专项02 有理数混合运算技巧（题型专练）数学新教材北师大版七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数混合运算6大核心技巧，以题型为载体系统提炼方法，构建“技巧-典例-变式”三阶训练体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |加减组合技巧|1典例+3变式|相反数结合、同分母优先、小数分数凑整|从基础运算律应用切入，培养数感与符号意识| |乘法分配律运用|1典例+3变式|正向直接乘、逆向提取公因数、负数乘括号变号|深化运算律理解，提升代数变形能力| |拆数巧算|1典例+3变式|带分数拆整数分数、近整数拆整±差|通过数的分解转化复杂运算，发展转化思想| |倒数法简算|1典例+3变式|括号作除数时先求倒数再取结果|逆向思维解决特殊运算问题，培养创新意识| |裂项相消|1典例+3变式|分式裂项抵消中间项，保留首尾项|针对数列求和问题，建立数学模型意识| |易错辨析|1典例+3变式|乘方符号区分、同级运算顺序、分配律漏项|聚焦运算陷阱，强化严谨思维与推理能力|

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项02 有理数混合运算技巧 (题型突破举一反三) 目录 题型01加减组合技巧（相反数、同分母、凑整结合） 题型02乘法分配律正向、逆向运用 题型O3拆数巧算（带分数、接近整数） 题型04倒数法简算（括号为除数） 题型05裂项相消技巧 题型06有理数运算易错辨析（符号、乘方） 题型01用数加减组合技巧（相反数、同分母、凑整结合） 三 解题必备 1.相反数结合：互为相反数优先相加抵消； 2.同分母分数优先结合，减少通分： 3.小数、分数凑整，利用加法交换律、结合律简化。 典例精析 【典例1】(25-26七年级上·江苏无锡·期中)计算：3.25 【答案】-1 【分析】本题考查有理数加减简便运算，将小数化为分数，利用加法结合律，把同分母分数分组结合运 算，简化计算过程。 【详解】 原式 1/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =31+21-51-12 4 4 3 。1+2 + 5 4 4 3 23 =-1 E 举一反三 【变式1-1】(24-25七年级上·四川宜宾·阶段检测)计算：（-18)+(+7)+(-22)+(+13) 【变式12】(25-26七年级上·广东东莞·期中)计算：-2.4+3}-7.6-2} 3-2+1-3 【变式13】(25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测)计算：45+4- 2/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型02乘法分配律正向、逆向运用 解题必备 1.正向：a(b+c)=ab+ac,括号外数分别乘括号内每一项； 2.逆向（提取公因数）：ab+ac=a(b+c),出现相同因数优先提取； 3.易错点：负数乘括号，括号内每一项都要变号。 典例精析 11 【典例2】(25-26七年级上·山东临沂·期中)计算： 4 6 ×(-12) 【答案】-9 【分析】本题考查乘法分配律正向运用，用-12分别乘括号内各项，规避分数通分，简化计算。 【详解】 原式 x-12) x(-12+3×-12) 6 3 =-3+2-8 =-9 举一反目 【安式256年数上辽宁款转期)计：《-7列×2号-73号 3/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 变式22】(25-26七年级上·湖南岳阻·期中)计算：12×-18×号-2× 【变式23】(24-25七年级上·河南三门峡·期末)计算：-60× 1_5+7 2315 题型03拆数巧算（带分数接近整数） 解题必备 1.带分数拆分：将带分数拆分为整数部分+分数部分，分开运算再合并： 2近整拆数：形如一99 18可拆为~100+ 1 18 结合乘法分配律简算。 典例精析 4/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例3】 （25:26七年级上·河北石家庄·开学考试)简便计算：-99三×12 6 【答案】-1190 【分析】将负带分数拆分为整十整数与分数的差，利用乘法分配律规避大数乘法，简化运算。 【详解】 原式 -100+1×12 6 =-100×12+1×12 6 =-1200+10 =-1190 举一反三 【变式31】(25-26七年级上·河南南阳·期中)计算： 3 【变式32】(25-26七年级上·广东东莞·期中)计算：100二×(-8) 5/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 【变式33】(25-26七年级上·全国·单元复习)-199号×6 题型04倒数法简算（括号整体做除数） 解题必备 当括号整体在除号后方时，无法直接用乘法分配律： 先计算原式的倒数（除法变乘法），算出结果后再取倒数，即为原式答案。 典例精析 【典例4】(25-26七年级下·辽宁鞍山·开学考试)计算： 位a 【答案】-10 【分析】括号在前、除数为分数，可直接将除法转为乘除数倒数，用乘法分配律快速计算。 【详解】 原式 日+x-24 ×-24)--241+×1-24 =-12+8-6 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-10 举一反三 【变式41】(25-26七年级上·山东泰安·期末)计算： 【变式42】(25-26七年级上·黑龙江大庆·期末)计算： 【变式43】(25-26七年级上·江苏苏州·期中)计算： 经 7/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05裂项相逍技巧 三 解题必备 1 11 n(n+1) n n+1, 连续分式求和可裂项，中间项两两抵消，仅保留首尾两项。 典例精析 1+1+1+…+ 【奥例5】(24-25七年级上·宁夏吴忠·阶段检测)计算：1×22×33×4 1 2025×2026 2025 【答案】 2026 【分析】利用基础裂项公式拆分每一项，中间所有项相互抵消，仅剩首项和末项。 【详解】 原式 1 1 2025 2026 2026 2025 2026 E 举一反三 1+1…+ 1 【变式51】(2025七年级上·全国·专题练习)计算：2×33×4“9×10 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1+1+1 【变式52】(25-26七年级上·北京大兴·期中)计算：1x33×55×7 +1十…+。 【变式53】(26-27七年级·全国·小升初衔接)计算：1×22×3+…+99×100 1 题型06有理数运算易错辨析（符号、乘方） 解题必备 1.-a2与(-a区分：无括号先平方再加负号，有括号整体平方； 2.-1偶数=-1，(-1)嚼数=1，注意底数区分： 3.分配律负数乘括号，每一项都要相乘、变号，切勿漏项 4.乘除同级运算，必须从左向右依次计算，不能优先计算后侧乘法； 三典例精析 9/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【典例6】(25-26九年级下·四川南充·阶段检测)下列计算正确的是() A.-32=9B.(-3P=-9C.-(-32=-9D.(-3)3=-9 【答案】C 【分析】本题考查乘方符号辨析，核心区分有无括号的底数差异，逐一验证选项正误。 【详解】 A:-32=-9,错误 B:（-32=9,错误 C:-(-32=-9,正确 D:（-33=-27,错误 综上，选择C 举一反三 【变式61】(26-27七年级·全国·小升初衔接)计算：-12026+(-1)2025 【变式62】(26-27七年级·江苏·小升初衔接)下面计算是否正确，有错请改正：8÷2×4=8÷8=1 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式63】(23-24七年级上·吉林长春·期末)计算：-22-(-3)3×(-12 11/11可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专项02 有理数混合运算技巧 (题型突破·举一反三) 题型01用数加减组合技巧（相反数、同分母、凑整结合） 典例精析 【典例1】 【答案】-1 【分析】本题考查有理数加减简便运算，将小数化为分数，利用加法结合律，把同分母分数分组结合运 算，简化计算过程。 【详解】 原式 31+21-51-12 4 433 。 21 34 2-3 =-1 举一反主 【变式11】 【答案】-20 【分析】本题考查有理数加减凑整技巧，将所有负数、正数分别分组结合，再进行加减运算。 【详解】 原式 [(-18)+(-22)]+[(+7)+(+13)] 1/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-40+20 =-20 【变式1-2】 【答案】-9 【分析】本题考查分组凑整技巧，小数结合凑整、分数结合抵消，快速简化算式。 【详解】 原式 -2.47.6+3227 =-10+1 =-9 【变式1-3】 【答案】0 【分析】本题考查同分母分数结合技巧，将同分母分数分组运算，无需复杂通分。 【详解】 原式 3.1 2 3 44 =1-1 =0 题型02乘法分配律正向、逆向运用 三 典例精析 【典例2】 【答案】-9 【分析】本题考查乘法分配律正向运用，用-12分别乘括号内各项，规避分数通分，简化计算。 2/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】 原式 号×1-12-×-12+号×1-12) 6 =-3+2-8 =-9 举一反三 【变式21】 【答案】-42 【分析】本题考查乘法分配律逆向运用，提取公因数一7，括号内带分数相加凑整。 【详解】 原式 =-7×2 =-7×6 =-42 【变式2-2】 6 【答案】-7 【分析】本题考查乘法分配律逆向运用，提取公共因数亏，先算括号内整数加减。 【详解】 原式 号×2-18-2 号x-8 16 7 3/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式23】 【答案】26 【分析】本题考查乘法分配律正向运用，注意负数乘括号内各项，符号全部改变，逐项计算再合并。 【详解】 原式 、60x+60x3-60+ 3 15 =-30+100-28 =26 题型03拆数巧算（带分数、接近整数） E 典例精析 【典例3】 【答案】-1190 【分析】将负带分数拆分为整十整数与分数的差，利用乘法分配律规避大数乘法，简化运算。 【详解】 原式 -100+1 ×12 6 =-100×12+ 1×12 =-1200+10 =-1190 E 举一反三 【变式31】 11 【答案】 12 4/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】拆分所有带分数，分别计算整数部分和分数部分，分数部分通分后合并运算。 【详解】 原式 (-3-1+4-2)+ -1-1+2-1 2436 =-2+ 6 3+」 8 2 1212'121 3 11 12 【变式32】 【答案】-802 【分析】将带分数拆分为整数加分数，利用乘法分配律分别相乘后合并结果。 【详解】 原式 100+ ×(-8 4 =100×(-8)+1×-8） 4 =-800-2 =-802 【变式3-3】 【答案】-1198 【分折】将近整负带分数拆分为200+号，结合乘法分配律简便计算。 【详解】 原式 200+1 ×6 3 5/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-200×6+1x6 3 =-1200+2 =-1198 题型04倒数法简篁（括号整体做除遨） 典例精析 【典例4】 【答案】-10 【分析】括号在前、除数为分数，可直接将除法转为乘除数倒数，用乘法分配律快速计算。 【详解】 原式 ×(-24 ×-24-3×(-24+×-24 =-12+8-6 =-10 三举一反三 【变式41】 1 【答案】- 26 【分析】括号整体为除数，采用倒数法，先求原式倒数的值，再取倒数得到最终结果。 【详解】 先求原式倒数： 42 ×(-42 6/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-7+9-28 =-26 1 倒数结果为-26，因此原式三- 26 【变式42】 【答案】-3 【分析】将除法转化为乘倒数，利用乘法分配律展开计算，简化分数运算。 【详解】 原式 1-5+7 ×(-36 3612 号×-361-8×1-36+7×1-36 12 =-12+30-21 =-3 【变式43】 1 【答案】一 23 【分析】除数为括号算式，使用倒数法，先求倒数再还原，规避复杂通分运算。 【详解】 先求原式倒数： 1-1+1-1 45360 =1-11 ×(-60） 45'3 =-15+12-20 =-23 1 倒数结果为-23，因此原式=-23 7/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型05裂项相逍技巧 三典例精析 【典例5】 2025 【答案】 2026 【分析】利用基础裂项公式拆分每一项，中间所有项相互抵消，仅剩首项和末项。 【详解】 原式 1 1 20252026 1 1-2026 2025 2026 举一反目 【变式5-1】 【号 【分析】套用裂项公式拆分，中间项全部抵消，简化剩余首尾项计算。 【详解】 原式 -+-++-1 2334910 11 210 4 10 8/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式52】 【】身 1 【分析】间隔分式裂项， -11-1 套用公式nn+22nn+2 提取系数后抵消中间项。 【详解】 原式 居目引 个1引 9 【变式53】 99 【答案】100 【分析】标准裂项相消题型，拆分后中间项全部抵消，快速得出结果。 【详解】 原式 1 99 100 9/11 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型06有理数运算易错辨析（符号、乘方） 典例精析 【典例6】 【答案】C 【分析】本题考查乘方符号辨析，核心区分有无括号的底数差异，逐一验证选项正误。 【详解】 A:-3=-9,错误 B:（-32=9,错误 C:-(-3P=-9,正确 D:（-33=-27,错误 综上，选择C 三 举一反三 【变式6-1】 【答案】-2 【分析】重点区分底数：-1226底数为1，(-1)2025底数为-1，再根据乘方规则计算。 【详解】 原式 =-1+-1) =-2 10/11 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【变式62】 【答案】16 【分析】乘除属于同级运算，必须严格遵循从左到右的运算顺序，禁止优先计算后侧乘法。 【详解】 原式计算错误，乘除同级运算从左至右计算： 原式 =4×4 =16 【变式6-3】 【答案】23 【分析】遵循有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，严格区分乘方符号。 【详解】 原式 =-4-(-27)×1 =-4+27 =23 11/11 专项02 有理数混合运算技巧 （题型突破·举一反三） 题型 01 加减组合技巧（相反数、同分母、凑整结合） 题型 02 乘法分配律正向、逆向运用 题型 03 拆数巧算（带分数、接近整数） 题型 04 倒数法简算（括号为除数） 题型 05 裂项相消技巧 题型 06 有理数运算易错辨析（符号、乘方） ▌题型01 用数加减组合技巧（相反数、同分母、凑整结合） 1.相反数结合：互为相反数优先相加抵消； 2.同分母分数优先结合，减少通分； 3.小数、分数凑整，利用加法交换律、结合律简化。 【典例1】（25-26七年级上・江苏无锡・期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数加减简便运算，将小数化为分数，利用加法结合律，把同分母分数分组结合运算，简化计算过程。 【详解】 原式 = = = = 【变式1-1】（24-25 七年级上・四川宜宾・阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数加减凑整技巧，将所有负数、正数分别分组结合，再进行加减运算。 【详解】 原式 = = = 【变式1-2】（25-26 七年级上・广东东莞・期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查分组凑整技巧，小数结合凑整、分数结合抵消，快速简化算式。 【详解】 原式 = = = 【变式1-3】（25-26 七年级上・辽宁大连・阶段检测）计算： 【答案】 【分析】本题考查同分母分数结合技巧，将同分母分数分组运算，无需复杂通分。 【详解】 原式 = = = ▌题型02 乘法分配律正向、逆向运用 1.正向：，括号外数分别乘括号内每一项； 2.逆向（提取公因数）：，出现相同因数优先提取； 3.易错点：负数乘括号，括号内每一项都要变号。 【典例2】（25-26 七年级上・山东临沂・期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查乘法分配律正向运用，用分别乘括号内各项，规避分数通分，简化计算。 【详解】 原式 = = = 【变式2-1】（25-26 七年级上・辽宁铁岭・期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查乘法分配律逆向运用，提取公因数，括号内带分数相加凑整。 【详解】 原式 = = = 【变式2-2】（25-26 七年级上・湖南岳阳・期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查乘法分配律逆向运用，提取公共因数，先算括号内整数加减。 【详解】 原式 = = = 【变式2-3】（24-25 七年级上・河南三门峡・期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查乘法分配律正向运用，注意负数乘括号内各项，符号全部改变，逐项计算再合并。 【详解】 原式 = = = ▌题型03 拆数巧算（带分数、接近整数） 1.带分数拆分：将带分数拆分为整数部分+分数部分，分开运算再合并； 2.近整拆数：形如可拆为，结合乘法分配律简算。 【典例3】（25-26 七年级上・河北石家庄・开学考试）简便计算： 【答案】 【分析】将负带分数拆分为整十整数与分数的差，利用乘法分配律规避大数乘法，简化运算。 【详解】 原式 = = = = 【变式3-1】（25-26 七年级上・河南南阳・期中）计算： 【答案】 【分析】拆分所有带分数，分别计算整数部分和分数部分，分数部分通分后合并运算。 【详解】 原式 = = = = 【变式3-2】（25-26 七年级上・广东东莞・期中）计算： 【答案】 【分析】将带分数拆分为整数加分数，利用乘法分配律分别相乘后合并结果。 【详解】 原式 = = = = 【变式3-3】（25-26 七年级上・全国・单元复习） 【答案】 【分析】将近整负带分数拆分为，结合乘法分配律简便计算。 【详解】 原式 = = = = ▌题型04 倒数法简算（括号整体做除数） 当括号整体在除号后方时，无法直接用乘法分配律； 先计算原式的倒数（除法变乘法），算出结果后再取倒数，即为原式答案。 【典例4】（25-26 七年级下・辽宁鞍山・开学考试）计算： 【答案】 【分析】括号在前、除数为分数，可直接将除法转为乘除数倒数，用乘法分配律快速计算。 【详解】 原式 = = = = 【变式4-1】（25-26 七年级上・山东泰安・期末）计算： 【答案】 【分析】括号整体为除数，采用倒数法，先求原式倒数的值，再取倒数得到最终结果。 【详解】 先求原式倒数： 倒数结果为，因此原式 【变式4-2】（25-26 七年级上・黑龙江大庆・期末）计算： 【答案】 【分析】将除法转化为乘倒数，利用乘法分配律展开计算，简化分数运算。 【详解】 原式 = = = = 【变式4-3】（25-26 七年级上・江苏苏州・期中）计算： 【答案】 【分析】除数为括号算式，使用倒数法，先求倒数再还原，规避复杂通分运算。 【详解】 先求原式倒数： 倒数结果为，因此原式 ▌题型05 裂项相消技巧 ，连续分式求和可裂项，中间项两两抵消，仅保留首尾两项。 【典例5】（24-25 七年级上・宁夏吴忠・阶段检测）计算： 【答案】 【分析】利用基础裂项公式拆分每一项，中间所有项相互抵消，仅剩首项和末项。 【详解】 原式 = = = 【变式5-1】（2025 七年级上・全国・专题练习）计算： 【答案】 【分析】套用裂项公式拆分，中间项全部抵消，简化剩余首尾项计算。 【详解】 原式 = = = = 【变式5-2】（25-26 七年级上・北京大兴・期中）计算： 【答案】 【分析】间隔分式裂项，套用公式，提取系数后抵消中间项。 【详解】 原式 = = = = 【变式5-3】（26-27 七年级・全国・小升初衔接）计算： 【答案】 【分析】标准裂项相消题型，拆分后中间项全部抵消，快速得出结果。 【详解】 原式 = = = ▌题型06 有理数运算易错辨析（符号、乘方） 与区分：无括号先平方再加负号，有括号整体平方； 2.，，注意底数区分； 3.分配律负数乘括号，每一项都要相乘、变号，切勿漏项； 4.乘除同级运算，必须从左向右依次计算，不能优先计算后侧乘法； 【典例6】（25-26 九年级下・四川南充・阶段检测）下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 【分析】本题考查乘方符号辨析，核心区分有无括号的底数差异，逐一验证选项正误。 【详解】 A：，错误 B：，错误 C：，正确 D：，错误 综上，选择C 【变式6-1】（26-27 七年级・全国・小升初衔接）计算： 【答案】 【分析】重点区分底数：底数为，底数为，再根据乘方规则计算。 【详解】 原式 = = 【变式6-2】（26-27 七年级・江苏・小升初衔接）下面计算是否正确，有错请改正： 【答案】 【分析】乘除属于同级运算，必须严格遵循从左到右的运算顺序，禁止优先计算后侧乘法。 【详解】 原式计算错误，乘除同级运算从左至右计算： 原式 = = 【变式6-3】（23-24 七年级上・吉林长春・期末）计算： 【答案】 【分析】遵循有理数混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，严格区分乘方符号。 【详解】 原式 = = = 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $