多数。 【常见考法】已知两边求第三边的取值范围；求第三边的整数解；求周长的取值范围；等腰三角形中求第三边或周长。 【典例2】．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形三边关系定理确定第三边的取值范围，再对应数轴表示即可． 【详解】解：∵三角形两边长分别为，， ∴第三边长x应满足， 即， 在数轴上表示为： 【变式1】．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵三角形的三边长分别是x，3，4， ∴x的取值范围是， 即． 【变式2】．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【答案】 【分析】已知三角形两边长，求第三边的取值范围，利用三角形三边关系计算即可． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，，， ∴边长a满足不等式， 将，代入不等式得， 化简得． 【变式3】．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系得到关于的不等式，求解不等式得到的取值范围. 【详解】解：∵三角形任意一边的长度大于另外两边之差，小于另外两边之和，已知三角形三边长为，，， ∴， 解得. 题型3 三角形三边关系的应用 【解题技巧】 ① 绝对值化简：三角形三边长为a、b、c，化简如|a＋b－c|＋|a－b－c|等式子时，利用三边关系判断正负： a＋b－c＞0（两边之和大于第三边）→ 绝对值直接去掉； a－b－c＝a－(b＋c)＜0 → 绝对值去掉后取相反数。 ② 线段不等证明：证明几条线段的大小关系时，利用"两点之间线段最短"或"三角形两边之和大于第三边"，将线段放入三角形中比较。 ③ 等腰三角形求周长（分类讨论）：已知等腰三角形两边长，分"长边为腰"和"短边为腰"两种情况，每种情况都要用三边关系验证能否组成三角形，再计算周长。 ④ 实际问题：如选择路线、判断材料是否够用、围栏设计等，将实际问题转化为三边关系问题。 ⑤ 解题步骤：识别题目中的三角形 → 确定已知边和未知边 → 应用三边关系（和大于第三边、差小于第三边）→ 求解或证明。 ⑥ 易错点：绝对值化简时符号判断错误；等腰三角形分类讨论后忘记验证三边关系；证明题中逻辑不严密。 【常见考法】利用三边关系化简含绝对值的式子；证明线段不等关系；等腰三角形求周长（分类讨论）；实际生活中的三边关系应用。 【典例3】．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】未明确的边是腰还是底，需分类讨论并验证三角形三边关系. 【详解】解：当为腰长时，底边长为， ∵，不能构成三角形， ∴此情况不成立； 当为底边长时，腰长为， ∵，能构成三角形， ∴腰长为. 【变式1】．一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系及取不等式组的特殊解．由三角形三边关系和周长条件列不等式组确定的取值范围，结合周长为偶数的条件验证选项． 【详解】解：三角形最长边为，由三边关系得，解得． 周长为，由周长不大于，得，解得． 由周长为偶数，得为偶数，即为奇数． 综上，的取值范围是，且为奇数． 选项A、B、D均满足上述条件，选项C中不满足，无法构成三角形，不符合条件． 【变式2】．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断绝对值内代数式的正负，再利用绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边， ∴三角形任意两边之和大于第三边，可得 ，， ∴，， ∴． 【变式3】．等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 【答案】 【分析】设出等腰三角形的腰长与底边长，根据周长得到二者的关系式，结合边长为正整数的条件与三角形三边关系，筛选出所有符合条件的边长组合，统计个数即可． 【详解】解：设等腰的腰长为，底边长为，其中，均为正整数， 由题意得：，即 ． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，可得且． 将代入不等式组得 ， 解不等式组得：． 因为为正整数， 所以的取值为，，， 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 当时，，三边长为，，，符合条件； 因此符合条件的等腰三角形共有个． 题型4 三角形的稳定性及应用 【解题技巧】 ① 核心性质：三角形具有稳定性（三边确定则形状大小确定）；四边形及以上多边形不具有稳定性（边长确定后形状仍可改变）。 ② 判断图形是否稳定：看图形是否全部由三角形组成，或是否被分割成若干三角形。全是三角形→稳定；含有四边形（未被对角线分割）→不稳定。 ③ 使不稳定图形变稳定：添加对角线或辅助线，将四边形分割成两个三角形。如四边形ABCD添加对角线AC后，被分成△ABC和△ACD，整体就具有稳定性。 ④ 稳定性应用识别：生活中利用三角形稳定性的例子——自行车三角架、照相机三脚架、房屋人字梁、桥梁桁架、电线杆斜拉固定、篮球架支架等。 ⑤ 不稳定性应用识别：利用四边形不稳定性的例子——伸缩门、折叠椅、活动衣架、升降平台等。 ⑥ 解题技巧：解释"为什么"时，回答"因为三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性"；改进方案时，回答"添加对角线（或辅助线）构造三角形"。 ⑦ 易错点：误认为所有多边形都有稳定性；添加辅助线后未真正构造成三角形（如只连了部分顶点）。 【常见考法】判断图形是否具有稳定性；解释生活中三角形结构的原理；使不稳定图形变稳定的方法；识别稳定性/不稳定性的应用实例。 【典例4】．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是三角形的稳定性． 【变式1】．如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【详解】解：小李在木门板上钉了一个加固板，门板上形成了三角形结构，这样做的道理是三角形具有稳定性． 【变式2】．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【答案】三角形的稳定性 【分析】根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：∵用木条固定长方形门框，可得到， ∴这种做法的根据是三角形的稳定性． 【变式3】．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 【答案】三角形的稳定性 【详解】解：当汽车前机盖打开时，支撑杆、车身与机盖之间形成了一个三角形，这是利用了三角形的稳定性． 1．由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的取值范围，再匹配选项得到答案． 【详解】解：，， ，解得， 观察选项，只有在此范围内． 2．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设第三边的长为， 根据三角形三边关系可得， ， 观察选项，只有满足， 因此第三边的长可能为． 3．下列各组线段中，能构成三角形的是（     ） A．4，5，9 B．2，4，7 C．3，5，11 D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题利用三角形三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，只需验证较短两边之和是否大于最长边，即可判断能否构成三角形. 【详解】解：A. ，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； B. ，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； C. ，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； D. ，且，，满足三角形三边关系，能构成三角形． 4．如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边． 若将一根小棒剪成两段，这两段之和等于原小棒长度． 若原小棒长度小于另一根小棒长度，则两段之和小于第三边，无法围成三角形． 【详解】解： A选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之差比下面那根小棒还长，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； B选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和与上面那根小棒长度相等，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意． C选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比下面那根小棒短，不符合三角形的三边关系，无法围成三角形，不符合题意； D选项中小棒被剪刀剪成两段，这两段之和比上面那根小棒长，这两段之差比上面那根小棒短，符合三角形的三边关系，可以围成三角形，符合题意； 故选：D． 5．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形的稳定性． 6．已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断三边大小，根据三角形任意两边之和大于第三边列出不等式，只需较短两边之和大于最长边，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵三角形三边长为、、，且，最长边为， ∴， 解得：． 7．已知，，是的三边长，且，满足，则的值不可能是（     ） A．3 B．5 C．7 D．11 【答案】D 【分析】本题先利用非负数的性质求出边长a和b的值，再根据三角形三边关系得到c的取值范围，即可判断出不符合范围的选项． 【详解】解：∵，且， ∴，，解得，， 根据三角形三边关系，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得，即， ∵不在的范围内， ∴c的值不可能是11． 8．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（     ） A．3，4，6 B．2，3，5 C．5，6，12 D．2，5，8 【答案】A 【分析】需验证两条较短边的和是否大于最长边，即可判断能否构成三角形． 【详解】选项A：，满足三边关系，能构成三角形； 选项B：，不满足三边关系，不能构成三角形； 选项C：，不满足三边关系，不能构成三角形； 选项D：，不满足三边关系，不能构成三角形． 9．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】四边形具有不稳定性，三角形具有稳定性，将四边形结构转化为三角形结构即可防止变形，判断即可． 【详解】解：门框原本是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形．钉上斜拉的木条后，门框的结构中被分割出了三角形． ∵三角形具有稳定性， ∴这样做的根据是三角形的稳定性． 10．小亮截了四根长分别为，，，的木条，任选其中三条拼组三角形，这样能拼成（     ）个不同的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系，即任意两边之和大于第三边，逐一判断组合能否构成三角形，统计符合条件的个数即可得到结果． 【详解】解：①边长为：，，， ，满足三边关系，故可以拼成三角形； ②边长为：，，， ，不满足三边关系，故不能拼成三角形； ③边长为：，，， ，满足三边关系，故可以拼成三角形； ④边长为：，，， ，满足三边关系，故可以拼成三角形； 综上，能拼成个不同的三角形． 11．在中，，，请写出一个第三边的整数值：_________． 【答案】 （答案不唯一，，，，均可） 【分析】根据三角形三边关系求出第三边的取值范围，再在取值范围内找出符合条件的整数值即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得 ， 将，代入，得 ， 即， 为整数， 的整数值为，，，，（任写一个即可）． 12．已知等腰三角形两边长分别为和，且满足，则等腰三角形的周长是___________． 【答案】 【分析】先根据非负数的性质求出和的值，再根据三角形三边关系判断等腰三角形的腰长与底边长，最后计算可得周长． 【详解】解：， ，， 解得，． 当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，，不满足三角形的三边关系，故此情况舍去； 当为等腰三角形的腰长时，三角形三边长为，满足三角形的三边关系，此时等腰三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长是． 13．已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，，，则该三角形的周长等于_____． 【答案】9 【分析】三角形周长为，将三个已知等式左右分别相加，可得到，整体除以2即可直接求出周长，无需单独解出、、． 【详解】解：由题意列方程组： ， 将三式左右两边分别相加： ， 整理得： ， 提取公因数： ， 等式两边同时除以： ， 三角形周长为三边长度之和，因此该三角形周长为． 14．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：这种设计应用了一个重要的数学原理是三角形具有稳定性． 15．若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 【答案】 【分析】根据三角形的三边关系可得，再去绝对值 ，最后合并同类项即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴ ． 16．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 【答案】(1)12 (2) 【分析】（1）根据三角形三边关系确定c的取值范围，再结合c是整数且为奇数确定其值，即可获得答案； （2）根据三角形三边关系可得，进而可得，然后进一步化简即可． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∵c是整数，且为奇数， ∴， ∴的周长； （2）解：∵的三边长为a，b，c， ∴，，， ∴； 由三角形三边关系定理可得：， ∴， ∴ ． 17．已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，求得的值； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， ，． （2）解：是等腰三角形，有两种情况： ①当是腰时，有、、三边，不能构成三角形，故此种情况不成立． ②当是腰时，有、、三边，能构成三角形，故此种情况成立，则． 等腰的周长为． 18．如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平移的性质即可解答； （2）利用三角形三边关系即可解答； （3）根据平移可得四边形的面积等于梯形的面积． 【详解】（1）解：根据平移可得， ； （2）解：根据三角形三边关系可得，， ， ； （3）解：根据平移可得，，， ，即， 分别是的中点， ， ． 19．【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 【答案】(1)①不一定；②；③大于；小于 (2) (3) 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得答案； （2）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出，结合进一步求解即可； （3）由的周长为12，，可得，解方程得出答案即可． 【详解】（1）解：①任意三条线段不一定能组成三角形； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和最长线段，就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和大于第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差小于第三边； （2）解：、、分别为的三边长，，， ∴． 解得． ∵，即， ∴， ∴， 综上：. （3）解：的周长为12，， ． 解得． 20．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； (3) 证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据题意得，不等式两边都加上即可得出结论； （2）延长交于点，证明，，两式相加得，从而可得； （3）延长交于点，延长交于点，证明，，，三式相加可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）略 （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.2.1三角形的边 目录 知识点1 三角形的三边关系定理 1 知识点2 构成三角形的条件 2 知识点3 三角形按边分类 2 知识点4 三角形的稳定性 3 题型1 构成三角形的条件 3 题型2 确定第三边的取值范围 4 题型3 三角形三边关系的应用 5 题型4 三角形的稳定性及应用 6 1. 掌握三角形三边关系定理，理解三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边。 2. 能判断三条线段能否组成三角形，能确定第三边的取值范围。 3. 能运用三角形三边关系解决化简、证明及实际问题。 4. 了解三角形的稳定性，能运用稳定性解释生活中的现象。 知识点1 三角形的三边关系定理 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 若三角形三边长为a、b、c，则a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a。 推论：第三边大于两边之差且小于两边之和，即|a－b|＜c＜a＋b。 理论依据：两点之间，线段最短。 知识点2 构成三角形的条件 三条线段能组成三角形的充要条件是：任意两边之和大于第三边。 简化判断方法：将三条线段按长短排序，只需验证最短两边之和大于最长边即可（若最短两边之和大于最长边，则其余两个不等式自动成立）。 若最短两边之和等于最长边，则三点共线，不能组成三角形。 若最短两边之和小于最长边，更不能组成三角形。 知识点3 三角形按边分类 三角形按边的相等关系分类： 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。相等的两边叫腰，第三边叫底。 等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形（底边和腰相等）。 注意：等边三角形属于等腰三角形，二者是包含关系，不是并列关系。 知识点4 三角形的稳定性 三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。 三角形的三条边长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定，不会改变，这就是三角形的稳定性。 四边形的四条边长度确定后，形状仍可以改变（可挤压变形），因此四边形不具有稳定性。 实际应用：自行车三角架、房屋屋顶桁架、桥梁结构、电线杆固定支架等利用了三角形的稳定性；伸缩门、活动衣架等利用了四边形的不稳定性。 使不稳定图形变稳定的方法：添加对角线或辅助线，将其分割成若干个三角形。 题型1 构成三角形的条件 【解题技巧】 ① 核心判断：三条线段能组成三角形 ⇔ 任意两边之和大于第三边。 ② 简化方法（最常用）：先将三条线段按从小到大排序为a≤b≤c，只需验证a＋b＞c是否成立。成立则能组成三角形，不成立则不能。 ③ 为什么只需验证一个：因为c是最大边，所以a＋c＞b和b＋c＞a必然成立，只需验证最短两边之和是否大于最长边。 ④ 等号的情况：若a＋b＝c，三点共线，不能组成三角形；若a＋b＜c，更不能组成。必须是严格大于。 ⑤ 含字母的判断：需根据字母的取值范围分类讨论，确保三个不等式都成立。 ⑥ 易错点：只验证了一个不等式就下结论（但未选最短两边）；忘记等号不能组成三角形；单位不统一时直接比较。 【常见考法】判断给定三条线段能否组成三角形；选择能组成三角形的线段组合；含参数的三角形存在性讨论。 【典例1】．以下列各组长度的线段为边长，其中能组成三角形的是（     ）． A． B． C． D． 【变式1】．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．等腰三角形两边长分别是5cm、10cm，则这个等腰三角形的第三边长为__________． 【变式3】．等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为______． 题型2 确定第三边的取值范围 【解题技巧】 ① 基本公式：已知三角形两边长为a和b（设a≥b），则第三边c的取值范围为：a－b＜c＜a＋b。 ② 推导依据：由三边关系a＋b＞c（得c＜a＋b）和a－b＜c（由b＋c＞a变形得c＞a－b），合并得到范围。 ③ 注意边界：取值范围是开区间，不含等号。c＝a＋b或c＝a－b时三点共线，不能组成三角形。 ④ 求整数解：若要求第三边为整数，在范围内逐一列出所有整数。如两边为3和7，则4＜c＜10，整数c可取5、6、7、8、9。 ⑤ 求周长范围：第三边范围确定后，周长L＝a＋b＋c的范围为2a＜L＜2(a＋b)（设a≥b）。 ⑥ 等腰三角形特殊情况：若已知两边且说明是等腰三角形，需分类讨论哪条是腰，再结合三边关系验证。 ⑦ 易错点：范围写成闭区间（含等号）；只考虑了上限或下限；求整数解时漏数或多数。 【常见考法】已知两边求第三边的取值范围；求第三边的整数解；求周长的取值范围；等腰三角形中求第三边或周长。 【典例2】．已知三角形的三边长分别为3，5，x，则第三边长x的取值范围在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若三角形的三边长分别是3，4，，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．设的三边长是a，b，c．若，，则a的取值范围是______________． 【变式3】．一个三角形的三边长分别是3，，8，则m的取值范围是________． 题型3 三角形三边关系的应用 【解题技巧】 ① 绝对值化简：三角形三边长为a、b、c，化简如|a＋b－c|＋|a－b－c|等式子时，利用三边关系判断正负： a＋b－c＞0（两边之和大于第三边）→ 绝对值直接去掉； a－b－c＝a－(b＋c)＜0 → 绝对值去掉后取相反数。 ② 线段不等证明：证明几条线段的大小关系时，利用"两点之间线段最短"或"三角形两边之和大于第三边"，将线段放入三角形中比较。 ③ 等腰三角形求周长（分类讨论）：已知等腰三角形两边长，分"长边为腰"和"短边为腰"两种情况，每种情况都要用三边关系验证能否组成三角形，再计算周长。 ④ 实际问题：如选择路线、判断材料是否够用、围栏设计等，将实际问题转化为三边关系问题。 ⑤ 解题步骤：识别题目中的三角形 → 确定已知边和未知边 → 应用三边关系（和大于第三边、差小于第三边）→ 求解或证明。 ⑥ 易错点：绝对值化简时符号判断错误；等腰三角形分类讨论后忘记验证三边关系；证明题中逻辑不严密。 【常见考法】利用三边关系化简含绝对值的式子；证明线段不等关系；等腰三角形求周长（分类讨论）；实际生活中的三边关系应用。 【典例3】．若一个等腰三角形的周长是，且其中一边的长为，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式1】．一个三角形的三边为且周长为不大于的偶数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．若a，b，c是的三边的长，化简______________． 【变式3】．等腰的周长为11，各边长为正整数，则这样的等腰三角形有___________个． 题型4 三角形的稳定性及应用 【解题技巧】 ① 核心性质：三角形具有稳定性（三边确定则形状大小确定）；四边形及以上多边形不具有稳定性（边长确定后形状仍可改变）。 ② 判断图形是否稳定：看图形是否全部由三角形组成，或是否被分割成若干三角形。全是三角形→稳定；含有四边形（未被对角线分割）→不稳定。 ③ 使不稳定图形变稳定：添加对角线或辅助线，将四边形分割成两个三角形。如四边形ABCD添加对角线AC后，被分成△ABC和△ACD，整体就具有稳定性。 ④ 稳定性应用识别：生活中利用三角形稳定性的例子——自行车三角架、照相机三脚架、房屋人字梁、桥梁桁架、电线杆斜拉固定、篮球架支架等。 ⑤ 不稳定性应用识别：利用四边形不稳定性的例子——伸缩门、折叠椅、活动衣架、升降平台等。 ⑥ 解题技巧：解释"为什么"时，回答"因为三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性"；改进方案时，回答"添加对角线（或辅助线）构造三角形"。 ⑦ 易错点：误认为所有多边形都有稳定性；添加辅助线后未真正构造成三角形（如只连了部分顶点）。 【常见考法】判断图形是否具有稳定性；解释生活中三角形结构的原理；使不稳定图形变稳定的方法；识别稳定性/不稳定性的应用实例。 【典例4】．如图，工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框使其不变形，这样做的根据是（     ） A．两点之间线段最短 B．四边形更稳定 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【变式1】．如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 【变式2】．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这种做法的根据是____________． 【变式3】．如图，汽车前机盖打开后，用支撑杆撑住机盖来固定，方便操作，这是利用了______． 1．由三条线段，，可以组成一个三角形，其中，，那么的长度可以是（     ） A． B． C． D． 2．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组线段中，能构成三角形的是（     ） A．4，5，9 B．2，4，7 C．3，5，11 D．3，4，5 4．如下图，下面的四个盒子中，每个盒子里都有两根小棒，把其中的一根小棒用剪刀按图中所示的位置剪成两段，这两段小棒再与另一根小棒首尾相接，能够围成一个三角形的是（     ） A． B． C． D． 5．安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 6．已知三角形三边长为、、，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．已知，，是的三边长，且，满足，则的值不可能是（     ） A．3 B．5 C．7 D．11 8．以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（     ） A．3，4，6 B．2，3，5 C．5，6，12 D．2，5，8 9．工人师傅在做完门框后，为防止变形，经常如图所示钉上两条斜拉的木条（即图中的两根木条），这样做的根据是（    ） A．两点之间线段最短 B．三角形的内角和等于 C．三角形两边的和大于第三边 D．三角形的稳定性 10．小亮截了四根长分别为，，，的木条，任选其中三条拼组三角形，这样能拼成（     ）个不同的三角形． A．1 B．2 C．3 D．4 11．在中，，，请写出一个第三边的整数值：_________． 12．已知等腰三角形两边长分别为和，且满足，则等腰三角形的周长是___________． 13．已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且，，，则该三角形的周长等于_____． 14．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    15．若a，b，c是的三条边长，则的化简结果为_______ 16．已知的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数． (1)若，且c为奇数，求的周长； (2)化简：． 17．已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 18．如图，已知的三边长分别为，将沿方向平移至的位置，与交于点． (1)若，则的度数为_____； (2)直接写出化简结果：_____； (3)若分别是的中点，，连接，求四边形的面积． 19．【知识回顾】 (1)我们曾通过尺规作图作三角形，探究得到以下结论： ①任意三条线段_____能组成三角形（填“一定”或“不一定”）； ②在三条线段中，如果两条较短线段的和_____最长线段（填“”“”“”），就一定可以组成三角形； ③三角形的任意两边之和_____第三边；通过不等式的变形可得：三角形的任意两边之差_____第三边（均填“大于”“等于”“小于”）； (2)【结论运用】 已知、、分别为的三边长（），且满足，．求的取值范围； (3)【拓展提升】 在（2）的条件下，若的周长为12，求的值． 20．【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $