13.1三角形的概念 同步讲义（知识点+题型精讲+过关检测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦三角形的概念这一核心知识点，系统梳理从定义及边、顶点、角等基本元素，到按角和按边的分类，再到等腰三角形的腰、底边等特殊概念，最后到三边关系原理的递进学习支架。 通过解题技巧提炼（如三角形识别三条件、数个数分类法）和典例变式训练，培养学生的抽象能力、推理意识和应用意识。课中辅助教师突破难点，课后学生可通过题型训练查漏补缺，强化知识运用。

13.1三角形的概念 目录 知识点1 三角形的定义及有关概念 1 知识点2 三角形的分类 2 知识点3 等腰三角形的定义及有关概念 2 知识点4 三角形的三边关系 3 题型1 三角形的识别与有关概念 3 题型2 三角形的个数问题 5 题型3 三角形的分类 8 题型4 等腰三角形的定义 10 1. 理解三角形的概念，掌握三角形的边、顶点、角等基本元素及表示方法。 2. 能正确识别三角形，掌握数三角形个数的方法。 3. 掌握三角形按角和按边的两种分类方法。 4. 理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形各部分名称。 知识点1 三角形的定义及有关概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的边：组成三角形的三条线段。一个三角形有三条边。 三角形的顶点：相邻两边的公共端点。一个三角形有三个顶点。 三角形的内角（角）：相邻两边组成的角。一个三角形有三个内角。 三角形的表示：用符号"△"表示，如顶点为A、B、C的三角形记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。顶点字母通常按逆时针或顺时针顺序排列。 知识点2 三角形的分类 三角形有两种分类方式，按角分类和按边分类： （1）按角分类： 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 直角三角形：有一个角是直角的三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 （2）按边分类： 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形（底边和腰相等）。 知识点3 等腰三角形的定义及有关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰：等腰三角形中相等的两条边叫做腰。 底边：等腰三角形中不相等的第三条边叫做底边。 顶角：两腰的夹角叫做顶角。 底角：腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形有两个底角。 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。 知识点4 三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 即：若三角形三边长为a、b、c，则a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a。 推论：|a－b|＜c＜a＋b（第三边大于两边之差，小于两边之和）。 作用：判断三条线段能否组成三角形；已知两边求第三边的取值范围。 题型1 三角形的识别与有关概念 【解题技巧】 ① 识别三角形的三个条件：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接。三者缺一不可。 ② 判断图形是否为三角形：检查是否满足上述三个条件。如三条线段共线、有交叉、未首尾相接等都不是三角形。 ③ 识别三角形的边、顶点、角：边是线段（如AB），顶点是点（如A），角是由两条边组成的（如∠A）。 ④ 三角形的表示：△ABC中，A、B、C是三个顶点，AB、BC、CA是三条边，∠A、∠B、∠C是三个内角。注意顶点字母顺序不影响三角形本身，但对应边和角要对应。 ⑤ 数基本元素：任意一个三角形都有3条边、3个顶点、3个内角，共6个基本元素。 ⑥ 易错点：把三角形的边说成直线或射线（边是线段）；混淆顶点和边的对应关系；表示三角形时顶点字母顺序混乱。 【常见考法】判断图形是否为三角形；指出三角形的边、顶点、角；用符号表示三角形；判断关于三角形概念的说法是否正确。 【典例1】．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1】．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． 【变式2】．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【答案】 ，，， ，， ，， 【详解】（1）解：由题意知，图中所有三角形为，，，； （2）的3个内角是，，，三条边是，，. 【变式3】．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 题型2 三角形的个数问题 【解题技巧】 ① 分类数法：在复杂图形中，按三角形的大小或位置分类，分别数出每类的个数再相加，做到不重复、不遗漏。 ② 公共边数法：先数以某条线段为公共边的三角形个数，再依次更换公共边累加。适用于有一条公共边的多个三角形。 ③ 顶点组合法：若图形中有n个点，从中任取3个不共线的点可组成一个三角形，总数为C(n,3)减去共线三点组的个数。 ④ 经典模型：一条线段上有n个点（含端点），与线外一点P连接，则三角形个数为n(n－1)/2（即从n个点中选2个与P组成三角形）。 ⑤ 数三角形技巧：按从小到大的顺序数；先数单个小三角形，再数由两个小三角形组成的，依此类推；给每个小区域标号，按组合枚举。 ⑥ 易错点：重复计数（同一个三角形被数多次）；遗漏斜向或跨区域的大三角形；数组合时忘记减去共线情况。 【常见考法】在复杂图形中数三角形个数；一条直线上有若干点与线外一点组成三角形；网格中数三角形；判断数法是否正确。 【典例2】．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：如图， 三角形有，一共有6个． 【变式1】．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 【变式2】．如图所示，图中共有三角形______个． 【答案】5/五 【详解】解：图中有：，，，，，共个． 【变式3】．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 题型3 三角形的分类 【解题技巧】 ① 按角分类技巧：看最大角。最大角是锐角→锐角三角形；最大角是直角→直角三角形；最大角是钝角→钝角三角形。只需找出三个角中最大的角判断即可。 ② 按边分类技巧：看有几条边相等。三边都不等→不等边三角形；恰好两边相等→等腰三角形；三边都相等→等边三角形。 ③ 重要关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，二者是包含关系不是并列关系。按边分类时，等腰三角形包含等边三角形。 ④ 已知角度判断类型：若三个角都已知，直接找最大角；若只知两个角，先用内角和180°求出第三个角，再找最大角判断。 ⑤ 已知边长判断类型：比较三边长度，看是否有相等的边。注意只需判断边的相等关系，不需要验证三边关系（前提是已确认为三角形）。 ⑥ 易错点：把等边三角形和等腰三角形当成并列关系；按角分类时只看一个角而忽略最大角；混淆"有一个角是锐角"和"三个角都是锐角"。 【常见考法】根据角或边的条件判断三角形类型；将三角形按角或边分类；判断分类说法是否正确；已知两角求第三角并判断类型。 【典例3】．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据题意求出和的度数即可． 【详解】解：∵是的3倍， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴是直角三角形． 【变式1】．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 【变式2】．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【答案】钝角 【分析】由最大内角的度数，即可确定三角形的形状． 【详解】解：∵在中， ， 即三角形的最大内角为钝角，故此三角形是钝角三角形． 【变式3】．如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 题型4 等腰三角形的定义 【解题技巧】 ① 判断等腰三角形：看是否有两条边相等。只要有两条边相等就是等腰三角形，不要求具体哪两条。 ② 各部分名称识别：相等的两边是腰，第三边是底边；两腰夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。注意顶角只有一个，底角有两个。 ③ 已知两边长求周长（分类讨论）：若等腰三角形两边长为a和b，需分两种情况： 情况一：a为腰、b为底，周长＝2a＋b，需验证a＋a＞b（三边关系）。 情况二：b为腰、a为底，周长＝2b＋a，需验证b＋b＞a。 两种情况都满足时周长有两个值；只有一种满足时取该值；都不满足则不能组成三角形。 ④ 等边三角形：三边都相等，是特殊的等腰三角形。等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 ⑤ 角的特征：等腰三角形的两个底角相等（后续学习），顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角一定是锐角（因为两个底角相等且和小于180°）。 ⑥ 易错点：求周长时忘记分类讨论；分类后忘记验证三边关系导致出现不能组成三角形的错误答案；混淆腰和底、顶角和底角。 【常见考法】判断三角形是否为等腰三角形；指出等腰三角形的腰、底、顶角、底角；已知两边长求周长（分类讨论）；判断关于等腰三角形的说法是否正确。 【典例4】．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 【变式1】．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的底角相等以及三角形内角和列式计算，注意分类讨论． 【详解】解：等腰三角形两底角相等， 设底角为， 若为顶角，则， 解得：， 若为底角，则另一底角也为，顶角为，不成立， 只能是顶角，底角为， 故选：B． 【变式2】．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 【变式3】．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为，再利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， ∴它的周长为． 1．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【分析】根据三角形的分类定义判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是直角三角形． 2．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 【答案】A 【分析】利用大边对大角的性质，判断最大角的类型，即可确定三角形的类型． 【详解】∵在同一个三角形中，大边对大角，最长边所对的角是三角形的最大角，又已知最长边所对的角是锐角，即三角形的最大角是锐角， ∴三角形其余两个角都小于最大角，也都是锐角， ∴三个内角均为锐角的三角形是锐角三角形， ∴这个三角形是锐角三角形． 3．如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据“大角对大边，小角对小边”进行求解即可． 【详解】解：在一个三角形中，根据大角对大边，小角对小边可知：在中，，则有，故①是真命题； 若，则有， ∵， ∴， ∴， ∴，故②是假命题； 综上所述：①是真命题，②是假命题． 4．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 5．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为； 第③个图中三角形的个数为； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑧个图形中三角形的个数为：． 6．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 7．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 8．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的运用以及图形的识别能力和推理能力，三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解：从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角或有一个钝角或有一个锐角． 故选：D． 9．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念即可求解，正确理解三角形的概念是解题的关键． 【详解】解：以为公共角的三角形有，，共个， 故选：． 10．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形形状判定，由于三角形三边长度比为，即三边相等，因此该三角形是等边三角形． 【详解】解：∵一个三角形三条边的长度比是，即三边长度相等， ∴此三角形为等边三角形． 故选：C． 11．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段的和差计算与圆的半径性质，熟练掌握“同圆的半径相等”是解题的关键．先根据线段和差求出的长度，再利用已知条件得到、的长度，最后计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心、为半径作弧交延长线于点， ∴， ∴的周长， 故选：． 12．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 13．在中，若，则，其依据是___________． 【答案】 在同一个三角形中，大角对大边 【详解】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边， 故答案为：在同一个三角形中，大角对大边． 14．已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 【答案】等腰三角形 【分析】根据，是的两边可知，进而根据得到，可知的形状一定是等腰三角形． 【详解】解：∵，是的两边， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的形状一定是等腰三角形． 15．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 16．的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【答案】 等腰 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 17．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 【答案】等腰三角形三边长分别为，， 【分析】设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个等腰三角形三边长分别为，，． 18．观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 【答案】锐角三角形：③ ⑤；直角三角形：① ④ ⑥；钝角三角形：② ⑦ 【分析】根据三角形按角分类的定义：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，据此对图中三角形逐个分类即可求解． 【详解】解：观察图形可得①，④，⑥中都有一个标注直角符号的内角，说明有一个内角是直角，因此①④⑥是直角三角形； ②，⑦中都有一个内角是钝角，因此②⑦是钝角三角形； ③，⑤中三个内角都是锐角，因此③⑤是锐角三角形． 19．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 【答案】(1) 以为边的三角形能画3个，如图所示， 即为所求； (2)是等腰三角形，是钝角三角形 【分析】本题考查本题考查了三角形的定义，网格结构的知识，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据网格结构作出图形并回答问题； （2）根据等腰三角形的定义和钝角三角形的定义分别作答． 【详解】（1）略 （2）略 20．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； 21．如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)0.9或2.4或3.6 【分析】（1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知，进而可知，根据列方程求解即可； （4）分为点P在上、点P在上当点P在上时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 22．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 【答案】(1)3，6，10 (2) 【分析】此题考查了规律型：图形的变化类． （1）由已知条件可得出点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形；点、之间有2个点时，共有6个三角形；点、之间有3个点时，共有10个三角形； （2）通过观察得知，点、之间有个点时，边上线段的总数为：，推出结论； 【详解】（1）解：通过观察得知： 点、之间有1个点时，即线段共有3个点时，边上线段的总数为：，共有3个三角形； 点、之间有2个点时，即线段共有4个点时，边上线段的总数为：，共有6个三角形； 点、之间有3个点时，即线段共有5个点时，边上线段的总数为：，共有10个三角形； 故答案为：3，6，10 （2）解：由（1）可看出，点、之间有个点时，即线段共有个点时，边上线段的总数为：，共有个三角形； 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1三角形的概念 目录 知识点1 三角形的定义及有关概念 1 知识点2 三角形的分类 2 知识点3 等腰三角形的定义及有关概念 2 知识点4 三角形的三边关系 3 题型1 三角形的识别与有关概念 3 题型2 三角形的个数问题 4 题型3 三角形的分类 6 题型4 等腰三角形的定义 7 1. 理解三角形的概念，掌握三角形的边、顶点、角等基本元素及表示方法。 2. 能正确识别三角形，掌握数三角形个数的方法。 3. 掌握三角形按角和按边的两种分类方法。 4. 理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形各部分名称。 知识点1 三角形的定义及有关概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的边：组成三角形的三条线段。一个三角形有三条边。 三角形的顶点：相邻两边的公共端点。一个三角形有三个顶点。 三角形的内角（角）：相邻两边组成的角。一个三角形有三个内角。 三角形的表示：用符号"△"表示，如顶点为A、B、C的三角形记作"△ABC"，读作"三角形ABC"。顶点字母通常按逆时针或顺时针顺序排列。 知识点2 三角形的分类 三角形有两种分类方式，按角分类和按边分类： （1）按角分类： 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。 直角三角形：有一个角是直角的三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 （2）按边分类： 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。 等腰三角形：有两条边相等的三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形（底边和腰相等）。 知识点3 等腰三角形的定义及有关概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 腰：等腰三角形中相等的两条边叫做腰。 底边：等腰三角形中不相等的第三条边叫做底边。 顶角：两腰的夹角叫做顶角。 底角：腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形有两个底角。 三条边都相等的三角形叫做等边三角形（也叫正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形。 知识点4 三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。 即：若三角形三边长为a、b、c，则a＋b＞c，a＋c＞b，b＋c＞a。 推论：|a－b|＜c＜a＋b（第三边大于两边之差，小于两边之和）。 作用：判断三条线段能否组成三角形；已知两边求第三边的取值范围。 题型1 三角形的识别与有关概念 【解题技巧】 ① 识别三角形的三个条件：三条线段、不在同一直线上、首尾顺次相接。三者缺一不可。 ② 判断图形是否为三角形：检查是否满足上述三个条件。如三条线段共线、有交叉、未首尾相接等都不是三角形。 ③ 识别三角形的边、顶点、角：边是线段（如AB），顶点是点（如A），角是由两条边组成的（如∠A）。 ④ 三角形的表示：△ABC中，A、B、C是三个顶点，AB、BC、CA是三条边，∠A、∠B、∠C是三个内角。注意顶点字母顺序不影响三角形本身，但对应边和角要对应。 ⑤ 数基本元素：任意一个三角形都有3条边、3个顶点、3个内角，共6个基本元素。 ⑥ 易错点：把三角形的边说成直线或射线（边是线段）；混淆顶点和边的对应关系；表示三角形时顶点字母顺序混乱。 【常见考法】判断图形是否为三角形；指出三角形的边、顶点、角；用符号表示三角形；判断关于三角形概念的说法是否正确。 【典例1】．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【变式2】．（1）如图，点在中，写出图中所有三角形：________； （2）如图，的3个内角是________，三条边是________． 【变式3】．如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 题型2 三角形的个数问题 【解题技巧】 ① 分类数法：在复杂图形中，按三角形的大小或位置分类，分别数出每类的个数再相加，做到不重复、不遗漏。 ② 公共边数法：先数以某条线段为公共边的三角形个数，再依次更换公共边累加。适用于有一条公共边的多个三角形。 ③ 顶点组合法：若图形中有n个点，从中任取3个不共线的点可组成一个三角形，总数为C(n,3)减去共线三点组的个数。 ④ 经典模型：一条线段上有n个点（含端点），与线外一点P连接，则三角形个数为n(n－1)/2（即从n个点中选2个与P组成三角形）。 ⑤ 数三角形技巧：按从小到大的顺序数；先数单个小三角形，再数由两个小三角形组成的，依此类推；给每个小区域标号，按组合枚举。 ⑥ 易错点：重复计数（同一个三角形被数多次）；遗漏斜向或跨区域的大三角形；数组合时忘记减去共线情况。 【常见考法】在复杂图形中数三角形个数；一条直线上有若干点与线外一点组成三角形；网格中数三角形；判断数法是否正确。 【典例2】．图中共有（     ）个三角形 A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【变式2】．如图所示，图中共有三角形______个． 【变式3】．仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 题型3 三角形的分类 【解题技巧】 ① 按角分类技巧：看最大角。最大角是锐角→锐角三角形；最大角是直角→直角三角形；最大角是钝角→钝角三角形。只需找出三个角中最大的角判断即可。 ② 按边分类技巧：看有几条边相等。三边都不等→不等边三角形；恰好两边相等→等腰三角形；三边都相等→等边三角形。 ③ 重要关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，二者是包含关系不是并列关系。按边分类时，等腰三角形包含等边三角形。 ④ 已知角度判断类型：若三个角都已知，直接找最大角；若只知两个角，先用内角和180°求出第三个角，再找最大角判断。 ⑤ 已知边长判断类型：比较三边长度，看是否有相等的边。注意只需判断边的相等关系，不需要验证三边关系（前提是已确认为三角形）。 ⑥ 易错点：把等边三角形和等腰三角形当成并列关系；按角分类时只看一个角而忽略最大角；混淆"有一个角是锐角"和"三个角都是锐角"。 【常见考法】根据角或边的条件判断三角形类型；将三角形按角或边分类；判断分类说法是否正确；已知两角求第三角并判断类型。 【典例3】．在中，，且是的3倍，那么该三角形是（     ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【变式1】．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 【变式2】．在中，，，，那么是__________三角形．（填“锐角”、“钝角”或“直角”） 【变式3】．如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 题型4 等腰三角形的定义 【解题技巧】 ① 判断等腰三角形：看是否有两条边相等。只要有两条边相等就是等腰三角形，不要求具体哪两条。 ② 各部分名称识别：相等的两边是腰，第三边是底边；两腰夹角是顶角，腰与底边的夹角是底角。注意顶角只有一个，底角有两个。 ③ 已知两边长求周长（分类讨论）：若等腰三角形两边长为a和b，需分两种情况： 情况一：a为腰、b为底，周长＝2a＋b，需验证a＋a＞b（三边关系）。 情况二：b为腰、a为底，周长＝2b＋a，需验证b＋b＞a。 两种情况都满足时周长有两个值；只有一种满足时取该值；都不满足则不能组成三角形。 ④ 等边三角形：三边都相等，是特殊的等腰三角形。等边三角形一定是等腰三角形，但等腰三角形不一定是等边三角形。 ⑤ 角的特征：等腰三角形的两个底角相等（后续学习），顶角可以是锐角、直角或钝角，但底角一定是锐角（因为两个底角相等且和小于180°）。 ⑥ 易错点：求周长时忘记分类讨论；分类后忘记验证三边关系导致出现不能组成三角形的错误答案；混淆腰和底、顶角和底角。 【常见考法】判断三角形是否为等腰三角形；指出等腰三角形的腰、底、顶角、底角；已知两边长求周长（分类讨论）；判断关于等腰三角形的说法是否正确。 【典例4】．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．等腰三角形的一个角是，则它的底角是（   ） A． B． C．或 D． 【变式2】．已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【变式3】．如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 1．在中，若，则是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 2．如果一个三角形中最长的边所对的角是锐角，那么这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上皆有可能 3．如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 4．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图，第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑧个图形中三角形的个数是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 6．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 7．如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．如图，某一个三角形被长方形纸板遮住一部分，只露出一个角，你能判断它是什么三角形吗？你的判断是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 9．如图，以为公共角的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．若一个三角形三条边的长度比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 11．如图，在中，，以点为圆心、为半径作弧，交的延长线于点，若，，则的周长是（   ） A．7 B．9 C．12 D．15 12．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 13．在中，若，则，其依据是___________． 14．已知，是的两边，且满足，则的形状一定是__________． 15．如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 16．的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 17．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 18．观察下面的三角形，其中哪些是锐角三角形，哪些是直角三角形，哪些是钝角三角形？ 19．如图，过A、B、C、D、E五个点中的任意三点画三角形． (1)以为边画三角形，能画几个？将其画出来并写出各三角形的名称； (2)分别指出（1）中的三角形中的等腰三角形和钝角三角形． 20．如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 21．如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 22．找规律，填空： (1)请按照下列要求数出三角形的个数． ①边上有1个点〔图（1）〕，三角形的个数为________． ②边上有2个点〔图（2）〕，三角形的个数为________． ③边上有3个点〔图（3）〕，三角形的个数为________． (2)当边上有m个点（不含两点）时，图形中三角形的个数为________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $