奥数培优第6讲 余数条件综合·逐步约束法（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

【人教版】小学五年级下册奥数培优讲义 第 6 讲 余数条件综合・逐步约束法 📌【讲义基础信息】 适配版本：人教版五年级下册 单元定位：奥数培优拓展专题，仅适合学有余力学生拓展学习； 前置知识：带余除法、最大公因数、最小公倍数 难度梯度：校内基础巩固→奥数能力提升→竞赛拓展（选学，普通学生可跳过） 配套资源：思维导图、核心速记清单、高频易错警示、随堂小练、分层习题、完整分步解析、一题多解、生活情境趣味压轴题 【前言】 本讲是余数知识的综合拓展，在带余除法基础之上，学习多个余数条件下求解自然数的方法，核心工具为逐步约束枚举法，全部解题只使用小学课内学过的余数、倍数、最小公倍数知识。 古代《孙子算经》记载的物不知数问题属于数学文化拓展内容，不作为主干解题要求。落实新课标推理意识、应用意识素养。 本讲建立「枚举数列→筛选条件→更新公差→验算」标准化解题流程。不定方程相关内容属于培优拓展，竞赛通解公式、同余代数变形划为选学内容。为后续周期问题、实际分配应用题做好铺垫。 【三维教学目标】 知识与技能 了解《孙子算经》物不知数数学文化；熟练掌握逐步约束枚举法，求解 2‑4 个余数条件的最小自然数；会求指定范围内满足条件的数的个数。 识别 “差同减差、和同加和” 两类特殊模型，理解原理，做题必须代入验算。 了解二元不定方程概念，会利用奇偶分析 + 枚举试算求自然数解。 竞赛拓展：同余代数变形、不定方程通解（选学，普通学生可不掌握）。 过程与方法 建立「列出满足条件数列→筛选第二个条件→更新公差→全部条件筛选完成→验算」标准化解题模板；学会优先选择数字大的除数开始枚举，减少计算量；区分必学方法与竞赛拓展内容。 情感态度与价值观 感受我国古代数学文化；养成枚举、筛选、验算的严谨做题习惯；体会条件约束下逐步逼近的数学思想，消除多条件数论题的畏难心理。 【教学重难点】 重点（奥数培优必掌握） 逐步约束枚举法求解多余数条件问题； “差同减差、和同加和” 两种特殊模型，解题必须验算； 指定范围内统计满足条件数的个数； 不定方程：奇偶分析 + 枚举试算找自然数解。 难点（奥数拔高） 多个条件叠加，正确更新数列公差（最小公倍数）； 结合实际情境读懂题意，转化余数条件。 📌【竞赛选学难点，普通学生不作要求】 同余代数变形、不定方程通解规律，仅供学有余力同学了解。 【高频易错总提示】 ⚠️易错 1：使用差同 / 和同模型，只套口诀不验算，出现错误； ⚠️易错 2：数列公差错误，没有取前面所有除数的最小公倍数； ⚠️易错 3：范围计数，算完商忘记 + 1，或者边界 “以内” 审题出错； ⚠️易错 4：不定方程忘记 x、y 必须是非负自然数，出现负数解不主动舍去； ⚠️易错 5：实际问题忽略现实意义（物品个数不能为负数）。 一、核心知识点梳理 （一）数学文化拓展：物不知数（孙子问题） 仅文化阅读，不作为必学解题方法 我国古代数学名著《孙子算经》：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”，这类多个余数条件求数的问题，我们主要使用逐步约束枚举法求解。 （二）逐步约束枚举法【★必掌握】 同时满足多个余数条件： 先写出满足第一个条件的全部数，写成等差数列； 在数列里面筛选满足第二个条件的数；新数列公差 = 前面两个除数的最小公倍数； 每新增一个条件，公差更新为已经用过全部除数的最小公倍数； 筛选完所有条件，得到最小自然数；所有解 = 最小解 + k × 全部除数的最小公倍数； 最后代入全部条件验算。 （三）两类特殊快捷模型【★必掌握，务必验算】 【差同减差】 各除数与余数的差值全部相等： 最小自然数 = 除数的最小公倍数 − d 原理：这个数加 d 之后，可以被全部除数整除。 【和同加和】 各除数与余数的和全部相等： 最小自然数 = s（s 小于最小公倍数时）；通解： 原理：这个数减去 s 之后，可以被全部除数整除。 （四）不定方程（培优拓展） 含有 2 个及以上未知数，未知数数量多于方程数量，叫做不定方程；实际应用题只求自然数解（x≥0，y≥0）。 ✅必掌握：奇偶分析缩小范围 + 枚举试算。 ⭐竞赛选学：不定方程通解规律、同余代数变形，见文末【竞赛拓展阅读板块】，普通学生跳过。 （五）标准化解题五步模板 1.审题，把文字题意转化为余数条件； 2.选用逐步约束枚举法（优先大除数开始枚举，减少列举）； 3.每增加条件，更新公差为对应除数最小公倍数； 4.求最小解；求范围个数注意边界； 5.全部条件代入验算。 二、经典基础例题（7 道，配套随堂小练） 例 1（基础入门）★基础 【题目】一个数除以 3 余 1，除以 5 余 2，除以 7 余 4。求满足条件的最小自然数。 【解析】 第一步：满足除以 3 余 1：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，55，58，61，64，67…… 第二步，筛选除以 5 余 2：7，22，37，52，67……（公差） 第三步，筛选除以 7 余 4，得到：67。 全部除数最小公倍数，。 验算：；；，全部成立。 答：最小自然数是 67。 【随堂小练 1】 一个数除以 4 余 1，除以 7 余 3，求满足条件的最小自然数。 例 2（巩固提升）★提升 【题目】一个数除以 4 余 3，除以 9 余 2，除以 11 余 7。求满足条件的最小自然数。 【解析】 第一步：满足除以 4 余 3：3，7，11，15，19，23，27，31，35，39，43，47…… 第二步：筛选除以 9 余 2：11，47，83，119，155，191，227……（公差） 第三步：筛选除以 11 余 7，得到 227。 ，。 验算全部条件，符合。 答：最小自然数 227。 【随堂小练 2】 一个数除以 8 余 5，除以 9 余 4，求满足条件最小自然数。 例 3（范围内计数）★★拔高 【题目】在 2000 以内，除以 5 余 2，除以 8 余 3，除以 12 余 7 的自然数共有多少个？ 【解析】 第一步：满足除以 8 余 3：3，11，19，27，35，43，51，59，67…… 第二步：筛选除以 12 余 7：19，43，67，91…… 公差 第三步：筛选除以 5 余 2，得到最小数 67。 完整数列：首项 67，公差。 个数：个； 验证最大项：；下一项超过 2000。 答：2000 以内一共 17 个。 【随堂小练 3】 在 1000 以内，满足除以 6 余 5，除以 10 余 1 的数一共有多少个？ 例 4（快捷情形：和同加和）★★拔高 【题目】一个数除以 6 余 5，除以 7 余 4，除以 8 余 3。求满足条件的最小自然数。 【解析】 观察：，属于和同。 能够同时被 6、7、8 整除；。 ；取，。 验算：，全部成立。 答：最小自然数 11。 【随堂小练 4】 一个数除以 5 余 4，除以 7 余 2；除数余数之和均为 9，求最小自然数。 例 5（拓展：四条件差同减差）★★拔高 【题目】一筐橘子，2 个 2 个地数多 1 个，3 个 3 个地数多 2 个，5 个 5 个地数多 4 个，7 个 7 个地数多 6 个。这筐橘子至少多少个？ 【解析】 转化余数条件：除以 2 余 1；除以 3 余 2；除以 5 余 4；除以 7 余 6。 差值：，差同。 橘子数量，可以被 2、3、5、7 同时整除；。 橘子数；物品个数不能负数，，。 验算全部条件，成立。 答：至少 209 个。 【随堂小练 5】 一堆棋子，3 个一数剩 2，5 个一数剩 4，7 个一数剩 6，求最少棋子数量。 例 6（不定方程应用 租车问题）★★拔高 【题目】学校组织春游，大巴每辆坐 9 人，中巴每辆坐 6 人，一共 75 名师生，每辆车正好坐满，一共有多少种租车方案？ 【解析】 设大巴辆，中巴辆，为非负整数。 ，化简：。 是偶数，25 奇数，故必须为奇数，是奇数； 又，；可取奇数：1、3、5、7。 ；；；。 共 4 种方案。 答：4 种租车方案：大巴 1 辆中巴 11 辆；大巴 3 辆中巴 8 辆；大巴 5 辆中巴 5 辆；大巴 7 辆中巴 2 辆。 【随堂小练 6】 ，求全部自然数解。 例 7（不定方程求解）★★拔高 【题目】求不定方程 的所有自然数解。 【解析】 偶数，59 奇数，必须奇数，取奇数；；可取 1、3、5、7。 ； （不是整数舍去）； ； （不是整数舍去）。 答：自然数解，。 【随堂小练 7】 求全部自然数解。 四、易错题专区（3 道典型错例） 易错题 1｜差同 / 和同模型，直接套口诀不验算 题目：一个数除以 4 余 2，除以 6 余 4；差同为 2。 ❌直接写：，不验算。 ✅必须验算：，确认无误。 【避坑】口诀只是快捷手段，验算必不可少。 易错题 2｜范围计数忘记 + 1 条件：首项 11，公差 30，1500 以内。 ❌，直接写 49 个； ✅正确：个，首项本身也要算进去。 易错题 3｜不定方程不筛负数解 解方程得到解； ❌直接保留； ✅代表数量，不能为负数，直接舍去。 五、趣味综合压轴题（2 道新课标情境） 压轴题 1：千年密码箱 考古发现密码箱，文字提示：三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二，九九数之余八；密码小于 500。 (1) 求密码； (2) 密码加上最小正整数，可以同时被 3、5、7、9 整除，求这个数； (3) 金币比密码多 50 枚；每 8 个一包剩 3，每 12 个一包剩 7，求金币总数。 【解析】 (1) 逐步约束：除以 3 余 2、除以 7 余 2，数列：2、23、44、65、86、107、128、149、170、191、212、233…… 筛选除以 5 余 3 得到 23，公差更新，数列：23，128，233，338，443…… 筛选除以 9 余 8，得到 233；，密码 233。 (2)；；最少加 82。 (3) 金币枚；验算，，符合条件。 答：(1) 密码 233；(2) 加 82；(3) 金币 283 枚。 压轴题 2：精灵村采购糖果彩球 (1) 一袋糖果，4 颗分剩 1，6 颗分剩 3，9 颗分剩 6；大于 50 小于 100，求糖果颗数； (2) 红球 5 角，蓝球 8 角，一共花 10 元，两种球都要买，求买法数量； (3) 糖果分给 12 个小精灵，每人最多几颗，剩几颗；至少再买几颗可以正好分完。 【解析】 (1) 差同为 3；；通解；50‑100 之间取 69。 (2) 10 元 = 100 角；；必须是 5 倍数；；；舍去；共 2 种。 (3)；每人最多 5 颗，剩余 9 颗；，至少再买 3 颗。 答：(1) 69 颗；(2) 2 种；(3) 每人 5 颗，剩 9 颗；再买 3 颗。 六、一题多解 典例：一个数除以 5 余 3，除以 7 余 2，除以 9 余 4，求最小自然数。 解法一：从小除数逐步枚举 满足除以 5 余 3：3，8，13，18，23，28，33，38，43，48，53，58…… 筛选除以 7 余 2：23，58，93…… 公差 35； 筛选除以 9 余 4，得到 58。 解法二：优先大除数枚举（减少列举） 满足除以 9 余 4：4，13，22，31，40，49，58…… 筛选除以 7 余 2 得到 58；再验证除以 5 余 3，条件全部满足。 【小结】 优先选择大数除数开始枚举，可以减少列举数字；做完务必全部验算。 七、分层习题 基础必做习题（4 道） 1. 一堆糖果，4 颗 4 颗地分多 2 颗，6 颗 6 颗地分多 4 颗，9 颗 9 颗地分多 7 颗，糖果至少多少颗？ 2. 在 1500 以内，除以 6 余 5，除以 10 余 1，除以 15 余 11 的自然数一共有多少个？ 3. 有一个两位数，除以 4 余 3，除以 5 余 2，除以 7 余 6，求这个两位数。 4. ，两种笔都要买，求全部自然数解（买法）。 拓展拔高习题（2 道） 1. 一个数除以 5 余 1，除以 7 余 3，除以 9 余 5，求满足条件最小自然数。 2. 六年级 48 人划船，大船坐 5 人，小船坐 3 人，可以只租一种，求全部租船方案。 挑战・选做题（2 道，学有余力完成） 1. 一盒围棋，3 个一数剩 2，5 个一数剩 4，7 个一数剩 6，11 个一数剩 10，最少多少颗？ 2. 一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，除以 11 余 5，求最小自然数。 八、随堂小练完整参考答案 随堂小练 1：，最小 17 随堂小练 2：和同，，最小 13 随堂小练 3：首项 11，公差 30；；个 随堂小练 4：和同为 9；最小 9 （提示：和同得到 s=9，要带回原题验算，s 有可能小于除数。） 随堂小练 5：差同减差； 随堂小练 6： 随堂小练 7： 九、分层习题完整解析 基础必做 1. 差同，差 = 2；颗 2. 最小 11，公差 30；；个 3. 逐步约束，两位数 4. ，两种都要买；共 4 组解，4 种买法。 拓展拔高 1. 差同为 4； 2. ； 可取 0、3、6、9：（x=0，代表不租大船，全部租用小船，符合题意） ①x=0, y=16（全小船） ②x=3, y=11 ③x=6, y=6 ④x=9, y=1 一共 4 种租船方案。 挑战・选做题 1. 差同为 1；颗 2. 逐步约束筛选，最小 十、本讲全套总结 （一）思维导图（余数条件综合・逐步约束法） （二）核心速查表 题型 核心操作 多余数条件求解 逐步约束枚举，公差取除数最小公倍数，做完验算 差同 最小 = 最小公倍数−差值 和同 最小 = 共同和，叠加公倍数 范围计数 (上限‑最小解)÷ 公差，商 + 1，注意边界审题 不定方程应用题 奇偶分析缩小范围，枚举，舍去负数解 （三）记忆口诀 余数多条件，逐步来筛选； 差同便减差，和同即加和； 每步看公差，最小公倍数算； 范围计数要加一，算完验算不能断； 不定方程看正负，负数直接要丢完。 【老师的话】 本讲属于余数综合拓展，逐步约束枚举法是本讲必掌握的核心方法，差同、和同只是快捷技巧，千万不要只背口诀忽略验算。竞赛板块的同余代数变形、不定方程通解普通同学可以直接跳过。做题优先从数字大的除数开始列举，可以减少书写量。 恭喜你完成本讲学习！💪 学科网（北京）股份有限公司 $