专题07幂的运算精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版八年级数学上册

本讲义聚焦初中数学幂的运算核心知识点，系统梳理同底数幂乘法（底数不变指数相加）、幂的乘方（底数不变指数相乘）、积的乘方（各因式分别乘方再相乘）的运算法则，涵盖正向应用、逆向变形及重点辨析，构建从基础法则到灵活运用的学习支架。 资料通过分层题型设计（基础到拔高）、解题思路引导及阅卷高频扣分点分析，结合实际问题（如小球转移数量关系题）培养学生运算能力与推理意识，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升代数式运算准确率与数学表达能力。

专题07幂的运算精讲学案 核心立意： 掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，熟练进行幂的相关计算；能灵活对公式正向、逆向变形，会整体代入求值，提高代数式运算准确率。 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：aman=am+n （m、n为正整数） ①可推广多个同底数幂相乘：amanap=am+n+p ②公式逆用：am+n=aman，常用于整体代入求值； ③底数可以是数字、字母、整式，只有底数相同时，才能使用该法则。 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ①逆用公式：amn=(am)n=(an)m； ②易混区分：同底数幂乘法：指数相加；幂的乘方：指数相乘。 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ①推广：(abc)n=anbncn； ②逆用公式：anbn=(ab)n，指数相同时逆向合并简化运算； ③负数乘方看指数奇偶，以此确定结果符号。 重点辨析 1. 同底数幂乘法：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘，两类公式极易混淆，做题先判断运算类型。 2. 积的乘方，括号内每一个因式都要乘方，不可遗漏任意因式。 3. 公式逆用条件：同底数幂逆用要求底数相同；积的乘方逆用要求指数相同。 4. 单独字母隐藏指数为1，运算时不能忽略。 5. 幂的运算≠合并同类项，两类运算法则完全不同，不可混用。 （阅卷高频扣分） 1. 同底数幂相乘，误将指数相乘；幂的乘方，误将指数相加。 2. 积的乘方运算，只对部分因式乘方，漏掉括号内因式。 3. 底数为负数，忽略括号，符号判断出错。 4. 不满足底数、指数条件，强行逆用公式。 5. 混淆幂的运算与合并同类项法则，计算出错。 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 ★★★ 题型三 幂的乘方运算 ★ 题型四 幂的乘方的逆用 ★★★ 题型五 积的乘方运算 ★★ 题型六 积的乘方的逆用 ★★ 题型七 幂的混合运算 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：同底数幂相乘 解题思路：①运用法则，底数不变，指数相加，②运算前提是底数必须相同，底数可以是数字、字母或者整式，③多个同底数幂相乘，所有指数直接相加，④单独字母的指数为1，计算时不要忽略。 1．计算______． 【答案】 【分析】先计算乘方，再计算同底数幂相乘，即可得出结果． 【详解】解：． 2．计算等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将相同加数的和转化为乘法，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 3．若是大于1的正整数，且，则的值是___________． 【答案】7 【分析】先将左边个的和转化为乘法，再利用同底数幂的乘法法则化简，对比两边指数即可求解. 【详解】解：由已知得：， 即， ， . 4．若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 【答案】A 【分析】由可得，即，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型二：同底数幂乘法的逆用 解题思路：①逆用公式am+n=aman，将幂的指数和形式拆成两个幂相乘，②观察题目已知条件对代数式变形，③整体代入数值计算结果，④一定要保证拆分前后底数相同。 5．若，则=________ 【答案】 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后代入已知条件计算． 【详解】解：， 将，代入上式，得． 6．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（   ） A．12 B．32 C．64 D．128 【答案】B 【分析】本题主要考查了同底数幂的运算，准确计算是解题的关键． 准确分析三只袋中的数量，根据最后个数相同进行列式求解； 【详解】根据题意可得：， 即， 解得：， ； 故选． 7．若，，则的值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，根据同底数幂乘法的逆用进行计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，同底数幂的乘法，掌握相关知识是解决问题的关键．根据规定将符号转化为指数形式，再利用 和同底数幂相乘的法则求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ； 又 ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 故选：A． 题型三：幂的乘方运算 解题思路：①运用法则，底数不变，指数相乘，②区分同底数幂相乘是指数相加，不要混淆，③底数为负数或者多项式时，把整体当作底数参与运算。 9．计算：__________． 【答案】 【详解】解：． 10．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，都转化为底数相同的幂，再通过比较指数大小判断原数的大小． 【详解】，，， ， ，即． 11．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴原式． 12．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 题型四：幂的乘方的逆用 解题思路：①逆用公式amn=(am)n=(an)m，把指数乘积形式进行拆分，②结合已知条件，采用整体代入法求值，③指数乘积有多种拆分方式，结合题意灵活选择。 13．已知：，则的值为__________． 【答案】25 【分析】将所求代数式变形为含已知条件的形式，再代入计算即可． 【详解】解：=， ∴将代入得：原式． 14．已知，，则的值是（     ） A．2048 B．60 C．120 D．360 【答案】D 【分析】利用幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将所求代数式变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴． 15．若，，则，的大小关系是______________． 【答案】/ 【分析】将两个幂变形为指数相同的形式，再根据指数相同，正整数指数幂中底数越大，幂越大即可得． 【详解】解： ，， ∵， ∴． 16．若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，再根据，结合同底数幂乘法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴． 题型五：积的乘方运算 解题思路：①积中每一个因式都要分别乘方，不能漏掉任意因式，②负数因式乘方，根据指数奇偶判断结果符号，③多个因式相乘的乘方，每个因式乘方之后再做相乘运算。 17．计算：________． 【答案】 【详解】解： 18．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，本选项计算错误； 选项B：，本选项计算错误； 选项C：，本选项计算错误； 选项D：，本选项计算正确． 19．计算：_______． 【答案】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方的法则、同底数幂的乘法法则计算，可得：原式，再根据合并同类项的法则合并同类项即可． 【详解】解： ． 20．现定义一种新运算“※”：，例如，．若，则________． 【答案】 【分析】先根据新运算定义展开等式左边，利用幂的运算法则化简后，对比等式两边同类项的指数得到n的值，再求出系数k，最后计算即可． 【详解】解：根据新运算定义，可得， 根据积的乘方法则展开，得 原式， ∵， ∴，解得， ∴， ∴． 题型六：积的乘方的逆用 解题思路：①逆用公式anbn=(ab)n，只有指数相同时才可以逆向合并，②底数相乘，指数保持不变，用来简化大数、分数计算，③指数不一致，先变形化成相同指数，再使用逆用公式。 21．的计算结果是______． 【答案】0.5 【分析】本题可逆用积的乘方运算法则，将原式变形后化简计算．积的乘方运算法则．反之． 【详解】解： ． 22．已知，那么的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方的运算，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 23．计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算性质． 第一部分的分母通过提取公因式简化，幂运算部分逆用同底数幂乘法和积的乘方计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 24．已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】D 【分析】将变形为，根据即可判断甲；根据即可判断乙；根据，，即可判断丙． 【详解】解：∵， 又∵， ∴，故甲正确； ∵， ∴，故乙正确； ∵， ， 又∵， ∴， 即，故丙正确； 综上分析可知，正确的是甲、乙、丙，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了积的乘方运算，幂的乘方运算，和同底数幂的运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则，准确计算． 题型七：幂的混合运算 解题思路：①运算顺序，先算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂乘法，②做题分清每一步是什么运算，选用对应法则，③全程留意符号，最后化简得到结果。 25．计算：_______． 【答案】 【分析】先计算积的乘方与幂的乘方、同底数幂的乘法，再计算加减法即可． 【详解】解：原式 ． 26．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整数指数幂的性质分别求解后进行判断． 【详解】A.，与题意不符，故错误； B.，与题意不符，故错误； C.，与题意不符，故错误； D.，与题意相符，故正确； 故选 ：D． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握整数指数幂的性质、零指数幂、开立方根是解题关键． 27．若，则满足条件的x值为_______． 【答案】或2 【分析】本题考查了整式的幂运算，任意非零数的零次幂等于1；1的任意次幂均等于1；的偶次幂等于1，据此分情况讨论即可求解． 【详解】解：， 当，则； 当时，则； 当时，则，此时（舍去）， 故答案为：或2． 28．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键．利用新定义的规定对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：， ． 选项的结论正确，不符合题意； 若， ， ， ， 选项的结论正确，不符合题意； ， 选项的结论不正确，符合题意； ，， 则， 选项的结论正确，不符合题意． 故选：B 解答题 1．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同底数幂乘法的逆运算，将所求式子变形后代入已知条件计算即可； （2）先将等式左边所有项化为底数为的幂，再根据同底数幂乘法法则计算，利用底数相等时幂相等则指数相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，．， ∴ ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 解得． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，幂的混合运算，准确应用运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方、绝对值，再乘除，最后进行加减运算； （2）先计算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂乘法，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值．（结果用含n的式子表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照新运算的规则计算即可； （2）仿照新运算的规则计算，可得：原式，再逆用幂的乘方的法则和同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：当，，时， ． 5．学完有理数的乘方后，小明做了一道题，他的解答过程是： ． 阅读完后，请仿照他的方法解下面的题目： 设，．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的逆运算，积的乘方的逆运算，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 则 ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07幂的运算精讲学案 核心立意： 掌握同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则，熟练进行幂的相关计算；能灵活对公式正向、逆向变形，会整体代入求值，提高代数式运算准确率。 同底数幂的乘法 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 公式：aman=am+n （m、n为正整数） ①可推广多个同底数幂相乘：amanap=am+n+p ②公式逆用：am+n=aman，常用于整体代入求值； ③底数可以是数字、字母、整式，只有底数相同时，才能使用该法则。 幂的乘方 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 公式：(am)n=amn （m、n为正整数） ①逆用公式：amn=(am)n=(an)m； ②易混区分：同底数幂乘法：指数相加；幂的乘方：指数相乘。 积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 公式：(ab)n=anbn （n为正整数） ①推广：(abc)n=anbncn； ②逆用公式：anbn=(ab)n，指数相同时逆向合并简化运算； ③负数乘方看指数奇偶，以此确定结果符号。 重点辨析 1. 同底数幂乘法：底数不变，指数相加；幂的乘方：底数不变，指数相乘，两类公式极易混淆，做题先判断运算类型。 2. 积的乘方，括号内每一个因式都要乘方，不可遗漏任意因式。 3. 公式逆用条件：同底数幂逆用要求底数相同；积的乘方逆用要求指数相同。 4. 单独字母隐藏指数为1，运算时不能忽略。 5. 幂的运算≠合并同类项，两类运算法则完全不同，不可混用。 （阅卷高频扣分） 1. 同底数幂相乘，误将指数相乘；幂的乘方，误将指数相加。 2. 积的乘方运算，只对部分因式乘方，漏掉括号内因式。 3. 底数为负数，忽略括号，符号判断出错。 4. 不满足底数、指数条件，强行逆用公式。 5. 混淆幂的运算与合并同类项法则，计算出错。 题型 考察方向 难度 题型一 同底数幂相乘 ★ 题型二 同底数幂乘法的逆用 ★★★ 题型三 幂的乘方运算 ★ 题型四 幂的乘方的逆用 ★★★ 题型五 积的乘方运算 ★★ 题型六 积的乘方的逆用 ★★ 题型七 幂的混合运算 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★拔高； 题型一：同底数幂相乘 解题思路：①运用法则，底数不变，指数相加，②运算前提是底数必须相同，底数可以是数字、字母或者整式，③多个同底数幂相乘，所有指数直接相加，④单独字母的指数为1，计算时不要忽略。 1．计算______． 2．计算等于（     ） A． B． C． D． 3．若是大于1的正整数，且，则的值是___________． 4．若，则的值为（   ） A．8 B． C．6 D．-6 题型二：同底数幂乘法的逆用 解题思路：①逆用公式am+n=aman，将幂的指数和形式拆成两个幂相乘，②观察题目已知条件对代数式变形，③整体代入数值计算结果，④一定要保证拆分前后底数相同。 5．若，则=________ 6．如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有小球16个、28个、28个，先从甲袋中取出个小球放入乙袋，再从乙袋中取出个小球放入丙袋，最后从丙袋中取出个小球放入甲袋，此时三只袋中球的个数都相同，则的值等于（   ） A．12 B．32 C．64 D．128 7．若，，则的值是________． 8．规定：若实数a，b，c满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则p的值是（   ） A． B． C． D．9 题型三：幂的乘方运算 解题思路：①运用法则，底数不变，指数相乘，②区分同底数幂相乘是指数相加，不要混淆，③底数为负数或者多项式时，把整体当作底数参与运算。 9．计算：__________． 10．已知，，，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 11．已知，则的值为________． 12．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 题型四：幂的乘方的逆用 解题思路：①逆用公式amn=(am)n=(an)m，把指数乘积形式进行拆分，②结合已知条件，采用整体代入法求值，③指数乘积有多种拆分方式，结合题意灵活选择。 13．已知：，则的值为__________． 14．已知，，则的值是（     ） A．2048 B．60 C．120 D．360 15．若，，则，的大小关系是______________． 16．若，是正整数，且满足9个相加等于4个相乘，则与的关系正确的是（     ） A． B． C． D． 题型五：积的乘方运算 解题思路：①积中每一个因式都要分别乘方，不能漏掉任意因式，②负数因式乘方，根据指数奇偶判断结果符号，③多个因式相乘的乘方，每个因式乘方之后再做相乘运算。 17．计算：________． 18．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 19．计算：_______． 20．现定义一种新运算“※”：，例如，．若，则________． 题型六：积的乘方的逆用 解题思路：①逆用公式anbn=(ab)n，只有指数相同时才可以逆向合并，②底数相乘，指数保持不变，用来简化大数、分数计算，③指数不一致，先变形化成相同指数，再使用逆用公式。 21．的计算结果是______． 22．已知，那么的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 23．计算：___________． 24．已知：，，，甲、乙、丙的判断如下，则正确的是（    ） 甲：；乙：；丙： A．只有甲和乙 B．只有甲和丙 C．只有乙和丙 D．甲、乙、丙 题型七：幂的混合运算 解题思路：①运算顺序，先算幂的乘方、积的乘方，再计算同底数幂乘法，②做题分清每一步是什么运算，选用对应法则，③全程留意符号，最后化简得到结果。 25．计算：_______． 26．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 27．若，则满足条件的x值为_______． 28．定义：如果（，为正数），那么我们把叫做的D数，记作．例如：因为，所以；因为，所以，D数有如下运算性质： ，其中．下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 解答题 1．根据已知求值： (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值； 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 3．计算： (1) (2) 4．定义一种关于幂的新运算：．例：，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)，，，求的值．（结果用含n的式子表示） 5．学完有理数的乘方后，小明做了一道题，他的解答过程是： ． 阅读完后，请仿照他的方法解下面的题目： 设，．求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $