3.5 图形的位似（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本讲义聚焦“图形的位似”核心知识点，作为“图形的相似”的延伸内容，系统构建从概念（相似图形、对应点连线交于位似中心、位似比）到性质（对应点到位似中心距离比等于位似比）再到平面直角坐标系中坐标变换的学习支架。 资料通过“即学即练”“典例精析”“变式巩固”分层设计，结合网格与坐标系实例，培养学生几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与模型意识（数学语言），如用连线法确定位似中心，坐标变换考虑k的正负。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第三章 图形的相似 3.5 图形的位似 知识点一 位似图形的概念 图形 概念 图形的位似 ·两个相似图形，每组对应点所在直线都 ，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ，此时的相似比叫做 。 位似中心：O； 位似比相似比 即学即练 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 5．（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，．已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，与位似比为 ． 知识点二 位似图形的性质 图形 性质 ·性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到 之比都等于位似比。 到位似中心的距离比： 即学即练 1．如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； (2)作出线段AC上的点D，使 ． 知识点三 平面直角坐标系中的位似变换与坐标关系 图形 位似变换与坐标 将每一个多边形每个顶点(x,y)的横坐标、纵坐标，所对应的图形与原图形位似，位似中心是，它们的相似比为。 位似与相似的联系 即学即练 1．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 3．（2026·全国·模拟预测）如图，每个小方格都是单位正方形，与是位似图形，点O是位似中心，是由的边扩大为原来的___倍得到的． 题型01 确定位似中心 ·核心方法：连线找交点法 ①将两个位似图形的对应顶点分别连线（如A→A'，B→B'），所有连线的交点就是位似中心。 ②若图形在位似中心同侧，位似比为正（缩小或放大）；若在异侧，位似比为负（反向位似）。 · 对应点找错：必须按对应顺序连线（A对A'，B对B'），不能交叉连。 · 延长线方向：如果两个图形在中心两侧，连线要双向延长才能交于一点，别只连线段。 · 位似中心可能在图形内部（如正多边形中心），也可能在外部，甚至在图形边上，不要默认在外部。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系． (1)画出位似中心 (2)求出位似中心的坐标（写出过程） 题型02 根据位似的性质进行计算 · k的正负与位置：题目说“位似比为2”，若未说明同侧/异侧，要分两类讨论（点在中心同侧或异侧），结果可能不同。 · 面积比陷阱：面积比 = k²，但k是带符号的，计算面积时必须用 k² 或 |k|²，不能直接代负k。 · 中间量转化：若位似中心不在原点，求某段长度常需先利用相似三角形（如△OAB∽△OA'B'）列比例，不要硬算坐标。 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若位似比为，的周长是6，则的周长是_____． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 22．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 题型03 根据位似变换求坐标 ·若位似中心为原点O，原图形上点 P(x, y)，位似比为 k（可正可负），则对应点 P' 坐标为：P' ( kx , ky ) ① k > 0：P' 与 P 在原点同侧（方向相同），图形放大/缩小； ② k < 0：P' 与 P 在原点异侧（方向相反），图形旋转180°后再缩放。 · 位似中心不是原点时不能直接乘k！必须先平移使中心变为原点，变换完再平移回去。 ·一般思路：“平移到原点 → 乘k → 平移回去”。 · 坐标与长度的混淆：坐标乘k后得到新坐标，但两点间距离要套距离公式，不能直接乘k（除非中心在原点且两点对应）。 · 多解性：若题目只说“位似比为k”，未说明k的正负，往往两个答案（如(kx, ky)和(-kx, -ky)）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 2．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 题型04 在平面直角坐标系中根据位似变换作图 ·作图流程 1. 定位似中心：通常在原点或给定点。 2. 确定位似比k（包括正负）：看清是“放大到原来的k倍”还是“缩小为原来的”。 3. 逐个顶点变换：用坐标公式 P'(kx, ky) 算出所有对应点。 4. 顺次连线：按原图顺序连接各对应点，擦去辅助线，保留作图痕迹。 ① 顺序错误：连线时必须按原图的顶点顺序（顺时针或逆时针）连，否则图形扭曲。 ② 忽略“反向位似”：当k<0时，新图形在原图形的相反方向，很多人只画同侧，漏掉异侧情况。 ③ 比例尺选择：若坐标轴单位大，算出的坐标可能带分数，作图时精确标点，不要估算。 ④ 检查对应边是否平行：画完后，用斜率检查对应边是否平行（如AB∥A'B'），这是快速验证作图是否正确的法宝。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． (1)画出线段； (2)将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的； (3)在（2）的条件下，若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是________． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 图形的相似 3.5 图形的位似 知识点一 位似图形的概念 图形 概念 图形的位似 ·两个相似图形，每组对应点所在直线都 经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 位似中心，此时的相似比叫做 位似比。 位似中心：O； 位似比相似比 即学即练 1．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.86 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 2．（25-26九年级上·贵州铜仁·期末）下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 3．（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列是相似图形但不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：根据相似图形与位似图形的定义：相似图形指形状相同的图形；位似图形是特殊的相似图形，需同时满足“对应顶点的连线交于同一点”和“对应边互相平行或共线”． 选项A、B、C的图形均为位似图形(同时是相似图形)； 选项D的图形是相似图形，但对应顶点连线未交于同一点，不是位似图形． 故选：D． 4．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，与位似，则下列对两位同学说法的判断正确的是（   ）． 嘉嘉：与的相似比为． 淇淇：位似中心为． A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【难度】0.85 【详解】解：∵位似图形对应边平行或在同一直线上， ∴， 由图可知，，， ∴相似比为，故嘉嘉正确； 如图，连接、交于点，则点即为位似中心， 由图可知，点的坐标不是，故淇淇错误． 故选：A． 5．（2026九年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中，，．已知与（点D、E、F都是格点）成位似图形，位似中心M的坐标是 ，与位似比为 ． 【答案】， 【详解】如图2， ∵， ∴点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应点，对应点连接的交点即为位似中心，如图点M即为所求， 观察图象可知：， ∴与位似比为， 故答案为：，． 知识点二 位似图形的性质 图形 性质 ·性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到 位似中心的距离之比都等于位似比。 到位似中心的距离比： 即学即练 1．如图，在所在平面上任意取一点O（与点A、B、C不重合），连接、、，分别在、、上取点、、，再连接、、得到，则下列说法不正确的是（   ） A．若与是位似图形，则这两个三角形相似 B．若与是相似图形，则这两个三角形也是位似图形 C．若、、分别是、、的中点，则与的周长比为 D．若与是位似图形，则 【答案】B 【难度】0.85 【详解】选项A：位似图形是特殊的相似图形，所以若与是位似图形，则这两个三角形相似，A正确． 选项B：相似图形不一定是位似图形，位似图形需要对应顶点的连线相交于一点（位似中心），而相似图形不一定满足这一条件，所以若与是相似图形，不一定是位似图形，B错误． 选项C：若、、分别是、、的中点，则与是位似图形，位似比为，根据相似三角形的性质，周长比等于位似比，所以与的周长比为，C正确． 选项D：若与是位似图形，根据位似图形的性质，对应边平行，所以，D正确． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·阶段检测）如图，四边形与四边形是位似图形，点是位似中心，是的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，点是它们的位似中心，点为线段的中点， ∴，，， 不能证明， 故选：D． 3．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均为格点，请利用无刻度的直尺作图． (1)以点O为位似中心，将在网格中放大为原来的2倍，得到，请画出； (2)作出线段AC上的点D，使 ． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，点D即为所求， 【难度】0.62 【详解】（1）略 （2）作图，略； 理由：连， 由网格可知，， ∴， ∴， 则点D即为所求． 知识点三 平面直角坐标系中的位似变换与坐标关系 图形 位似变换与坐标 将每一个多边形每个顶点(x,y)的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为/k/。 位似与相似的联系 即学即练 1．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解： 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段 ∴点与点是对应点，且位似比为 ∴点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的 ∵ ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 2．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【难度】0.75 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 3．（2026·全国·模拟预测）如图，每个小方格都是单位正方形，与是位似图形，点O是位似中心，是由的边扩大为原来的___倍得到的． 【答案】2 【难度】0.85 【详解】解：根据题意，连接并延长经过点，如下图所示： ∵点，， ∴，， ∴位似比为， 即是由的边扩大为原来的倍得到的． 题型01 确定位似中心 ·核心方法：连线找交点法 ①将两个位似图形的对应顶点分别连线（如A→A'，B→B'），所有连线的交点就是位似中心。 ②若图形在位似中心同侧，位似比为正（缩小或放大）；若在异侧，位似比为负（反向位似）。 · 对应点找错：必须按对应顺序连线（A对A'，B对B'），不能交叉连。 · 延长线方向：如果两个图形在中心两侧，连线要双向延长才能交于一点，别只连线段。 · 位似中心可能在图形内部（如正多边形中心），也可能在外部，甚至在图形边上，不要默认在外部。 典｜例｜精｜析 1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【难度】0.65 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【难度】0.85 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 变｜式｜巩｜固 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【难度】0.65 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 2．（25-26九年级上·河南鹤壁·阶段检测）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系． (1)画出位似中心 (2)求出位似中心的坐标（写出过程） 【答案】(1)图见解析；(2)，过程见解析 【难度】0.65 【分析】本题考查坐标与图形变换—位似，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握位似图形的性质，是解题的关键： （1）由位似图形的性质得出所在直线与所在直线的交点坐标即为位似中心，作图即可； （2）根据题意确定直线的解析式为：，求出直线与轴的交点坐标，即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为. 题型02 根据位似的性质进行计算 · k的正负与位置：题目说“位似比为2”，若未说明同侧/异侧，要分两类讨论（点在中心同侧或异侧），结果可能不同。 · 面积比陷阱：面积比 = k²，但k是带符号的，计算面积时必须用 k² 或 |k|²，不能直接代负k。 · 中间量转化：若位似中心不在原点，求某段长度常需先利用相似三角形（如△OAB∽△OA'B'）列比例，不要硬算坐标。 典｜例｜精｜析 1．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若位似比为，的周长是6，则的周长是_____． 【答案】9 【难度】0.85 【详解】解：是以点为位似中心经过位似变换得到的，位似比为， 则相似比为， ∵的周长是6， ∴的周长为． 故答案为：9． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 _______． 【答案】9 【难度】0.85 【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为， ∴与的面积之比为， ∵的面积为4， ∴的面积是9， 故答案为：9． 22．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，与位似，点O为位似中心，点B的坐标为，点E的坐标为，若的周长为5，则的周长是__________． 【答案】10 【难度】0.7 【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∴， ∵与位似，点O为位似中心， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为， ∵的周长为5， ∴的周长是10． 题型03 根据位似变换求坐标 ·若位似中心为原点O，原图形上点 P(x, y)，位似比为 k（可正可负），则对应点 P' 坐标为：P' ( kx , ky ) ① k > 0：P' 与 P 在原点同侧（方向相同），图形放大/缩小； ② k < 0：P' 与 P 在原点异侧（方向相反），图形旋转180°后再缩放。 · 位似中心不是原点时不能直接乘k！必须先平移使中心变为原点，变换完再平移回去。 ·一般思路：“平移到原点 → 乘k → 平移回去”。 · 坐标与长度的混淆：坐标乘k后得到新坐标，但两点间距离要套距离公式，不能直接乘k（除非中心在原点且两点对应）。 · 多解性：若题目只说“位似比为k”，未说明k的正负，往往两个答案（如(kx, ky)和(-kx, -ky)）。 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【难度】0.65 【分析】根据位似三角形的性质求解即可． 【详解】与是位似图形，位似中心为坐标原点，点的对应点为， 位似比为， 点的对应点为点， ，， 点的坐标为． 2．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形．若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.71 【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵四边形与四边形是以原点为位似中心的位似图形， ∴，即， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，的顶点A的坐标为，若以原点O为位似中心，画的位似图形，使与的相似比为，则点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【分析】位似图形可位于位似中心的同侧或异侧，需分两种情况计算．以原点为位似中心时，若新位似图形与原图形的相似比为，原图形上点对应点坐标为或． 【详解】解：∵以原点为位似中心，与的相似比为，点坐标为，位似图形有两种位置情况， ∴ 当与在原点同侧时，点的坐标为； 当与在原点异侧时，点的坐标为． ∴点的坐标为或． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； 3．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为，B点坐标为，以为边在第一象限内作正方形，以原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且，则点的坐标是__________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】过点C作轴于点E，可证明得到，据此可求出点C的坐标，再根据题意可得位似比为，结合正方形在第三象限可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C作轴于点E， ∴， ∴； ∵A点坐标为，B点坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵原点O为位似中心，在第三象限内作正方形，使其与正方形位似，且， ∴位似比为， 又∵正方形在第三象限， ∴点的坐标为，即． 题型04 在平面直角坐标系中根据位似变换作图 ·作图流程 1. 定位似中心：通常在原点或给定点。 2. 确定位似比k（包括正负）：看清是“放大到原来的k倍”还是“缩小为原来的”。 3. 逐个顶点变换：用坐标公式 P'(kx, ky) 算出所有对应点。 4. 顺次连线：按原图顺序连接各对应点，擦去辅助线，保留作图痕迹。 ① 顺序错误：连线时必须按原图的顶点顺序（顺时针或逆时针）连，否则图形扭曲。 ② 忽略“反向位似”：当k<0时，新图形在原图形的相反方向，很多人只画同侧，漏掉异侧情况。 ③ 比例尺选择：若坐标轴单位大，算出的坐标可能带分数，作图时精确标点，不要估算。 ④ 检查对应边是否平行：画完后，用斜率检查对应边是否平行（如AB∥A'B'），这是快速验证作图是否正确的法宝。 典｜例｜精｜析 1．（2026·安徽合肥·一模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，已知点，． (1)画出线段； (2)将线段向右平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段，画出线段； (3)以O为位似中心，在第三象限内把线段缩小到原来的一半，得到线段，画出线段． 【答案】(1)线段如图所示； (2)线段如图所示； (3)线段如图所示． 【难度】0.64 【分析】（1）在直角坐标系中标出点A、B，再连接即可； （2）根据平移性质得到对应点的位置，再连接即可； （3）连接、，分别取、的中点，再连接即可． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)把先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的； (2)以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出将放大为原来的2倍后的； (3)在（2）的条件下，若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是________． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3) 【难度】0.65 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据位似图形的性质作图即可； （3）根据位似图形的性质写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作； （3）解：若内有一点，点P在内的对应点为，则点的坐标是． 2．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． (1)以原点为位似中心，在轴的右侧画出的一个位似，使它与的位似比为； (2)画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的； (3)判断和是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点，并写出点的坐标． 【答案】(1)解：如图为所求： (2)解：如图为所求： (3)和是位似图形； 点M的坐标为． 【难度】0.55 3．（2026·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【难度】0.55 【分析】（1）根据平移规律，画图即可． （2）根据位似图形的性质画图即可． （3）作直线，交于点P，点P即为位似中心． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 将与联立，得：， 解得， 点的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $