奥数培优 第13讲 列方程解应用题——化繁为简的方程思维（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

———小学五年级下册奥数培优讲义★★★★★———— 第13讲 列方程解应用题——化繁为简的方程思维 【学习目标】 理解用方程解应用题的基本思路，掌握设未知数、列方程、解方程、检验作答的完整步骤。 学会根据题目条件选择"直接设元法"或"间接设元法"，灵活应对各类应用题。 能够从不同角度分析数量关系，用多种方法列方程并比较优劣。 综合运用方程思想解决数字问题、平均数问题、分配问题、行程问题等典型奥数题型。 【知识导航】 在小学阶段，许多应用题可以用算术方法解答，但当数量关系比较复杂、条件相互交织时，算术方法往往思路迂回、容易出错。此时，如果恰当地设一个未知量为 x（或其他字母），并用含 x 的式子表示其他相关量，再根据题目中的等量关系列出方程，就能化繁为简、化隐为显。 （一）列方程解应用题的一般步骤 审题 —— 读懂题意，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系。 设元 —— 设未知数为 x，用含 x 的代数式表示其他未知量。 列方程 —— 根据题目中尚未使用的等量关系，列出含有 x 的方程。 解方程 —— 求出未知数 x 的值。 检验作答 —— 检查方程的解是否符合题意，写出最终答案。 （二）设元方法分类 方法 含义 适用场景 直接设元法 题目问什么就设什么为 x 适用于大多数问题，思路直接 间接设元法 设另一个与所求量关系密切的量为 x 多个量都与某个中间量有关时更简便 一、方法精讲 （一）直接设元法 直接设元法是最基本的设元策略：题目问什么，就设什么为 x。这种方法思路清晰，在小学阶段适用于大多数应用题。 例1 ★★☆☆☆ 方法标签：直接设元 【题目】学校购买篮球和排球共100个。篮球每个85元，排球每个65元。已知购买篮球比购买排球多花了1600元，问篮球购买了多少个？ 分析 题目问篮球的数量，直接设篮球数量为 x。由"共100个"可知排球为(100−x)个。再根据"篮球比排球多花1600元"这一等量关系列方程。 解 设篮球购买了 x 个，则排球购买了(100 − x)个。 验算 篮球：54 × 85 = 4590（元）；排球：46 × 65 = 2990（元）；4590 − 2990 = 1600（元）✓ 答：篮球购买了54个。 💡【方法点评】 当题目所求量与其他量存在直接的总量关系时，直接设元最为简洁。关键在于找准等量关系——本题的等量关系是"篮球总价 − 排球总价 = 1600"。 （二）间接设元法 当题目涉及多个未知量，且它们都与某个中间量存在倍数或差值关系时，设这个中间量为 x 往往比直接设所求量更方便列方程。 例2 ★★☆☆☆ 方法标签：间接设元 【题目】果园里有苹果树、梨树和桃树共360棵。苹果树的棵数是梨树的3倍，桃树比梨树少30棵。问桃树有多少棵？ 分析 题目问桃树的棵数，但苹果树和桃树的棵数都与梨树有关：苹果树 = 3 × 梨树，桃树 = 梨树 − 30。如果设桃树为 x，则梨树为(x + 30)，苹果树为 3(x + 30)，列式稍显复杂。而设梨树为 x，则苹果树 = 3x，桃树 = x − 30，三者关系一目了然。 解 设梨树有 x 棵，则苹果树有 3x 棵，桃树有(x − 30)棵。 桃树：78 − 30 = 48（棵） 验算 苹果树：3 × 78 = 234（棵）； 梨树：78（棵）； 桃树：48（棵）； 验算：234 + 78 + 48 = 360（棵）✓ 答：桃树有48棵。 💡【方法点评】 选择设哪个量为 x，要看哪种设法使各量关系最简洁。本题中三个量都与梨树直接相关，所以设梨树为 x 是最佳选择。这就是间接设元法的优势——不问什么设什么，而是选最方便的量来设。 （三）两种设元方法对比 同一道题往往可以用不同的设元方法求解。下面通过一道题展示直接设元与间接设元两种思路，帮助同学们体会两种方法的异同。 例3 ★★★☆☆ 方法标签：一题多解 【题目】甲、乙两个仓库共存粮240吨。如果从甲仓库运出30吨给乙仓库，则甲仓库的存粮正好是乙仓库的2倍。问甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？ 分析 本题涉及"运粮前后"两个状态，关键是抓住"总量不变"这一隐含条件——无论怎么运，两仓总存量始终是240吨。 解法一（直接设元法） 设甲仓库原来存粮 x 吨，则乙仓库原来存粮(240 − x)吨。 运粮后：甲有(x − 30)吨，乙有(270 − x)吨。 根据"甲是乙的2倍"列方程： 乙仓库原来：240 − 190 = 50（吨） 解法二（间接设元法） 设运粮后乙仓库有 y 吨，则甲仓库有 2y 吨。 根据"总量不变"列方程： 甲仓库原来：2 × 80 + 30 = 190（吨） 乙仓库原来：80 − 30 = 50（吨） 验算 运粮后：甲 190 − 30 = 160（吨）， 乙 50 + 30 = 80（吨），160 = 2 × 80 ✓ 答：甲仓库原来存粮190吨，乙仓库原来存粮50吨。 💡【方法点评】 解法一直接设甲仓库存量为 x，方程中含有括号，计算步骤稍多；解法二设运粮后的量为 y，利用"总量不变"这一简便的等量关系，方程异常简洁。两种方法殊途同归，但在本题中间接设元法更为巧妙。 （四）数字问题 数字问题是方程应用中的经典题型。其核心技巧是将一个多位数用其各位数字的代数式表示出来。 例4 ★★★☆☆ 方法标签：位值原理 【题目】一个两位数，十位数字与个位数字之和为11。如果交换十位和个位上的数字，得到的新数比原数小27。求这个两位数。 分析 两位数 = 10 × 十位数字 + 个位数字。设十位数字为 x，则个位数字可用(11 − x)表示，原数和新数都能用 x 表达。 解 设十位数字为 x，则个位数字为(11 − x)。 原数： 新数（交换后）： 根据"新数比原数小27"列方程： 个位数字：11 − 7 = 4 验算 原数 = 74，数字和 7 + 4 = 11 ✓；新数 = 47，74 − 47 = 27 ✓ 答：这个两位数是74。 💡【方法点评】 数字问题的核心公式：两位数 = 10 × 十位 + 个位。交换数字后：新数 = 10 × 原个位 + 原十位。利用这两个表达式建立方程，是解决数字问题的通用策略。 （五）平均数问题 平均数问题中，关键等量关系是"总数 = 平均数 × 份数"。当题目给出不同群体的平均数和总平均数时，可以据此列方程。 例5 ★★★☆☆ 方法标签：加权平均 【题目】一次数学测验，全班平均分为92分。其中男生平均分为94分，女生平均分为89分，且男生比女生多5人。问全班共有多少人？ 分析 全班总分既可以用"男生总分 + 女生总分"表示，也可以用"全班平均分 × 全班人数"表示，两种方式应该相等。 解 设女生有 x 人，则男生有(x + 5)人，全班共有(2x + 5)人。 全班人数：2 × 10 + 5 = 25（人） 验算 男生：15 × 94 = 1410（分）；女生：10 × 89 = 890（分）；总分：1410 + 890 = 2300（分）；平均：2300 ÷ 25 = 92（分）✓ 答：全班共有25人。 💡【方法点评】 平均数问题的等量关系是"部分之和 = 整体"，即"男生总分 + 女生总分 = 全班总分"。设人数较少的群体为 x 可以避免出现负数解。 （六）分配问题 分配问题通常涉及将总量按不同比例分给若干组，关键是理清每次分配后"剩余"与"已分"的关系。 例6 ★★★☆☆ 方法标签：逐层分配 【题目】将一批图书分给甲、乙、丙三个班。甲班分得总数的三分之一，乙班分得剩下的五分之二，丙班分得其余部分。已知丙班比甲班多分得20本，问这批图书共有多少本？ 分析 设总数为 x，依次表示出甲、乙、丙各班分得的数量，再根据"丙比甲多20本"列方程。 解 设这批图书共有 x 本。 甲班分得： 本，剩余： 本 乙班分得： 本，剩余： 本 丙班分得： 本 根据"丙比甲多20本"列方程： 验算 甲：300 ÷ 3 = 100（本）；剩余：200（本）；乙：200 × (2/5) = 80（本）；丙：200 − 80 = 120（本）；120 − 100 = 20（本）✓ 答：这批图书共有300本。 💡【方法点评】 分配问题要特别注意"乙班分得剩下的 2/5"中"剩下的"三个字——乙班分的不是总数的 2/5，而是甲班分完后余下部分的 2/5。逐层计算"剩余量"是解题关键。 二、牛刀小试（课堂限时练 · 15分钟） 【题目1】 直接设元★★☆☆☆ 学校买来足球和篮球共60个。足球每个70元，篮球每个50元。已知买足球比买篮球多花了600元，问足球买了多少个？ 【题目2】 间接设元★★☆☆☆ 商店运来苹果、梨和橘子共200千克。苹果的重量是梨的2倍，橘子比梨多20千克。问橘子有多少千克？ 【题目3】 数字问题★★★☆☆ 一个两位数，十位数字与个位数字之和为9。如果交换十位和个位上的数字，新数比原数大27。求原数。 【题目4】 平均数问题★★★☆☆ 一次语文测验，男生平均分低于全班，女生平均分高于全班，男生平均83分，女生平均88分，全班85分，女生比男生少3人，问男生、女生各多少人，总分是多少？ 三、课后闯关 基础关（★★☆☆☆ 必做题） 1. 书店购进精装书和平装书共80本。精装书每本50元，平装书每本30元。已知购进精装书比平装书多花了1600元，问精装书购进多少本？ 2. 花圃里有月季、玫瑰和茉莉共250盆。月季的盆数是玫瑰的2倍，茉莉比玫瑰多30盆。问茉莉有多少盆？ 3. 甲、乙两仓共存粮180吨。从甲仓运出20吨给乙仓后，甲仓存粮是乙仓的1.5倍。问甲、乙两仓原来各存粮多少吨？（💡提示：1.5倍即3/2倍，也可设运后乙为2y、甲为3y避免小数） 4. 一个两位数，十位数字与个位数字之和为8。如果交换十位和个位上的数字，新数比原数小18。求原数。 提高关（★★★☆☆ 选做题） 5. 一次英语测验，全班平均分为86分。男生平均分为88分，女生平均分为83分，男生比女生多4人。问全班共有多少人？ 6. 将一批学习用品分给甲、乙、丙三个小组。甲组分得总数的四分之一，乙组分得剩下的三分之一，丙组分得其余部分。已知丙组比甲组多分得15份，问这批学习用品共有多少份？ 7. 甲、乙两人从同一地点出发前往某地。甲步行先出发，速度为每小时4千米。甲出发一段时间后，乙以每小时12千米的速度骑车追赶，经过3小时追上甲。问甲比乙早出发多少小时？ 8. 三个连续自然数的和是69，求这三个数分别是多少？ 挑战关（★★★★☆ 拔高题） 9. 一个三位数，百位数字比十位数字大1，个位数字比十位数字小1，三个数位上的数字之和是15。求这个三位数。 10. 某校五年级学生参加数学竞赛，男生人数是女生人数的2倍。已知男生的平均成绩是85分，女生的平均成绩是91分，求全体参赛学生的平均成绩。 11. 一艘轮船从甲港开往乙港，顺水而行每小时行28千米，返回甲港时逆水而行用了6小时。已知水速是每小时4千米，甲、乙两港相距多少千米？ 12. 将一批零件分给甲、乙、丙三个工人加工。甲分得总数的，乙分得剩下的，丙分得其余部分。已知丙比甲多分得10个，这批零件共有多少个？ 四、参考答案 牛刀小试 【题目1】设足球 x 个，篮球(60 − x)个。 验算：足球30×70=2100元，篮球30×50=1500元，2100−1500=600元 ✓ 答：足球买了30个。 【题目2】设梨 x 千克，苹果 2x 千克，橘子(x + 20)千克。 橘子：45 + 20 = 65（千克） 验算：苹果90+梨45+橘子65=200千克 ✓ 答：橘子有65千克。 【题目3】 设十位数字 x，个位数字(9 − x)。 原数： 新数： 新数比原数大27： 个位：9 − 3 = 6，原数为36。 验算：原数36，新数63，63−36=27 ✓ 答：原数是36。 【题目4】男生平均分低于全班，女生平均分高于全班，男生平均83分，女生平均88分，全班85分，女生比男生少3人。问男生、女生各多少人，总分是多少？ 设女生 x 人，男生(x + 3)人。 全班：2×6+3=15人。 验算：女生6×88=528，男生9×83=747，总分1275，1275÷15=85 ✓ 答：女生6人，男生9人，总分1275分。 课后闯关·基础关 1. 设精装书 x 本，平装书(80 − x)本。 验算：精装50×50=2500元，平装30×30=900元，2500−900=1600元 ✓ 答：精装书购进50本。 2. 设玫瑰 x 盆，月季 2x 盆，茉莉(x + 30)盆。 茉莉：55 + 30 = 85（盆） 验算：月季110+玫瑰55+茉莉85=250盆 ✓ 答：茉莉有85盆。 3. 直接设元法：设甲仓 x 吨，乙仓(180 − x)吨。 运后甲(x − 20)吨，乙(200 − x)吨。 乙仓：180 − 128 = 52（吨） 间接设元法：设运粮后乙仓 y 吨，甲仓 1.5y 吨。 甲仓原来：1.5 × 72 + 20 = 128（吨） 乙仓原来：72 − 20 = 52（吨） 验算：运后甲128−20=108吨，乙52+20=72吨，108=1.5×72 ✓ 答：甲仓原来存粮128吨，乙仓原来存粮52吨。 4. 设十位数字 x，个位数字(8 − x)。 原数： 新数： 个位：8 − 5 = 3，原数为53。 验算：原数53，新数35，53−35=18 ✓ 答：原数是53。 课后闯关·提高关 5. 设女生 x 人，男生(x + 4)人，全班(2x + 4)人。 全班：2 × 8 + 4 = 20（人） 验算：男生12×88=1056分，女生8×83=664分，总分1720分，1720÷20=86分 ✓ 答：全班共有20人。 6. 设总数 x 份。 甲：，剩余 乙：，剩余 丙： 验算：甲15份，乙15份，丙30份，30−15=15份 ✓ 答：这批学习用品共有60份。 7. 设甲比乙早出发 t 小时。 甲行走总时间 = (t + 3)小时，乙行走3小时。 验算：甲走了9小时，4×9=36千米；乙走了3小时，12×3=36千米 ✓ 答：甲比乙早出发6小时。 8. 设中间的自然数为 x，则三个数分别为(x − 1)、x、(x + 1)。 三个数分别为：22、23、24。 验算：22+23+24=69 ✓ 答：这三个数分别是22、23、24。 课后闯关·挑战关 9. 设十位数字为 x，则百位数字为(x + 1)，个位数字为(x − 1)。 百位：5 + 1 = 6，个位：5 − 1 = 4 这个三位数是654。 验算：6+5+4=15，百位6比十位5大1，个位4比十位5小1 ✓ 答：这个三位数是654。 10. 设女生人数为 x，则男生人数为 2x，总人数为 3x。 全体平均成绩 = 总成绩 ÷ 总人数 验算：设女生10人，男生20人。男生总分20×85=1700，女生总分10×91=910，总分2610，2610÷30=87分 ✓ 答：全体参赛学生的平均成绩是87分。 11. 设甲、乙两港相距 x 千米。 顺水速度 = 船速 + 水速 = 28千米/时，所以船速 = 28 − 4 = 24千米/时 逆水速度 = 船速 − 水速 = 24 − 4 = 20千米/时 逆水行驶6小时： 验算：顺水时间120÷28≈4.29小时，逆水速度20千米/时，20×6=120千米 ✓ 答：甲、乙两港相距120千米。 12. 题目：甲分得总数的，乙分得剩下的，丙分得其余部分。已知丙比甲多分得10个。 设这批零件共有 x 个。 甲：，剩余 乙：，剩余 丙： 验算：甲30个，乙20个，丙40个，40−30=10个 ✓ 五、方法总结 方法 适用场景 设元技巧 注意事项 直接设元法 所求量与其他量有直接总量关系 问什么设什么 最常用，思路清晰 间接设元法 多个量与某中间量有关联 设关系最集中的中间量为 x 求出 x 后别忘推算所求量 多角度列方程 同一题可从不同等量关系入手 选最简洁的等量关系 利用"总量不变"等隐含条件 数字问题 涉及多位数的数字变换 设某位数字为 x，用 10×十位+个位 注意交换数字后的表达式 平均数问题 给出各部分平均数和总平均数 设某部分人数为 x 等量关系：部分之和=整体；注意数据是否自洽 分配问题 总量按比例逐级分配 设总量为 x，逐层算剩余量 "剩下的几分之几"不等于"总量的几分之几" 行程问题 相遇、追及、流水行船 设时间或路程为 x 核心公式：路程=速度×时间；顺水速度=船速+水速 （一）思维导图 【易错提醒】 ⚠ 设元后忘记验算 —— 解出 x 后一定要代入原题检验，确认结果合理且符合题意。 ⚠ 间接设元忘记推算 —— 设的是中间量，求出 x 后还需根据 x 与所求量的关系推算最终答案。 ⚠ 等量关系用错 —— 列方程时要用题目中"尚未使用"的条件。如果某个条件已用于设元（如"共100个"），就不能再用它列方程。 ⚠ 分配问题中"剩下的"理解错误 —— "乙分得剩下的 2/5"是指甲分完后余量中的 2/5，而非总数的 2/5。 ⚠ 数字问题中数的表达式写反 —— 两位数 = 10 × 十位数字 + 个位数字，交换后 = 10 × 原个位 + 原十位，不要写反。 ⚠ 平均数问题数据不自洽 —— 出题或做题时注意用十字交叉法验证人数比是否与题目给出的人数差一致，避免出现方程无解的情况。 【数学文化角】 方程的起源与发展 方程思想是数学中最伟大的发明之一，它让复杂的数量关系变得清晰可控。 1. 中国古代的方程术 早在两千多年前，中国古代数学名著《九章算术》中就设有"方程"一章，记载了用算筹排列方程组来求解实际问题的方法，这是世界上最早的系统方程解法。中国古代数学家刘徽在注释《九章算术》时说："程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实，令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。" 2. 丢番图与代数符号 古希腊数学家丢番图（约公元246—330年）被誉为"代数学之父"。他在著作《算术》中首次使用字母表示未知数，开创了用符号表达数学关系的先河。在丢番图之前，人们解应用题只能用文字叙述，非常繁琐；丢番图的符号化思想让方程变得简洁优美。 3. 韦达与现代方程 16世纪法国数学家韦达（1540—1603年）系统地用字母表示已知数和未知数，确立了代数的符号体系，被称为"近代代数学之父"。我们今天使用的"设 x 为未知数"的做法，正是从韦达开始系统化的。 4. 方程思想的意义 方程的本质是"用等号连接两个等价的表达"。它教会我们：同一个量可以从不同角度去描述，而这些描述之间是相等的。这种"等价转化"的思想不仅是解应用题的利器，更是整个数学乃至科学研究的核心思维方式。 💡 同学们今天学习的列方程解应用题，正是站在两千多年来无数数学家智慧的肩膀上。掌握方程思想，你就拥有了一把开启数学大门的金钥匙！ 祝贺你完成了本讲的学习，为加油的自己点一个赞👍 学科网（北京）股份有限公司 $