第六单元 图形的奥秘（知识清单）数学北师大版四年级上册（新教材）

该小学数学“图形的奥秘”单元知识清单系统梳理了立体图形截面、立体搭建与正方体翻滚三大核心内容，构建了从“概念定义”到“探究方法”再到“问题解决”的递进式学习支架，涵盖圆柱截面规律、分层俯视图应用及正方体滚动周期等关键知识范畴。 清单通过“知识点+题型+素养”三维架构呈现知识体系，如圆柱截面用“液体验证法”（装水杯子观察水面）具象化抽象概念，培养几何直观；立体搭建强调“分层法”与“存在性逻辑”，发展空间观念；正方体翻滚融入“余数解决策略”，提升推理意识。配套例题覆盖选择、填空、解答题，标注重难点如“三维转二维绘图”，助力学生自主复习，教师可直接用于课堂分层教学。

第六单元 图形的奥秘 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：切开立体图形： 1、截面的概念 定义： 用一个平面去截一个立体图形，平面与立体图形表面相交形成的平面图形叫做截面。 核心思想： “面动成体”的逆向思维，即通过“切”这个动作，将三维的立体图形转化为二维的平面图形来观察。 2、圆柱的截面形状 （1）横切（平行于底面）： 形状：圆形。 特点：如果圆柱上下粗细均匀，无论在哪里横切，截出的圆大小都相等，且与底面大小相同。 （2）竖切（垂直于底面且过圆心/轴）： 形状：长方形（或正方形）。 特点：长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱底面的直径。这是圆柱最大的纵截面。 （3）斜切： 形状：椭圆形（或不规则形状，取决于切割角度）。 特点：当切割平面与底面不平行也不垂直时，截面会变成椭圆。 4、探究方法与验证手段 猜想：先根据立体图形的特征，想象切开后的形状。 验证（转化法）： 实物模拟：利用装水的圆柱形杯子。水面始终保持水平，通过倾斜杯子，可以直观地观察到水面（即截面）从圆形变为椭圆的过程。这是一种非常巧妙的“液体验证法”。 实际操作：切萝卜、切黄瓜等生活实例，将抽象的几何问题具体化。 5、截面大小的变化规律 柱体（如圆柱、长方体）： 平行于底面切割，截面大小不变（全等）。 锥体（如圆锥）： 平行于底面切割，截面大小随高度变化（相似但不全等），呈现“上小下大”的规律。 知识点02：搭建立体大楼： 1、“图纸”的含义与规则 定义：这里的“图纸”实际上是一种分层俯视图。它将立体图形按层拆解，从上往下看，记录每一层正方体的位置。 数字含义： 1：代表该位置有1个正方体。 0：代表该位置没有正方体（空的）。 注：虽然本课主要讲1和0，但这种思想是未来学习“堆叠计数”的基础，即数字几就代表那一摞有几个。 层级关系：图纸通常分为“第一层”、“第二层”等。第一层是地基，决定了大楼的占地面积；第二层必须建在第一层有方块的位置上（悬空是不存在的）。 2、读图与搭建（从二维到三维） 观察顺序：先看第一层（底层），确定底面形状和正方体数量；再看第二层，确定哪些位置有叠加。 搭建策略： 分层法：先摆好第一层的4个（或其他数量），再在对应位置往上加第二层的方块。 整体法：看着图纸，直接在对应位置摞起来（适合空间想象力较强的学生）。 数学信息提取： 能通过图纸读出总共有几层、每层有几个、总共有多少个正方体。 3、画图与表征（从三维到二维） 这是本课的难点，要求学生具备逆向思维。 观察方法：从上往下看立体图形。 绘图步骤： 定范围：画出对应的网格（如2×3 或1×4 ）。 填第一层：凡是地上有方块的，对应格子里填“1”。 填第二层：凡是有第二层方块的，在另一张图纸的对应位置填“1”，没有的填“0”。 验证：画完后，数一数图纸上“1”的总数是否等于立体图形的总块数。 4、空间推理与逻辑判断 遮挡关系： 在立体图中，上面的方块会挡住下面的，但在“图纸”中，每一层都是透明可见的。 存在性逻辑： 如果第二层某个位置是“1”，那么第一层对应位置必须也是“1”（因为不能悬空）。这是一个重要的隐含逻辑条件，常用于判断题。 5、核心素养培养 空间想象力： 在头脑中构建物体形象的能力。 几何直观： 利用图形描述和分析问题的能力。 符号意识： 理解数字“1”和“0”在这里不仅仅是数量，更代表了“位置”和“状态”。 知识点03：翻滚正方体： 1、正方体的滚动规律（周期性） （1）滚动一圈的概念：正方体有4个侧面。当它在直线上连续向前翻滚时，每翻滚4次，它就会回到初始的朝向状态（即转了一圈）。 （2）面的接触规律： 假设起始时蓝色面在上面。 第1次翻滚：前面变下面，上面变前面，右面变下面（假设向右滚）。此时蓝色面在前面。 第2次翻滚：蓝色面变到下面（接触地面/数字）。 第3次翻滚：蓝色面变到后面。 第4次翻滚：蓝色面变回上面。 （3） 结论：同一个面接触地面的数字，每隔4个数就会出现一次。例如，如果第一次接触的是数字2，那么下一次接触就是2+4=6 ，再下一次是6+4=10 ，以此类推。 2、相对面与相邻面的关系 相对面不相邻： 在滚动过程中，相对的两个面（如上与下、前与后、左与右）永远不会同时接触地面，也不会同时出现在侧面。 侧面的循环： 只有围成一圈的4个侧面会轮流接触地面。上下底面在水平直线滚动中永远不接触地面（除非改变滚动方向）。 3、空间想象与轨迹追踪 动态思维： 学生需要在头脑中建立正方体滚动的动态模型，而不是仅仅依靠实物操作。 状态记录： 学会追踪特定面（如蓝色面）的位置变化（上→前→下→后→上...）。 多颜色问题： 当四个侧面分别涂上红、黄、绿、蓝时，它们接触地面的顺序也是固定的循环序列。例如，若顺序是红→黄→绿→蓝，那么红色接触的数字如果是1，黄色就是2，绿色就是3，蓝色就是4，红色又是5。 4、解决复杂问题的策略 利用余数解决问题： 如果要判断第N次翻滚哪个面朝下，可以用N÷4 。 余数是1，对应循环里的第1个面； 余数是2，对应第2个面； 余数是3，对应第3个面； 没有余数（整除），对应第4个面。 起点的影响： 注意题目中起点的状态（哪个面朝上，哪个面朝前），这决定了循环序列的起始位置。 题型1：切开立体图形 【例1】用一个平面去截一个圆柱体，如果切割平面平行于底面（即横着切），切出来的截面形状是（ ）；如果切割平面垂直于底面并沿着直径切开（即竖着切），切出来的截面形状通常是（ ）。 答案： 圆形；长方形（或正方形） 解析： 这是圆柱截面的基本性质。横切时，截面与底面平行且全等，因此是圆形；竖切时，截面经过圆柱的高和底面直径，形成的四边形对边平行且相等，四个角为直角，因此是长方形（当底面直径等于高时为正方形）。 【例2】在探究圆柱斜着切会得到什么形状时，可以利用装有水的圆柱形杯子进行模拟实验。通过倾斜杯子观察水面的形状来验证猜想，这是因为静止的水面总是平的，水面的边缘轮廓就代表了（ ）的形状。实验发现，斜着切圆柱得到的截面通常是（ ）形。 答案： 截面（或切面）；椭圆 解析： 利用液体的水平特性模拟几何截面是一种转化思想。当杯子倾斜时，水面相对于杯身就是斜切的平面。观察可知，斜切圆柱体得到的截面是一个被拉长的圆，即椭圆形。 【例3】对比圆柱和圆锥的横切面：圆柱上下粗细均匀，所以无论在哪里横切，截出的圆大小都是（ ）的；而圆锥上尖下宽，横切时越靠近顶点，截出的圆越（ ），越靠近底面，截出的圆越（ ）。 答案： 相等（或一样）；小；大 解析： 圆柱体具有等粗性，平行于底面的截面均全等。圆锥体具有锥度，其半径随高度线性变化，因此平行于底面的截面圆面积随高度降低而增大。 【例4】除了圆柱和圆锥，长方体也是常见的立体图形。如果用刀垂直于长方体的长进行横切，切出来的截面形状通常是（ ）；如果沿着长方体的对角线竖直切下，切出来的截面形状通常是（ ）。 答案： 长方形（或正方形）；长方形 解析： 长方体的面本身就是长方形。垂直于棱切，截面平行于侧面，故为长方形；沿对角线竖切，截面经过两条相对的棱，形成的依然是长方形。 题型2：搭建立体大楼 【例5】用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。 【答案】 ③ ② 【分析】俯视图数字含义：方格数字代表该位置堆叠小正方体的层数； 主视图（从前面看）：按列取每一列最大层数； 左视图（从左面看）：按列取每一列最大层数。 梳理俯视图布局 俯视图两行：后排1格，数字3；前排3格从左到右数字：2、1、1； 列划分（从左往右看共3列）：第1列最高2层，第2列最高3层，第3列最高1层。 【详解】1.判断从前面看（主视图） 从正面看分为3列，各列最大高度：2、3、1； 图形特征：共三列方格，第二列最高三层，左侧有2层方格，右侧有1层方格，对应③。 2.判断从左面看（左视图） 从左面看分为左右2列：左列最高3层，右列最高2层； 图形特征：左侧一竖列三层，右侧对齐下方两层，对应②。 由此可得，这个几何体从前面看是（③），从左面看是（②）。 【例6】小文用相同小正方体搭的积木从上面看是，上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。搭的这组积木，从左面看是( )，从前面看是( )。（填序号） 【答案】 ④ ① 【分析】根据题干信息从上面看，可知立体图形为前后2行，第1行从左至右小正方体的个数分别为：1、1、3，第2行从左至右小正方体的个数分别为：0、0、2；因此从左面看能看到左右两列，左列最高层为3层，右列能看到2层，即； 从前面看为左右3列，第1列为1层1个小正方体，第2列为1层1个小正方体，第3列最高层为3层，能够看到3个小正方体，即。 【详解】根据分析可知，从左面看是，从前面看是。 【例7】左图是从上面看到的图形，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的正方体的个数，一共摆了( )个正方体，从左面看是( )（填序号）。 【答案】 【分析】将每个位置的正方体个数相加，即可得到正方体的总数。 根据立体图形的特征判断三视图的各自特点，找到符合左视图特征的图形，就是从左面看到的图形。 图①横向一列有个正方体，中间竖向一列也是个正方体，它是从这个图形的前面或者上面看到的图形，不符合题目的要求。 图②从左面看这个立体图形，能看到三列，左边一列有个正方体，中间一列有个正方体，右边一列有个正方体，图②选项符合题目要求。 图③无论从左面、右面、前面和上面看都不是这个正方体的图形，所以图③不符合要求。 【详解】 （个） 一共摆了8个正方体，从左面看是②。 【例8】洋洋用同样的正方体积木搭成一个从上面看是的几何体，每个正方形上面的数字表示这个位置上所用的正方体积木的个数，这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。 【答案】 ② ④ 【分析】 根据从上面看到的图形还原立体图形是，由此可知： 从前面能看到三层三列，从左往右数，第一列在第一层和第二层上各有1个小正方形，第二列在第一层、第二层和第三层上各有1个小正方形，第三列在第一层有1个小正方形。 从左面能看到三层三列，从左往右数，第一列在第一层、第二层和第三层上各有1个小正方形，第二列在第一层和第二层上各有1个小正方形，第三列在第一层有1个小正方形。 【详解】 从前面能看到的图形是 从左面能看到的图形是 题型3：翻滚正方体 【例9】正方体有4个侧面，当它在直线上连续向前翻滚时，每翻滚（ ）次，正方体的朝向就会恢复到初始状态（即转了一圈）。因此，同一个面接触地面的数字，每隔（ ）个数就会出现一次。 答案： 4；4 解析： 这是本课的核心规律。正方体侧面有4个，滚动是一个循环过程。 第1次翻滚，前面变下面； 第2次翻滚，上面变下面； 第3次翻滚，后面变下面； 第4次翻滚，原来的下面（也就是现在的后面）又变回下面，完成一个周期。 所以，如果蓝色面第一次在数字2，下一次出现就是在 2+4=6 。 【例10】假设一个正方体放在起点，它的右面是蓝色的。当它向右翻滚第1次落在数字1上时，蓝色面依然朝右；当它继续向右翻滚第2次落在数字2上时，蓝色面会变成朝（ ）（填方位）；当它翻滚第3次落在数字3上时，蓝色面会变成朝（ ）（填方位）。 答案： 下；左 解析： 这是一个动态的空间想象过程： 初始： 蓝面在右。 第1次翻滚（落1）： 正方体向右倒，左右方向的面不受影响，只是跟着平移，所以蓝面还在右。 第2次翻滚（落2）： 正方体继续向右倒，原本朝右的面（蓝面）被压到了底下，所以蓝面朝下。 第3次翻滚（落3）： 正方体继续向右倒，原本朝下的面（蓝面）被翻到了左边，所以蓝面朝左。 【例11】如果一个正方体的四个侧面分别涂上了红、黄、绿、蓝四种颜色。已知红色面和绿色面是相对的，黄色面和蓝色面是相对的。如果正方体从起点开始滚动，红色面第一次接触地面（对应数字1），那么紧接着第二次接触地面的是（ ）色或（ ）色（填两种可能），绝对不会是（ ）色。 答案： 黄；蓝（顺序可换）；绿 解析： 相对面不相邻： 红色和绿色相对，意味着它们永远不可能同时接触地面，也不可能紧挨着出现。红色朝下时，绿色一定朝上。 相邻面轮流： 剩下的黄色和蓝色是相邻的。红色朝下后，接下来朝下的必然是与红色相邻的侧面，也就是黄色或者蓝色（取决于具体的排列顺序）。 【例12】正方体从起点开始向右滚动，如果要滚到数字30的位置。因为正方体每滚动4次为一个循环，我们可以用除法来计算：30÷4=7……2 。这个余数“2”告诉我们，正方体在第30格时的朝向，与它在第（ ）格时的朝向是完全一样的。 答案： 2 解析： 这是利用周期性解决大数字问题的方法。 商“7”代表正方体完整地转了7圈，回到了初始朝向。 余数“2”代表它又多滚了2次。 所以，第30格的状态等同于第2格的状态（也等同于第6格、第10格……的状态）。 一、选择题 1．一个立体图形从正面看是正方形，这个立体图形不可能是（    ）。 A．正方体 B．长方体 C．球 【答案】C 【分析】判断每个立体图形从正面观察的形状：正方体所有面都是正方形，从正面看是正方形；长方体可能有正方形的面，从正面看也可能是正方形；球无论从哪个方向看都是圆形，不可能是正方形。 【详解】A．正方体从正面看的形状是正方形，不符合题意； B．有两个相对面是正方形的长方体，从正面看可能看到的是正方形，不符合题意； C．球从任意方向观察的形状都是圆形，不可能是正方形，符合题意。 2．正方体滚动周期是（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】B 【分析】正方体沿固定方向滚动时，每滚动4次就会恢复初始的面朝向状态，因此正方体滚动周期是4。 【详解】正方体的侧面共有4个，沿同一方向每次滚动90°，滚动4次后各面朝向与初始状态完全相同，所以正方体滚动周期是4。 3．正方体四个面分别涂红、黄、绿、蓝四种颜色，从起点沿数字带1→2→3……的方向滚动，第1格朝上的颜色是红色，第5格朝上的颜色是（    ）。 A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 【答案】A 【分析】正方体沿直线滚动时，四个涂色面轮流朝上，每滚动4次就回到初始的朝上颜色，周期为4，用总格数除以4，无余数则是周期的最后一个，余数是几就是周期的第几个。 【详解】滚动周期为4， 余数是1，说明第5格朝上的颜色和第1格相同，为红色。 4．正方体从起点沿数字带1→2→3……的方向滚动到第8格，经过的颜色周期是4，第8格朝上的颜色和第（    ）格相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题属于周期问题，颜色周期为4，每4格朝上的颜色就会循环一次，整除时对应周期最后一格的颜色。 【详解】（组） 计算结果没有余数，说明第8格是2个完整周期的最后一格，和每个周期的最后一格也就是第4格朝上的颜色相同。 5．立体大楼第一层图纸，第二层，总共有（    ）个正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】图纸中的数字表示此位置的方块数量，把两层图纸中所有的数字加起来就是总的正方体数量。 【详解】第一层：1＋1＋1＝3（个） 第二层：1＋1＝2（个） 3＋2＝5（个） 6．一个由小正方体搭建的几何体，从上面看到的图形是（正方形里的数字表示从这个方向看，数字所在位置的所有小正方体的个数）。这个几何体从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题图，从左面看这些小正方体有两列，左边一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体。据此逐一分析各个选项即可解答。 【详解】 A． 左面看这些小正方体有两列，左边一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体，符合题意； B．左面看这些小正方体有两列，左边一列看到2个小正方体，右边一列看到3个小正方体，不符合题意； C．左面看这些小正方体有三列，左边一列看到1个小正方体，中间一列看到3个小正方体，右边一列看到2个小正方体，不符合题意； D． 左面看这些小正方体有三列，左边一列看到2个小正方体，中边一列看到3个小正方体，右边一列看到1个小正方体，不符合题意。 所以这个几何体从左面看到的图形是。 7．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个小正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看到的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据俯视图数字判断每一列最高小正方体个数，从上面看到的图形分为左、中、右三列，左列最高2个，中间列最高3个，右列最高2个。 【详解】A．左列最高2个，中间列最高3个，右列最高2个，正确； B．左列最高2个，中间列最高1个，右列最高2个，错误； C．只有2列，错误。 8．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形是（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体从前面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知，这个几何体有前、后两排，前排有两列，后排一列，并且前后两排右侧对齐。前排左边有1个小正方体，前排右边有3个小正方体；后排有2个小正方体，和前排最右侧对齐。 【详解】由分析可知：这个几何体从前面看，有两列，左列1个小正方形，右列3个小正方形，即。 9．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如右图（每个小正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据上面看到的图形还原几何体： 这个几何体从前面看有3列，左列是2个正方形，中间列是3个正方形，右列是1个正方形，据此选择。 【详解】 这个几何体，从前面看是。 10．下面切面一定是三角形的是（    ）。 A．圆柱横切 B．圆锥竖切 C．长方体横切 D．圆柱竖切 【答案】B 【分析】圆柱横切的切面是圆形。沿着圆锥的顶点竖直切到底面，得到的切面一定是三角形。长方体横切的切面一般是长方形/正方形。圆柱竖切的切面是长方形（或正方形）。 逐个判断各选项对应立体图形切割后的切面形状，选出切面一定为三角形的选项。 【详解】A．圆柱横切，切面是圆形，不符合要求。 B．圆锥沿着过顶点和底面直径的方向竖切，切面是等腰三角形，符合要求。 C．长方体横切，切面是长方形（或正方形），不符合要求。 D．圆柱竖切，切面是长方形（或正方形），不符合要求。 11．把圆柱斜着切（不平行也不垂直于底面），切面的形状是（    ）。 A．圆形 B．椭圆形 C．长方形 D．正方形 【答案】B 【分析】根据圆柱不同切割方式对应的切面形状判断即可。 【详解】A．只有切面完全平行于圆柱底面的时候，切出来才是圆形，不符合题目里“不平行于底面”的要求。 B．当切割面既不平行也不垂直于底面斜切时，切面形状是椭圆形。 C．只有切面垂直于圆柱底面、沿着圆柱的竖直方向切的时候，才可能切出长方形或正方形，不符合“不垂直于底面”的要求。 D．只有切面垂直于圆柱底面、沿着圆柱的竖直方向切的时候，才可能切出长方形或正方形，不符合“不垂直于底面”的要求。 12．把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 【答案】B 【分析】长方体的面均由线段围成，切面不可能出现曲线图形；普通长方体无特殊说明时长宽高不全相等，沿长竖直切得到的四边形邻边不等。 【详解】圆形、椭圆形由曲线围成，长方体的切面都由线段组成，没有特殊说明时，默认是普通长方体，长宽高不完全相等，沿长的方向竖直切得到的四边形邻边长度不等，为长方形。 13．把下面的立体图形切开，切开后（    ）得到的切面不是圆。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A．选项是平行于圆锥底面切圆锥，切面是圆。 B．选项的切面是斜着竖切圆柱，这样切出来的图形是椭圆，不可能得到圆形。 C．选项是切球体，不管怎么切球，切面都是圆。 D．选项是平行于圆柱上下底面切圆柱，切面是圆。 【详解】由分析可知，切开后得到的切面不是圆。 14．把萝卜斜着切，切面形状更接近（    ）。 A．正方形 B．椭圆 C．三角形 D．长方形 【答案】B 【分析】结合生活常识，萝卜近似圆柱体，可根据圆柱不同切法对应的切面形状判断。 【详解】 萝卜整体近似圆柱体：平行于底面切，切面为圆形；平行于高竖直切，切面为长方形或正方形；斜着切时，切面没有棱角，形状更接近椭圆。如图所示： 二、填空题 15．圆柱平行于底面切开，切面是( )形；垂直于底面切开，切面是( )形；斜着切开，切面是( )形。 【答案】 圆 长方 椭圆 【分析】圆柱上下两个底面是完全相同的圆形，平行于底面横切圆柱，切面和底面形状相同，是圆；同一个圆柱所有平行于底面的横切面直径相等，大小相等；竖着切、垂直底面：沿过圆柱轴线的平面，切面上下两条边平行且等于圆柱的高，左右两条边等于底面直径，切面是长方形；特殊情况：当圆柱底面直径＝圆柱的高时，切面为正方形。斜着切开，切面是椭圆形。 【详解】由分析得： 圆柱平行于底面切开，切面是圆形；垂直于底面切开，切面是长方（或正方）形；斜着切开，切面是椭圆形。 16．把圆柱形火腿肠平行于两端切一刀，切面是( )；斜着切一刀，切面是( )形。 【答案】 圆 椭圆 【分析】圆柱的两个底面是完全相同的圆，当切面和底面平行时，切面会和底面的形状、大小一致，所以切面是圆。 斜着切当切面和底面不平行时，圆柱的侧面被斜向切割，形成的封闭曲线是椭圆，所以切面是椭圆。 【详解】把圆柱形火腿肠平行于两端切一刀，切面是圆；斜着切一刀，切面是椭圆形。 17．一根黄瓜，从粗的一头切到细的一头，切面越来越( )。 【答案】小 【分析】黄瓜近似圆台，粗的一头直径较大，切面面积大，细的一头直径较小，切面面积小。 【详解】一根黄瓜，从粗的一头切到细的一头，切面越来越小。 18．圆柱横着（平行于底面）切开，切面是( )形，且所有横切面的大小( )；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是( )形。 【答案】 圆 相等 长方/正方 【分析】圆柱上下两个底面是完全相同的圆形，平行于底面横切圆柱，切面和底面形状相同，是圆；同一个圆柱所有平行底面的横切面直径相等，大小相等；竖着切、垂直底面：沿过圆柱轴线的平面，切面上下两条边平行且等于圆柱的高，左右两条边等于底面直径，切面是长方形；特殊情况：当圆柱底面直径＝圆柱的高时，切面为正方形。 【详解】由分析可知，圆柱横着（平行于底面）切开，切面是圆形，且所有横切面的大小相等；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是长方形或正方形。 19．长方体平行于前面切开，切面是( )形；正方体无论从哪个方向平行于面切开，切面都是( )形。 【答案】 长方 正方 【分析】长方体的前面本身是长方形，平行于前面切开时，得到的切面和前面的形状、大小完全一样，所以是长方形。正方体的6个面全都是正方形，不管沿着哪个面的平行方向切，切面都和对应的面形状一致，所以都是正方形。 【详解】长方体平行于前面切开，切面是长方形；正方体无论从哪个方向平行于面切开，切面都是正方形。 20．按下面的图纸搭成的立体大楼是什么样子的？想一想，在（    ）里画“√”。 【答案】（√）（    ）（    ） 【分析】观察第一层表格：第一行（后排），4个位置都有正方体；第二行（中排），只有第2个位置有正方体；第三行（前排），只有第二个位置有正方体，这说明底层的形状是后排4个连在一起，中排和前排各有一个，且都在第2列的位置。 观察第二层表格：第一行（后排），第2个和第4个位置有正方体；第二行（中排），没有正方体；第三行（前排），只有第二个位置有正方体，这说明上层有3个正方体，分别叠在底层对应的位置。 【详解】 21．下面是一个立体大楼的图纸，请看图回答问题。 (1)这个立体大楼最高有( )层。 (2)这个立体大楼的第一层有( )个小正方体，第二层有( )个小正方体，第三层有( )个小正方体。 (3)下图中，( )是按图纸搭成的立体大楼。 ①        ② 【答案】(1)三/3 (2) 6 3 1 (3)① 【分析】（1）方格数字代表对应位置正方体数量，最大数字就是最高层数； （2）第一层把所有位置≥1相加，第二层统计数字≥2的位置数量，第三层统计数字≥3的位置数量； （3）第二行第一个位置有3个小正方体。 【详解】（1）最大数字是3，最高3层。 （2）第一层：位置数字≥1：一共6个 第二层：位置数字≥2：3、2、2，一共3个 第三层：位置数字≥3：3，一共1个 （3）第二行第一个位置有3个小正方体，对应图形①。 22．用正方体搭立体大楼，图纸中“1”代表( )，“0”代表( )。 【答案】 所在位置有1个正方体 所在位置没有正方体 【分析】 用正方体搭立体图形的基础图纸规则：数字用来标注对应位置的正方体数量，1就表示该位置摆放了正方体，0就表示该位置不摆放正方体。据此解答。 【详解】“1”代表所在位置有1个正方体，“0”代表所在位置没有正方体。 23．一个两层的立体大楼，第一层图纸是，第二层图纸是，说明第一层有( )个正方体，第二层有( )个正方体，总共有( )个正方体。 【答案】 3 2 5 【分析】这种标数字的平面图里，格子上的数字就代表这个位置对应的本层正方体的数量。第一层的图纸三个格子都标1，把数字相加1＋1＋1＝3，所以第一层有3个正方体；第二层的图纸三个格子数字是1、0、1，相加1＋0＋1＝2，所以第二层有2个正方体；把两层的数量加起来3＋2＝5，就是总共的正方体数量。据此解答。 【详解】1＋1＋1＝3 1＋0＋1＝2 3＋2＝5 即第一层有3个正方体，第二层有2个正方体，总共有5个正方体。 24．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从正面看是______，从左面看是______。 【答案】 ① ③ 【分析】根据从上面看到的图形，可以确定底层小正方体的个数和摆放方式，根据每个正方形上面的数字可以确定层数和每层个数，据此想象出这个几何体的形状，从前面看有3层，最左列最高3层，中间列最高1层，最右列最高2层，对应图形①；从左面看有3列，最左边1列最高3层，中间1列最高2层，最右边1列只有1层，对应图形③。 【详解】 如图，这个几何体从正面看是，从左面看是。 25．一个正方体蓝色面初始朝左（起点位置正方体没有压在数字上），沿数字带1→2→3……的方向从起点开始滚动： 蓝色面经过的第1个数是( )；    蓝色面经过的第2个数是( )； 蓝色面经过的第3个数是( )；    蓝色面经过的第4个数是( )。 【答案】 3 7 11 15 【分析】起始蓝色面朝左，正方体没有压在数字上。 第一次滚动后，正方体压在数字1的格子上，蓝色面朝上，不和数字1接触； 第二次滚动后，正方体压在数字2的格子上，蓝色面朝右，不和数字2接触； 第三次滚动后，正方体压在数字3的格子上，蓝色面朝下，和数字3接触，蓝色面经过第1个数； 第四次滚动后，正方体压在数字4的格子上，蓝色面朝左，不和数字4接触； 第五次滚动后，正方体压在数字5的格子上，蓝色面朝上，不和数字5接触； 第六次滚动后，正方体压在数字6的格子上，蓝色面朝右，不和数字6接触； 第七次滚动后，正方体压在数字7的格子上，蓝色面朝下，和数字7接触，蓝色面经过第2个数；…… 正方体滚动一周需要滚动4个面，所以每滚动4次会回到初始朝向，完成一次循环重复，滚动周期是4次，蓝色面相邻两次经过的数，后面的数比前面的数大4，据此填写依次经过的数即可。 【详解】起始位置蓝色面朝左，沿数字带1→2→3……的方向从起点开始滚动，正方体向右滚动3次后蓝色面朝下压在数字3上，后面依次经过的数是3＋4＝7，7＋4＝11，11＋4＝15……。 26．正方体有( )个面，在带子上滚动时，每滚动( )次会回到初始朝向，同一种颜色的面会每隔( )个数再次出现。 【答案】 6 4 4 【分析】正方体有6个面，正方体滚动一周需要滚动4个面，所以每滚动4次会回到初始朝向，完成一次循环重复，滚动周期是4次。 【详解】根据分析可知，正方体有6个面，在带子上滚动时，每滚动4次会回到初始朝向，同一种颜色的面会每隔4个数再次出现。 27．正方体向前滚动，每滚动( )格会回到原来的面，周期是( )。 【答案】 4 4 【分析】正方体有上下底面和4个相同的侧面，正方体放在平面上时，只有和滚动方向平行的4个侧面会轮流接触地面，正方体向前滚动时，每滚动1格绕棱旋转1次，旋转4次后所有面朝向恢复初始状态。 【详解】每向前滚1格，就会换一个侧面贴在格子上，4个侧面各接触一次后，正好完成一轮循环，所以每滚动4格，就会回到最开始那个面接触地面的状态，周期就是4。 28．正方体蓝色面初始朝上，沿数字带1→2→3……的方向从起点开始滚动，第一次经过的数是( )，第二次是( )，第三次是( )，第四次是( )。 【答案】 2 6 10 14 【分析】正方体朝同一个方向翻滚，4次为一个周期，同一个面会再次贴地面；初始蓝色面朝上，需要滚动2次贴地面，第一次经过的数是2，往后每滚动4次贴地一次，也就是在前一个数字的基础上增加4。 【详解】第一次经过的数是2； 第二次经过的数； 第三次经过的数； 第四次经过的数。 29． (1)图中的正方体向右倒下，会占( )个正方形格子；再向右翻滚一次，会占( )个正方形格子 (2)标有月亮图的正方体会占哪些格子？圈一圈。 【答案】(1) 2 1 (2) 【分析】（1）单个正方体底面永远是 1 个正方形，但这是两个叠放的正方体整体向右倾倒，是以右侧棱为轴旋转90度，倒下后横向平铺占连续 2 格；再向右翻滚一次，再以右侧棱为轴旋转90度，两个正方体会以堆叠的方式立起来，单个正方体底面占一个格子； （2）第一次向右倒下：标有月亮图的正方体落在第 1 个地面方格； 再向右翻滚一次：标有月亮图的正方体位于标爱心正方体的上方；再向右翻滚一次，标有月亮图的正方体落在第5个地面方格；继续向右翻滚一次，标有月亮图的正方体落在第6个地面方格；再继续向右翻滚一次，标有月亮图的正方体落在第7个地面方格；易发现，叠放在一起的两个正方体继续向右翻滚时，标有月亮图的正方体会有下面规律：每隔三个地面方格就会出现标有月亮图的正方体占三个连续的地面方格。据此圈一圈。 【详解】（1）图中的正方体向右倒下，会占2个正方形格子；再向右翻滚一次，会占1个正方形格子。 （2）标有月亮图的正方体落在第 1 个、第5个、第6个和第7个地面方格。 30．正方体沿直线滚动时，每个面会按固定顺序重复出现，滚动周期是( )次。 【答案】4 【分析】正方体一共有6个面，当它沿着直线在平面上滚动时，每滚动1次就会换一个面朝下，连续滚动4次后，原本朝下的面会再次回到朝下的位置，完成一次面的循环重复，所以滚动周期是4次。 【详解】正方体沿直线滚动时，每个面会按固定顺序重复出现，滚动周期是4次。 三、解答题 31．有一个圆柱形水杯，装半杯水，将杯子倾斜，观察水面的形状，它还是圆形吗？为什么？ 【答案】不是圆形，是椭圆形。因为倾斜后水面不再与底面平行，平面与圆柱侧面斜交形成椭圆。 【分析】正放圆柱形水杯时，水面与底面平行，因此水面形状和底面相同，是圆形。而倾斜水杯后，水面仍然是平的，但与水杯底面不再平行，此时水面与圆柱侧面斜交形成椭圆，不满足圆的特征，所以倾斜后水面的形状不是圆形。 32．下图所示的是从上面看到的一些小正方体所搭几何体的平面图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数。 （1）请你在方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的图形。 （2）要使从左面看到的图形保持不变，最多可以去掉（    ）个小正方体。（小正方体需面与面相接）。 【答案】（1）见详解 （2）2 【分析】（1）从正面看，有三列，从左到右小正方体的个数分别为3、1、2，据此画出图形；从左面看，有三列，从左到右小正方体的个数分别为1、3、1，据此画出图形； （2）要使从左面看到的图形保持不变，就要保证每一行的最高层数不变，且还需保证面与面相接。第一行只有一个小正方体，不能去掉；第二行最高是三层，有三个小正方体，去掉第三列的2个仍能满足最高3层；第3行只有1个小正方体不能去掉。所以最多可以去掉2个小正方体。 【详解】根据分析得： （1）如图： （2）要使从左面看到的图形保持不变，最多可以去掉2个小正方体。（小正方体需面与面相接） 33．小欣和小悦用一些大小相同的小立方块搭几何体，想要使该几何体从正面和上面看到的形状图如图所示。从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数。 （1）a表示几？ （2）小欣说b的值一定为2，请问小欣的说法是否正确？请说明理由； （3）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】（1）3 （2）错误；见详解 （3）最少11个；最多16个 【分析】（1）从正面看第3列小立方块的个数为3； （2）从正面看可知第2列小立方块的个数最多为2，所以可知b的取值； （3）从正面看和从上面看可知a是定值3，b、c最小为1，最大为2，且至少有一个为2，d、e、f最小为1，最大为3，且至少有一个为3，根据最大最小值计算即可。 【详解】（1）根据从正面看得到的形状图可知，第3列小立方块的个数为3，则a＝3。 （2）小欣的说法错误。理由：根据从正面看得到的形状图可知，第2列小立方块的个数为2，则b的值可以取1或2。 （3）从左往右，最少的情况为：第1列的小立方块的个数为3，1，1第2列的小立方块的个数为2，1，第3列的小立方块的个数为3，此时小立方块的数量为3＋1＋1＋2＋1＋3＝11（个） 如下图所示： 最多的情况为：第1列的小立方块的个数为3，3，3，第2列的小立方块的个数为2，2，第3列的小立方块的个数为3，此时小立方块的数量为3＋3＋3＋2＋2＋3＝16（个）。 如下图所示： 答：综上所述：这个几何体最少11个，最多16个小立方块搭成。 34．利用大小相等的正方体纸箱若干个，按要求完成纸箱拼搭任务。甜甜要摆的几何体从三个不同方向看到的图形如下： （1）组成这个几何体，需要（    ）个纸箱，在“从上面看”的图形上标出对应位置的纸箱个数。 （2）纸箱总数不变，移动一个纸箱，使得从上面看到的图形不变，一共有多少种移法？ （3）若在保持总数不变的情况下，移动一个纸箱使得从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样，可以怎样调整纸箱的位置？ 【答案】（1）10；图见详解 （2）12种 （3）见详解 【分析】 （1）根据如下可知，这个几何体有3层；从上面看到图形可知，这个几何体最下层需要7个小正方体纸箱；从前面和左面看到图形可知，这个几何体的中间层需要2个小正方体纸箱，最上层需要1个小正方体纸箱，一共需要（7＋2＋1）个小正方体纸箱。再用数字标出在“从上面看”的图形上标出对应位置如图：。 （2）可以把最上层的正方形纸箱也就是③放入其它6个位置的任何一个位置，则从上面看到的图形不变，或把从中间层左边的小正方体纸箱也就是②放到其它6个位置的任何一个位置，则从上面看到的图形不变；共有（6＋6）种方法，据此解答。 （3）把从前面看到图形的最下层最左边的小正方形（也就是从上面看到最左边的小正方形）也就是①移到从前面看的中间层的右边与中间层的小正方体挨着也就是与中间层①的位置，看到的图形和从左面看到的图形相同；据此解答。 【详解】（1）7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 如图： （2）6＋6＝12（种） 答：一共有12种移法。 （3）如图： 根据分析可知，把最上层左边①移到中间层①的位置，从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样。 35．正方体沿数字带1→2→3…的方向从起点滚到20，蓝色面初始朝下（起点位置正方体没有压在数字上），蓝色面会经过哪些数？请按顺序写出来。 【答案】4、8、12、16、20 【分析】起始蓝色面朝下，正方体没有压在数字上。 第一次滚动后，正方体压在数字1的格子上，蓝色面朝左，不和数字1接触； 第二次滚动后，正方体压在数字2的格子上，蓝色面朝上，不和数字2接触； 第三次滚动后，正方体压在数字3的格子上，蓝色面朝右，不和数字3接触； 第四次滚动后，正方体压在数字4的格子上，蓝色面朝下，和数字4接触，蓝色面经过的第一个数； 第五次滚动后，正方体压在数字5的格子上，蓝色面朝左，不和数字5接触； 第六次滚动后，正方体压在数字6的格子上，蓝色面朝上，不和数字6接触； 第七次滚动后，正方体压在数字7的格子上，蓝色面朝右，不和数字7接触； 第八次滚动后，正方体压在数字8的格子上，蓝色面朝下，和数字8接触，蓝色面经过的第二个数； …… 蓝色面相邻两次经过的数，后面的数比前面的数大4，据此填写依次经过的数即可。 【详解】根据分析可知，起始位置蓝色面朝下，沿数字带1→2→3…的方向从起点开始滚动，正方体向右滚动4次后蓝色面第一次朝下压在数字4上，后面每向右滚动4次蓝色面都朝下压在数字上，所以后面依次经过的数是4＋4＝8，8＋4＝12，12＋4＝16，16＋4＝20……。 答：蓝色面会经过4、8、12、16、20。 36．下图是由三个正方体组成的机器人，向右依次滚动。 (1)机器人第一次向右倒下后，会占( )个正方形格子。 (2)标有♥的正方体会占哪些格子？请圈一圈。 (3)你发现了什么规律？ 【答案】(1)3 (2) (3)每相邻的两个标有♥的正方体所占的格子中间相隔3个格子。 【分析】（1）机器人的右面由3个小正方形组成，每个小正方形对应一个正方形格子，所以向右倒下后，会占3个正方形格子。 （2）第一次向右倒下后占3个格子，标有♥的正方体占第2个格子，第二次滚动后只是标有★的正方体占一个格子，第三次滚动后占3个格子，其中标有♥的正方体占第6个格子，第四次滚动后只是标有的正方体占一个格子，第五次滚动后占3个格子，其中标有♥的正方体占第10个格子，据此圈出格子。 （3）第2个格子与第6个格子中间相隔3个格子，第6个格子与第10个格子中间相隔3个格子。 【详解】（1）机器人第一次向右倒下后，会占3个正方形格子。 37．正方体按图中的方向从起点开始翻滚。 (1)灰色面第1次经过的数是多少？ (2)灰色面第4次经过的数是多少？ (3)当正方体滚到数18时，灰色面会落在这个数上吗？请说明理由。 【答案】(1)1 (2)13 (3)13＋4＝17，灰色面落在17上，不会落在18上，落在数18上的是白色面。（理由合理即可） 【分析】（1）正方体每滚动1圈共有4个面，灰色面是第1个，正方体朝一个方向连续滚动4次就会回到初始的面状态，也就是滚动一圈，这一圈里灰色面会出现1次，灰色面第1次经过的数是1。 （2）正方体翻滚，灰色的面接触地面的位置呈现周期性规律，每翻滚4次为1个周期，所以第2个周期的灰色面经过1＋4＝5，以此类推，第3个周期的灰色面经过的数是5＋4＝9，第4个周期的灰色面经过9＋4＝13。 （3）方法一：用18除以4，求出商就是周期数，余数就是1个周期的第几个面；方法二：13＋4＝17，灰色面会落在17上。以此答题即可。 【详解】（1）答：灰色面第1次经过的数是1。 （2）1＋4＋4＋4 ＝5＋4＋4 ＝9＋4 ＝13 答：灰色面第4次经过的数是13。 （3）方法一： 18÷4＝42 1个周期的第2个面是白色。 方法二： 13＋4＝17，灰色面会落在17上。 答：13＋4＝17，灰色面落在17上，不会落在18上，落在数18上的是白色面。（理由合理即可） 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 图形的奥秘 单元知识清单讲义 温馨提示：图片放大更清晰。 知识点01：切开立体图形： 1、截面的概念 定义： 用一个平面去截一个立体图形，平面与立体图形表面相交形成的平面图形叫做截面。 核心思想： “面动成体”的逆向思维，即通过“切”这个动作，将三维的立体图形转化为二维的平面图形来观察。 2、圆柱的截面形状 （1）横切（平行于底面）： 形状：圆形。 特点：如果圆柱上下粗细均匀，无论在哪里横切，截出的圆大小都相等，且与底面大小相同。 （2）竖切（垂直于底面且过圆心/轴）： 形状：长方形（或正方形）。 特点：长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱底面的直径。这是圆柱最大的纵截面。 （3）斜切： 形状：椭圆形（或不规则形状，取决于切割角度）。 特点：当切割平面与底面不平行也不垂直时，截面会变成椭圆。 4、探究方法与验证手段 猜想：先根据立体图形的特征，想象切开后的形状。 验证（转化法）： 实物模拟：利用装水的圆柱形杯子。水面始终保持水平，通过倾斜杯子，可以直观地观察到水面（即截面）从圆形变为椭圆的过程。这是一种非常巧妙的“液体验证法”。 实际操作：切萝卜、切黄瓜等生活实例，将抽象的几何问题具体化。 5、截面大小的变化规律 柱体（如圆柱、长方体）： 平行于底面切割，截面大小不变（全等）。 锥体（如圆锥）： 平行于底面切割，截面大小随高度变化（相似但不全等），呈现“上小下大”的规律。 知识点02：搭建立体大楼： 1、“图纸”的含义与规则 定义：这里的“图纸”实际上是一种分层俯视图。它将立体图形按层拆解，从上往下看，记录每一层正方体的位置。 数字含义： 1：代表该位置有1个正方体。 0：代表该位置没有正方体（空的）。 注：虽然本课主要讲1和0，但这种思想是未来学习“堆叠计数”的基础，即数字几就代表那一摞有几个。 层级关系：图纸通常分为“第一层”、“第二层”等。第一层是地基，决定了大楼的占地面积；第二层必须建在第一层有方块的位置上（悬空是不存在的）。 2、读图与搭建（从二维到三维） 观察顺序：先看第一层（底层），确定底面形状和正方体数量；再看第二层，确定哪些位置有叠加。 搭建策略： 分层法：先摆好第一层的4个（或其他数量），再在对应位置往上加第二层的方块。 整体法：看着图纸，直接在对应位置摞起来（适合空间想象力较强的学生）。 数学信息提取： 能通过图纸读出总共有几层、每层有几个、总共有多少个正方体。 3、画图与表征（从三维到二维） 这是本课的难点，要求学生具备逆向思维。 观察方法：从上往下看立体图形。 绘图步骤： 定范围：画出对应的网格（如2×3 或1×4 ）。 填第一层：凡是地上有方块的，对应格子里填“1”。 填第二层：凡是有第二层方块的，在另一张图纸的对应位置填“1”，没有的填“0”。 验证：画完后，数一数图纸上“1”的总数是否等于立体图形的总块数。 4、空间推理与逻辑判断 遮挡关系： 在立体图中，上面的方块会挡住下面的，但在“图纸”中，每一层都是透明可见的。 存在性逻辑： 如果第二层某个位置是“1”，那么第一层对应位置必须也是“1”（因为不能悬空）。这是一个重要的隐含逻辑条件，常用于判断题。 5、核心素养培养 空间想象力： 在头脑中构建物体形象的能力。 几何直观： 利用图形描述和分析问题的能力。 符号意识： 理解数字“1”和“0”在这里不仅仅是数量，更代表了“位置”和“状态”。 知识点03：翻滚正方体： 1、正方体的滚动规律（周期性） （1）滚动一圈的概念：正方体有4个侧面。当它在直线上连续向前翻滚时，每翻滚4次，它就会回到初始的朝向状态（即转了一圈）。 （2）面的接触规律： 假设起始时蓝色面在上面。 第1次翻滚：前面变下面，上面变前面，右面变下面（假设向右滚）。此时蓝色面在前面。 第2次翻滚：蓝色面变到下面（接触地面/数字）。 第3次翻滚：蓝色面变到后面。 第4次翻滚：蓝色面变回上面。 （3） 结论：同一个面接触地面的数字，每隔4个数就会出现一次。例如，如果第一次接触的是数字2，那么下一次接触就是2+4=6 ，再下一次是6+4=10 ，以此类推。 2、相对面与相邻面的关系 相对面不相邻： 在滚动过程中，相对的两个面（如上与下、前与后、左与右）永远不会同时接触地面，也不会同时出现在侧面。 侧面的循环： 只有围成一圈的4个侧面会轮流接触地面。上下底面在水平直线滚动中永远不接触地面（除非改变滚动方向）。 3、空间想象与轨迹追踪 动态思维： 学生需要在头脑中建立正方体滚动的动态模型，而不是仅仅依靠实物操作。 状态记录： 学会追踪特定面（如蓝色面）的位置变化（上→前→下→后→上...）。 多颜色问题： 当四个侧面分别涂上红、黄、绿、蓝时，它们接触地面的顺序也是固定的循环序列。例如，若顺序是红→黄→绿→蓝，那么红色接触的数字如果是1，黄色就是2，绿色就是3，蓝色就是4，红色又是5。 4、解决复杂问题的策略 利用余数解决问题： 如果要判断第N次翻滚哪个面朝下，可以用N÷4 。 余数是1，对应循环里的第1个面； 余数是2，对应第2个面； 余数是3，对应第3个面； 没有余数（整除），对应第4个面。 起点的影响： 注意题目中起点的状态（哪个面朝上，哪个面朝前），这决定了循环序列的起始位置。 题型1：切开立体图形 【例1】用一个平面去截一个圆柱体，如果切割平面平行于底面（即横着切），切出来的截面形状是（ ）；如果切割平面垂直于底面并沿着直径切开（即竖着切），切出来的截面形状通常是（ ）。 【例2】在探究圆柱斜着切会得到什么形状时，可以利用装有水的圆柱形杯子进行模拟实验。通过倾斜杯子观察水面的形状来验证猜想，这是因为静止的水面总是平的，水面的边缘轮廓就代表了（ ）的形状。实验发现，斜着切圆柱得到的截面通常是（ ）形。 【例3】对比圆柱和圆锥的横切面：圆柱上下粗细均匀，所以无论在哪里横切，截出的圆大小都是（ ）的；而圆锥上尖下宽，横切时越靠近顶点，截出的圆越（ ），越靠近底面，截出的圆越（ ）。 【例4】除了圆柱和圆锥，长方体也是常见的立体图形。如果用刀垂直于长方体的长进行横切，切出来的截面形状通常是（ ）；如果沿着长方体的对角线竖直切下，切出来的截面形状通常是（ ）。 题型2：搭建立体大楼 【例5】用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。 【例6】小文用相同小正方体搭的积木从上面看是，上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数。搭的这组积木，从左面看是( )，从前面看是( )。（填序号） 【例7】左图是从上面看到的图形，每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的正方体的个数，一共摆了( )个正方体，从左面看是( )（填序号）。 【例8】洋洋用同样的正方体积木搭成一个从上面看是的几何体，每个正方形上面的数字表示这个位置上所用的正方体积木的个数，这个几何体从前面看是( )，从左面看是( )。 题型3：翻滚正方体 【例9】正方体有4个侧面，当它在直线上连续向前翻滚时，每翻滚（ ）次，正方体的朝向就会恢复到初始状态（即转了一圈）。因此，同一个面接触地面的数字，每隔（ ）个数就会出现一次。 【例10】假设一个正方体放在起点，它的右面是蓝色的。当它向右翻滚第1次落在数字1上时，蓝色面依然朝右；当它继续向右翻滚第2次落在数字2上时，蓝色面会变成朝（ ）（填方位）；当它翻滚第3次落在数字3上时，蓝色面会变成朝（ ）（填方位）。 【例11】如果一个正方体的四个侧面分别涂上了红、黄、绿、蓝四种颜色。已知红色面和绿色面是相对的，黄色面和蓝色面是相对的。如果正方体从起点开始滚动，红色面第一次接触地面（对应数字1），那么紧接着第二次接触地面的是（ ）色或（ ）色（填两种可能），绝对不会是（ ）色。 【例12】正方体从起点开始向右滚动，如果要滚到数字30的位置。因为正方体每滚动4次为一个循环，我们可以用除法来计算：30÷4=7……2 。这个余数“2”告诉我们，正方体在第30格时的朝向，与它在第（ ）格时的朝向是完全一样的。 一、选择题 1．一个立体图形从正面看是正方形，这个立体图形不可能是（    ）。 A．正方体 B．长方体 C．球 2．正方体滚动周期是（    ）。 A．2 B．4 C．6 D．7 3．正方体四个面分别涂红、黄、绿、蓝四种颜色，从起点沿数字带1→2→3……的方向滚动，第1格朝上的颜色是红色，第5格朝上的颜色是（    ）。 A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色 4．正方体从起点沿数字带1→2→3……的方向滚动到第8格，经过的颜色周期是4，第8格朝上的颜色和第（    ）格相同。 A．2 B．3 C．4 D．5 5．立体大楼第一层图纸，第二层，总共有（    ）个正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 6．一个由小正方体搭建的几何体，从上面看到的图形是（正方形里的数字表示从这个方向看，数字所在位置的所有小正方体的个数）。这个几何体从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 7．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个小正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看到的是（    ）。 A． B． C． 8．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形是（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体从前面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 9．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如右图（每个小正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从前面看是（    ）。 A． B． C． D． 10．下面切面一定是三角形的是（    ）。 A．圆柱横切 B．圆锥竖切 C．长方体横切 D．圆柱竖切 11．把圆柱斜着切（不平行也不垂直于底面），切面的形状是（    ）。 A．圆形 B．椭圆形 C．长方形 D．正方形 12．把长方体沿着长的方向竖着切，切面是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆形 D．椭圆形 13．把下面的立体图形切开，切开后（    ）得到的切面不是圆。 A． B． C． D． 14．把萝卜斜着切，切面形状更接近（    ）。 A．正方形 B．椭圆 C．三角形 D．长方形 二、填空题 15．圆柱平行于底面切开，切面是( )形；垂直于底面切开，切面是( )形；斜着切开，切面是( )形。 16．把圆柱形火腿肠平行于两端切一刀，切面是( )；斜着切一刀，切面是( )形。 17．一根黄瓜，从粗的一头切到细的一头，切面越来越( )。 18．圆柱横着（平行于底面）切开，切面是( )形，且所有横切面的大小( )；圆柱竖着（垂直于底面）切开，切面是( )形。 19．长方体平行于前面切开，切面是( )形；正方体无论从哪个方向平行于面切开，切面都是( )形。 20．按下面的图纸搭成的立体大楼是什么样子的？想一想，在（    ）里画“√”。 21．下面是一个立体大楼的图纸，请看图回答问题。 (1)这个立体大楼最高有( )层。 (2)这个立体大楼的第一层有( )个小正方体，第二层有( )个小正方体，第三层有( )个小正方体。 (3)下图中，( )是按图纸搭成的立体大楼。 ①        ② 22．用正方体搭立体大楼，图纸中“1”代表( )，“0”代表( )。 23．一个两层的立体大楼，第一层图纸是，第二层图纸是，说明第一层有( )个正方体，第二层有( )个正方体，总共有( )个正方体。 24．用同样的小正方体搭一个几何体，从上面看到的图形如图（每个正方形上面的数字表示在这个位置上所用的小正方体的个数）。这个几何体，从正面看是______，从左面看是______。 25．一个正方体蓝色面初始朝左（起点位置正方体没有压在数字上），沿数字带1→2→3……的方向从起点开始滚动： 蓝色面经过的第1个数是( )；    蓝色面经过的第2个数是( )； 蓝色面经过的第3个数是( )；    蓝色面经过的第4个数是( )。 26．正方体有( )个面，在带子上滚动时，每滚动( )次会回到初始朝向，同一种颜色的面会每隔( )个数再次出现。 27．正方体向前滚动，每滚动( )格会回到原来的面，周期是( )。 28．正方体蓝色面初始朝上，沿数字带1→2→3……的方向从起点开始滚动，第一次经过的数是( )，第二次是( )，第三次是( )，第四次是( )。 29． (1)图中的正方体向右倒下，会占( )个正方形格子；再向右翻滚一次，会占( )个正方形格子 (2)标有月亮图的正方体会占哪些格子？圈一圈。 30．正方体沿直线滚动时，每个面会按固定顺序重复出现，滚动周期是( )次。 三、解答题 31．有一个圆柱形水杯，装半杯水，将杯子倾斜，观察水面的形状，它还是圆形吗？为什么？ 32．下图所示的是从上面看到的一些小正方体所搭几何体的平面图形，方格中的数字表示该位置的小正方体的个数。 （1）请你在方格纸中分别画出这个几何体从正面和左面看到的图形。 （2）要使从左面看到的图形保持不变，最多可以去掉（    ）个小正方体。（小正方体需面与面相接）。 33．小欣和小悦用一些大小相同的小立方块搭几何体，想要使该几何体从正面和上面看到的形状图如图所示。从上面看到的形状图中小正方形中的字母表示在该位置小立方块的个数。 （1）a表示几？ （2）小欣说b的值一定为2，请问小欣的说法是否正确？请说明理由； （3）这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 34．利用大小相等的正方体纸箱若干个，按要求完成纸箱拼搭任务。甜甜要摆的几何体从三个不同方向看到的图形如下： （1）组成这个几何体，需要（    ）个纸箱，在“从上面看”的图形上标出对应位置的纸箱个数。 （2）纸箱总数不变，移动一个纸箱，使得从上面看到的图形不变，一共有多少种移法？ （3）若在保持总数不变的情况下，移动一个纸箱使得从前面和上面看到的图形均和从左面看到的一样，可以怎样调整纸箱的位置？ 35．正方体沿数字带1→2→3…的方向从起点滚到20，蓝色面初始朝下（起点位置正方体没有压在数字上），蓝色面会经过哪些数？请按顺序写出来。 36．下图是由三个正方体组成的机器人，向右依次滚动。 (1)机器人第一次向右倒下后，会占( )个正方形格子。 (2)标有♥的正方体会占哪些格子？请圈一圈。 (3)你发现了什么规律？ 37．正方体按图中的方向从起点开始翻滚。 (1)灰色面第1次经过的数是多少？ (2)灰色面第4次经过的数是多少？ (3)当正方体滚到数18时，灰色面会落在这个数上吗？请说明理由。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $