专题02 不等式问题七类综合题型（压轴题专项训练）高一数学人教B版必修第一册

**基本信息** 以“通法归纳-题型精讲-压轴挑战”为框架，系统整合一元二次不等式与基本不等式七类综合题型，提炼分离参数、分类讨论等核心方法，构建“概念-方法-应用”递进逻辑，培养数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |通法归纳|总述核心解法|分离参数、分类讨论、恒成立与有解问题辨析|统领不等式问题解题策略| |题型精讲|7题型各含1典例+3变式|一元二次不等式：开口方向与△分析、根与系数关系；基本不等式：常数“1”法、凑配法、换元法|从一元二次不等式基础应用（恒成立、含参、解集求参、根分布）到基本不等式拓展（最值、恒成立、有解）| |压轴挑战|10道高难综合题|综合运用不等式与函数图像、参数范围分析|提升复杂问题解决能力，突破思维上限|

学科网（北京）股份有限公司 专题02 不等式问题七类综合题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一 一元二次不等式恒成立问题 题型二 含参一元二次不等式 题型三 由一元二次不等式的解集确定参数 题型四 一元二次方程根的分布 题型五 基本不等式解决最值问题 题型六 基本不等式解决恒成立问题 题型七 基本不等式解决有解问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 不等式问题是高中数学核心重难点，含参题型涉及到一元一次不等式、一元二次不等式、基本不等式、分式不等式等，解题需要注意：一分离参数发，二是分类讨论，三注意恒成立与有解问题的不同点. 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、一元二次不等式恒成立问题 典例精讲1(25-26高一·福建厦门同安实验中学·月考)若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 题型归纳 1. 一元二次不等式恒成立问题注意x的范围. 2.需要考虑最高此项系数是否为0，需考虑开口方向与△. 变式训练1-1(25-26高一上·山东潍坊某校·)已知函数. (1)若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】（1）的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与 轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. （2）， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 变式训练1-2(25-26高一上·四川成都郫都区第一中学·期中)已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【详解】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是. 变式训练1-3 (25-26高一上·福建南安国光中学、泉州培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校·期中)已知函数 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. 题型二、含参一元二次不等式 典例精讲2. (25-26高一上·四川成都郫都区第一中学·期中) (多选)对于给定实数a，关于x的一元二次不等式的解集可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据参数的符号，以及和的大小关系分类讨论即可. 【详解】当时，，此时解集为或， 当时，，此时解集为， 当时，，此时解集为或， 当时，不等式为，此时解集为， 当时，，此时解集为， 故A 、B正确， C、D错误. 题型归纳 1.含参一元二次不等式可以分解的需要考虑参数的范围. 2. 含参一元二次不等式不可以分解的需要考虑△. 变式训练2-1(25-26高一下·山东潍坊寿光第一中学·期中)设函数. (1)若，解关于x的不等式； (2)求不等式的解集 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）把函数解析式代入不等式，原不等式转化为，由，得到不等式解集为； （2）分=0， 0，0，三种情况去讨论. 其中，对于0，再对2个根进行大小比较讨论. 【详解】（1）当时，函数化简为,代入不等式， 得，得，得原不等式转化为， 由分母不为0，得，所以得， 所以，所以， 得不等式解集为； （2）， 当=0，即时，，则的解集为， 当0，方程的两个根为 当0，即时，二次项系数，抛物线开口向上，且， 不等式的解集为. 当0，即， 当时，，不等式化为， 解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 当时，二次项系数，抛物线开口向下，且 不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 变式训练2-2(25-26高一上·江苏南通启东第一中学·)已知a，b，，关于x的不等式的解集为或 (1)求函数的零点； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)1和2 (2)答案见详解 【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，利用韦达定理可得，令求解即可； （2）根据（1）的结果，不等式为，分解因式后，讨论的取值，解不等式. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 可知与是方程的两个实数根，且， 则，解得：，， 令，解得或， 所以函数的零点为1和2. （2）由（1）知不等式即为，即， ①当时，易得不等式的解集为， ②当时，不等式可化为，不等式的解集为或． ③当时，不等式可化为， 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 变式训练2-3(25-26高一下·天津第二中学·)设． (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；时，解集为；当时，解集为 【分析】（1）将问题转化为对一切实数恒成立，再分和两种情况讨论求解即可； （2）将问题转化为，再分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：因为对一切实数恒成立， 所以对一切实数恒成立， 所以，当时，，不满足成立； 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围为 （2）解： ， ， 因为的实数根为， 所以，当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为. 综上，时，解集为；时，解集为；当时，解集为. 题型三、由一元二次不等式的解集确定参数 典例精讲3 (24-25高一上·福建宁德福鼎第一中学·月考)若不等式解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. 题型归纳 一元二次不等式已知解集问题利用根与系数的关系求解参数 变式训练3-1(25-26高一下·陕西安康·期末)已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 变式训练3-2(25-26高一下·山东潍坊寿光第一中学·期中)若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______. 【答案】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 变式训练3-3(25-26高一·福建厦门同安实验中学·月考)已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. 题型四、一元二次根的分布 典例精讲4 (25-26高一下·浙江宁波北仑中学·)关于x的一元二次方程有一个大于0小于4的根，则a的取值范围为______． 【答案】 【详解】方程，解得， 依题意，，解得， 所以a的取值范围为. 题型归纳 一元二次方程已知根的分布，通过一元二次函数的图像，考虑开口，△，已知函数值的取值范围 变式训练4-1(25-26高一上·浙江嘉兴元济高级中学·)关于的方程的两个根均落在内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设方程对应的二次函数为，根据判别式，对称轴，列出不等式组，求解即可． 【详解】设方程对应的二次函数为，其对称轴为， ∵方程的两个根均落在内， ∴满足，即，解得：． 故选：A． 变式训练4-2(25-26高一上·江苏无锡梁溪区北高级中学·)已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则 ， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 变式训练4-3(25-26高一上·江苏苏州中学校·期中)已知函数. (1)若关于的方程一个根大于0，一个根小于0，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个大于的不等实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得函数图象与轴交点的纵坐标即可. （2）直接根据二次函数根的分布进行求解即可. 【详解】（1）因为方程一个根大于0，一个根小于0， 所以， 所以， 故 （2）因为方程有两个大于的不等实根， 所以， 解得：. 题型五、基本不等式解决最值问题 典例精讲5 (25-26高一上·四川广安加德学校·月考)已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 题型归纳 基本不等式最值问题的方法： 1.常数“1”。2.凑配法3.换元法 变式训练5-1(25-26高一上·湖北宜昌某重点中学·月考)已知，，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用，结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 变式训练5-2(25-26高一下·湖北荆州·)若，，都是正实数，则的最小值为____________． 【答案】2 【分析】将分子拆分分组后，对两组项分别应用基本不等式放缩，凑出与分母线性相关的结果，验证等号成立条件后即可得到最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号， 即的最小值是. 变式训练5-3(25-26·江苏镇江·期末)已知，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】，则， 当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为. 题型六、基本不等式解决恒成立问题 典例精讲6 (25-26高一上·广东深圳龙岗第二高级中学·月考)已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ） A．5 B．6 C．10 D．25 【答案】A 【分析】不等式可化为，利用基本不等式求出的最小值，即可得到m的最大值. 【详解】因为不等式恒成立，，， 所以恒成立， 设，则 当且仅当时等号成立， 所以，所以，所以m的最大值为5. 题型归纳 恒成立问题方法： 1.分离参数2.利用基本不等式3.遇到含有二次项的可以使用一元二次不等式求解 变式训练6-1(24-25高一上·福建厦门同安实验中学·期中)若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求的最小值，再依题意建立关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 变式训练6-2(25-26高一上·福建南安国光中学、泉州培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校·期中)已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再代入解不等式即可． 【详解】解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即， 即，得最大值为8． 变式训练6-3不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 题型七、基本不等式解决有解问题 典例精讲7 (25-26高一·江苏清浦中学·)已知x，y为正实数，且，若存在这样的x，y，使得不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据条件求得的最小值为，通过解不等式，求得实数m的取值范围. 【详解】由，得. 因为x，y为正实数，所以，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 所以. 所以. 若存在上述x，y，使得不等式有解，则，即， 解得或. 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 题型归纳 恒成立问题口诀： 大于大的，小于小的。 变式训练7-1(25-26高一上·湖北咸宁华师元一赤壁学校·月考)若两个正实数满足且不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将代数式变形后与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为正实数、满足，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为不等式有解，则，即， 即，解得或. 故选：D. 变式训练7-2(25-26高一上·江苏靖江高级中学·月考)若正实数满足，若不等式有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助基本不等式“1”的应用可得的最小值，再解出对应不等式即可得. 【详解】由，则， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 则，即，解得. 故选：D. 变式训练7-3(25-26高一上·湖北武汉第一中学·二模)设，，且不等式有解，则正实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用基本不等式，用表示式子的最小值，再令该最小值不大于9，求的取值范围即可. 【详解】，，， （当且仅当时取等号， 又有解，，解得：. 故选：C 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．(25-26高一上·湖北宜昌某重点中学·月考)已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以是方程的两根，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 2．(25-26高一上·浙江杭州师范大学附属中学·期中)已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 3．(25-26高一下·安徽天一·开学考)已知关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法，求出解集，对参数进行分类讨论，判断解集中仅有两个整数时的范围，进而求出结果. 【详解】由题可知，则，即，解得， 可知，化简为，解得， 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 当时，可得，若不等式有且仅有2个整数解，解必为和， 则，解得. 所以实数a的取值范围是. 4．(25-26高一·河北沧州沧县中学·期末)已知，关于x的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解． 【详解】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ，故B正确． 故选：B． 5．(25-26高一上·江西上饶民校考试联盟·)设且，若不等式恒成立，则实数k的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用基本不等式“1”的妙用求最值，再利用不等式恒成立得到，再解不等式即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，即当时取等号， 所以，整理得， 解得，所以k的最大值为9， 故选：A. 6．(25-26高一上·安徽濉溪中学·期末)已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】解法一：设，，则，，可得出，结合基本不等式求解即可； 解法二：由基本不等式可得，，再利用不等式的可加性可得出的最小值. 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 7．(24-25高一上·安徽芜湖城南中学·月考)设实数x，y满足：，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】换元，，，利用二次不等式求出的最小值，进而求出的最小值. 【详解】化简 （①）， 其中， 设，，则，， 代入①式得 （②）， 即， 所以的最小值即为的最小值， 令， 由，代入②得： ， 因为，故，即0，结合解不等式得 ， 故 . 8．(25-26高一·广东中山三鑫学校·期末)当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 9．(24-25高一上·湖南常德外国语学校·月考)若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 10．(25-26高一上·四川广安加德学校·月考)已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可知，不等式对任意的恒成立，分、两种情况讨论，在时直接检验即可，在时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）将所求方程变形为，由题意得出，且，结合韦达定理得出，再由韦达定理得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围； （3）令，则，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则，问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根，利用二次方程根的分布可得出关于实数的不等式，结合主元法可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立， 故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）由可得，整理得， 由题意可知，且，解得或， 由韦达定理可得，，可得，故， 所以， 因为，所以，所以， 故的取值范围是. （3）当时，令，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则，则问题转化为存在使得关于的方程 有两个不同正根、， 所以， 因为，则，由可得， 由可得或，故， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，可得，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02不等式问题七类综合题型 目 录 通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲一精讲典型题法，夯实解题根基 题型一一元二次不等式恒成立问题 题型二含参一元二次不等式 题型三由一元二次不等式的解集确定参数 题型四一元二次方程根的分布 题型五基本不等式解决最值问题 题型六基本不等式解决恒成立问题 题型七基本不等式解决有解问题 压轴挑战一攻克高难压轴， 突破思维上限 ◆◆ 同通法归纳一明晰核心解法，助力能力迁移 不等式问题是高中数学核心重难点，含参题型涉及到一元一次不等式、一元二次不等式、基本不等式、 分式不等式等，解题需要注意：一分离参数发，二是分类讨论，三注意恒成立与有解问题的不同点 ◆◆ ◆◆ 刁题型精讲一精讲典型题法，务夫解题根达 题型一、一元二次不等式恒成立问题 典例精进1(25-26高一福建厦门同安实验中学月考)若关于x的不等式ax-ax-1<0对x∈R恒成立，则实 数a的取值范围为 题型归纳 1.一元二次不等式恒成立问题注意x的范围 2.需要考虑最高此项系数是否为0，需考虑开口方向与△ 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练1-125-26高一上山东潍坊某校已知函数fx=aX2+a-2x+a∈R。 4 (1)若关于x的不等式fx≥0的解集是实数集R,求a的取值范围： a当a<0时，解关于×的不梦式f1x是≤0 变式训练1-22526高一上四川成都郭都区第一中学期中)已知函数f(x)=aX+bx 若fx2-1的解集为x-1≤x≤3求不等式bXox-1≤0的解集： 2若f1)=3且f代x<(x+1在取上恒成立，求实数，的取值范围. 变式训练1-3(25-26高一上福建南安国光中学、泉州培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校期中) 己知函数f(x)=x2-mx+m-1 (1)求关于x的不等式f(x)≥0的解集， 2)若对于、 x∈[2,6]不等式fx)≥-X-x-4恒成立，求m的取值范围. 题型二、含参一元二次不等式 典例精进2.(25-26高一上·四川成都郫都区第一中学.期中)（多选）对于给定实数α，关于x的一元二次不等 式ax-1x+1<0的解集可能是() A.x-1<x<1 a B.{xx≠-1 D.R 题型归纳 1.含参一元二次不等式可以分解的需要考虑参数的范围. 2.含参一元二次不等式不可以分解的需要考虑△。 变式训练2-1(25-26高一下山东潍坊寿光第一中学期中)设函数fx=2a+1x2-2ax-1a∈R. 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1)若a=0 解关于x的不等式fx 5≥2 x-1 (2)求不等式fx<0的解集 变式训练2-225-26高一上江苏南通启东第一中学)已知4，b,c∈R,关于x的不等式bx2-3x+2>0的 解集为x|x<1或x>c}. (1)求函数y=bx2-3x+2的零点： (2)解关于x的不等式 Cax2-(ac+b)x+bc<O 变式训练2-3(25-26高一下，天津第二中学)设y=ax+1-ax+a-2. (1)若不等式y≥-2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围： (2)解关于x的不等式ax2+1-ax+a-2<a-1a<0. 题型三、由一元二次不等式的解集确定参数 典例精进3(2425高一上福建宁德福鼎第一中学月考)若不等式aX+bx+C>0解集为x-3<X<2则不 等式ax2+a+4bx+c<0的解集为· 题型归纳 一元二次不等式已知解集问题利用根与系数的关系求解参数 变式训练3-1(25-26高一下陕西安康期末)已知关于x的不等式ax2+bx-2>0的解集为-00，-2U 则不等式 ax-1 ≤1的解集为() b-x A. 3 B. -00,3 4 U 3,+oo] -00 D. 3 U3,+∞ 变式训练3-2(25-26高一下.山东潍坊寿光第一中学期中)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为-2,3， 则不等式bx2-ax-c<0的解集为 3/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 变式训练3-3(25-26高一福建厦门同安实验中学·月考)已知不等式2x+ax+b>0的解集为 xx<-1或x 2 (1)求a,b的值： (2)解不等式ax-ac+3x+3c>0. 题型四、一元二次根的分布 典例精进4(25-26高一下渐江宁波北仑中学，)关于x的一元二次方程x+2a+1x+2a=0有一个大于0小 于4的根，则a的取值范围为 题型归纳 一元二次方程已知根的分布，通过一元二次函数的图像，考虑开口，△，己知函数值的取值范围 变式训练41(25-26高一上浙江嘉兴元济高级中学)关于x的方程x+m-3x+m=0的两个根均落在0,2， 内，则m的取值范围是() A 2<m1 2 B. 2 <m<1 C. <m<3 3 3 D 3sm<3 变式训练42(25-26高一上江苏无锡梁溪区北高级中学)已知关于x方程x2+2m-1x+2m+6=0 (1)若方程有两个根且都大于1，求实数m的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数m的取值范围 变式训练43(25-26高一上江苏苏州中学校期中)已知函数fx=x2-m+1x+m+1. (1)若关于x的方程fx=0一个根大于0，一个根小于0，求实数m的取值范围： (2)若关于的方程fx=0有两个大于-1的不等实根，求实数m的取值范围. 题型五、基本不等式解决最值问题 典例精进5(25-26高一上四川广安加德学校月考)已知x>0,y>0,且3y+x+3y=3,则x+3y的最 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 题型归纳 基本不等式最值问题的方法： 1.常数“1”。2.凑配法3.换元法 变式训练5-1(25-26高一上湖北宜昌某重点中学.月考)已知x>y>0, 3+2=1,则5x-y的最小值 X+y x-y 为 变式训选52526高-下湖北利州若a,.c都是正实数，则Q+2+4C的最小值为 ab+2bc 变式训练5-3(25-26江苏镇江·期末已知a>b>0,则a+ 8+,b的最小值为 题型六、基本不等式解决恒成立问题 典例精进62526高-上广东深圳龙岗第二高级中学月考1已知a>0,b>0,若不等式上+9≥5m恒成 a b4a+b 立，则的最大值为() A.5 B.6 C.10 D.25 题型归纳 恒成立问题方法： 1.分离参数2.利用基本不等式3.遇到含有二次项的可以使用一元二次不等式求解 变式训练6-124-25高一上福建厦门同安实验中学期中)若两个正实数x,y满足2x+y=1,且对任意的x, y,不等式+2>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是() A.{mm<-4或m>2} B. c.{mm<-2或m>4} D.乙 变式训练6-2(25-26高一上·福建南安国光中学、泉州培元中学、泉州惠南中学、安溪铭选中学四校期中)已 知正实数X,y满足+9=1时，有x+y≥m2-6m恒成立，则m的最大值为(） X y 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-8 B.-2 c.2 D.8 变式训练63不等式x2+mx+15≥0对任意x∈3,5恒成立，则m的最小值是() A.-V15 B.-2V15 c.V15 D.2V15 题型七、基本不等式解决有解问题 典剑精进72526高一江苏清浦中学)已知x,y为正实数，且X+2=1,若存在这样的x,,使得不等式 y+2<m2-2m有解，则实数m的取值范围是《) X A.（-∞，-4)U(2,+∞) B.（-4,2】 c.（-2,4 D.（-∞，-2)U(4,+00】 题型归纳 恒成立问题口诀： 大于大的，小于小的。 变式训练7-1(25-26高一上湖北咸宁华师元一赤壁学校月考)若两个正实数x,y满足x+y=2且不等式 2+X<m2-2m有解，则实数m的取值范围是(） A.-1<m<3 B.m<-3或m>1C.-3<m<1 D.m<-1或m>3 变式训练7-2(25-26高一上江苏靖江高级中学.月考)若正实数x,y满足x+2y=4,若不等式 二m>2+1有解，则m的取值范围是() 21 m 3 x y+1 B. 4 0.oo,-1U 变式训练7-32526高一上湖北武汉第一中学.二模)设x>0,y>0,且不等式ax+y 9解，则 正实数a的取值范围是() 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a≥4 B.0<a≤2 c.0<a≤4 D.a≥2 ◆◆ 同压轴桃战一支克离难压轴，突威思维上保 1.25-26高一上湖北宜昌某重点中学月考)已知关于x的不等式X-4ax+3a<0(a>0)的解集为x1,X 则x+水2+Q 的最小值是() X1X2 4.、6 B. 2V3 3 3 c.43 4V3 3 D. 3 2.(2526高一上浙江杭州师范大学附属中学期中)已知关于x的不等式aX-X+1<x2恰有一个整数解， 则a的取值范围是() A.4sa<3 B. 4 3 ≤a≤ 3 2 3 2 3sa<2 C. 0. 4 a二或a<O 3.25:26高一下交徽天一开学考)已知关于x的不等式x2.+ x+1<0的解集中有且仅有2个整数，则 实数a的取值范围是() A. 2u4e1,4 c.4,9 0 u4,9l 9’4 4.(25-26高一河北沧州沧县中学期末)已知m,n∈R,关于x的不等式x2+mx+n<0的解集为c,则n= m () A.3 B.2 c.-1 D.-2 5.(25-26高一上江西上饶民校考试联盟)设x,y∈R,且x+y=1,若不等式+4≥k2-8k恒成立，则实 xy 数k的最大值为() A.9 B.8 c.-1 D.-2 7/8 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a2 b2 6.(2526高一上安徽避溪中学期未已知a>1,b>2,则6-2810-的最小值为 7.(24-25高一上安徽芜湖城南中学.月考)设实数x,y满足：X-3Vx+1=3/y+1-y,则x+y的最小值 为 8.(25:26高一广东中山三鑫学校：期末)当x>0时，关于x的不等式ax-1川x2+bx-4上0恒成立，则b+2 的最小值为 9.(24-25高一上湖南常德外国语学校月考)若关于x的不等式x-2a+1x+2a<0恰有两个正整数解，则 a的取值范围是一· 10.(25-26高一上四川广安加德学校月考)已知函数y=ax2-a+2x+2,a∈R. (1)y<3-2x恒成立，求实数a的取值范围： 2若关于x的方程y=a-2x+5有两个不相等的实数根XX且x1X,>0求X+x的取值范围： (3)若存在m>0使关于x的方程ax2-a+2x+2=m+1+1有四个不同的实根，求实数a的取值范围。 m 8/8