第三章 问题策略-借助相似测高（讲义）数学新教材北师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦“利用相似进行测距”核心知识点，系统梳理构造相似三角形模型、测量可测数据、通过对应边成比例计算高度的解题策略，涵盖借助标杆、平面镜反射、影长等具体应用题型，搭建从理论原理到实际操作的学习支架。 该资料以真实情境（如测量旗杆、古塔高度）和项目式学习为载体，通过画图建模培养几何直观（数学眼光），规范推理步骤提升推理意识（数学思维），典例与变式结合强化模型应用（数学语言）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第三章 平面向量及其应用 ☆问题策略 利用相似测高 知识点一 利用相似进行测距的解题策略 ·一般思路 ①建立模型：构造两个相似三角形； ②测量数据：围绕两个相似三角形测量可测数据； ③计算求值：利用相似三角形对应边成比例计算高。 ·具体步骤： ①画图（审题后立刻画示意图，标出所有已知长度和未知数 x）。 ②找相似（在图中圈出两个直角三角形，写明相似依据：AA）。 ③写比例（对应边成比例，基本只需要用到直角三角形的直角边）。 ④代值计算（代入已知数，交叉相乘解方程）。 ⑤答（写清单位，保留题目要求的小数位数）。 即学即练 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二、三， 选方案一，灯柱高12米 根据题意可得，， ， ， ． 根据题意可得，， ∴， ， ， ， 解得， 米． 即灯柱高12米． 3．（25-26九年级上·全国·期末）项目式学习： 【项目背景】某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端和小亮的头顶恰好在一条直线上（如图）． 【数据收集】测得小明的眼睛离地面的垂直距离，凉亭顶端离地面的垂直距离，小明到凉亭的水平距离，凉亭离城楼底部的水平距离，小亮身高为 【任务解决】请根据以上数据求城楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．过点A作于点M，交于点，证明，得到，求出的长，即可得出城楼的高度． 【详解】解：如图，过点A作于点M，交于点， 由题意，得，，， ，， ， ，， ， ，即， ， ， 答：城楼的高度为． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，， ， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为． 题型01 借助人的视线和标杆构造相似三角形测高 ·核心模型：“人眼—标杆—目标物”三点共线模型（本质是A字型相似） ·具体操作： 1. 地面为水平线，人竖直站立（高度为 h1），目标物（旗杆）竖直站立（高度为 h2）。 2. 人眼、标杆顶端、旗杆顶端三点共线（视线）。 3. 人脚到标杆底的距离、人到旗杆底的距离都在地面上量出。 ·数学模型——相似三角形： 典｜例｜精｜析 1．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据，证明，再根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 答：木杆的高度为． 【分析】由相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行；方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行；选方案一，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为15.5米 【分析】证明，列出比例式，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：根据题意可得：，， ， ， ，，， ， ， ， 答：树的高度为15.5米． 题型02 利用平面镜的反射构造相似三角形测高 ·核心模型：“镜像对称”转化为“等角” → 双直角三角形相似 ·具体操作： 1. 地面水平，人竖直站立（高度 h1），目标物竖直站立（高度 h2）。 2. 地面某点放一面镜子（标记为点 M）。 3. 人站在镜子一侧，调整位置，从镜中恰好看到目标物顶端。 4. 关键条件：入射角 = 反射角 → 两个直角三角形有一个锐角相等 → AA相似。 ·数学模型——相似三角形： △人眼—人脚—镜点 ∽ △目标顶—目标底—镜点（两个直角三角形相似） 列比例式： 典｜例｜精｜析 1．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为． 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的实际应用，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证得后，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ，， ， ，即， ． 故教学楼的高度为． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【问题解决】如图②，为测量信号塔的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为米，其眼睛到地面的距离为米，同时测得小明到镜子的水平距离米，信号塔到镜子的水平距离米．请根据以上数据，求信号塔的高度． 【答案】信号塔的高度为20米． 【分析】本题主要考查相似三角形的应用．证明，利用对应边之比，即可求出的高度． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴（米）． 答：信号塔的高度为20米． ※题型03 根据影长构造相似三角形测高（第四章） ·核心模型：“平行投影” → 两个直角三角形相似（同一时刻，太阳高度角相同） ·具体操作： 1. 地面水平，人竖直站立（高度 h1），目标物竖直站立（高度 h2）。 2. 太阳光从同一方向射来（光线平行），人和目标物各自投下影子在地面上。 3. 人和影子的端点、太阳光线构成一个直角三角形；目标物同理。 ·数学模型——相似三角形： · 人的身高、影长、太阳光线 → 直角三角形1 · 目标物高度、影长、太阳光线 → 直角三角形2 · 因为太阳光线平行 → 两个直角三角形有一个锐角相等（太阳高度角）→ AA相似 列比例式的标准模板（最经典）： 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 【答案】该古塔的高度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，平行投影，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：该古塔的高度为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）某数学小组进行实践活动，利用数学知识测量西安鼓楼的高度．如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在处利用测角仪测得鼓楼顶端的仰角为，沿方向移动至点，放置标杆，的顶端和鼓楼顶端的影子末端重合于点．已知，，点在同一直线上，且所有点在同一平面内．求西安鼓楼的高度．（参考数据：） 【答案】西安鼓楼的高度约为 【分析】本题考查了三角函数的应用、相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键． 延长交于点，在中，由，用含的代数式表示，由可得对应边成比例，进而可求出． 【详解】解：如图，延长交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ，即，解得， 西安鼓楼的高度约为． 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为37米 【分析】设，，证明，得到，证明，得到，然后推出，求出，进而求解即可． 【详解】解：设，， ，， ∴， ， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， ， ， 解得（检验成立）， ， 解得（检验成立）． 答：塔的高度为37米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 平面向量及其应用 ☆问题策略 利用相似测高 知识点一 利用相似进行测距的解题策略 ·一般思路 ①建立模型：构造两个相似三角形； ②测量数据：围绕两个相似三角形测量可测数据； ③计算求值：利用相似三角形对应边成比例计算高。 ·具体步骤： ①画图（审题后立刻画示意图，标出所有已知长度和未知数 x）。 ②找相似（在图中圈出两个直角三角形，写明相似依据：AA）。 ③写比例（对应边成比例，基本只需要用到直角三角形的直角边）。 ④代值计算（代入已知数，交叉相乘解方程）。 ⑤答（写清单位，保留题目要求的小数位数）。 即学即练 1．（25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）一数学兴趣小组为了测量灯柱的高度，设计了以下三个方案： 方案一：如图1，在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在点F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计） 方案二：如图2，利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得． 方案三：如图3，利用三角板的直角边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离． 三种方案中，方案________不可行，请选择可行的方案求出灯柱的高度． 3．（25-26九年级上·全国·期末）项目式学习： 【项目背景】某天小明站在地面上给站在城楼上的小亮照相时发现：他的眼睛、凉亭顶端和小亮的头顶恰好在一条直线上（如图）． 【数据收集】测得小明的眼睛离地面的垂直距离，凉亭顶端离地面的垂直距离，小明到凉亭的水平距离，凉亭离城楼底部的水平距离，小亮身高为 【任务解决】请根据以上数据求城楼的高度． 4．（25-26八年级下·山东淄博·期末）为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，， ， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 题型01 借助人的视线和标杆构造相似三角形测高 ·核心模型：“人眼—标杆—目标物”三点共线模型（本质是A字型相似） ·具体操作： 1. 地面为水平线，人竖直站立（高度为 h1），目标物（旗杆）竖直站立（高度为 h2）。 2. 人眼、标杆顶端、旗杆顶端三点共线（视线）。 3. 人脚到标杆底的距离、人到旗杆底的距离都在地面上量出。 ·数学模型——相似三角形： 典｜例｜精｜析 1．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图①），把“矩”竖立放置可以测量物体的高度．如图②，将“矩”的边放在水平地面上，不断调整“矩”的位置，使木杆的顶端与，在一条直线上，并测得．已知“矩”的边，，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南同学利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平（即），并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 题型02 利用平面镜的反射构造相似三角形测高 ·核心模型：“镜像对称”转化为“等角” → 双直角三角形相似 ·具体操作： 1. 地面水平，人竖直站立（高度 h1），目标物竖直站立（高度 h2）。 2. 地面某点放一面镜子（标记为点 M）。 3. 人站在镜子一侧，调整位置，从镜中恰好看到目标物顶端。 4. 关键条件：入射角 = 反射角 → 两个直角三角形有一个锐角相等 → AA相似。 ·数学模型——相似三角形： △人眼—人脚—镜点 ∽ △目标顶—目标底—镜点（两个直角三角形相似） 列比例式： 典｜例｜精｜析 1．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 变｜式｜巩｜固 1．（2025·四川成都·一模）在一次数学综合实践活动中，小颖和同学准备测量学校某幢教学楼的高度，他们选择平面镜、强光电筒、皮尺等工具进行测量．小颖身高为且位于图中的处，平面镜位于点处，教学楼高为．小颖头戴强光电筒，同学们帮忙调节强光电筒和平面镜的位置进行观察与测量（误差忽略不计），当强光电筒开启，光线通过平面镜反射后恰好照射在教学楼顶点的位置（点、、在同一水平线上，且），此时同学们测得，，请求教学楼的高度． 2．（25-26九年级上·吉林长春·期末）【学科融合】如图①，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧：反射角等于入射角．这就是光的反射定律．由反射定律可得：反射光线与反射面的夹角等于入射光线与反射面的夹角． 【问题解决】如图②，为测量信号塔的高度，小明同学在脚下点M处水平放置了一面镜子，然后向后退一段距离，直到他恰好在镜子中看到信号塔顶点A的像．已知小明同学身高为米，其眼睛到地面的距离为米，同时测得小明到镜子的水平距离米，信号塔到镜子的水平距离米．请根据以上数据，求信号塔的高度． ※题型03 根据影长构造相似三角形测高（第四章） ·核心模型：“平行投影” → 两个直角三角形相似（同一时刻，太阳高度角相同） ·具体操作： 1. 地面水平，人竖直站立（高度 h1），目标物竖直站立（高度 h2）。 2. 太阳光从同一方向射来（光线平行），人和目标物各自投下影子在地面上。 3. 人和影子的端点、太阳光线构成一个直角三角形；目标物同理。 ·数学模型——相似三角形： · 人的身高、影长、太阳光线 → 直角三角形1 · 目标物高度、影长、太阳光线 → 直角三角形2 · 因为太阳光线平行 → 两个直角三角形有一个锐角相等（太阳高度角）→ AA相似 列比例式的标准模板（最经典）： 典｜例｜精｜析 1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）数学实践活动课上，小辰所在的小组利用所学的知识测量当地一座古塔的高度（）．测量方法如下：在古塔（）的前方点D处直立一根长的竹竿，然后测得在阳光照射下古塔在地面上的影长，竹竿在地面上的影长 ．已知图上所有点均在同一平面内，均垂直于地面．根据以上测量方法，求出该古塔的高度（．（保留整数） 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期末）某数学小组进行实践活动，利用数学知识测量西安鼓楼的高度．如图，天气晴朗的周末，数学小组成员在处利用测角仪测得鼓楼顶端的仰角为，沿方向移动至点，放置标杆，的顶端和鼓楼顶端的影子末端重合于点．已知，，点在同一直线上，且所有点在同一平面内．求西安鼓楼的高度．（参考数据：） 2．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校进行研学教育活动，到达目的地后发现一座古塔，某实践小组欲测量塔的高度，测量过程见表． 主题 测量塔的高度 成员 组长：×××，组员：××× 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端点C确定的直线交水平面于点Q，测得； 步骤2：将标杆沿着水平面的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端点E确定的直线交水平面于点P，测得，． 数学运算 根据表格信息，求塔的高度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $